专题08正多边形与圆、扇形（暑假预习讲义）-2026-2027学年苏科版数学九年级上册.

专题08正多边形与圆、扇形 暑假预习讲义 ✺知识框架 正多边形有关概念：定义判定、与圆的关系、核心元素、角度与对称、相似规律 正多边形的画法：等分圆周通用作图、尺规作特殊正多边形、作内外接圆 正多边形的计算：角度计算、直角三角形模型、周长与面积运算 弧长与扇形面积：弧长公式、扇形面积公式、各类阴影面积求解 圆锥基础：圆锥各部分概念、母线 、高、底面半径关系、侧面积与全面积 扇形与圆锥综合计算：扇形圆锥参数互化、实际应用题建模 ✺学习目标 正多边形有关概念：会判定正多边形，识别中心、半径、边心距、中心角；掌握内角、中心角、外角关系，判断图形对称性，了解同边数正多边形相似规律。 正多边形的画法：掌握等分圆周作图法，尺规画出正三、四、六边形；能借助对称轴作出正多边形外接圆、内切圆。 正多边形的计算：熟练计算正多边形各类角度；借助直角三角形 + 勾股定理求边长、边心距；会计算周长、面积。 弧长、扇形面积基础：熟记弧长、扇形面积公式，能正反求半径、圆心角；会计算弓形、圆环、旋转扫过阴影面积，区分弧长与扇形周长。 圆锥的概念及其侧面积、全面积：分清底面半径、高、母线，掌握三者勾股关系；理解侧面展开图特征，熟练计算圆锥侧面积、全面积。 弧长、扇形面积与圆锥侧面积综合计算：利用 “底面周长 = 扇形弧长” 完成扇形、圆锥参数互求；能解决裁剪、旋转几何体等实际综合计算题。 ✺题型归纳 题型1.求正多边形的中心角 题型2.尺规作图——正多边形 题型3.已知正多边形的中心角求边数 题型4.正多边形和圆的综合 题型5.求弧长 题型6.求扇形半径 题型7.求圆心角 题型8.求某点的弧形运动路径长度 题型9.求扇形面积 题型10.求图形旋转后扫过的面积 题型11.求弓形面积 题型12.求其他不规则图形的面积 题型13.求圆锥侧面积 题型14.求圆锥底面半径 题型15.求圆锥的高 题型16.求圆锥侧面展开图的圆心角 题型17.圆锥的实际问题 题型18.圆锥侧面上最短路径问题 题型19.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、正多边形的有关概念 1. 正多边形的有关概念 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形 中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心 半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径 中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角 边心距：正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。 知识点二、正多边形的画法 正n边形的画法思想是将圆n等分，然后顺次连接等分点即得到所要作的正多边形。 1. 用量角器等分圆：先用量角器画一个度数为的圆心角，则此圆心角所对的弧就是圆的，然后在圆周上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的n个等分点，顺次连接各等分点，就得到圆的内接正n边形。 2. 用尺规等分圆：对于一些特殊的正n边形，可以用圆规和直尺作图。如正方形、正八边形的画法：在⨀O中，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就可把圆周四等分，从而作出正方形，若再逐次平分各边所对的弧，就可以作边数逐次倍增的正多边形。 知识点三、正多边形的计算 设正多边形的边数为n，半径为R，边心距为r,边长为a,则有： 1. 多边形的内角的度数：＝180°－。 2.正多边形的中心角的度数： 3.正多边形半径、边心距、边长的关系：＝＋ 4.正多边形的周长：C＝n·a 5.正多边形的面积：S=nar=C·r 知识点四、弧长公式 1.在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长为：l=·2πR,即l= 注意：在弧长公式l=中，已知l,n，R中的任意两个量可以求出第三个量，公式中的n和180都不带单位. 2. 扇形面积公式 扇形定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。 3. 扇形的面积： 在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆的面积S=π,所以圆心角为n°的扇形面积是=π×=. 扇形面积还可以用弧长表示：=lR,其中l为扇形的弧长，R为半径. 知识点五、圆锥的概念及其侧面积和全面积 1.圆锥和母线 圆锥的构成：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体。 圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。 圆锥的高：连接圆锥顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高。 2. 圆锥的侧面积和全面积 沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形。设圆锥的母线长为l,底面圆的半径为r,,那么这个扇形的半径为l,扇形的弧长为2πr,因此圆锥的侧面积为=×2πr·l=πrl,圆锥的全面积为=πrl+π ✺题型精讲 题型1.求正多边形的中心角 1．正方形的中心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形中心角的计算． 利用正n边形中心角的计算方法，代入正方形边数即可求出结果． 【详解】解：∵正边形所有中心角的和为，每个中心角的度数为， 又∵正方形是边数的正多边形， ∴正方形中心角的度数为． 2．已知正多边形一个内角的度数是，那么该正多边形中心角的度数是_____． 【答案】 【分析】先利用内角与外角互为邻补角求出外角的度数，再根据多边形外角和定理求出正多边形的边数，最后根据正多边形中心角的性质计算中心角度数． 【详解】解：该正多边形的一个内角为， 该正多边形的一个外角为， 任意多边形的外角和为， 该正多边形的边数， 正多边形的中心角和为， 该正多边形的中心角为． 3．如图，六边形为正六边形，点O为对角线的交点，的面积等于1，请仅用无刻度直尺按下列要求作图(保留作图痕迹)． (1)在图1中作出一个面积等于4的矩形； (2)在图2中作出一个面积等于4 的菱形． 【答案】(1) 如图， (2) 四边形是面积为4的菱形． 【分析】（1）连接、，由正六边形的性质可得、、、、、是全等的等边三角形，四边形、是全等的菱形，得，，进而求解即可； （2）如图，延长、交于点G，连接并延长交于点N，交于点M，根据正六边形的性质和菱形的判定可得四边形是菱形，从而可证四边形是菱形，设，则，可得，求得，利用菱形的面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，连接、， ∵六边形为正六边形， ∴、、、、、是全等的等边三角形， ∴，四边形、是全等的菱形， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形，； （2）解：如图，延长、交于点G，连接并延长交于点N，交于点M， ∵六边形为正六边形， ∴、、、、、是全等的等边三角形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴垂直平分， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即四边形是面积为4的菱形． 【点睛】本题考查无刻度直尺作图、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质及正六边形的性质、矩形的判定定理、勾股定理，熟练掌握正六边形的性质是解题的关键． 题型2.尺规作图——正多边形 1．按如下步骤作四边形： （1）画； （2）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交、于点、； （3）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点； （4）连接、、； （5）以点为圆心，长为半径画弧交于点： 则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图，正方形的判定与性质，三角形的外角性质，平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识．由作图可推出四边形是正方形，，得到，，再根据三角形的外角性质可得，最后根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：由作图可得，，，， 四边形是正方形，， ，， ， ， ， ， 故选：A． 2．如图，正八边形ABCDEFGH内接于☉O，点P是上的任意一点，则∠CPE的度数为____． 【答案】． 【分析】连接OD,OC,OE,利用正八边形的中心角的定义，计算圆心角∠COE，根据圆心角与圆周角的关系定理计算即可． 【详解】连接OD,OC,OE, ∵八边形ABCDEFGH是正八边形, ∴∠COD=∠DOE==45°, ∴∠COE=45°+45°=90°, ∴∠CPE=∠COE =45°. 故答案为：45°． 【点睛】本题考查了正多边形的中心角，圆心角与圆周角关系定理，连接半径，构造中心角是解题的关键． 3．如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个正方形，使得顶点B和顶点D都在直线l上（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】 正方形如图所示： 【分析】此题考查了作图复杂作图，解题的关键是掌握作图的方法． 过点A作于点O，以O为圆心，为半径画弧交直线l于点B，D，交直线于点C，连接，，，，正方形即为所求． 【详解】略 题型3.已知正多边形的中心角求边数 1．如图，点为一个正多边形的部分顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．6 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】如图：连接，根据题意求得，根据周角为，即可求得正多边形的边数． 【详解】解：如图：连接， ∵点为正多边形的中心，， ∴， ∴， ∴这个正多边形的边数为9，即选项B符合题意． 2．中心角为的正多边形边数为________． 【答案】5 【详解】解：， 这个正多边形的边数为． 3．若一个圆内接正n边形的中心角是，则n的值为_______． 【答案】12 【分析】本题考查了正多边形与圆，熟练掌握圆内接正n边形的中心角公式是解题的关键． 根据圆内接正n边形的中心角度数为，建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为：12． 题型4.正多边形和圆的综合 1．在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是3，则图中阴影部分的面积是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据正方形的内切圆半径求出正方形边长，再根据勾股定理以及外接圆半径和正方形对角线的关联，求出外接圆半径，最后根据求出图中阴影部分的面积． 【详解】解：∵正方形的内切圆半径是3， ∴正方形边长为6， 根据勾股定理，正方形对角线长度为： ， ∴正方形的外接圆半径为：， ∴， ， ∴． 【点睛】本题考查了正方形内切圆与外接圆的性质、勾股定理、圆环面积的计算方法，理清正方形边长与其内切圆半径、外接圆半径之间的数量关系是解题的关键． 2．如图，在中，弦，分别是的内接正三角形和内接正方形的一条边，连接，也是的内接正n边形的一条边，则n的值是________． 【答案】12 【分析】连接、、，如图，利用正多边形与圆，分别计算的内接正四边形与内接正三角形的中心角得到，，则，然后计算即可得到n的值． 【详解】解：连接、、，如图， ∵，分别为的内接正三角形和内接正方形的一条边， ∴，， ∴， ∵也是的内接正n边形的一条边， ∴． 3．有一个边长为的正六边形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个图形，求这个圆形纸片的最小半径． 【答案】 【分析】能完全盖住正六边形的最小圆形纸片是该正六边形的外接圆，根据正六边形的性质，其外接圆半径等于边长，据此即可求出圆形纸片的最小半径． 【详解】解：∵正六边形的外接圆半径与正六边形的边长相等，该正六边形的边长为， ∴这个圆形纸片的最小半径是． 答：这个圆形纸片的最小半径是． 题型5.求弧长 1．如图，四边形是边长为5的正方形，O为对角线上一动点，以O为圆心，2为半径画弧交正方形边于点E，交于点F，交于点M．若，则的长为（     ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】分两种情况讨论，利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图：当弧是劣弧时，则弧长为； 当弧是优弧时，如图，则弧长为 ∴弧的长为或． 2．如图，车轮的半径，车轮边缘上一点绕点转过的角，则劣弧的长为__________（结果保留）． 【答案】/ 【分析】根据弧长公式，将已知半径和圆心角度数代入计算即可． 【详解】解：由题意可知，车轮半径，圆心角 ∴劣弧的长 ． 3．如图，中，直径于点，是弧上一点，连接交于点，点在的延长线上，． (1)求证：是的切线； (2)连接，若与互相平分，，求的长． 【答案】(1) 证明：连接，如图所示： ， ，            ， ．         ， ， ，              即， ， 是的切线． (2) 【分析】（1）连接，根据圆内等腰三角形及垂直的定义得到，故可求解； （2）先证明四边形是平行四边形，然后证明四边形是菱形，即可证明是等边三角形，则，再由弧长公式求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图， ∵与互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴的长． 题型6.求扇形半径 1．在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知圆心角和弧长代入弧长公式，即可求解出的半径． 【详解】解：设的半径为， ∵，，， 代入公式得， 解得，即的半径为． 2．已知扇形的面积为，圆心角为，则扇形的弧长为________． 【答案】 【分析】先根据扇形面积公式，结合已知的扇形面积和圆心角求出扇形半径，再根据弧长公式计算扇形的弧长即可． 【详解】解：设扇形的半径为， ∵扇形面积为，圆心角为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴扇形的弧长为． 3．【课本再现】 数学课堂上我们学习过切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，请完成下面证明题： (1)如图，中，，以为直径的半交于点，过点作于点．求证：是半的切线； 【数学与生活】 如图，无盖纸杯的侧面展开图是一个扇环纸片（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分）． (2)某班兴趣小组要制作如图2所示的纸杯，规格要求：杯口直径为，杯底直径为，杯壁母线（）为，并且在制作过程中纸杯的侧面展开图拼接处不重叠，则侧面展开图中所在的圆的半径为______； (3)若用一张矩形纸片，按图的方式剪裁图中纸杯的侧面（即：矩形纸片的一边与相切，点、在对边上，点，分别在另外两边上，求这个矩形纸片的边与的长； 【答案】(1) 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是半的切线． (2) (3)，． 【分析】（1）连接，由等边对等角，等量代换可得，由平行线的判定和性质，可得，即可证得结论； （2）设，所在圆的半径为，则所在圆的半径为，然后根据弧长公式得，，从而求解； （3）延长，交于点，连接，过点作于，交于，由（）知，从而可得和都为等边三角形，所以，然后通过勾股定理得，可得，，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：设，所在圆的半径为，则所在圆的半径为， ∴，， ∴，， ∴侧面展开图中所在的圆的半径为． （3）解：如图，延长，交于点，连接，过点作于，交于， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 由（2）知， ∵，， ∴和都为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 题型7.求圆心角 1．一滑轮装置如图，滑轮的半径为，假设绳索与滑轮之间没有滑动（取），当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据弧长公式得到，即可得到答案． 【详解】解：重物上升， 故， 即， 解得，滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为． 2．已知扇形的弧长是，面积为，则该扇形的圆心角为__________． 【答案】 /30度 【分析】根据扇形面积公式结合已知弧长和面积求出扇形半径，再利用弧长公式计算得到圆心角度数． 【详解】解：设扇形半径为，圆心角为， 由扇形面积公式，将，代入得：， 解得， 将，代入弧长公式得：， 解得， 即该扇形的圆心角为． 3．在光的反射中，反射角等于入射角．如图，已知是半圆的直径，且，平面镜与半圆相切于点，从上的点发出一束光线，经平面镜反射后与半圆交于点．若，要使劣弧的长为，需调整________． 【答案】/60度 【分析】先利用弧长公式求出，再结合等腰三角形性质和平行线性质，得到，接着由切线性质知为法线，根据反射角等于入射角，得，最后利用三角形外角性质，求出． 【详解】解：如图，连接，， ∵半圆直径， ∴半径． ∵劣弧的长为，设其圆心角为， ∴， 解得，即． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平面镜与半圆相切于点，为半径， ∴，即为法线， 根据光的反射定律，入射角等于反射角， ∴， ∴． 题型8.求某点的弧形运动路径长度 1．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，点P从C点出发，沿CB运动到点B停止，过点B作射线AP的垂线，垂足为Q，点Q运动的路径长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由AQ⊥BQ，得点Q在以AB为直径的⊙O上运动，运动路径为，连接OC，代入弧长公式即可． 【详解】∵AQ⊥BQ， ∴点Q在以AB为直径的⊙O上运动，运动路径为，连接OC， ∵∠ACB＝90°，OA＝OB， ∴CO＝OA＝1， ∴∠COB＝2∠CAB＝60°， ∴的长为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，弧长公式，确定点Q在以AB为直径的⊙O上运动是解题的关键． 2．图为“江海号”超大直径盾构机，其横截面的形状是圆形．图为其几何示意图．已知该盾构机前端的刀盘直径米，匀速旋转一周用时约秒，刀盘上的滚刀从开始，匀速旋转秒后到达处，则此过程中该滚刀所经过的路径的长度为___．（结果保留） 【答案】 【分析】根据题意，求出圆心角，再由弧长公式求解即可． 【详解】解：∵匀速旋转一周用时约秒，刀盘上的滚刀从开始，匀速旋转秒后到达点， ∴， ∴的长度为． 3．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点C的坐标为． (1)把向上平移5个单位后得到对应的，画出，并写出的坐标； (2)画出与绕点O逆时针旋转后的，并求点旋转到所经过的路线长． 【答案】(1) 如图，即为所求，点的坐标为． (2)如图，即为所求，点旋转到所经过的路线长为． 【分析】本题考查了作图-旋转平移，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）将向上平移5个单位后得到对应的，再得出点的坐标即可； （2）将绕点O逆时针旋转后的，再根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴点旋转到所经过的路线长为： ． 题型9.求扇形面积 1．如图，为了美化某社区，该社区在一块边角空地建造了一个扇形花圃，扇形圆心角．半径为，那么此花圃的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用扇形的面积计算公式即可求解． 【详解】解：． 2．如图，已知圆心角为的扇形的面积为，为弧上一点，、分别为、上的点，连接、、．如果四边形是矩形，那么的长是________． 【答案】 【分析】先利用扇形面积公式求出扇形半径，再根据矩形对角线相等的性质，得到，从而求出的长度． 【详解】解：连接，设扇形半径为． ∵扇形圆心角为，面积为， ∴， ∴， ∴， ∴（半径取正数）， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 3．如图，，平分． (1)求和的度数； (2)若，求扇形（阴影部分）的面积．（结果保留） 【答案】(1)，=20° (2) 【分析】（1）根据以及角的和差关系得，又因为平分，得出，最后把数值代入计算，即可作答． （2）结合（1）得，再运用扇形面积公式列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ． （2）解：由（1）得 扇形的面积为． 题型10.求图形旋转后扫过的面积 1．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将绕点O顺时针旋转得到，则扫过的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由扫过的部分为：扇形与，再进一步求解即可. 【详解】解：将绕点O顺时针旋转得到，则扫过的部分为：扇形与， ∴扫过的面积为：. 2．如图，在中，，，现将绕着点顺时针旋转得到，其中，的对应点分别为，，则边扫过的区域（图中阴影部分）的面积为________． 【答案】 【分析】根据旋转的性质可得，边扫过的区域面积等于扇形的面积减去扇形的面积，利用勾股定理求出的长，再根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：在中，，， ， 由勾股定理得， 由旋转的性质可知，，， ， 阴影部分的面积 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1个单位长度，的顶点坐标分别是、、．将绕点顺时针旋转后得到，点、分别与点、对应． (1)请在图中画出； (2)求在旋转过程中线段所扫过的图形的面积．（结果保留） 【答案】(1) 解：如图所示，即为所求： ； (2) 【分析】本题主要考查了画旋转图形，求扇形的面积，准确计算是解题的关键． （1）根据旋转的性质，找到、的对应点、，画出，即可求解； （2）扫过的是以点为圆心，以为半径的的圆的面积，再根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：、， ， 线段所扫过的图形的面积为． 题型11.求弓形面积 1．如图，网格中的小正方形边长都是1，则以O为圆心，为半径的弧和弦所围成的弓形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据弓形面积等于扇形面积减去三角形面积求解即可． 【详解】由题意得，， 弓形的面积=扇形OAB的面积-的面积 故选：A． 【点睛】本题考查弓形的面积，牢记弓形的面积等于扇形面积减去三角形面积是解题的关键． 2．已知弓形的弦长等于半径R，则此弓形的面积为________．(劣弧为弓形的弧) 【答案】 【分析】如图，过点作交于点，由弓形的弦长等于半径得出是等边三角形，故可得，求出和，计算． 【详解】 如图，过点作交于点， 弓形的弦长等于半径， ， 是等边三角形， ， ， 由勾股定理得：， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查弓形的面积，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 3．如图，为⊙的直径，点C在⊙上，的平分线交⊙于点D，过点D作，交的延长线于点E．    (1)求证：是⊙的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) 证明：连接， 是的平分线， ， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 直线是的切线； (2) 【分析】（1）连接，由圆周角定理可证，进而可证，由平行线的性质可证，可得是⊙的切线； （2）求出得，在中，由勾股定理求出，然后根据即可求解． 【详解】（1）略 （2），， ， ， 在中，，即， 解得：， ， ， ． 【点睛】本题考查了勾股定理、圆周角角定理、直径所对的圆周角是直角、扇形面积公式、切线的判定以及平行线的性质，熟练掌握圆周角角定理、直径所对的圆周角是直角以及切线的判定是解题的关键． 题型12.求其他不规则图形的面积 1．如图，在中，，为的中点，连接，为的中点，以点为圆心，的长为半径作，交于点，若，，则图中阴影部分的面积是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形，直角三角形斜边上的中线的性质，扇形的面积，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键． 连接，解得到，根据直角三角形斜边上中线的性质得到，因此的半径，再求出，根据扇形的面积公式求得．过点O作于点F，解得到，，再由三线合一得到，根据三角形的面积公式求得，因此根据即可解答． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴． 过点O作于点F， ∴在中，， ， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 2．如图，是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转得到半圆，点B的对应点为．若，则阴影部分的面积为___________（结果保留）． 【答案】 【分析】记与半圆O交于点C，连接，由旋转的性质，可知两个半圆的面积相等，，则，根据计算即可． 【详解】解：记与半圆O交于点C，连接，如图所示． 由旋转的性质可知两个半圆的面积相等，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 3．计算下图阴影部分的面积． 【答案】 【分析】阴影部分面积上底是，下底是，高是的梯形面积半径是的圆的面积的，根据梯形面积公式和圆的面积公式解答即可． 【详解】解： ． 题型13.求圆锥侧面积 1．某文创团队用环保材料制作圆锥形灯罩．若该圆锥的母线长，侧面展开图是圆心角为的扇形，则这个圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】圆锥侧面展开图为扇形，圆锥母线长等于展开扇形的半径，直接利用扇形面积公式即可求出圆锥侧面积. 【详解】解：∵圆锥的母线长为，侧面展开图是圆心角为的扇形， ∴展开扇形的半径，圆心角， ∵圆锥侧面积等于其侧面展开扇形的面积， ∴. 2．如图，冰激凌蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是______． 【答案】 【分析】先根据直径求出圆锥底面圆的半径，再根据圆锥的侧面积半径母线，计算即可． 【详解】解：由图知，底面直径为，母线长为， 则底面半径为， 所以蛋筒圆锥部分包装纸的面积为． 3．综合与实践——制作纸杯（结果保留）： 【素材一】纸杯是常见的生活用品，它由底部的圆形纸片和侧面的扇环纸片构成，某型号纸杯的尺寸（单位：）如图1所示，侧面的扇环纸片可视为圆心角等于的扇形纸片裁去扇形纸片后剩余的部分． 【素材二】如图2，从圆心角为的扇形中裁剪得到的最大的圆的半径是该扇形半径的． 【素材三】如图3，从扇环中裁剪得到的最大的圆的直径是扇环的宽度． 请根据以上三个素材，完成两个任务： (1)在图1中，可得_____________；_____________． (2)如图，小普同学取素材一中的扇形纸片，先裁剪出扇环，用于制作素材一中该型号纸杯的侧面；接着利用余下的扇形纸片，继续制作素材一中该型号纸杯的底面，以及一个新型号纸杯的侧面和底面，扇形纸片被裁剪成三部分：扇环、扇环和扇形，在扇环中裁剪出最大的圆、在扇形中裁剪出最大的圆（示意图中的线段长度不代表实际长度）． ①素材一中该型号纸杯的底面是圆_____________；（填“ ”或“”） ②求新型号纸杯的侧面积． 【说明：1．纸杯各接缝处不计耗材；2．裁剪出的侧面扇环纸片与底部圆形纸片恰好能组装成一个纸杯】 【答案】(1)，． (2)，． 【分析】（1）根据纸杯上下面圆的直径求出周长，纸杯展开之后即是扇形弧长，根据，即可求出． （2）根据素材二和素材三内容判断出和直径的大小，结合题意求出制作的纸杯底面圆形纸片的直径，进行对比即可发现素材一中该型号纸杯的底面是圆． 根据结论结合可以求出，再根据，即可求出新型号纸杯的侧面积． 【详解】（1）解：根据题意可知，纸杯上口图形是圆形，直径是，底部圆形纸片，直径是， ∴，， ∵扇形圆心角， ∴，， ∴，， ∵， ∴． （2）解：由（1）可知扇形中，，，， 根据题意扇环，用于制作素材一中该型号纸杯的侧面， ∴纸杯底面圆形纸片周长， ∴纸杯底面圆形纸片直径， ∵在扇形中裁剪出最大的圆， ∴根据素材二得，圆半径， ∴圆直径， ∵在扇环中裁剪出最大的圆， ∴根据素材三得，圆直径， ∵扇环为新纸杯的侧面， ∴新纸杯底面的， ∴即新纸杯底面圆形周长为， 设新纸杯底面圆形纸片直径为， ∴， ∴， ∴圆和扇环组成新的纸杯，圆和扇环组成材料一中的纸杯， ∴素材一中该型号纸杯的底面是圆． 解：由可知素材一中该型号纸杯的底面是圆，圆和扇环组成新的纸杯， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴新型号纸杯的侧面积． 题型14.求圆锥底面半径 1．小红在一张边长为的正方形纸板上，按如图方法裁出一个扇形（阴影部分），并用它围成圆锥形礼帽（粘贴部分忽略不计），则该圆锥形礼帽的底面半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆锥的侧面展开图及弧长公式，熟练掌握圆锥的侧面展开图及弧长计算公式是解题的关键；根据圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长可进行求解． 【详解】解：由题意得：扇形的半径等于正方形的边长，即，圆心角， 扇形的弧长为， 设圆锥底面圆的半径为， 圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长， ， ． 2．如图，圆锥的侧面展开图的弧长为，若该圆锥的高为12，则该圆锥母线的长为_________． 【答案】 【分析】圆锥的侧面展开图的弧长为该圆锥的底面圆的周长，据此根据圆的周长公式求出的长，再利用勾股定理可求出的长． 【详解】解：设， ∵圆锥的侧面展开图的弧长为， ∴该圆锥的底面圆的周长为， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得． 3．如图，从一块直径是的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，求圆锥的底面圆的半径． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的底面圆的半径的求法，熟练掌握圆锥的弧长等于底面周长是解题的关键； 本题考查圆锥的底面圆的半径的求法，注意利用圆锥的弧长等于底面周长这个知识点，圆锥的底面圆的半径扇形的弧长． 【详解】解：连接，依题意，线段是圆的直径． ， ， ∴圆锥的底面圆的半径； 题型15.求圆锥的高 1．把一个半径为6的半圆围成一个圆锥（接缝处忽略不计），则该圆锥的高是（   ） A．6 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据题意得出圆锥的底面圆的周长为，确定底面圆的半径长为3，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意，得圆锥的底面圆的周长为， 设圆锥的底面圆的半径为r，则， ∴，即底面圆的半径长为3， ∴圆锥的高为． 2．数学课上，老师展示了将下图的半圆围成一个无底圆锥，和重合，已知等于，求所围成的圆锥高=_____． 【答案】 【分析】先求得，即圆锥的底面圆的周长为，进而求得，然后再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：∵， ∴， ∴圆锥的底面圆的周长为， ∴圆锥的底面圆的半径为，即， 在中，． 3．哈尼族蘑菇房的茅草屋顶形似撑开的蘑菇伞，既美观又能适应山地多雨的气候．某工匠按蘑菇房屋顶形状制作了一个圆锥模型．已知该模型的侧面展开图弧长为，母线长为6，则此圆锥的高为______． 【答案】 【分析】先根据题意求出圆锥的底面半径，再根据勾股定理可得答案． 【详解】解：如图所示，圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥的底面周长， 即， 解得． 在中，， 根据勾股定理，得， 即， 解得， 所以圆锥的高为． 题型16.求圆锥侧面展开图的圆心角 1．圆锥的底面直径是，母线长，则它的侧面展开图的圆心角的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆锥的底面圆周长，扇形的圆心角，先求出圆锥的底面圆周长，再根据侧面展开图的弧长等于底面圆周长列出方程即可求解，掌握侧面展开图的弧长等于底面圆周长是解题的关键． 【详解】解：∵圆锥的底面直径是，, ∴圆锥的底面周长为， 设侧面展开图的圆心角的大小为，则， ∴， 故选：． 2．已知圆锥的底面半径是，母线长是，则它的侧面展开图的圆心角为____________． 【答案】 /90度 【分析】圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，利用该关系列方程求解即可． 【详解】解：设圆锥侧面展开图的圆心角为， 圆锥的底面周长为： 根据弧长公式，结合扇形弧长等于圆锥底面周长，可得： 解得 ∴它的侧面展开图的圆心角为． 3．已知圆锥体的母线长，底面圆的直径为．（计算结果保留） (1)求该圆锥的侧面展开图的圆心角度数； (2)求该圆锥的表面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图，扇形的弧长公式、圆锥的侧面积和底面积公式．解决本题的关键是掌握圆锥侧面展开图的弧长公式、圆锥底面圆的周长公式、圆锥侧面和底面的面积公式． （1）根据圆锥侧面展开图是一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，可得，解方程求出的值就是圆锥的侧面展开图的圆心角度数； （2）由（1）可知该圆锥的侧面展开图的圆心角为，根据扇形的面积公式可以求出圆锥的侧面积，根据圆锥底面圆的直径是，求出圆锥底面圆的面积，这两个面积之和就是圆锥的表面积． 【详解】（1）解：圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径， 设扇形圆心角为，则， 解得， 该圆锥的侧面展开图的圆心角为； （2）解：圆锥的底面积为：， 圆锥的侧面积为：， ． 该圆锥的表面积为． 题型17.圆锥的实际问题 1．一个正方体木料削成最大的圆锥，圆锥的体积占正方体体积的（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设正方体棱长为，分别计算正方体体积和最大圆锥的体积，再求圆锥体积与正方体体积的比值即可得到结果。 【详解】解：设正方体的棱长为， ∴， ∵正方体削出的最大圆锥，底面直径等于正方体棱长，圆锥的高等于正方体棱长， ∴圆锥底面半径，圆锥高， ∴， ∴， 即圆锥的体积占正方体体积的． 2．现有一个圆心角为的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥（接缝忽略不计），底面半径为．该扇形的半径为___________． 【答案】6 【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长，然后根据圆的周长公式即可求解． 【详解】设该扇形的半径为，根据题意，得， 解得， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 3．圆锥的底面半径为1，母线长为6，求圆锥的全面积． 【答案】 【分析】根据圆锥的全面积等于侧面积加底面积，进行求解即可． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为1，母线长为6，‘’ ∴圆锥的全面积为：． 【点睛】本题考查圆锥的全面积．熟练掌握圆锥的全面积等于侧面积加底面积，以及侧面积和底面积的公式，是解题的关键． 题型18.圆锥侧面上最短路径问题 1．如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出的长，再利用勾股定理求出以及的长即可． 【详解】连接，过B作于D， 设圆锥侧面展开图的圆心角为， 圆锥底面圆周长为，， 则， ∵，， ∴， 由，可求得， ∴，， 即这根绳子的最短长度是． 2．如图所示，圆锥的母线长，P为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角，在圆锥的曲面上，从点B到点P的最短路径长是________． 【答案】 【分析】求出圆锥底面圆的周长，则以为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以为半径的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后，连接，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， 圆锥底面是以为直径的圆，圆的周长是， 以为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以为半径的扇形，弧长是， 设展开后的圆心角是，则， 解得：， ∴展开后， ，， 则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长就是展开后线段的长， 由勾股定理得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，平面展开-最短路线问题，勾股定理，弧长公式等知识点的应用，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 3．如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高为9cm，是上底面的直径．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，则蚂蚁爬行的最短路程是多少？ 【答案】15cm 【分析】将圆柱体侧面展开，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图为圆柱体的侧面展开图， 圆柱体的底面周长为， ， 又， ， 沿着圆柱的侧面爬行到点，蚂蚁爬行的最短路程是cm． 【点睛】本题主要考查了圆柱的侧面展开图，勾股定理等知识，将侧面展开，构造直角三角形是解题的关键． ✺巩固测试 一、单选题 1．如图1为传统建筑中的一种窗格，图2为窗框的示意图，多边形为正六边形，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正六边形的中心为，连接，由正多边形的性质，得到，，则，再根据三角形外角的性质求解即可. 【详解】解：设正六边形的中心为，连接， 则，， ∴， ∴. 2．如图，的半径为1，点，，在上，．则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆周角定理求出圆心角的度数，再利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：，与分别是所对的圆周角和圆心角 的半径为 ． 3．如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（   ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 【答案】B 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴ ∵弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形的边数为， 即该正多边形为正六边形 4．如图，为的直径，点C，D是上的两点，连接，，，若，，则长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，由圆内接四边形的性质得出，由直径所对的圆周角等于90度得出，由三角形内角和定理得出，由圆周角定理得出，最后由弧长公式计算即可． 【详解】解：连接，， ∵四边形内接于，， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．物理实验课上，同学们分组研究定滑轮“可以改变用力的方向，但不能省力”时，爱动脑筋的小颖发现：重物上升时，滑轮上点的位置在不断改变已知滑轮的半径为，当重物上升时，滑轮上点转过的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解此题的关键． 重物上升时，即弧长是，设旋转的角度是，利用弧长公式计算即可得出答案． 【详解】解：设滑轮上点转过的度数为， 重物上升， 点转过的弧长为， 滑轮的半径为， ， 整理得，， 解得， 滑轮上点转过的度数为， 综上所述，只有选项C正确，符合题意， 故选C． 6．如图，绕直角边旋转一周，它的其他各边所成的面围成了一个圆锥，已知，．则圆锥的侧面积等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题意可知，圆锥的底面半径，高 在中，由勾股定理得母线长， 圆锥的侧面积． 二、填空题 7．将一个圆心角为，半径为9的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的高为________． 【答案】 【分析】扇形围成圆锥时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，先根据弧长公式求出圆锥底面圆的半径，再结合勾股定理，利用圆锥母线长等于扇形半径，计算得到圆锥的高． 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为，扇形的半径为，圆心角为， 由扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，列出关系式：， ，， ， 解得． 圆锥母线长等于扇形半径，即母线长为，底面圆半径为， 根据勾股定理得圆锥的高为：． 8．一个扇形的弧长是，其圆心角是，此扇形的面积为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算方法并求解是解决本题的关键． 先根据题意可算出扇形的半径，再根据扇形面积公式即可得出答案． 【详解】解：设扇形的半径为 cm， 由弧长公式 得：， 化简得 ， 解得 ， 再根据扇形面积公式 得：， 故答案为：． 9．若圆锥的底面半径为4，侧面展开图的圆心角为，则其母线长为__________． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的相关计算，核心知识点为圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，根据该关系列方程即可求解母线长． 【详解】解：圆锥底面半径为， 圆锥的底面周长为， 设圆锥的母线长为，根据题意得， 整理得， 解得． 10．如图，在等腰中，斜边，点在以为直径的半圆上，为的中点，当点沿半圆从点运动至点时，点运动的路径长是_________． 【答案】 【分析】本题考查了中位线的性质，求弧长，勾股定理，圆周角定理；连接、，取、的中点、，连接、、．首先证明，推出点的轨迹是半圆，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，连接、，取、的中点、，连接、、． 是直径， ， ，， ，同理， ，， ， ， 点的轨迹是半圆 ，，， ，， 点运动的路径长是 故答案为：． 11．如图，点为半圆的圆心，直径长为6，再以点为圆心，为半径作弧，交弧于点，则阴影部分的面积是________． 【答案】 【分析】连接，，过点作于点，推出是等边三角形，得到，利用三角函数求出的长，根据公式求出，然后计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，，过点作于点， 根据题意得， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ． 12．在中，，．若以所在直线为轴，把旋转一周，得到一个圆锥，这个圆锥侧面展开所得扇形的弧长等于________． 【答案】 【分析】以为轴旋转得到圆锥，圆锥底面圆的半径等于的长度，圆锥侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，代入半径计算即可． 【详解】解：在中，，以所在直线为轴旋转得到圆锥， 圆锥底面圆的半径， 圆锥侧面展开所得扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长， 弧长． 三、解答题 13．小张要给一个圆锥模型贴上保护膜．他用半径为、圆心角为的扇形薄膜片恰好贴满了这个圆锥的侧面，那么他还要用半径为多少厘米的圆形薄膜片才能刚好贴满圆锥的底面？ 【答案】 【分析】求出圆锥的底面周长，再根据圆的周长公式求出半径即可． 【详解】解：圆锥的底面周长为， 设圆形薄膜片的半径为， ∴， 解得， ∴他还要用半径为的圆形薄膜片才能刚好贴满圆锥的底面． 14．如图，的半径为4，正六边形内接于，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与圆、等边三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据题意可得，推出是等边三角形，再利用等边三角形的性质和勾股定理求出的长，再利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：正六边形内接于， ， ， 是等边三角形， ， 如图，过O作的垂线， 则，， ， ． 15．如图所示，是等腰三角形，且，，在上取一点，使，以为圆心，为半径作圆， (1)猜想与的位置关系，并证明你的猜想； (2)已知， ①求扇形的面积（结果保留π） ②若把扇形 围成圆锥的侧面，求圆锥底面圆的半径长． 【答案】(1)解：与相切，证明如下： ∵，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴与相切； (2)①；② 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，再结合，可求得，即可得结论； （2）①在中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到，，进一步求解面积； ②先求解弧的弧长，再求圆锥的底面圆半径． 【详解】（1）略 （2）解：①在中，，， 则，， ∴，， ∴扇形的面积为； ②∵，， ∴弧的弧长为：， 设底面圆半径为：r， 则， 解得：． 16．综合与实践 【主题】探究圆与扇形关系． 【材料】半径为的纸片若干． 【探索】 (1)如图1，在一个圆形纸片中剪出以圆上点A为圆心且圆心角为的扇形．写出扇形的半径______； (2)如图2，在另一圆形纸片中剪一个以O为圆心且圆心角为的扇形． ①如图3，若将扇形围成一个圆锥，求该圆锥的体积； ②如图4，若在扇形上作圆（），与扇形的两条半径相切，与扇形的弧有且只有一个交点G，且O，F，G三点共线，求的半径． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）连接，由，得到为直径，，再根据，则，解直角三角形即可求解； （2）①设圆锥的高为h，母线为R，底面半径为r，根据，求出，结合，求出，利用勾股定理求出，最后由圆锥的体积公式代入数据计算即可；②如图，过点F向扇形两边作垂线，垂足分别为I，J，利用切线的性质证明，求出，设半径为，则，根据，建立方程求解，并检验即可． 【详解】（1）解：如图，连接， ∴， ∴为直径，则， 在圆形纸片剪出一个以圆上点A为圆心的扇形， ∴，则， 在中，， ∴， ∴扇形的半径为； （2）解：①设圆锥的高为h，母线为R，底面半径为r， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ②如图，过点F向扇形两边作垂线，垂足分别为I，J， ∵与扇形两边相切于I，J，， ∵， ∴， ∴， 设半径为，则， ∵， ∴， 解得，检验，当时，原分式方程有意义， ∴的半径为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08正多边形与圆、扇形 暑假预习讲义 ✺知识框架 正多边形有关概念：定义判定、与圆的关系、核心元素、角度与对称、相似规律 正多边形的画法：等分圆周通用作图、尺规作特殊正多边形、作内外接圆 正多边形的计算：角度计算、直角三角形模型、周长与面积运算 弧长与扇形面积：弧长公式、扇形面积公式、各类阴影面积求解 圆锥基础：圆锥各部分概念、母线 、高、底面半径关系、侧面积与全面积 扇形与圆锥综合计算：扇形圆锥参数互化、实际应用题建模 ✺学习目标 正多边形有关概念：会判定正多边形，识别中心、半径、边心距、中心角；掌握内角、中心角、外角关系，判断图形对称性，了解同边数正多边形相似规律。 正多边形的画法：掌握等分圆周作图法，尺规画出正三、四、六边形；能借助对称轴作出正多边形外接圆、内切圆。 正多边形的计算：熟练计算正多边形各类角度；借助直角三角形 + 勾股定理求边长、边心距；会计算周长、面积。 弧长、扇形面积基础：熟记弧长、扇形面积公式，能正反求半径、圆心角；会计算弓形、圆环、旋转扫过阴影面积，区分弧长与扇形周长。 圆锥的概念及其侧面积、全面积：分清底面半径、高、母线，掌握三者勾股关系；理解侧面展开图特征，熟练计算圆锥侧面积、全面积。 弧长、扇形面积与圆锥侧面积综合计算：利用 “底面周长 = 扇形弧长” 完成扇形、圆锥参数互求；能解决裁剪、旋转几何体等实际综合计算题。 ✺题型归纳 题型1.求正多边形的中心角 题型2.尺规作图——正多边形 题型3.已知正多边形的中心角求边数 题型4.正多边形和圆的综合 题型5.求弧长 题型6.求扇形半径 题型7.求圆心角 题型8.求某点的弧形运动路径长度 题型9.求扇形面积 题型10.求图形旋转后扫过的面积 题型11.求弓形面积 题型12.求其他不规则图形的面积 题型13.求圆锥侧面积 题型14.求圆锥底面半径 题型15.求圆锥的高 题型16.求圆锥侧面展开图的圆心角 题型17.圆锥的实际问题 题型18.圆锥侧面上最短路径问题 题型19.巩固测试 ✺知识清单 知识点一、正多边形的有关概念 1. 正多边形的有关概念 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形 中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心； 半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径 中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角 边心距：正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。 知识点二、正多边形的画法 正n边形的画法思想是将圆n等分，然后顺次连接等分点即得到所要作的正多边形。 1. 用量角器等分圆：先用量角器画一个度数为的圆心角，则此圆心角所对的弧就是圆的，然后在圆周上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的n个等分点，顺次连接各等分点，就得到圆的内接正n边形。 2. 用尺规等分圆：对于一些特殊的正n边形，可以用圆规和直尺作图。如正方形、正八边形的画法：在⨀O中，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就可把圆周四等分，从而作出正方形，若再逐次平分各边所对的弧，就可以作边数逐次倍增的正多边形。 知识点三、正多边形的计算 设正多边形的边数为n，半径为R，边心距为r,边长为a,则有： 1. 多边形的内角的度数：＝180°－。 2.正多边形的中心角的度数： 3.正多边形半径、边心距、边长的关系：＝＋ 4.正多边形的周长：C＝n·a 5.正多边形的面积：S=nar=C·r 知识点四、弧长公式 1.在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长为：l=·2πR,即l= 注意：在弧长公式l=中，已知l,n，R中的任意两个量可以求出第三个量，公式中的n和180都不带单位. 2. 扇形面积公式 扇形定义：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。 3. 扇形的面积： 在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆的面积S=π,所以圆心角为n°的扇形面积是=π×=. 扇形面积还可以用弧长表示：=lR,其中l为扇形的弧长，R为半径. 知识点五、圆锥的概念及其侧面积和全面积 1.圆锥和母线 圆锥的构成：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体。 圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。 圆锥的高：连接圆锥顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高。 2. 圆锥的侧面积和全面积 沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形。设圆锥的母线长为l,底面圆的半径为r,,那么这个扇形的半径为l,扇形的弧长为2πr,因此圆锥的侧面积为=×2πr·l=πrl,圆锥的全面积为=πrl+π ✺题型精讲 题型1.求正多边形的中心角 1．正方形的中心角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．已知正多边形一个内角的度数是，那么该正多边形中心角的度数是_____． 3．如图，六边形为正六边形，点O为对角线的交点，的面积等于1，请仅用无刻度直尺按下列要求作图(保留作图痕迹)． (1)在图1中作出一个面积等于4的矩形； (2)在图2中作出一个面积等于4 的菱形． 题型2.尺规作图——正多边形 1．按如下步骤作四边形： （1）画； （2）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交、于点、； （3）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点； （4）连接、、； （5）以点为圆心，长为半径画弧交于点： 则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，正八边形ABCDEFGH内接于☉O，点P是上的任意一点，则∠CPE的度数为____． 3．如图，已知直线l和l外一点A，请用尺规作图法，求作一个正方形，使得顶点B和顶点D都在直线l上（保留作图痕迹，不写作法）． 题型3.已知正多边形的中心角求边数 1．如图，点为一个正多边形的部分顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（    ） A．6 B．9 C．10 D．12 2．中心角为的正多边形边数为________． 3．若一个圆内接正n边形的中心角是，则n的值为_______． 题型4.正多边形和圆的综合 1．在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是3，则图中阴影部分的面积是（ ）． A． B． C． D． 2．如图，在中，弦，分别是的内接正三角形和内接正方形的一条边，连接，也是的内接正n边形的一条边，则n的值是________． 3．有一个边长为的正六边形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个图形，求这个圆形纸片的最小半径． 题型5.求弧长 1．如图，四边形是边长为5的正方形，O为对角线上一动点，以O为圆心，2为半径画弧交正方形边于点E，交于点F，交于点M．若，则的长为（     ） A． B． C．或 D． 2．如图，车轮的半径，车轮边缘上一点绕点转过的角，则劣弧的长为__________（结果保留）． 3．如图，中，直径于点，是弧上一点，连接交于点，点在的延长线上，． (1)求证：是的切线； (2)连接，若与互相平分，，求的长． 题型6.求扇形半径 1．在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（     ） A． B． C． D． 2．已知扇形的面积为，圆心角为，则扇形的弧长为________． 3．【课本再现】 数学课堂上我们学习过切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，请完成下面证明题： (1)如图，中，，以为直径的半交于点，过点作于点．求证：是半的切线； 【数学与生活】 如图，无盖纸杯的侧面展开图是一个扇环纸片（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分）． (2)某班兴趣小组要制作如图2所示的纸杯，规格要求：杯口直径为，杯底直径为，杯壁母线（）为，并且在制作过程中纸杯的侧面展开图拼接处不重叠，则侧面展开图中所在的圆的半径为______； (3)若用一张矩形纸片，按图的方式剪裁图中纸杯的侧面（即：矩形纸片的一边与相切，点、在对边上，点，分别在另外两边上，求这个矩形纸片的边与的长； 题型7.求圆心角 1．一滑轮装置如图，滑轮的半径为，假设绳索与滑轮之间没有滑动（取），当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为（   ） A． B． C． D． 2．已知扇形的弧长是，面积为，则该扇形的圆心角为__________． 3．在光的反射中，反射角等于入射角．如图，已知是半圆的直径，且，平面镜与半圆相切于点，从上的点发出一束光线，经平面镜反射后与半圆交于点．若，要使劣弧的长为，需调整________． 题型8.求某点的弧形运动路径长度 1．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，点P从C点出发，沿CB运动到点B停止，过点B作射线AP的垂线，垂足为Q，点Q运动的路径长为（　　） A． B． C． D． 2．图为“江海号”超大直径盾构机，其横截面的形状是圆形．图为其几何示意图．已知该盾构机前端的刀盘直径米，匀速旋转一周用时约秒，刀盘上的滚刀从开始，匀速旋转秒后到达处，则此过程中该滚刀所经过的路径的长度为___．（结果保留） 3．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点C的坐标为． (1)把向上平移5个单位后得到对应的，画出，并写出的坐标； (2)画出与绕点O逆时针旋转后的，并求点旋转到所经过的路线长． 题型9.求扇形面积 1．如图，为了美化某社区，该社区在一块边角空地建造了一个扇形花圃，扇形圆心角．半径为，那么此花圃的面积为（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知圆心角为的扇形的面积为，为弧上一点，、分别为、上的点，连接、、．如果四边形是矩形，那么的长是________． 3．如图，，平分． (1)求和的度数； (2)若，求扇形（阴影部分）的面积．（结果保留） 题型10.求图形旋转后扫过的面积 1．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将绕点O顺时针旋转得到，则扫过的面积为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，现将绕着点顺时针旋转得到，其中，的对应点分别为，，则边扫过的区域（图中阴影部分）的面积为________． 3．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1个单位长度，的顶点坐标分别是、、．将绕点顺时针旋转后得到，点、分别与点、对应． (1)请在图中画出； (2)求在旋转过程中线段所扫过的图形的面积．（结果保留） 题型11.求弓形面积 1．如图，网格中的小正方形边长都是1，则以O为圆心，为半径的弧和弦所围成的弓形的面积等于（    ） A． B． C． D． 2．已知弓形的弦长等于半径R，则此弓形的面积为________．(劣弧为弓形的弧) 3．如图，为⊙的直径，点C在⊙上，的平分线交⊙于点D，过点D作，交的延长线于点E．    (1)求证：是⊙的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 题型12.求其他不规则图形的面积 1．如图，在中，，为的中点，连接，为的中点，以点为圆心，的长为半径作，交于点，若，，则图中阴影部分的面积是（） A． B． C． D． 2．如图，是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转得到半圆，点B的对应点为．若，则阴影部分的面积为___________（结果保留）． 3．计算下图阴影部分的面积． 题型13.求圆锥侧面积 1．某文创团队用环保材料制作圆锥形灯罩．若该圆锥的母线长，侧面展开图是圆心角为的扇形，则这个圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 2．如图，冰激凌蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是______． 3．综合与实践——制作纸杯（结果保留）： 【素材一】纸杯是常见的生活用品，它由底部的圆形纸片和侧面的扇环纸片构成，某型号纸杯的尺寸（单位：）如图1所示，侧面的扇环纸片可视为圆心角等于的扇形纸片裁去扇形纸片后剩余的部分． 【素材二】如图2，从圆心角为的扇形中裁剪得到的最大的圆的半径是该扇形半径的． 【素材三】如图3，从扇环中裁剪得到的最大的圆的直径是扇环的宽度． 请根据以上三个素材，完成两个任务： (1)在图1中，可得_____________；_____________． (2)如图，小普同学取素材一中的扇形纸片，先裁剪出扇环，用于制作素材一中该型号纸杯的侧面；接着利用余下的扇形纸片，继续制作素材一中该型号纸杯的底面，以及一个新型号纸杯的侧面和底面，扇形纸片被裁剪成三部分：扇环、扇环和扇形，在扇环中裁剪出最大的圆、在扇形中裁剪出最大的圆（示意图中的线段长度不代表实际长度）． ①素材一中该型号纸杯的底面是圆_____________；（填“ ”或“”） ②求新型号纸杯的侧面积． 【说明：1．纸杯各接缝处不计耗材；2．裁剪出的侧面扇环纸片与底部圆形纸片恰好能组装成一个纸杯】 题型14.求圆锥底面半径 1．小红在一张边长为的正方形纸板上，按如图方法裁出一个扇形（阴影部分），并用它围成圆锥形礼帽（粘贴部分忽略不计），则该圆锥形礼帽的底面半径为（     ） A． B． C． D． 2．如图，圆锥的侧面展开图的弧长为，若该圆锥的高为12，则该圆锥母线的长为_________． 3．如图，从一块直径是的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，求圆锥的底面圆的半径． 题型15.求圆锥的高 1．把一个半径为6的半圆围成一个圆锥（接缝处忽略不计），则该圆锥的高是（   ） A．6 B． C．3 D． 2．数学课上，老师展示了将下图的半圆围成一个无底圆锥，和重合，已知等于，求所围成的圆锥高=_____． 3．哈尼族蘑菇房的茅草屋顶形似撑开的蘑菇伞，既美观又能适应山地多雨的气候．某工匠按蘑菇房屋顶形状制作了一个圆锥模型．已知该模型的侧面展开图弧长为，母线长为6，则此圆锥的高为______． 题型16.求圆锥侧面展开图的圆心角 1．圆锥的底面直径是，母线长，则它的侧面展开图的圆心角的大小是（   ） A． B． C． D． 2．已知圆锥的底面半径是，母线长是，则它的侧面展开图的圆心角为____________． 3．已知圆锥体的母线长，底面圆的直径为．（计算结果保留） (1)求该圆锥的侧面展开图的圆心角度数； (2)求该圆锥的表面积． 题型17.圆锥的实际问题 1．一个正方体木料削成最大的圆锥，圆锥的体积占正方体体积的（） A． B． C． D． 2．现有一个圆心角为的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥（接缝忽略不计），底面半径为．该扇形的半径为___________． 3．圆锥的底面半径为1，母线长为6，求圆锥的全面积． 题型18.圆锥侧面上最短路径问题 1．如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是（　　） A． B． C． D． 2．如图所示，圆锥的母线长，P为母线的中点，为圆锥底面圆的直径，两条母线、形成的平面夹角，在圆锥的曲面上，从点B到点P的最短路径长是________． 3．如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高为9cm，是上底面的直径．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，则蚂蚁爬行的最短路程是多少？ ✺巩固测试 一、单选题 1．如图1为传统建筑中的一种窗格，图2为窗框的示意图，多边形为正六边形，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，的半径为1，点，，在上，．则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 3．如图，为弦，若，弦是圆内接正多边形的一边，则该正多边形为（   ） A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 4．如图，为的直径，点C，D是上的两点，连接，，，若，，则长是（     ） A． B． C． D． 5．物理实验课上，同学们分组研究定滑轮“可以改变用力的方向，但不能省力”时，爱动脑筋的小颖发现：重物上升时，滑轮上点的位置在不断改变已知滑轮的半径为，当重物上升时，滑轮上点转过的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，绕直角边旋转一周，它的其他各边所成的面围成了一个圆锥，已知，．则圆锥的侧面积等于（     ） A． B． C． D． 二、填空题 7．将一个圆心角为，半径为9的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的高为________． 8．一个扇形的弧长是，其圆心角是，此扇形的面积为______． 9．若圆锥的底面半径为4，侧面展开图的圆心角为，则其母线长为__________． 10．如图，在等腰中，斜边，点在以为直径的半圆上，为的中点，当点沿半圆从点运动至点时，点运动的路径长是_________． 11．如图，点为半圆的圆心，直径长为6，再以点为圆心，为半径作弧，交弧于点，则阴影部分的面积是________． 12．在中，，．若以所在直线为轴，把旋转一周，得到一个圆锥，这个圆锥侧面展开所得扇形的弧长等于________． 三、解答题 13．小张要给一个圆锥模型贴上保护膜．他用半径为、圆心角为的扇形薄膜片恰好贴满了这个圆锥的侧面，那么他还要用半径为多少厘米的圆形薄膜片才能刚好贴满圆锥的底面？ 14．如图，的半径为4，正六边形内接于，求的面积． 15．如图所示，是等腰三角形，且，，在上取一点，使，以为圆心，为半径作圆， (1)猜想与的位置关系，并证明你的猜想； (2)已知， ①求扇形的面积（结果保留π） ②若把扇形 围成圆锥的侧面，求圆锥底面圆的半径长． 16．综合与实践 【主题】探究圆与扇形关系． 【材料】半径为的纸片若干． 【探索】 (1)如图1，在一个圆形纸片中剪出以圆上点A为圆心且圆心角为的扇形．写出扇形的半径______； (2)如图2，在另一圆形纸片中剪一个以O为圆心且圆心角为的扇形． ①如图3，若将扇形围成一个圆锥，求该圆锥的体积； ②如图4，若在扇形上作圆（），与扇形的两条半径相切，与扇形的弧有且只有一个交点G，且O，F，G三点共线，求的半径． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $