微专题4 一元二次方程的计算 【暑假预习讲义】 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

微专题4 一元二次方程的计算 题型一：直接开平方法解一元二次方程 【典例精讲】（2025春•江岸区校级月考）解下列方程： （1）（x﹣2）2＝49； （2）64（x+1）2﹣100＝0． 【分析】（1）直接开平方法得到x﹣2＝±7，即可求出结果； （2）先把方程变形为（x+1）2，然后利用直接开平方法解方程． 【解答】解：（1）（x﹣2）2＝49， x﹣2＝±7， 所以x1＝﹣5，x2＝9； （2）64（x+1）2﹣100＝0． （x+1）2， x+1＝±， 所以x1，x2． 【变式训练1】（2025春•龙岩月考）解方程： （1）； （2）4（x﹣1）2﹣16＝0． 【分析】（1）根据平方根的定义求解即可； （2）根据平方根的定义求解即可． 【解答】解：（1）， ， ， x1，x2； （2）4（x﹣1）2﹣16＝0， 4（x﹣1）2＝16， （x﹣1）2＝4， x﹣1＝±2， x1＝3，x2＝﹣1． 【变式训练2】（2025春•白云区月考）解方程 （1）x2﹣100＝0； （2）4y2＝9； （3）（x﹣1）2＝25． 【分析】（1）先变形为x2＝100，再开平方即可； （2）先变形为，再开平方即可； （3）先开平方得x﹣1＝±5，则x﹣1＝﹣5，或x﹣1＝5，求解即可． 【解答】解：（1）原方程移项得：x2＝100， 开平方得：x＝±10； （2）原方程系数化为1得：， 开平方，得：； （3）原方程直接开平方得：x﹣1＝±5， 则x﹣1＝﹣5，或x﹣1＝5， 解得：x＝﹣4或6． 【变式训练3】（2025春•瓦房店市月考）解方程： （1）2x2﹣18＝0； （2）（x﹣5）2+8＝0． 【分析】利用直接开平方法对所给一元二次方程分别进行求解即可． 【解答】解：（1）2x2﹣18＝0， 2x2＝18， x2＝9， x＝±3， 所以x1＝3，x2＝﹣3． （2）（x﹣5）2+8＝0， （x﹣5）2＝﹣8， 因为﹣8＜0， 所以此方程无解． 【变式训练4】解下列方程： （1）（2x﹣5）2＝9． （2）2（x+3）2﹣49＝0． 【分析】（1）根据直接开平方法可以解答此方程； （2）先变形，然后根据直接开平方法可以解答此方程． 【解答】解：（1）（2x﹣5）2＝9， 2x﹣5＝±3， 解得x1＝4，x2＝1； （2）2（x+3）2﹣49＝0， 2（x+3）2＝49， （x+3）2， x+3， 解得x1＝﹣3，x2＝﹣3． 题型二：利用配方法解一元二次方程 【典例精讲】用配方法解下列一元二次方程： （1）x2+6x＝1； （2）x2+5x﹣6＝0． 【分析】（1）由配方法解一元二次方程的步骤解答即可； （2）由配方法解一元二次方程的步骤解答即可． 【解答】解：（1）∵x2+6x＝1， ∴（x+3）2＝10， ∴x+3＝±， ∴x13，x23； （2）∵x2+5x﹣6＝0， ∴x2+5x＝6， ∴（x）2， ∴x±， ∴x1＝1，x2＝﹣6． 【变式训练1】（2025秋•沙县区校级期末）用配方法解下列方程： （1）3x2+6x﹣12＝0； （2）2x2﹣7x+6＝0． 【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【解答】解：（1）原方程两边同除以3得x2+2x﹣4＝0， 移项得x2+2x＝4， 配方得x2+2x+1＝4+1，即（x+1）2＝5， 两边开平方，得，即或， ∴，； （2）原方程两边同除以2得， 移项得， 配方得，即， 两边开平方得，即或． ∴x1＝2，． 【变式训练2】用配方法解下列方程： （1）x2﹣x﹣1＝0； （2）3x2＝﹣1﹣5x； （3）5y﹣84+y2＝0； （4）2x2x＝3． 【分析】（1）常数项移到右边，然后方程两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方即可求出解． （2）移项，方程二次项系数化为1，然后方程两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方即可求出解； （3）整理后，方程二次项系数化为1，常数项移到右边，然后方程两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方即可求出解； （4）方程二次项系数化为1，然后方程两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方即可求出解． 【解答】解：（1）方程变形得：x2﹣x＝1， 配方得：x2﹣x1，即（x）2， 开方得：x﹣＝±， 解得：x1＝，x2＝； （2）方程变形得：x2x， 配方得：x2x，即（x）2， 开方得：x， 解得：x1，x2； （3）方程变形得：y2+5y＝84， 配方得：y2+5y84，即（x）2， 开方得：x± 解得：x1，x2； （4）方程变形得：x2x， 配方得：x2x，即（x）2， 开方得：x± 解得：x1，x2． 【变式训练3】用配方法解下列方程： （1）x2﹣2x﹣4＝0； （2）t2﹣3t﹣1＝0； （3）2a2+8a﹣5＝0； （4）2p2+3p﹣4＝0． 【分析】（1）移项，系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）移项，系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （3）移项，系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （4）移项，系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：（1）x2﹣2x﹣4＝0， x2﹣2x＝4， 配方得：x2﹣2x+1＝4+1， （x﹣1）2＝5， 开方得：x﹣1， x1＝1，x2＝1； （2）t2﹣3t﹣1＝0， t2﹣3t＝1， 配方得：t2﹣3t+（）2＝1+（）2， （t）2， 开方得：t， t1，t2； （3）2a2+8a﹣5＝0， 2a2+8a＝5， a2+4a， 配方得：a2+4a+44， （a+2）2， 开方得：a+2， a1，a2； （4）2p2+3p﹣4＝0， 2p2+3p＝4， p2p＝2， 配方得：p2p+（）2＝2+（）2， （p）2， 开方得：p±， p1，p2． 【变式训练4】用配方法解下列方程： （1）x2﹣6x＝﹣8． （2）x2﹣8x﹣4＝0． （3）x2+3x+2＝0． （4）﹣x2+5x+6＝0． 【分析】（1）利用配方法得到（x﹣3）2＝1，然后利用直接开平方法解方程； （2）利用配方法得到（x﹣4）2＝20，然后利用直接开平方法解方程； （3）利用配方法得到（x）2，然后利用直接开平方法解方程； （4）利用配方法得到（x）2，然后利用直接开平方法解方程． 【解答】解：（1）x2﹣6x+9＝﹣8+9， （x﹣3）2＝1， x﹣3＝±1， 所以x1＝4，x2＝2； （2）x2﹣8x+16＝4+16， （x﹣4）2＝20， x﹣4＝±2， 所以x1＝4+2，x2＝4﹣2； （3）x2+3x （x）2， x±， 所以x1＝﹣1，x2＝﹣2； （4）x2﹣5x＝6， x2﹣5x， （x）2， x±， 所以x1＝﹣1，x2＝6． 题型三：利用公式法解一元二次方程 【典例精讲】用公式法解下列方程： （1）x2﹣5x﹣6＝0； （2）4x2+9＝12x； （3）； （4）． 【分析】利用公式法依次对所给一元二次方程进行求解即可． 【解答】解：（1）x2﹣5x﹣6＝0， Δ＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣6）＝49＞0， 则x， 所以x1＝﹣1，x2＝6； （2）4x2+9＝12x， 4x2﹣12x+9＝0， Δ＝（﹣12）2﹣4×4×9＝0， 则x， 所以； （3）， 10＞0， 则x， 所以； （4）， 4x2﹣x﹣3＝0， Δ＝（﹣1）2﹣4×4×（﹣3）＝49＞0， 则x， 所以． 【变式训练1】用公式法解下列一元二次方程： （1）2x2﹣5x+3＝0； （2）4x2+1＝﹣4x； （3）． 【分析】根据题意，利用公式法依次对所给一元二次方程进行求解即可 【解答】解：（1）2x2﹣5x+3＝0， Δ＝（﹣5）2﹣4×2×3＝1＞0， 则x， 所以； （2）4x2+1＝﹣4x， 4x2+4x+1＝0， Δ＝42﹣4×4×1＝0， 则x， 所以； （3）， 3x2﹣8x﹣2＝0， Δ＝（﹣8）2﹣4×3×（﹣2）＝88＞0， 则x， 所以． 【变式训练2】用公式法解下列方程： （1）x2﹣x﹣1＝0； （2）2x2+2x﹣1＝0． 【分析】（1）先求出b2﹣4ac的值，再代入求出即可； （2）先求出b2﹣4ac的值，再代入求出即可． 【解答】解：（1）x2﹣x﹣1＝0， 这里a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1， Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5＞0， x， x1，x2； （2）2x2+2x﹣1＝0， 这里a＝2，b＝2，c＝﹣1， Δ＝b2﹣4ac＝22﹣4×2×（﹣1）＝12＞0， x， x1，x2． 【变式训练3】用公式法解下列方程： （1）x2+2＝2x； （2）9x2+4＝12x； （3）（2x﹣1）2﹣5＝x（x﹣5）； （4）y1． 【分析】根据公式法即可求出答案． 【解答】解：（1）∵x2+2＝2x， ∴x2﹣2x+2＝0， ∴a＝1，b＝﹣2，c＝2， ∴Δ＝8﹣4×1×2＝0， ∴x1＝x2． （2）∵9x2+4＝12x， ∴9x2﹣12x+4＝0， ∴a＝9，b＝﹣12，c＝4， ∴Δ＝144﹣4×9×4＝0， ∴x1＝x2 （3）∵（2x﹣1）2﹣5＝x（x﹣5）， ∴3x2+x﹣4＝0， ∴a＝3，b＝1，c＝﹣4， ∴Δ＝1+4×3×4＝49， ∴x， ∴x＝1或x． （4）∵y1， ∴y2﹣2y+1＝0， ∴a＝1，b＝﹣2，c＝1， ∴Δ＝4﹣4＝0， ∴y1＝y21． 【变式训练4】用公式法解下列方程： （1）2x2﹣3x+1＝0； （2）x（3x﹣4）＝2+x； （3）x2+3x0． 【分析】对于（1）和（3），先写出a，b，c的值，计算判别式△，再按照公式表示出方程的解，然后计算即可； （2）先将原方程整理成一般式，再按照公式法求解即可． 【解答】解：（1）∵a＝2，b＝﹣3，c＝1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝9﹣4×2×1＝1＞0， ∴x， ∴x1＝1，x2； （2）∵x（3x﹣4）＝2+x， ∴整理得：3x2﹣5x﹣2＝0， ∵a＝3，b＝﹣5，c＝﹣2， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×3×（﹣2）＝49＞0， ∴x， ∴x1＝2，x2； （3）∵a，b＝3，c， ∴Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4（）＝17＞0， ∴x， ∴x1，x2． 题型四：利用因式分解法解一元二次方程 【典例精讲】用因式分解法解下列方程： （1）（x）（x）＝0； （2）4x2﹣3x＝0； （3）3（x+1）＝x（x+1）； （4）x2﹣6x﹣7＝0； （5）t（t+3）＝28； （6）（x+1）（x+3）＝15． 【分析】根据因式分解法即可求出答案． 【解答】解：（1）∵（x）（x）＝0， ∴x0或x0， ∴x或x． （2）∵4x2﹣3x＝0， ∴x（4x﹣3）＝0， ∴x＝0或x． （3）∵3（x+1）＝x（x+1）， ∴（x+1）（3﹣x）＝0， ∴x＝﹣1或x＝3． （4）∵x2﹣6x﹣7＝0， ∴（x﹣7）（x+1）＝0， ∴x＝7或x＝﹣1． （5）∵t（t+3）＝28， ∴t2+3t﹣28＝0， ∴（t+7）（t﹣4）＝0， ∴t＝﹣7或t＝4． （6）∵（x+1）（x+3）＝15， ∴x2+4x﹣12＝0， ∴（x+6）（x﹣2）＝0， ∴x＝﹣6或x＝2． 【变式训练1】用因式分解法解下列方程： （1）x2＝7x； （2）2x2+x＝0； （3）（x+1）2﹣2（x+1）＝0； （4）x2﹣3x+2＝0． 【分析】（1）根据因式分解法即可求出答案； （2）根据因式分解法即可求出答案． （3）根据因式分解法即可求出答案； （4）根据因式分解法即可求出答案． 【解答】解：（1）x2＝7x， 分解因式得：x（x﹣7）＝0， 则x＝0或x﹣7＝0， 解得：x1＝0，x2＝7； （2）2x2+x＝0， 分解因式得：x（2x+1）＝0， 则x＝0或2x+1＝0， 解得：x1＝0，x2； （3）（x+1）2﹣2（x+1）＝0， 分解因式得：（x+1）（x﹣1）＝0， 则x+1＝0或x﹣1＝0， 解得：x1＝1，x2＝﹣1． （4）x2﹣3x+2＝0， 分解因式得：（x﹣2）（x﹣1）＝0， 则x﹣2＝0或x﹣1＝0， 解得：x1＝2，x2＝1． 【变式训练2】用因式分解法解下列方程： （1）3x2+2x＝0； （2）4（2x﹣1）+3x（2x﹣1）＝0； （3）4（x﹣5）2＝5（x﹣5）； （4）x2﹣6x+8＝0； （5）x2﹣9x﹣10＝0． 【分析】（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （3）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （4）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （5）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【解答】解：（1）3x2+2x＝0， x（3x+2）＝0， x＝0，3x+2＝0， x1＝0，x2； （2）4（2x﹣1）+3x（2x﹣1）＝0， （2x﹣1）（4+3x）＝0， 2x﹣1＝0，4+3x＝0， x1，x2； （3）4（x﹣5）2＝5（x﹣5）， 4（x﹣5）2﹣5（x﹣5）＝0， （x﹣5）[4（x﹣5）﹣5]＝0， x﹣5＝0，4（x﹣5）﹣5＝0， x1＝5，x2； （4）x2﹣6x+8＝0， （x﹣2）（x﹣4）＝0， x﹣2＝0，x﹣4＝0， x1＝2，x2＝4； （5）x2﹣9x﹣10＝0， （x﹣10）（x+1）＝0， x﹣10＝0，x+1＝0， x1＝10，x2＝﹣1． 【变式训练3】用因式分解法解下列方程： （1）7x2＝21x． （2）9＝0． （3）27x2﹣18x＝﹣3． （4）（x+2）2＝2x+4． （5）4（x﹣3）2﹣x（x﹣3）＝0． （6）（7x﹣1）2＝4x2 【分析】（1）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程； （2）先把方程化为x2﹣36＝0，然后利用因式分解法解方程； （3）先把方程化为9x2﹣6x+1＝0，然后利用因式分解法解方程； （4）先把方程变形为（x+2）2﹣2（x+2）＝0，然后利用因式分解法解方程； （5）利用因式分解法解方程； （6）先把方程变形为（7x﹣1）2﹣4x2＝0，然后利用因式分解法解方程． 【解答】解：（1）7x2﹣21x＝0， 7x（x﹣3）＝0， 7x＝0或x﹣3＝0， 所以x1＝0，x2＝3； （2）x2﹣36＝0 （x﹣6）（x+6）＝0， x﹣6＝0或x+6＝0， 所以x1＝6，x2＝﹣6； （3）9x2﹣6x+1＝0， （3x﹣1）2＝0， 所以x1＝x2； （4）（x+2）2﹣2（x+2）＝0， （x+2）（x+2﹣2）＝0， x+2＝0或x+2﹣2＝0， 所以x1＝﹣2，x2＝0； （5）（x﹣3）（4x﹣12﹣x）＝0， x﹣3＝0或4x﹣12﹣x＝0， 所以x1＝3，x2＝4； （6）（7x﹣1）2﹣4x2＝0， （7x﹣1+2x）（7x﹣1﹣2x）＝0， 7x﹣1+2x＝0或7x﹣1﹣2x＝0， 所以x1，x2． 【变式训练4】用因式分解法解下列方程： （1）3y2﹣5y＝0． （2）4x2＝12x． （3）x2+9＝﹣6x． （4）9x2＝（x﹣1）2． 【分析】（1）利用因式分解法解方程； （2）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程； （3）先把方程化为x2+6x+9＝0，然后利用因式分解法解方程； （4）先把方程变形为（3x）2﹣（x﹣1）2＝0，然后利用因式分解法解方程． 【解答】解：（1）y（3y﹣5）＝0， y＝0或3y﹣5＝0， 所以y1＝0，y2； （2）4x2﹣12x＝0 4x（x﹣3）＝0， 4x＝0或x﹣3＝0， 所以x1＝0，x2＝3； （3）x2+6x+9＝0， （x+3）2＝0， 所以x1＝x2＝﹣3； （4）（3x）2﹣（x﹣1）2＝0， （3x+x﹣1）（3x﹣x+1）＝0， 3x+x﹣1＝0或3x﹣x+1＝0， 所以x1，x2． 题型五：选择合适的方法解一元二次方程 【典例精讲】（2025秋•渠县校级期中）解下列方程： （1）4（1+x）2＝9； （2）3x2+2x﹣1＝0； （3）x2+4x+2＝0； （4）（2x+1）2＝﹣3（2x+1）． 【分析】（1）依据题意，由直接开平方法计算可以得解； （2）依据题意，由公式法计算可以得解； （3）依据题意，由配方法计算可以得解； （4）依据由题，由因式分解法解方程计算可以得解． 【解答】解：（1）∵4（1+x）2＝9， ∴（1+x）2． ∴1+x＝±． ∴x＝﹣1±． ∴x1，x2； （2）∵3x2+2x﹣1＝0， ∴a＝3，b＝2，c＝﹣1． ∴Δ＝4﹣4×3×（﹣1）＝16＞0． ∴x1，2． ∴x1，x2＝﹣1； （3）∵x2+4x+2＝0， ∴x2+4x＝﹣2． ∴x2+4x+4＝4﹣2． ∴（x+2）2＝2． ∴x+2＝±． ∴x＝﹣2±． ∴x1＝﹣2，x2＝﹣2； （4）由题意，∵（2x+1）2＝﹣3（2x+1）， ∴（2x+1）2+3（2x+1）＝0． ∴（2x+1）（2x+1+3）＝0． ∴（2x+1）（2x+4）＝0． ∴2x+1＝0或2x+4＝0． ∴x1，x2＝﹣2． 【变式训练1】（2026•赛罕区校级开学）解下列方程： （1）3（x﹣1）2﹣27＝0； （2）x2﹣6x﹣4＝0； （3）x2﹣3x﹣1＝0； （4）5x（x﹣3）+2（x﹣3）＝0． 【分析】（1）先变形为（x﹣1）2＝9，然后利用直接开平方法即可求解； （2）先变形为x2﹣6x＝4，再利用配方法得到（x﹣3）2＝13，然后利用直接开平方法即可求解； （3）先计算判别式的值，然后利用公式法即可求解； （4）把方程化为（x﹣3）（5x+2）＝0，然后利用因式分解法即可求解． 【解答】解：（1）3（x﹣1）2﹣27＝0， 3（x﹣1）2＝27， （x﹣1）2＝9， x﹣1＝±3， x1＝4，x2＝﹣2； （2）x2﹣6x﹣4＝0， x2﹣6x＝4， （x﹣3）2＝13， ， ； （3）∵x2﹣3x﹣1＝0， ∴a＝1，b＝﹣3，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1） ＝9+4 ＝13＞0， ∴ ∴； （4）5x（x﹣3）+2（x﹣3）＝0， （x﹣3）（5x+2）＝0， x﹣3＝0或5x+2＝0， ． 【变式训练2】（2026春•宁阳县期中）解下列方程： （1）x2﹣4x﹣1＝0． （2）2x2﹣9x+8＝0． （3）5（x﹣3）2＝x2﹣9． 【分析】（1）根据配方法步骤进行配方，得出（x﹣2）2＝5，再开平方即可； （2）首先求出Δ＝b2﹣4ac＝（﹣9）2﹣4×2×8＝17＞0，再套用公式，即可求解； （3）利用因式分解法解一元二次方程，提取公因式即可． 【解答】解：（1）原方程移项可得： x2﹣4x＝1， x2﹣4x+4＝1+4， （x﹣2）2＝5， ，； （2）Δ＝b2﹣4ac＝（﹣9）2﹣4×2×8＝17＞0， ， ，； （3）原方程移项可得： 5（x﹣3）2﹣（x2﹣9）＝0， 5（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝0， （x﹣3）[5（x﹣3）﹣（x+3）]＝0， （x﹣3）（4x﹣18）＝0， x﹣3＝0，4x﹣18＝0， x1＝3，． 【变式训练3】（2025秋•华蓥市期末）解下列方程： （1）2x（x﹣5）＝8（5﹣x）； （2）﹣4x2﹣7x+2＝0． 【分析】（1）移项后根据因式分解法求解即可； （2）根据公式法求解即可． 【解答】解：（1）由题意得2x（x﹣5）﹣8（5﹣x）＝0， 2x（x﹣5）+8（x﹣5）＝0， （x﹣5）（2x+8）＝0， x﹣5＝0或2x+8＝0， 解得x1＝5，x2＝﹣4； （2）﹣4x2﹣7x+2＝0， ∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×（﹣4）×2＝49+32＝81， ∴， 解得x1＝﹣2，． 【变式训练4】（2025秋•呼和浩特月考）解下列方程： （1）； （2）2x2﹣4x+1＝0； （3）3x2+5x＝1； （4）x2﹣1＝3x﹣3． 【分析】（1）先移项，利用直接开平方法求得方程的解即可； （2）利用配方法解方程求得答案； （3）利用公式法，首先求出判别式Δ的值，再利用求根公式求得答案； （4）利用因式分解法求得方程的解即可． 【解答】解：（1）， （x﹣1）2﹣64＝0， （x﹣1）2＝64， ∴x﹣1＝±8， x1＝9，x2＝﹣7； （2）2x2﹣4x+1＝0， 2x2﹣4x＝﹣1， ， ， ， ∴， 解得，； （3）3x2+5x＝1， 3x2+5x﹣1＝0， ∵a＝3，b＝5，c＝﹣1， ∴b2﹣4ac＝52﹣4×3×（﹣1）＝37， ∴， 解得，； （4）x2﹣1＝3x﹣3， （x+1）（x﹣1）﹣3（x﹣1）＝0， （x﹣1）（x﹣2）＝0， x﹣1＝0或x﹣2＝0， 解得x1＝1，x2＝2． 【变式训练5】（2025秋•临汾月考）解方程： （1）（x﹣3）2＝2（x﹣3）． （2）3x2﹣4x﹣8＝0． （3）x2+5x+7＝3x+11． 【分析】（1）整理后利用因式分解解方程即可； （2）利用公式法解方程即可； （3）整理后利用配方法解方程即可． 【解答】解：（1）移项得（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0， 方程左边因式分解得（x﹣3）（x﹣3﹣2）＝0， 所以x﹣3＝0或x﹣5＝0， 所以x1＝3，x2＝5． （2）∵a＝3，b＝﹣4，c＝﹣8， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣8）＝112＞0， ∴， 即，． （3）方程可化为x2+2x＝4， 配方，得x2+2x+1＝4+1， 即（x+1）2＝5， 直接开平方，得， 所以，． 题型六：利用换元法解一元二次方程 【典例精讲】（2026春•包河区校级期中）阅读下面的材料：解方程x4﹣7x2+12＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x2＝y，则x4＝y2.∴原方程可化为y2﹣7y+12＝0．解得y1＝3，y2＝4． 当y＝3时，；当y＝4时，x2＝4，x＝±2． ∴原方程有四个根是：． 以上方法叫做换元法，此方法达到了降次的目的，体现了数学思想中的转化思想．请你运用上述方法解答下列问题． （1）解方程：x4﹣4x2﹣12＝0． （2）已知x＝（a+1）2，y＝（a﹣1）2，试求当x2+y2＝16时a的值． 【分析】（1）依据题意，设x2＝y，则x4＝y2，从而原方程可化为y2﹣4y﹣12＝0，求出y后代入计算可以得解； （2）依据题意得，x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝（4a）2+2（a2﹣1）2＝2a4+12a2+2＝16，故a4+6a2﹣7＝0，又设t＝a2，则t2＝a4，从而原方程可化为t2+6t﹣7＝0，求出t后再代入计算可以得解． 【解答】解：（1）设x2＝y，则x4＝y2， ∴原方程可化为y2﹣4y﹣12＝0， ∴y1＝﹣2，y2＝6． ∴当y＝﹣2时，x2＝﹣2，无解 当y＝6时， ∴原方程有两个根为：； （2）由题意得，x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝（4a）2+2（a2﹣1）2＝2a4+12a2+2＝16， ∴a4+6a2﹣7＝0． 设t＝a2，则t2＝a4， ∴原方程可化为t2+6t﹣7＝0． ∴t1＝1，t2＝﹣7． ∴当t＝1时，a2＝1，a＝±1；当t＝﹣7时，a2＝﹣7，无解． ∴当x2+y2＝16时a的值为±1． 【变式训练1】（2025秋•雨花区期末）解方程：（x2+x）2﹣5（x2+x）+4＝0． 【分析】设 y＝x2+x，则原方程可变形为y2﹣5y+4＝0，求出y的值，代入y＝x2+x求出x的值即可． 【解答】解：设y＝x2+x，则y2﹣5y+4＝0， （y﹣1）（y﹣4）＝0， 解得y1＝1，y2＝4， 当x2+x＝1即x2+x﹣1＝0时，解得， 当x2+x＝4即x2+x﹣4＝0时，解得， ∴原方程有四个根：，，x3，x4． 【变式训练2】解下列方程： （1）2（x2﹣7x）2﹣21（x2﹣7x）+10＝0； （2）（2x2+3x）2﹣4（2x2+3x）﹣5＝0． 【分析】（1）利用换元法，先设x2﹣7x＝a，然后根据解二元一次方程的方法，可以得到a的值，然后即可得到该方程的解； （2）利用换元法，先设2x2+3x＝a，然后根据解二元一次方程的方法，可以得到a的值，然后即可得到该方程的解 【解答】解：（1）2（x2﹣7x）2﹣21（x2﹣7x）+10＝0 设x2﹣7x＝a， 则2a2﹣21a+10＝0 （2a﹣1）（a﹣10）＝0 ∴2a﹣1＝0或a﹣10＝0， 解得，a1＝0.5，a2＝10， ∴x2﹣7x＝0.5或x2﹣7x＝10， ∴2x2﹣14x﹣1＝0或x2﹣7x﹣10＝0， 解得，x1，x2，x3，x4； （2）（2x2+3x）2﹣4（2x2+3x）﹣5＝0 设2x2+3x＝a， 则a2﹣4a﹣5＝0 （a﹣5）（a+1）＝0， ∴a﹣5＝0或a+1＝0， 解得，a1＝5，a2＝﹣1， ∴2x2+3x＝5或2x2+3x＝﹣1， ∴2x2+3x﹣5＝0或2x2+3x+1＝0， 解得，x1＝﹣2.5，x2＝1，x3＝﹣0.5，x4＝﹣1． 【变式训练3】（2025秋•绥棱县期末）“整体思想”法，即把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新的字母进行替代，可以简化多项式的结构，使因式分解更简洁明了． 例如：分解因式（a﹣2b）2+2（a﹣2b）+1． 解：将a﹣2b看成一个整体，令a﹣2b＝x， 则原式＝x2+2x+1　 ＝　（x+1）2 ，将x还原得，原式＝（a﹣2b+1）2． 请根据上述材料回答下列问题： （1）请补全横线上的步骤； （2）因式分解：（x2+2x+3）（x2+2x﹣1）+4． 【分析】（1）根据题意换元后再利用完全平方公式因式分解即可； （2）根据题意换元后并整理，然后利用完全平方公式因式分解即可． 【解答】解：（1）将a﹣2b看成一个整体，令a﹣2b＝x， 则原式＝x2+2x+1 ＝（x+1）2 将x还原得，原式＝（a﹣2b+1）2， 故答案为：x2+2x+1；（x+1）2； （2）令x2+2x＝k， 则原式＝（k+3）（k﹣1）+4 ＝k2﹣k+3k﹣3+4 ＝k2+2k+1 ＝（k+1）2， 将k还原得，原式＝（x2+2x+1）2＝[（x+1）2]2＝（x+1）4． 【变式训练4】（2026春•裕安区月考）我们在求解结构复杂、次数较高的方程时，常常通过“降次”来简化方程后再求解，这种方法叫做换元法．例：解方程：（2x+3）2﹣8（2x+3）+15＝0． 解：将2x+3视为一个整体，设2x+3＝y，则原方程可化为：y2﹣8y+15＝0， 因式分解得：（y﹣3）（y﹣5）＝0，解得y1＝3，y2＝5， 当y＝3时，2x+3＝3，解得x1＝0；当y＝5时，2x+3＝5，解得x2＝1； 综上，原方程的解为x1＝0，x2＝1． 请参考例题，解下列方程： （1）3x4﹣5x2﹣2＝0； （2）（x2﹣4x）2+3x2﹣12x﹣18＝0． 【分析】（1）设x2＝y，则原方程可化为3y2﹣5y﹣2＝0，先求出y值，再代入求出x即可； （2）设x2﹣4x＝y，则原方程可化为y2+3y﹣18＝0，先求出y值，再代入求出x即可． 【解答】解：（1）设x2＝y，则原方程可化为3y2﹣5y﹣2＝0， ∴（3y+1）（y﹣2）＝0， 解得，y2＝2， 不符合题意，舍去， 当y＝2时，x2＝2， 解得，， 综上，原方程的解为，； （2）设x2﹣4x＝y，则原方程可化为y2+3y﹣18＝0， ∴（y+6）（y﹣3）＝0， 解得y1＝﹣6，y2＝3， 当y＝﹣6时，x2﹣4x＝﹣6， 整理得x2﹣4x+6＝0， ∵Δ＝（﹣4）2﹣4×1×6＝﹣8＜0， ∴此方程无实数根； 当y＝3时，x2﹣4x﹣3＝0， 解得，即，， 综上，原方程的解为，． 题型七：根的判别式 【典例精讲】（2026春•泰兴市期末）关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+2m＝0． （1）若m＝2，求方程的解； （2）求证：无论m取何值，方程总有实数根． 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）根据x2﹣（2m+1）x+2m＝0证明Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m+1）]2﹣4×1×2m≥0即可． 【解答】解：（1）当m＝2时，x2﹣（2m+1）x+2m＝0变形为x2﹣5x+4＝0， ∴（x﹣1）（x﹣4）＝0， 解得x1＝1，x2＝4． （2）∵一元二次方程x2﹣（2m+1）x+2m＝0，且a＝1，b＝﹣（2m+1），c＝2m， ∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m+1）]2﹣4×1×2m ＝4m2+4m+1﹣8m ＝4m2﹣4m+1 ＝（2m﹣1）2， ∵（2m﹣1）2≥0， ∴Δ＝（2m﹣1）2≥0， ∴无论m取何值，方程总有实数根． 【变式训练1】（2026春•瑶海区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣4）x﹣4m＝0． （1）求证：无论m取何值，方程总有实数根； （2）若方程有一个根不小于5，求m的取值范围． 【分析】（1）根据根的判别式求出Δ的值，再进行判断即可； （2）解方程得到x1＝﹣m，x2＝4，根据方程有一个根不小于5，得到不等式，解不等式即可得到结论． 【解答】（1）证明：由条件可知Δ＝（m﹣4）2﹣4×1×（﹣4m）＝m2+8m+16＝（m+4）2， ∵（m+4）2是非负数， ∴b2﹣4ac≥0． ∴无论m取何实数时，原方程总个实数根； （2）解：x2+（m﹣4）x﹣4m＝0， 解得x1＝﹣m，x2＝4， ∵原方程有一个根不小于5， ∴﹣m≥5， ∴m≤﹣5． 【变式训练2】（2025秋•长垣市期末）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0． （1）证明：不论a取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）当a＝1时，求该方程的根． 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝（a﹣2）2+4＞0，由此即可证出：不论a取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）将a＝1代入原方程，再利用求根公式即可求出方程的解． 【解答】（1）证明：Δ＝a2﹣4（a﹣2）＝a2﹣4a+8＝（a﹣2）2+4． ∵（a﹣2）2≥0， ∴（a﹣2）2+4＞0，即Δ＞0， ∴不论a取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）解：当a＝1时，原方程为x2+x﹣1＝0， Δ＝12﹣4×1×（﹣1）＝5， ∴x1，x2． 【变式训练3】（2026•石景山区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1﹣k＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若k为负整数，求此时方程的根． 【分析】（1）要使方程有两个不相等的实数根，只需根的判别式大于0即可； （2）由k为负整数可得到k的值，代入原方程，然后解这个方程即可． 【解答】解：（1）由题可得：（﹣3）2﹣4（1﹣k）＞0， 解得k； （2）若k为负整数，则k＝﹣1， 此时原方程为x2﹣3x+2＝0， 解得x1＝1，x2＝2． 【变式训练4】（2025秋•白银期末）已知关于x的一元二次方程mx2+2（m+1）x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若方程有一个根是x＝﹣2，求方程的另一个根及m的值． 【分析】（1）根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m≠0且[2（m+1）]2﹣4m（m﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可； （2）先根据一元二次方程解的定义得到4m+2（m+1）×（﹣2）+m﹣1＝0，解得m＝5，则原方程为5x2+12x+4＝0，然后利用因式分解法解方程即可． 【解答】解：（1）根据题意得m≠0且[2（m+1）]2﹣4m（m﹣1）＞0， 解得； （2）∵方程有一个根是 x＝﹣2， ∴4m+2（m+1）×（﹣2）+m﹣1＝0， 解得m＝5， 原方程为5x2+12x+4＝0， （5x+2）（x+2）＝0， 5x+2＝0或x+2＝0， 所以x1，x2＝﹣2， 即方程的另一个根是，m的值是5． 题型八：阅读理解型问题 【典例精讲】（2026春•上城区校级期中）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根x1，x2，满足，（k为实数），则称这个方程为“对称方程”．其中k叫做对称参数． （1）当对称参数k＝1时， ①请写出这个“对称方程”的两根：x1＝　2　 ，x2＝　0　 ； ②写出满足条件的一个“对称方程”：x2﹣2x＝0（答案不唯一）　 ． （2）已知关于x的方程x2﹣8x+n＝0为“对称方程”，求n的值． 【分析】（1）根据所给“对称方程”的定义即可解决问题； （2）根据所给“对称方程”的定义进行计算即可． 【解答】解：（1）①由题知， 当k＝1时， k2+k＝2，k2﹣k＝0， 所以这个“对称方程”的两根为x1＝2，x2＝0． 故答案为：2，0； ②满足条件的一个“对称方程”为x2﹣2x＝0． 故答案为：x2﹣2x＝0（答案不唯一）； （2）因为关于x的方程x2﹣8x+n＝0为“对称方程”， 则， 解得k＝±2． 当k＝2时， 方程的两根分别为x1＝6，x2＝2， 则n＝6×2＝12， 所以方程为x2﹣8x+12＝0， 此时Δ＝（﹣8）2﹣4×1×12＝16＞0， 所以此情况符合题意； 当k＝﹣2时， 方程的两根为x1＝2，x2＝6， 则n＝6×2＝12， 所以方程为x2﹣8x+12＝0， 此时Δ＝（﹣8）2﹣4×1×12＝16＞0， 所以此情况符合题意， 综上所述，n的值为12． 【变式训练1】（2026春•南湖区校级期末）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中的常数项c是该方程的一个根，则称该一元二次方程为理想方程． （1）已知关于x的方程x2+2x+c＝0是理想方程，求c的值； （2）当b，c满足什么条件时，方程x2+bx+c＝0是理想方程； （3）关于x的理想方程ax2+bx+c＝0的两个实根为x1，x2，若c＝2a，求x1+x2的取值范围． 【分析】（1）根据理想方程的定义求解即可； （2）根据理想方程的定义求解即可； （3）根据理想方程的定义结合根与系数的关系求得，再分两种情况讨论，即可求解． 【解答】解：（1）根据理想方程的定义可知c是方程x2+2x+c＝0的解， ∴c2+3c＝0， 解得c＝0或c＝﹣3； （2）根据理想方程的定义可知c2+bc+c＝c（c+b+1）＝0， ∴c＝0或b+c+1＝0， 即当c＝0或b+c+1＝0时，方程x2+bx+c＝0是理想方程； （3）由条件可知Δ＝b2﹣4ac≥0， 由理想方程的定义知c是方程ax2+bx+c＝0的解， ∴ac2+bc+c＝c（ac+b+1）＝0， ∵c＝2a，且a≠0， ∴ac+b+1＝0， ∴b＝﹣ac﹣1＝﹣2a2﹣1， ∴（﹣2a2﹣1）2﹣4a•2a≥0， （2a2﹣1）2≥0， 这个不等式对于所有非0实数a都成立， 由条件可知（其中a≠0），由理想方程定义知有一根为c， 不妨设x1＝c，则， ∴， ①当a＞0时，； ②当a＜0时，； 综上所述，x1+x2的取值范围是或． 【变式训练2】（2026春•金安区校级期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”． （1）判断方程x2+4x﹣5＝0是否是“邻根方程”，并说明理由； （2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值； （3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，且a＞0）是“邻根方程”，试求出代数式12a﹣b2的最大值． 【分析】（1）先解方程x2+4x﹣5＝0，再结合新定义可得答案； （2）先解方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0，再利用新定义建立方程|m﹣（﹣1）|＝1，再解方程即可； （3）利用根与系数的关系表示出，进一步化简得b2＝a2+4a，整体代入t＝12a﹣b2，通过配方可求出t最大值． 【解答】解：（1）原方程因式分解可得： （x﹣1）（x+5）＝0， 解得：x1＝1，x2＝﹣5， ∵x1﹣x2＝6≠1，不符合邻根方程的定义， ∴x2+4x﹣5＝0不是邻根方程； （2）∵关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0是邻根方程， ∴x1＝m，x2＝﹣1， ∴|x1﹣x2|＝|m﹣（﹣1）|＝|m+1|＝1， ∴m1＝0，m2＝﹣2， 故m＝0或m＝﹣2； （3）设两个根分别为x1、x2， ∴|x1﹣x2|＝1， 由根与系数的关系：， ∴， ∴b2＝a2+4a， 设t＝12a﹣b2， ∴t＝12a﹣b2＝12a﹣（a2+4a）＝﹣a2+8a＝﹣（a﹣4）2+16， ∴当a＝4时，t最大值＝16， 答：代数式12a﹣b2的最大值为16． 【变式训练3】（2026春•浙江期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”． （1）通过计算，判断方程x2+3x+2＝0是否为“邻根方程”； （2）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+2m＝0是“邻根方程”，求m的值； （3）若关于x的方程ax2+bx+2＝0（a＞0）是“邻根方程”，令t＝12a﹣b2，试求t的最大值． 【分析】（1）根据所给“邻根方程”的定义进行判断即可； （2）根据所给“邻根方程”的定义进行计算即可； （3）根据所给“邻根方程”的定义得出a，b的关系，再据此进行计算即可． 【解答】解：（1）由x2+3x+2＝0得， x1＝﹣2，x2＝﹣1． 因为﹣1﹣（﹣2）＝1， 所以该方程是“邻根方程”； （2）由x2﹣（m+2）x+2m＝0得， x1＝m，x2＝2． 因为该方程是“邻根方程”， 则当m＞2时，m﹣2＝1， 解得m＝3； 当m＜2时，2﹣m＝1， 解得m＝1， 综上所述，m的值为1或3； （3）由ax2+bx+2＝0得， x． 因为该方程是“邻根方程”， 所以， 整理得，b2＝a2+8a． 因为t＝12a﹣b2， 所以t＝12a﹣（a2+8a）＝﹣a2+4a， 所以当a时， t取得最大值为﹣22+4×2＝4， 所以t的最大值为4． 【变式训练4】（2026春•周村区校级期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根小1，那么称这样的方程为“近根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“近根方程”． （1）通过计算，判断方程x2﹣7x+12＝0是否是“近根方程”； （2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“近根方程”，求m的值． 【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程，然后根据“近根方程”的定义判断即可； （2）解方程得到x1＝m，x2＝﹣1，再由“近根方程”的定义得到，从而得到关于m的方程，解方程即可得到答案． 【解答】解：（1）原方程分解因式可得： （x﹣3）（x﹣4）＝0， 解得x1＝3，x2＝4， ∴方程x2﹣7x+12＝0是“近根方程”； （2）原方程分解因式可得： （x﹣m）（x+1）＝0， 解得：x1＝m，x2＝﹣1， ∵方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“近根方程”， ∴|m﹣（﹣1）|＝1， 解得m1＝0，m2＝﹣2． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题4 一元二次方程的计算 题型一：直接开平方法解一元二次方程 【典例精讲】（2025春•江岸区校级月考）解下列方程： （1）（x﹣2）2＝49； （2）64（x+1）2﹣100＝0． 【变式训练1】（2025春•龙岩月考）解方程： （1）； （2）4（x﹣1）2﹣16＝0． 【变式训练2】（2025春•白云区月考）解方程 （1）x2﹣100＝0； （2）4y2＝9； （3）（x﹣1）2＝25． 【变式训练3】（2025春•瓦房店市月考）解方程： （1）2x2﹣18＝0； （2）（x﹣5）2+8＝0． 【变式训练4】解下列方程： （1）（2x﹣5）2＝9． （2）2（x+3）2﹣49＝0． 题型二：利用配方法解一元二次方程 【典例精讲】用配方法解下列一元二次方程： （1）x2+6x＝1； （2）x2+5x﹣6＝0． 【变式训练1】（2025秋•沙县区校级期末）用配方法解下列方程： （1）3x2+6x﹣12＝0； （2）2x2﹣7x+6＝0． 【变式训练2】用配方法解下列方程： （1）x2﹣x﹣1＝0； （2）3x2＝﹣1﹣5x； （3）5y﹣84+y2＝0； （4）2x2x＝3． 【变式训练3】用配方法解下列方程： （1）x2﹣2x﹣4＝0； （2）t2﹣3t﹣1＝0； （3）2a2+8a﹣5＝0； （4）2p2+3p﹣4＝0． 【变式训练4】用配方法解下列方程： （1）x2﹣6x＝﹣8． （2）x2﹣8x﹣4＝0． （3）x2+3x+2＝0． （4）﹣x2+5x+6＝0． 题型三：利用公式法解一元二次方程 【典例精讲】用公式法解下列方程： （1）x2﹣5x﹣6＝0； （2）4x2+9＝12x； （3）； （4）． 【变式训练1】用公式法解下列一元二次方程： （1）2x2﹣5x+3＝0； （2）4x2+1＝﹣4x； （3）． 【变式训练2】用公式法解下列方程： （1）x2﹣x﹣1＝0； （2）2x2+2x﹣1＝0． 【变式训练3】用公式法解下列方程： （1）x2+2＝2x； （2）9x2+4＝12x； （3）（2x﹣1）2﹣5＝x（x﹣5）； （4）y1． 【变式训练4】用公式法解下列方程： （1）2x2﹣3x+1＝0； （2）x（3x﹣4）＝2+x； （3）x2+3x0． 题型四：利用因式分解法解一元二次方程 【典例精讲】用因式分解法解下列方程： （1）（x）（x）＝0； （2）4x2﹣3x＝0； （3）3（x+1）＝x（x+1）； （4）x2﹣6x﹣7＝0； （5）t（t+3）＝28； （6）（x+1）（x+3）＝15． 【变式训练1】用因式分解法解下列方程： （1）x2＝7x； （2）2x2+x＝0； （3）（x+1）2﹣2（x+1）＝0； （4）x2﹣3x+2＝0． 【变式训练2】用因式分解法解下列方程： （1）3x2+2x＝0； （2）4（2x﹣1）+3x（2x﹣1）＝0； （3）4（x﹣5）2＝5（x﹣5）； （4）x2﹣6x+8＝0； （5）x2﹣9x﹣10＝0． 【变式训练3】用因式分解法解下列方程： （1）7x2＝21x． （2）9＝0． （3）27x2﹣18x＝﹣3． （4）（x+2）2＝2x+4． （5）4（x﹣3）2﹣x（x﹣3）＝0． （6）（7x﹣1）2＝4x2 【变式训练4】用因式分解法解下列方程： （1）3y2﹣5y＝0． （2）4x2＝12x． （3）x2+9＝﹣6x． （4）9x2＝（x﹣1）2． 题型五：选择合适的方法解一元二次方程 【典例精讲】（2025秋•渠县校级期中）解下列方程： （1）4（1+x）2＝9； （2）3x2+2x﹣1＝0； （3）x2+4x+2＝0； （4）（2x+1）2＝﹣3（2x+1）． 【变式训练1】（2026•赛罕区校级开学）解下列方程： （1）3（x﹣1）2﹣27＝0； （2）x2﹣6x﹣4＝0； （3）x2﹣3x﹣1＝0； （4）5x（x﹣3）+2（x﹣3）＝0． 【变式训练2】（2026春•宁阳县期中）解下列方程： （1）x2﹣4x﹣1＝0． （2）2x2﹣9x+8＝0． （3）5（x﹣3）2＝x2﹣9． 【变式训练3】（2025秋•华蓥市期末）解下列方程： （1）2x（x﹣5）＝8（5﹣x）； （2）﹣4x2﹣7x+2＝0． 【变式训练4】（2025秋•呼和浩特月考）解下列方程： （1）； （2）2x2﹣4x+1＝0； （3）3x2+5x＝1； （4）x2﹣1＝3x﹣3． 【变式训练5】（2025秋•临汾月考）解方程： （1）（x﹣3）2＝2（x﹣3）． （2）3x2﹣4x﹣8＝0． （3）x2+5x+7＝3x+11． 题型六：利用换元法解一元二次方程 【典例精讲】（2026春•包河区校级期中）阅读下面的材料：解方程x4﹣7x2+12＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x2＝y，则x4＝y2.∴原方程可化为y2﹣7y+12＝0．解得y1＝3，y2＝4． 当y＝3时，；当y＝4时，x2＝4，x＝±2． ∴原方程有四个根是：． 以上方法叫做换元法，此方法达到了降次的目的，体现了数学思想中的转化思想．请你运用上述方法解答下列问题． （1）解方程：x4﹣4x2﹣12＝0． （2）已知x＝（a+1）2，y＝（a﹣1）2，试求当x2+y2＝16时a的值． 【变式训练1】（2025秋•雨花区期末）解方程：（x2+x）2﹣5（x2+x）+4＝0． 【变式训练2】解下列方程： （1）2（x2﹣7x）2﹣21（x2﹣7x）+10＝0； （2）（2x2+3x）2﹣4（2x2+3x）﹣5＝0． 【变式训练3】（2025秋•绥棱县期末）“整体思想”法，即把多项式中的某些部分看成一个整体，用一个新的字母进行替代，可以简化多项式的结构，使因式分解更简洁明了． 例如：分解因式（a﹣2b）2+2（a﹣2b）+1． 解：将a﹣2b看成一个整体，令a﹣2b＝x， 则原式＝　 ＝　 ，将x还原得，原式＝（a﹣2b+1）2． 请根据上述材料回答下列问题： （1）请补全横线上的步骤； （2）因式分解：（x2+2x+3）（x2+2x﹣1）+4． 【变式训练4】（2026春•裕安区月考）我们在求解结构复杂、次数较高的方程时，常常通过“降次”来简化方程后再求解，这种方法叫做换元法．例：解方程：（2x+3）2﹣8（2x+3）+15＝0． 解：将2x+3视为一个整体，设2x+3＝y，则原方程可化为：y2﹣8y+15＝0， 因式分解得：（y﹣3）（y﹣5）＝0，解得y1＝3，y2＝5， 当y＝3时，2x+3＝3，解得x1＝0；当y＝5时，2x+3＝5，解得x2＝1； 综上，原方程的解为x1＝0，x2＝1． 请参考例题，解下列方程： （1）3x4﹣5x2﹣2＝0； （2）（x2﹣4x）2+3x2﹣12x﹣18＝0． 题型七：根的判别式 【典例精讲】（2026春•泰兴市期末）关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+2m＝0． （1）若m＝2，求方程的解； （2）求证：无论m取何值，方程总有实数根． 【变式训练1】（2026春•瑶海区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣4）x﹣4m＝0． （1）求证：无论m取何值，方程总有实数根； （2）若方程有一个根不小于5，求m的取值范围． 【变式训练2】（2025秋•长垣市期末）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0． （1）证明：不论a取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）当a＝1时，求该方程的根． 【变式训练3】（2026•石景山区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1﹣k＝0有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）若k为负整数，求此时方程的根． 【变式训练4】（2025秋•白银期末）已知关于x的一元二次方程mx2+2（m+1）x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若方程有一个根是x＝﹣2，求方程的另一个根及m的值． 题型八：阅读理解型问题 【典例精讲】（2026春•上城区校级期中）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根x1，x2，满足，（k为实数），则称这个方程为“对称方程”．其中k叫做对称参数． （1）当对称参数k＝1时， ①请写出这个“对称方程”的两根：x1＝　 ，x2＝　 ； ②写出满足条件的一个“对称方程”：　 ． （2）已知关于x的方程x2﹣8x+n＝0为“对称方程”，求n的值． 【变式训练1】（2026春•南湖区校级期末）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中的常数项c是该方程的一个根，则称该一元二次方程为理想方程． （1）已知关于x的方程x2+2x+c＝0是理想方程，求c的值； （2）当b，c满足什么条件时，方程x2+bx+c＝0是理想方程； （3）关于x的理想方程ax2+bx+c＝0的两个实根为x1，x2，若c＝2a，求x1+x2的取值范围． 【变式训练2】（2026春•金安区校级期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”． （1）判断方程x2+4x﹣5＝0是否是“邻根方程”，并说明理由； （2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值； （3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，且a＞0）是“邻根方程”，试求出代数式12a﹣b2的最大值． 【变式训练3】（2026春•浙江期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”． （1）通过计算，判断方程x2+3x+2＝0是否为“邻根方程”； （2）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+2m＝0是“邻根方程”，求m的值； （3）若关于x的方程ax2+bx+2＝0（a＞0）是“邻根方程”，令t＝12a﹣b2，试求t的最大值． 【变式训练4】（2026春•周村区校级期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根小1，那么称这样的方程为“近根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“近根方程”． （1）通过计算，判断方程x2﹣7x+12＝0是否是“近根方程”； （2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“近根方程”，求m的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $