山东威海市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题

高一数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．与是同一象限角的是（ ） A． B． C． D． 2．已知向量，，且，则（ ） A．6 B．4 C．2 D． 3．在中，若，，，则（ ） A． B． C． D． 4．已知a，b，c是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 5．已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为，则该正四棱台侧面与下底面所成角的大小为（ ） A． B． C． D． 6．已知，则（ ） A． B． C． D． 7．已知三棱锥的体积为24，D，E分别是，的中点，点F在棱上，，则三棱锥的体积为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．在中，，，则面积的最大值为（ ） A．4 B． C．2 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则（ ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称． C．在上单调递减 D．将函数图象上的所有点向右平移个单位，就可得到的图象 10．已知，，为平面内的单位向量，若，不共线，，，则（ ） A． B． C． D． 11．已知正四面体的棱长为2，P，Q分别为棱，上的点，且，过且平行于的平面记为，则（ ） A．P为的中点 B．存在 C．直线与平面所成的最大角的正弦值为 D．该正四面体的表面被截得的图形周长的最小值为4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知圆锥的母线长为2，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的高为________． 13．有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河，小船航行速度的大小为，方向为北偏西，受河水速度的影响，小船实际航行速度为正北方向，则河水速度为向东________． 14．已知函数的一个零点为，且在上单调递减，则方程在上所有根的和为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分）在平面四边形中，，，N为线段上一点，且． （1）用，表示，； （2）若，，，证明：． 16．（15分）如图，在四棱柱中，侧面是矩形，底面是菱形，，M，N分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面平面． 17．（15分）已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）求在上的最值； （3）若，且，求的值． 18．（17分）如图，菱形的边长为2，，将沿翻折至，E，F分别为，的中点． （1）若． （ⅰ）证明：； （ⅱ）求直线与所成角的正切值； （2）若三棱锥的各顶点都在球O的球面上，球O的表面积为，求． 19．（17分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）已知，，点P在线段上，设，． （ⅰ）若，求； （ⅱ）求为何值时，取得最小值． 高一数学参考答案 一、选择题：每小题5分，共40分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A D C C A B D 二、选择题：每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 ABC BC ACD 三、填空题：每小题5分，共15分。 题号 12 13 14 答案 8 四、解答题： 15．（13分） 解：（1）因为，所以， 因为，所以， 4分 所以． 8分 （2）因为， 所以， 12分 可得，所以． 13分 16．（15分） 证明：（1）取AB的中点K，连接NK，CK， 因为N，K分别为，AB的中点， 所以， 2分 因为是四棱柱， 所以， 可得， 所以四边形为平行四边形，所以， 4分 因为底面ABCD是菱形，所以， 因为M，K分别为CD，AB的中点， 可得，所以四边形AKCM为平行四边形， 所以， 6分 可得， 7分 又因为平面平面， 所以平面． 8分 （2）因为底面ABCD是菱形，，所以为等边三角形， 因为M为CD的中点，所以， 9分 又因为，所以， 10分 因为侧面是矩形，所以，且， 所以平面， 13分 因为平面．，所以平面平面． 15分 17．（15分） 解：（1） ， 3分 由， 4分 解得， 所以的单调递增区间为． 5分 （2）因为，所以， 6分 当即时，取最大值2； 8分 当即时，取最小值． 10分 （3）由，可得， 因为，所以， 11分 可得， 12分 因此 13分 ． 15分 18．（17分） 解：（1）（i）由题意知，和均为等边三角形，且E为AC的中点， 所以，因为菱形ABCD的边长为2，所以， 2分 因为，所以，可得， 3分 又因为，所以平面ABC， 4分 因为平面ABC，所以． 5分 （ii）取EB的中点Q，连接AQ，FQ， 因为F，Q分别是PB，EB的中点，所以， 可得PE与AF所成角的大小等于FQ与AF所成角的大小， 7分 由（i）知平面ABC，所以平面ABC， 因为平面ABC，所以， 8分 可得为直角三角形，所以， 因为，Q为EB的中点，所以， 在中，因为，所以， 可得， 10分 所以， 因此直线PE与AF所成角的正切值为． 12分 （2）设球O的半径为R，则，解得， 13分 由（1）知平面PBE，所以平面平面PBE，平面平面PBE，因为平面平面，平面平面， 故在平面PBE内，过等边三角形和的中心分别作垂直于PE和BE的直线l和m，则平面PAC，平面BAC， 可得l与m的交点即为球心O， 14分 连接OE，设的中心为G， 则， 因为，解得， 15分 在中，因为，所以， 可得，所以， 16分 在中，由余弦定理可得，所以． 17分 19．（17分） 解：（1）因为， 由正弦定理可得， 1分 所以， 3分 因为，所以． 4分 （2）（i）因为，所以， 则， 6分 可得， 7分 在和中，由正弦定理可得， 9分 又因为，所以， 可得． 11分 （ⅱ）【法一】设，由（i）知， 所以， 13分 因为，所以， 14分 因此， 15分 由均值不等式可得， 16分 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，的最小值为． 17分 【法二】因为，所以， 12分 因此 ， 14分 因为，所以， 因为， 所以， 15分 可得，当且仅当时等号成立， 16分 此时由（i）知， 所以当时，的最小值为． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $