四川绵阳市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题A卷

高中2024级第二学年末教学质量测试 数学（A） 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷共4页；答题卡共6页．满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“准考证号”栏目内. 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 3．考试结束后将答题卡收回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. B. C. 3 D. 4 2. 已知随机变量X服从两点分布，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，这列数的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每个数都等于它前面两个数的和．后人把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，则（ ） A. 13 B. 21 C. 34 D. 55 4. 某篮球运动员每次投球的投中率是，每次投球的结果相互独立，则他投球4次，恰好投中2次的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知一组数据的方差为4、则数据的方差为（ ） A. 5 B. 8 C. 16 D. 17 6. 某校开设4门知识类选修课和3门技能类选修课．某学生需从中选修3门，且至少包含一门技能类的选修课，则该生不同的选课方案的种数为（ ） A. 18 B. 30 C. 31 D. 34 7. 已知等差数列的前n项和为，且，则（ ） A. B. 18 C. D. 36 8. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的前n项和为，且满足，则（ ） A. B. 为等比数列 C. D. 10. 设，是一次随机试验中的两个事件，若，则（ ） A. 与相互独立 B. C. D. 11. 已知函数是的一个极值点，则（ ） A. B. 的极大值为0 C. 当时，关于x的方程仅有一个实数解 D. 若，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填写在答题卡的横线上. 12. 曲线在点（0，1）处的切线方程为_________. 13. 的展开式中的系数为____________．（用数字作答） 14. 某图书馆，有（，且）种不同的课外书，每种书至少有本．甲从中随机选种借阅，乙从中随机选种借阅，甲乙选择的结果相互独立．记为被甲或乙选中的图书种数，若的均值为，则__________． 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足，数列为等比数列，且． （1）求和的通项公式； （2）求数列的前n项和． 16. 已知函数． （1）求的最大值； （2）对任意，求实数a的取值范围． 17. 某校引入AI学习平台，高二全体学生参加了一次该平台的数学能力测试（满分150分），测试分数，且已知．平台将数学测试成绩从高到低按照20%，30%，30%，20%的比例分为A，B，C，D四个等级，用于后续的个性化习题推荐． （1）若甲、乙、丙三位同学在该项测试中的分数分别是：129、99、75，试确定三人各自成绩的等级； （2）已知该次测试单选最后一道题，共4个选项，等级为A的同学都能选对，等级为B的同学能排除2个错误选项后再随机选，等级为C的同学能排除1个错误选项后再随机选，等级为D的同学随机选一个选项，且没人漏选．若从参加该次测试的学生中随机抽取1人，求该生答对这道题的概率． 18. 设函数． （1）分别讨论的单调性； （2）设数列满足，证明：； （3）设函数，且在区间上单调递增，求整数a的最小值． 19. “中国天眼”FAST射电望远镜在银道面脉冲星巡天项目中，锁定了m颗候选脉冲星，编号为1，2，3，…，，科研团队计划安排t次跟踪观测，每次观测1颗，观测规程规定：第k次跟踪观测时，若选中的脉冲星编号为x，且满足，则认定该次观测成功捕获1组有效脉冲信号．科研团队设计了两种观测方案： 方案一：每次观测均从m颗候选脉冲星中，等概率随机选择； 方案二：每次随机选择，且观测过的脉冲星不再列入后续选择的范围． （1）若采用方案一，且当时，设第1，2，3次观测，成功捕获有效脉冲信号的概率依次为． （i）求； （ii）记该望远镜前3次观测中，成功获取有效脉冲信号的组数为X，求； （2）已知：若随机变量服从两点分布，且，则．试比较两种方案下，该望远镜成功捕获有效脉冲信号的组数的数学期望的大小，并说明理由． 高中2024级第二学年末教学质量测试 数学（A） 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷共4页；答题卡共6页．满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“准考证号”栏目内. 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 3．考试结束后将答题卡收回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】BD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填写在答题卡的横线上. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1），； （2）． 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）甲的等级为A，乙的等级为B，丙的等级为C （2）（或0.5） 【18题答案】 【答案】（1）当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 在上单调递减. （2）由（1）知，在上单调递减，当时，， 即，所以. 令，得. 由（1）知，当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以，即，所以. 令，得， 即. 因此有 ， 所以. （3）的最小值为1 【19题答案】 【答案】（1）（i）；（ii）； （2）两方案下期望一样；理由：记成功获取有效脉冲信号组数为， 设， 方案一：因为是有放回抽取，且，即，共种结果， 因此，则， 又，故， 方案二：无放回依次抽取，等价于从个编号中随机选个进行有序排列． 又因为任意指定第个位置，每一个编号出现该位置的概率都是， 故满足条件的编号共个，且这个编号每一个编号出现在该位置的概率都是， ∴仍然有，则， 又，故， 综上所述：两种方案下成功获取有效脉冲信号组数的数学期望相等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $