第三单元小数除法（讲义）-2026-2027学年五年级上册数学人教版

该小学数学《小数除法》单元复习讲义通过知识框架图系统梳理单元知识体系，涵盖小数除以整数、一个数除以小数等核心内容，用思维导图呈现转化、迁移等数学思想，通过对比表格区分商的大小变化规律与小数乘法的差异，清晰呈现重难点分布及内在联系。 讲义亮点在于练习设计贴近生活实际，如“包装礼盒需1.5米彩带，20米最多包几个”渗透去尾法，培养应用意识。易错指引针对小数点定位、商0占位等问题，提升运算能力。真题拔高题如循环小数分类、规律填数，发展推理意识。分层练习满足不同学生需求，助力教师精准教学。

第三单元 小数除法（单元举一反三讲义） 知识精讲 一、单元整体知识概述 1. 知识定位 《小数除法》是人教版五年级上册数学核心重点单元，承接整数除法、小数意义、小数乘法知识，是小学小数运算体系的收官内容。本单元突破整数除法的计算局限，完整建立小数四则运算体系，是后续小数四则混合运算、简易方程、多边形面积计算、百分数应用的重要基础。小数除法计算步骤多、规则细节多、逻辑严谨，重点培养学生精准的运算能力、规范书写习惯、逻辑推理能力，是小学阶段计算板块的重难点内容，也是小升初核心考点。 2. 核心学习内容 掌握小数除以整数的算理与完整计算步骤；掌握一个数除以小数的转化原理与计算法则；理解商的小数点定位核心规则；掌握被除数位数不足、有余数补0继续除的规范；熟练掌握商的大小变化规律；学会用四舍五入法求商的近似数；认识循环小数、有限小数、无限小数的概念与分类；掌握小数除法的验算方法；梳理单元核心算理、易混概念、书写规范与高频易错知识点。 3. 核心数学思想 转化思想：利用商不变规律，将陌生的小数除法全部转化为熟悉的整数除法计算；迁移思想：将整数除法的计算步骤、验算方法、余数规则迁移到小数除法；分类思想：对小数进行有限、无限、循环的系统分类；建模思想：固化小数除法通用计算模型、近似数取值模型、小数分类模型。 二、小数除法的数学意义 小数除法的意义与整数除法意义完全相同，是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。同时包含两大实际含义：一是平均分，把一个小数平均分成若干份，求每份是多少；二是包含除，求一个数里面包含多少个另一个数，适配小数场景下的均分、计量、对比问题。 三、小数除以整数 完整计算知识点 1. 通用计算法则 按照整数除法的方法进行计算；核心关键：商的小数点必须和被除数的小数点对齐，这是小数除法最核心、最基础的定点规则，贯穿所有小数除法计算。 2. 特殊计算规范 整数部分不够除时，商的整数位写0占位，点上小数点继续除；除到被除数末尾仍有余数时，在余数末尾补0继续除，小数末尾补0不改变被除数大小，符合小数的基本性质；计算过程中，哪一位不够商1，就在对应数位上写0占位，杜绝空位、漏位。 四、一个数除以小数 核心重难点 1. 转化核心依据 依据商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。利用该性质将除数是小数的除法，转化为除数是整数的除法，实现化未知为已知。 2. 标准化计算步骤 一看：观察除数有几位小数；二移：把除数和被除数的小数点同时向右移动相同的位数，使除数变成整数；三定：被除数位数不够时，在被除数末尾补0补足位数；四算：按照除数是整数的小数除法法则计算，严格对齐小数点。 3. 小数点移动核心规则 小数点移动位数只由除数的小数位数决定，与被除数小数位数无关，必须同时、同向、同位移动，禁止只移动除数小数点、不移动被除数小数点，或移动位数不一致。 五、商的大小变化规律（通用必考） 被除数不为0时，小数除法存在固定大小判定规律，可快速比较大小、自查计算结果正误，无需繁琐计算。 一个数（0除外）除以大于1的数，商小于被除数；一个数（0除外）除以等于1的数，商等于被除数；一个数（0除外）除以小于1的数（不为0），商大于被除数。 核心区分：小数乘法是乘大变大、乘小变小；小数除法是除大变小、除小变大，二者规律完全相反，是高频辨析考点。 六、商的近似数知识点 1. 取值前提 当小数除法除不尽、商的小数位数过多，或题目、生活场景有精度要求时，需要求取商的近似数。 2. 取值计算规则 求商的近似数时，不需要算出完整无限小数，只需比需要保留的小数位数多除出一位，再用四舍五入法取舍即可，简化计算步骤，避免无效计算。 3. 书写与精度规范 近似数末尾的0不能随意删除，末尾0代表保留的精度位数，删除后精度改变，属于格式错误；精准数与近似数要严格区分，近似数不可用等号绝对相等表述，取值后体现近似精度。 4. 生活特殊取值方法 除四舍五入外，生活场景根据实际需求使用进一法、去尾法：进一法用于装容器、租车、装箱等必须完整容纳的场景，无论尾数大小全部进1；去尾法用于做物品、裁剪材料等场景，剩余部分不足一份直接舍去。 七、循环小数与小数分类（概念重难点） 1. 基础概念定义 有限小数：小数部分的位数是有限的小数；无限小数：小数部分的位数是无限的小数；循环小数：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数，循环小数属于无限小数。 2. 循环节核心概念 循环小数的小数部分中，依次不断重复出现的一个或几个数字，叫做这个循环小数的循环节。循环节是循环小数的核心标识，是简写小数的依据。 3. 循环小数简写规范 只写出第一个循环节，在循环节的首位和末位数字上方标注小圆点；单个数字循环只点一个圆点，多位数字循环首尾各点一个圆点，禁止重复书写循环节、禁止随意简写。 4. 小数完整分类（小学阶段） 小数分为有限小数和无限小数两大类；无限小数包含无限循环小数和无限不循环小数；所有循环小数都是无限小数，但无限小数不一定是循环小数，无限不循环小数为特殊无理数（如π）。 八、小数除法验算规则 小数除法验算方法与整数除法完全一致，核心公式：商×除数=被除数（除尽无余数）；商×除数+余数=被除数（有余数除法）。验算可有效排查小数点错位、漏0、商0错误等计算问题，是规范答题的重要步骤。 易错指引 1. 小数点定位易错 计算时商的小数点未与被除数小数点对齐；移动小数点时，只改除数不改被除数，或移动位数不一致；被除数位数不足未补0，直接省略数位计算，导致数值偏差。 2. 商0占位易错 整数部分不够除未写0占位；中间某一位不够商1，漏写0占位，直接跳过数位计算；末尾补0不规范，余数未除尽随意终止计算。 3. 商的规律易错 混淆小数乘除数值变化规律，记反大小趋势；忽略被除数不为0的前提，错误判断0的除法结果；仅凭直觉判断商的大小，不依据除数与1的关系判定。 4. 近似数易错 求商的近似数时，不多除一位直接取舍，取值不准；去掉近似数末尾占位0，破坏精度；生活场景乱用四舍五入，不会区分进一法、去尾法的适用场景。 5. 循环小数概念易错 误认为无限小数就是循环小数、有限小数不是循环小数；循环节判定错误，找错重复数字；简写格式不规范，圆点标注位置错误；混淆小数分类层级，概念体系混乱。 6. 整体运算易错 小数除法计算步骤混乱，先化简后定点、顺序颠倒；有余数除法验算忘记加余数；忽略小数基本性质，补0、化简不规范，导致计算结果错误。 例题讲解 【例题】 1．把6米长的绳子平均剪成3段，每段长( )米，每段占全长的( )。 【答案】 2 【分析】求每段长度，用总长度除以段数；根据分数的意义，把总长度看作单位1，平均分成3份，取其中一份。 【详解】（米）； 把总长度看作单位1，平均分成3份，取其中一份，每段占全长的。 【例题】 2．包装一个礼盒需要1.5米彩带，现有20米彩带，最多可以包装( )个这样的礼盒。（提示：结合生活实际取整） 【答案】13 【分析】包装礼盒的数量彩带的总长度每个礼盒需要彩带的长度，余下的彩带不够包装一个礼盒时直接舍去，结果用去尾法取整数，据此解答。 【详解】（个）……（米） 所以包装一个礼盒需要米彩带，现有米彩带，最多可以包装个这样的礼盒。 【例题】 3．一盒丹麦曲奇500克要28.8元，一罐欧式风味曲奇800克要38.8元，买哪种曲奇饼干比较便宜？ 【答案】买欧式风味曲奇比较使宜。 【分析】单价＝总价÷数量，据此求出两种饼干的单价，再进行比较。 【详解】28.8÷500＝0.0576（元） 38.8÷800＝0.0485（元） 0.0576元＞0.0485元 答：买欧式风味曲奇比较使宜。 【点睛】本题考查小数除法的应用。根据“单价＝总价÷数量”即可列式计算。 【例题】 4．÷1.8≈5.3，如果准确的商是两位小数，则被除数最小是多少？最大是多少？ 【答案】最小是9.45，最大是9.612 【分析】要考虑5.3是一个两位数的近似数，有两种情况：“四舍”得到的5.3最大是5.34，“五入”得到的5.3最小是5.25，根据被除数＝除数×商，商最大时被除数则最大，商最小时则被除数最小，由此解答问题即可。 【详解】1.8×5.25＝9.45 1.8×5.34＝9.612 答：被除数最小是9.45，最大是9.612。 【点睛】取一个数的近似数，有两种情况：“四舍”得到的近似数比原数小，“五入”得到的近似数比原数大，根据题的要求灵活掌握解答方法。 真题拔高 二、填空题 5．4.13、4.1315…、、4.1313、中，有限小数是( )，无限小数是( )，循环小数是( )。 【答案】 4.13，4.1313； 4.1315…，， ， 【分析】有限小数指的是小数数位是有限的小数；无限小数指的是小数数位是无限的小数；如果无限小数从小数点后的某一位起一个数字或几个数字依次不断重复出现，则这样的小数就是循环小数，据此判断。 【详解】有限小数是：4.13，4.1313； 无限小数：4.1315…，，； 循环小数：，。 4.13、4.1315…、、4.1313、中，有限小数是4.13，4.1313；无限小数是4.1315…，，；循环小数是，。 6．按规律填数。 0.23，0.69，2.07，( )，( )，55.89，… 7.29，2.43，0.81，( )，( )，0.03，… 【答案】 6.21 18.63 0.27 0.09 【分析】观察前三个数0.23，0.69，2.07，发现前一个数乘3等于后一个数； 观察前三个数7.29，2.43，0.81，发现前一个数除以3等于后一个数。 【详解】2.07×3＝6.21 6.21×3＝18.63 即0.23，0.69，2.07，6.21，18.63，55.89，… 0.81÷3＝0.27 0.27÷3＝0.09 7.29，2.43，0.81，0.27，0.09，0.03，… 7．计算2.7÷3时，个位不够商1，商的整数部分就写( )占位。 【答案】0 【分析】除数是整数的小数除法法则：（1）按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐；（2）如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面补0，继续除。 【详解】2.7÷3＝0.9 所以计算2.7÷3时，个位不够商1，商的整数部分就写0占位。 8．填空。        【答案】见详解 【分析】除数是小数的小数除法：先移动除数的小数点使它变成整数，除数小数点向右移动几位，被除数的小数点也要向右移动几位，然后按照除数是整数的小数除法计算即可。据此先计算出两个除法的商，再结合被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变，解答即可。 【详解】如图： 9．1.4050505…的循环节是( )，把它保留两位小数约是( )。 【答案】 05 1.41 【分析】（1）一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节； （2）保留两位小数需要观察小数点后面第三位，用四舍五入法取近似数即可。 【详解】1.4050505…的循环节是（   05   ），把它保留两位小数约是（   1.41   ）。 【点睛】掌握小数取近似数的方法是解答此题的关键。 10．在解决“买4个同样的文具盒，一共花了30元，每个文具盒多少元”的问题时，方框里的5、28和20分别表示什么？ 【答案】0.5元；28元；2元 【分析】根据“单价＝总价÷数量”可知，30÷4求每个文具盒的钱数，即商表示文具盒的单价； 商7在个位上，表示7个一，即7元，与除数相乘所得的积是28，表示28个一，即28元； 商5在十分位上，表示5个0.1，即0.5元，与除数相乘所得的积是20，表示20个0.1，即2元；据此解答。 【详解】 11．观察下面各数哪些是循环小数，并把它们用简便方法表示出来。 （1）2.999…( )            （2）2.222222( ) （3）4.1333…( )        （4）5.1251212…( ) （5）0.647746…( )        （6）6.416416…( ) （7）5.02727…( )        （8）7.019201920…( ) （9）10.020020002…( ) 【答案】 不是 不是 不是 【分析】根据循环节的含义：小数部分依次不断的重复出现的数字，叫做循环节；循环小数的简便写法：写出第一个循环节，在循环节的首位和末位的上面各记一个小圆点，据此解答即可。 【详解】（1）2.999…＝                （2）2.222222   不是 （3）4.1333…＝         （4）5.1251212…＝ （5）0.647746…不是         （6）6.416416…＝ （7）5.02727…＝         （8）7.019201920…＝ （9）10.020020002…不是 【点睛】本题考查了循环小数的意义及循序小数的简便记法，应注意灵活运用。 12．根据1÷37＝，2÷37＝，3÷37＝，4÷37＝，则7÷37＝( )。 【答案】 【分析】以第一个算式为基础，每个算式除数不变，被除数分别扩大2倍，3倍，4倍，相应的商也扩大2倍，3倍，4倍，在算式7÷37中，除数不变，被除数扩大7倍，商扩大7倍，应是×7＝，据此解答即可。 【详解】 【点睛】本题考查用计算器探索规律，解答本题的关键是掌握算式的规律。 三、选择题 13．算式0.8÷4的商大致在图中的位置（    ）处。 A．a B．b C．C D．无法确定 【答案】A 【分析】除数是整数的小数除法，按照整数除法的法则进行计算，商的小数点要和被除数的小数点对齐，如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面添0再继续除；据此计算出0.8÷4的结果，再判断即可。 【详解】0.8÷4＝0.2 0＜0.2＜0.5＜1 算式0.8÷4的商大致在图中的位置a处。 故答案为：A 14．修路队修一条乡村公路，前12天修了2.4千米，后15天修了4.5千米，修完这条路平均每天修多少千米？正确的列式是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】实际上求的是工作效率，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，即可得到答案。 【详解】A．实际上求的是前12天每天修多少千米； B．实际上求的是后15天每天修多少千米； C．求的是前12天每天修多少千米加上后15天每天修多少千米，再求平均，与问题不符； D．用工作总量÷工作时间得到的就是修完这条路平均每天修多少千米。 故答案为：D 【点睛】灵活运用工作总量、工作时间和工作效率之间的关系。 15．下面算式中结果大于1的是（    ）。 A．0.96×0.2 B．1÷0.96 C．7.8÷20 D．0.37÷0.48 【答案】B 【分析】根据小数乘除法的计算方法求出值即可选择。 【详解】A．0.96×0.2＝0.192，0.192＜1； B．1÷0.96≈1.04，1.04＞1； C．7.8÷20＝0.39，0.39＜1； D．0.37÷0.48≈0.77，0.77＜1； 故答案为：B 【点睛】本题主要考查小数乘除法的计算方法。 16．妈妈买了20个砂糖桔共重0.9千克，如果买12千克这样的砂糖桔，大约有（    ）。 A．250个以上 B．不到100个 C．180多个 D．不到150个 【答案】A 【分析】买了20个砂糖桔共重0.9千克，先用砂糖桔的总质量除以总个数，求出每个砂糖桔的平均质量；买12千克这样的砂糖桔，再用总质量除以每个砂糖桔的平均质量，求出12千克这样的砂糖桔大约的个数，个数必须是整数，因此结果用四舍五入法保留整数，据此解答。 【详解】0.9÷20＝0.045（千克） 12÷0.045≈267（个） 267＞250 因此买12千克这样的砂糖桔，大约有250个以上。 故答案为：A 17．如图竖式中用方框圈出的“30”表示（    ）。 A．30个一 B．30个十分之一 C．30个百分之一 D．30个千分之一 【答案】C 【分析】观察竖式，先判断出“30”对应的是小数的哪几个数位，再判断出其表示几分之一即可。 【详解】“30”对应的是小数的十分位和百分位，所以它表示30个百分之一。 故答案为：C 【点睛】本题考查了小数除法，明确小数的意义和小数除法的计算法则是解题的关键。 四、判断题 18．买3支圆珠笔用去7.5元，买这样6支圆珠笔要用去15元。( ) 【答案】√ 【分析】先根据单价＝总价÷数量，用3支圆珠笔的总价除以3，求出圆珠笔的单价，再根据总价＝单价×数量，用一支圆珠笔的单价乘6，求出6支圆珠笔的总价，再与15元进行比较即可解答。 【详解】7.5÷3×6 ＝2.5×6 ＝15（元） 15元＝15元 买3支圆珠笔用去7.5元，买这样6支圆珠笔要用去15元，原题说法正确。 故答案为：√ 19．5.3333是循环小数。( ) 【答案】× 【分析】小数分为有限小数和无限小数，有限小数的数位是有限的，无限小数的数位是无限的，无限小数分两种：一种是循环小数，即一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或多个数字依次不断重复出现，这样的数叫作循环小数；另一种是无限不循环小数，即无限不循环小数指小数点后有无限个数位，但没有周期性的重复或者说没有规律的小数。据此判断。 【详解】5.3333的数位是有限的，所以5.3333是有限小数，不是循环小数。 故答案为：× 20．列竖式计算时，商的小数点要和被除数的小数点对齐。( ) 【答案】√ 【分析】除数是整数和除数是小数的小数除法的计算过程中商的小数点都要和被除数的小数点对齐。 【详解】列竖式计算时，如果除数是整数，商的小数点直接和被除数的小数点位置对齐；列竖式计算时，如果除数是小数，先移动除数小数点使它变成整数，除数小数点就向右移动几位被除数的小数点也向右移动几位，商的小数点和被除数小数点位置对齐。 故答案为：√ 【点睛】本题考查小数除法的计算方法，商的小数点要和被除数的小数点对齐。 21．。( ) 【答案】× 【分析】4÷6，得到的商是循环小数，循环节是6，按照书画格式，可以写成，据此解答。 【详解】 故原题写法错误。 【点睛】当商为循环小数时，要注意书写格式，可以写成等于这个循环小数，一般没有特别说明的，可以保留两位小数，写成4÷6≈0.67的形式。 22．4.6＋5.4×0.35＝10×0.35＝3.5。( ) 【答案】× 【分析】四则运算分为两级。加法、减法叫做第一级运算，乘法、除法叫做第二级运算。 （1）在一个没有括号的算式里，如果只含同一级运算，按照从左往右的顺序依次计算；如果含有两级运算，要先算第二级运算（乘除法），再算第一级运算（加减法）。 （2）在一个有括号的算式里，要先算小括号里的，再算中括号里的，最后算括号外的。 4.6＋5.4×0.35，应该先算乘法，再算加法，据此分析。 【详解】4.6＋5.4×0.35＝4.6＋1.89＝6.49，原题计算错误。 故答案为：× 五、计算题 23．口算。                           【答案】13；0.3；0；0.42； 4；12；2.18；9.25 【详解】略 六、解答题 24．默默在计算小数乘法算式时，把其中一个因数1.7看成是17，计算结果比实际结果大19.89，那么正确的乘积应该是多少？ 【答案】2.21 【分析】把其中一个因数1.7看成是17，相当于将这个因数扩大到原来的10倍，积也跟着扩大到原来的10倍，用计算结果÷对应倍数即可。 【详解】19.89÷（10－1） ＝19.89÷9 ＝2.21 答：正确的乘积应该是2.21。 【点睛】关键是掌握积的变化规律，找到差和对应倍数。 25．循环小数的小数部分前500个数字之和是多少？ 【答案】3325 【分析】首先明确循环节是358978，非循环部分是2。500减去非循环位，500−1＝499，然后再除循环节位数，499÷6≈83组⋯⋯1个（余数1为循环节的第一位3），循环部分之和为：（3＋5＋8＋9＋7＋8）×83＝3320，循环至500个数字后，最后循环到数字3，最后将循环节数字的和与非循环位2和循环位3相加可得结果。 【详解】500减非循环部分的数位等于499，499除循环节的长度6可得循环的次数和余下的数字个数，499÷6≈83组⋯⋯1个，说明循环部分循环了83组余1位（余数1为循环节的第一位3），循环部分数字和为： （3＋5＋8＋9＋7＋8）×83 （3＋5＋8＋9＋7＋8）×83    ＝（8＋8＋9＋7＋8）×83 ＝（16＋9＋7＋8）×83 ＝（25＋7＋8）×83 ＝（32＋8）×83 ＝40×83 ＝3320 前500 个数字之和为 2＋3＋3320＝3325。 答：前500个数字之和是3325。 26．请你提出两个数学问题，并尝试解答。 【答案】1、编1个大“中国结”需要用多少米的红线？答案：1.3米 2、编1个小“中国结”需要用多少米的红线？答案：0.68米 【分析】编1个大“中国结”需要用多少米的红线？用总长5.2米除以编的个数4个进行解答即可； 编1个小“中国结”需要用多少米的红线？用总长8.16米除以编的个数12个进行解答即可。 【详解】1、编1个大“中国结”需要用多少米的红线？ 5.2÷4＝1.3（米） 答：编1个大“中国结”需要用1.3米的红线。 2、编1个小“中国结”需要用多少米的红线？ 8.16÷12＝0.68（米） 答：编1个小“中国结”需要用0.68米的红线。 （答案不唯一） 27．一个水池能装8吨水，水池里装有一个进水管和一个出水管。两管齐开，20分钟能把一池水放完。已知进水管每分钟往池里进水0.8吨，求出水管每分钟放水多少吨？ 【答案】1.2吨 【分析】根据题意可知：出水管20分钟出的水是原来水池的水＋20分钟内进的水，据此解答即可。 【详解】（8＋20×0.8）÷20 ＝24÷20 ＝1.2（吨） 答：出水管每分钟放水1.2吨。 【点睛】本题考查的是工程问题。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 小数除法（单元举一反三讲义） 知识精讲 一、单元整体知识概述 1. 知识定位 《小数除法》是人教版五年级上册数学核心重点单元，承接整数除法、小数意义、小数乘法知识，是小学小数运算体系的收官内容。本单元突破整数除法的计算局限，完整建立小数四则运算体系，是后续小数四则混合运算、简易方程、多边形面积计算、百分数应用的重要基础。小数除法计算步骤多、规则细节多、逻辑严谨，重点培养学生精准的运算能力、规范书写习惯、逻辑推理能力，是小学阶段计算板块的重难点内容，也是小升初核心考点。 2. 核心学习内容 掌握小数除以整数的算理与完整计算步骤；掌握一个数除以小数的转化原理与计算法则；理解商的小数点定位核心规则；掌握被除数位数不足、有余数补0继续除的规范；熟练掌握商的大小变化规律；学会用四舍五入法求商的近似数；认识循环小数、有限小数、无限小数的概念与分类；掌握小数除法的验算方法；梳理单元核心算理、易混概念、书写规范与高频易错知识点。 3. 核心数学思想 转化思想：利用商不变规律，将陌生的小数除法全部转化为熟悉的整数除法计算；迁移思想：将整数除法的计算步骤、验算方法、余数规则迁移到小数除法；分类思想：对小数进行有限、无限、循环的系统分类；建模思想：固化小数除法通用计算模型、近似数取值模型、小数分类模型。 二、小数除法的数学意义 小数除法的意义与整数除法意义完全相同，是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。同时包含两大实际含义：一是平均分，把一个小数平均分成若干份，求每份是多少；二是包含除，求一个数里面包含多少个另一个数，适配小数场景下的均分、计量、对比问题。 三、小数除以整数 完整计算知识点 1. 通用计算法则 按照整数除法的方法进行计算；核心关键：商的小数点必须和被除数的小数点对齐，这是小数除法最核心、最基础的定点规则，贯穿所有小数除法计算。 2. 特殊计算规范 整数部分不够除时，商的整数位写0占位，点上小数点继续除；除到被除数末尾仍有余数时，在余数末尾补0继续除，小数末尾补0不改变被除数大小，符合小数的基本性质；计算过程中，哪一位不够商1，就在对应数位上写0占位，杜绝空位、漏位。 四、一个数除以小数 核心重难点 1. 转化核心依据 依据商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。利用该性质将除数是小数的除法，转化为除数是整数的除法，实现化未知为已知。 2. 标准化计算步骤 一看：观察除数有几位小数；二移：把除数和被除数的小数点同时向右移动相同的位数，使除数变成整数；三定：被除数位数不够时，在被除数末尾补0补足位数；四算：按照除数是整数的小数除法法则计算，严格对齐小数点。 3. 小数点移动核心规则 小数点移动位数只由除数的小数位数决定，与被除数小数位数无关，必须同时、同向、同位移动，禁止只移动除数小数点、不移动被除数小数点，或移动位数不一致。 五、商的大小变化规律（通用必考） 被除数不为0时，小数除法存在固定大小判定规律，可快速比较大小、自查计算结果正误，无需繁琐计算。 一个数（0除外）除以大于1的数，商小于被除数；一个数（0除外）除以等于1的数，商等于被除数；一个数（0除外）除以小于1的数（不为0），商大于被除数。 核心区分：小数乘法是乘大变大、乘小变小；小数除法是除大变小、除小变大，二者规律完全相反，是高频辨析考点。 六、商的近似数知识点 1. 取值前提 当小数除法除不尽、商的小数位数过多，或题目、生活场景有精度要求时，需要求取商的近似数。 2. 取值计算规则 求商的近似数时，不需要算出完整无限小数，只需比需要保留的小数位数多除出一位，再用四舍五入法取舍即可，简化计算步骤，避免无效计算。 3. 书写与精度规范 近似数末尾的0不能随意删除，末尾0代表保留的精度位数，删除后精度改变，属于格式错误；精准数与近似数要严格区分，近似数不可用等号绝对相等表述，取值后体现近似精度。 4. 生活特殊取值方法 除四舍五入外，生活场景根据实际需求使用进一法、去尾法：进一法用于装容器、租车、装箱等必须完整容纳的场景，无论尾数大小全部进1；去尾法用于做物品、裁剪材料等场景，剩余部分不足一份直接舍去。 七、循环小数与小数分类（概念重难点） 1. 基础概念定义 有限小数：小数部分的位数是有限的小数；无限小数：小数部分的位数是无限的小数；循环小数：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数，循环小数属于无限小数。 2. 循环节核心概念 循环小数的小数部分中，依次不断重复出现的一个或几个数字，叫做这个循环小数的循环节。循环节是循环小数的核心标识，是简写小数的依据。 3. 循环小数简写规范 只写出第一个循环节，在循环节的首位和末位数字上方标注小圆点；单个数字循环只点一个圆点，多位数字循环首尾各点一个圆点，禁止重复书写循环节、禁止随意简写。 4. 小数完整分类（小学阶段） 小数分为有限小数和无限小数两大类；无限小数包含无限循环小数和无限不循环小数；所有循环小数都是无限小数，但无限小数不一定是循环小数，无限不循环小数为特殊无理数（如π）。 八、小数除法验算规则 小数除法验算方法与整数除法完全一致，核心公式：商×除数=被除数（除尽无余数）；商×除数+余数=被除数（有余数除法）。验算可有效排查小数点错位、漏0、商0错误等计算问题，是规范答题的重要步骤。 易错指引 1. 小数点定位易错 计算时商的小数点未与被除数小数点对齐；移动小数点时，只改除数不改被除数，或移动位数不一致；被除数位数不足未补0，直接省略数位计算，导致数值偏差。 2. 商0占位易错 整数部分不够除未写0占位；中间某一位不够商1，漏写0占位，直接跳过数位计算；末尾补0不规范，余数未除尽随意终止计算。 3. 商的规律易错 混淆小数乘除数值变化规律，记反大小趋势；忽略被除数不为0的前提，错误判断0的除法结果；仅凭直觉判断商的大小，不依据除数与1的关系判定。 4. 近似数易错 求商的近似数时，不多除一位直接取舍，取值不准；去掉近似数末尾占位0，破坏精度；生活场景乱用四舍五入，不会区分进一法、去尾法的适用场景。 5. 循环小数概念易错 误认为无限小数就是循环小数、有限小数不是循环小数；循环节判定错误，找错重复数字；简写格式不规范，圆点标注位置错误；混淆小数分类层级，概念体系混乱。 6. 整体运算易错 小数除法计算步骤混乱，先化简后定点、顺序颠倒；有余数除法验算忘记加余数；忽略小数基本性质，补0、化简不规范，导致计算结果错误。 例题讲解 【例题】 1．把6米长的绳子平均剪成3段，每段长( )米，每段占全长的( )。 【例题】 2．包装一个礼盒需要1.5米彩带，现有20米彩带，最多可以包装( )个这样的礼盒。（提示：结合生活实际取整） 【例题】 3．一盒丹麦曲奇500克要28.8元，一罐欧式风味曲奇800克要38.8元，买哪种曲奇饼干比较便宜？ 【例题】 4．÷1.8≈5.3，如果准确的商是两位小数，则被除数最小是多少？最大是多少？ 真题拔高 二、填空题 5．4.13、4.1315…、、4.1313、中，有限小数是( )，无限小数是( )，循环小数是( )。 6．按规律填数。 0.23，0.69，2.07，( )，( )，55.89，… 7.29，2.43，0.81，( )，( )，0.03，… 7．计算2.7÷3时，个位不够商1，商的整数部分就写( )占位。 8．填空。        9．1.4050505…的循环节是( )，把它保留两位小数约是( )。 10．在解决“买4个同样的文具盒，一共花了30元，每个文具盒多少元”的问题时，方框里的5、28和20分别表示什么？ 11．观察下面各数哪些是循环小数，并把它们用简便方法表示出来。 （1）2.999…( )            （2）2.222222( ) （3）4.1333…( )        （4）5.1251212…( ) （5）0.647746…( )        （6）6.416416…( ) （7）5.02727…( )        （8）7.019201920…( ) （9）10.020020002…( ) 12．根据1÷37＝，2÷37＝，3÷37＝，4÷37＝，则7÷37＝( )。 三、选择题 13．算式0.8÷4的商大致在图中的位置（    ）处。 A．a B．b C．C D．无法确定 14．修路队修一条乡村公路，前12天修了2.4千米，后15天修了4.5千米，修完这条路平均每天修多少千米？正确的列式是（    ）。 A． B． C． D． 15．下面算式中结果大于1的是（    ）。 A．0.96×0.2 B．1÷0.96 C．7.8÷20 D．0.37÷0.48 16．妈妈买了20个砂糖桔共重0.9千克，如果买12千克这样的砂糖桔，大约有（    ）。 A．250个以上 B．不到100个 C．180多个 D．不到150个 17．如图竖式中用方框圈出的“30”表示（    ）。 A．30个一 B．30个十分之一 C．30个百分之一 D．30个千分之一 四、判断题 18．买3支圆珠笔用去7.5元，买这样6支圆珠笔要用去15元。( ) 19．5.3333是循环小数。( ) 20．列竖式计算时，商的小数点要和被除数的小数点对齐。( ) 21．。( ) 22．4.6＋5.4×0.35＝10×0.35＝3.5。( ) 五、计算题 23．口算。                           六、解答题 24．默默在计算小数乘法算式时，把其中一个因数1.7看成是17，计算结果比实际结果大19.89，那么正确的乘积应该是多少？ 25．循环小数的小数部分前500个数字之和是多少？ 26．请你提出两个数学问题，并尝试解答。 27．一个水池能装8吨水，水池里装有一个进水管和一个出水管。两管齐开，20分钟能把一池水放完。已知进水管每分钟往池里进水0.8吨，求出水管每分钟放水多少吨？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $