第六单元多边形的面积（讲义）-2026-2027学年五年级上册数学人教版

该小学数学《多边形的面积》单元复习讲义以转化思想为核心搭建知识体系，通过思维导图呈现平行四边形、三角形、梯形的面积推导脉络，对比表格梳理三类图形公式、底高对应关系及图形规律，清晰呈现重难点与内在联系。 讲义亮点在于“转化思想贯穿练习设计”，如例题中梯形转化为平行四边形求面积，培养几何直观；真题拔高题中图形旋转转化的推理，发展推理意识。易错指引针对底高对应等高频错误，分层例题和真题满足不同学生需求，助力教师实施精准复习教学。

第六单元 多边形的面积（单元举一反三讲义） 知识精讲 一、单元整体知识概述 1. 知识定位 《多边形的面积》是人教版五年级上册几何核心重点单元，承接三年级长方形、正方形面积知识，系统学习平行四边形、三角形、梯形三类直线平面图形的面积计算，同时涵盖组合图形、不规则图形面积估算。本单元全程依托转化思想搭建几何计算体系，是小学平面几何面积计算的收官核心内容，也是后续立体图形表面积、体积计算，初中几何图形面积推导、几何证明的重要前置基础，是小学阶段数形结合、几何建模思维的重点培养单元。 2. 核心学习内容 掌握平行四边形、三角形、梯形的底和高的定义、识别与画法；理解三类图形面积公式的完整推导过程与转化原理；熟记标准面积字母公式及所有逆向推导公式；掌握等底等高图形的面积变化规律；理解图形拉伸、切割、拼接后的周长与面积变化特征；掌握组合图形的拆分、添补计算逻辑；掌握不规则图形的面积估算方法；梳理单元核心重难点、易混概念、公式易错点与图形规律。 3. 核心数学思想 转化思想：将未知多边形通过割补、拼接、平移转化为已知的长方形、平行四边形，化未知为已知；数形结合思想：依托底、高的量化数据计算图形面积，实现图形特征与数值计算结合；建模思想：建立基础图形、组合图形标准化面积计算模型；守恒思想：理解图形切割拼接面积守恒、拉伸变形周长守恒的核心规律。 二、多边形底与高的通用核心知识点 1. 高的通用定义 从多边形一条底边对应的顶点或对边，向这条底边作垂直的线段，这条垂直线段就是该底边对应的高。高与对应的底边必须互相垂直，每条底边都有对应的唯一标准高，底和高具备严格的一一对应关系，是面积计算的核心前提。 2. 三类图形高的特征 平行四边形：有无数条高，两组对边分别对应两组等高，同一组底边对应的高长度完全相等；三角形：每条底边对应一条高，共三条高，锐角三角形三条高在图形内部，直角三角形两条直角边互为底和高，钝角三角形两条高在图形外部；梯形：有无数条高，所有高的长度全部相等，上下底之间的垂直距离为梯形的固定高。 3. 画高通用规范 用三角板直角边对齐指定底边，平移三角板使另一条直角边对准对应顶点或对边，画出垂直虚线，标注直角符号、底和高，高优先画虚线，保证作图规范、垂直关系明确。 三、平行四边形的面积知识点 1. 公式推导原理 采用割补平移法，沿着平行四边形的任意一条高剪开，将一侧三角形或梯形平移拼接，可完美转化为一个长方形。拼接后的长方形长等于平行四边形的底，长方形宽等于平行四边形的高，依托长方形面积公式推导得出平行四边形面积公式，整个过程图形面积保持不变。 2. 标准公式与逆向公式 面积公式：平行四边形面积=底×高，字母公式：S=ah；逆向推导公式：底=面积÷高（a=S÷h），高=面积÷底（h=S÷a），所有公式必须满足底和高相互对应。 3. 核心图形规律 等底等高的平行四边形，面积一定相等，形状可以不同；平行四边形拉伸变形：将长方形拉成平行四边形，四条边长度不变，周长不变，高变小，面积随之变小；平行四边形拉回长方形，周长不变，高变大，面积变大。 四、三角形的面积知识点 1. 公式推导原理 采用拼接法，将两个完全一样（形状相同、大小相等）的三角形，通过旋转、平移可以拼成一个平行四边形。拼成的平行四边形的底等于三角形的底，平行四边形的高等于三角形的高，单个三角形的面积是拼成平行四边形面积的一半，由此推导得出三角形面积公式。 2. 标准公式与逆向公式 面积公式：三角形面积=底×高÷2，字母公式：S=ah÷2；逆向推导公式：底=面积×2÷高（a=2S÷h），高=面积×2÷底（h=2S÷a）。三角形面积计算必须固定除以2，逆向计算必须先乘2再计算底或高，是区别于平行四边形的核心特征。 3. 核心图形规律 等底等高的三角形，面积一定相等，形状可以不同；同一个三角形，任意一组对应底和高计算出的面积完全相等；三角形的面积是等底等高平行四边形面积的一半。 五、梯形的面积知识点 1. 公式推导原理 采用拼接法，将两个完全一样的梯形，通过旋转、平移拼接成一个平行四边形。拼成的平行四边形的底等于梯形上底与下底的和，平行四边形的高等于梯形的高，单个梯形面积是拼成平行四边形面积的一半，据此推导梯形面积公式。 2. 标准公式与逆向公式 面积公式：梯形面积=（上底+下底）×高÷2，字母公式：S=(a+b)h÷2；逆向推导公式：上下底之和=面积×2÷高，高=面积×2÷（上底+下底），已知和可分别求上底、下底。 3. 核心图形规律 上下底之和相等、高相等的梯形，面积相等，形状可以不同；梯形变形过程中，只要上下底的和与高不变，面积保持恒定；梯形面积公式可统一概括三角形、长方形、平行四边形面积规律，是通用性最强的平面图形面积公式。 六、三类基础图形面积规律整合对比 平行四边形无除以2，三角形、梯形必须除以2；等底等高前提下，面积大小关系：平行四边形面积=2×三角形面积，梯形面积根据上下底长度介于二者之间；所有图形面积计算的核心前提均为底高对应，不对应底高无法计算正确面积；切割拼接只改变图形形状，不改变图形总面积；拉伸变形只改变高与面积，不改变周长。 七、组合图形面积知识点 1. 组合图形定义 由两个或两个以上长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形等基础图形组合拼接、重叠镂空形成的复杂图形，统称为组合图形，无固定公式，依托拆分、添补思想计算。 2. 两种核心计算方法 分割法（加法）：将复杂组合图形合理分割成若干个可计算的基础图形，分别算出每个基础图形面积，相加求和得到总面积，分割遵循简洁、易算、数据齐全的原则；添补法（减法）：将不规则组合图形补全为完整的大规则图形，用大图形面积减去补充部分的空白图形面积，得到原图形面积。 3. 计算核心原则 优先选择分割少、数据齐全、计算简便的拆分或添补方式；分割无重复、无遗漏，添补区域精准对应空白部分，保证总面积计算准确。 八、不规则图形面积估算知识点 1. 数方格估算法 在方格纸中统计不规则图形面积，完整占据的方格记为整格，不满一格的全部按半格计算，总面积=整格数+不满格数÷2，估算结果为近似值，无需精准取值。 2. 近似转化估算法 将轮廓不规则的图形，近似看成相近的规则多边形，套用对应规则图形面积公式估算面积，适用于轮廓规整、偏差较小的不规则图形。 易错指引 1. 底高对应易错 不区分对应底和高，随意搭配数据计算面积；混淆三角形、梯形内外高，误用非垂直线段当作高；画高不垂直、不标注直角符号，作图不规范。 2. 公式使用易错 三角形、梯形面积计算遗漏除以2，是最高频错误；逆向求底、求高时忘记先乘2，公式变形混乱；混淆三类图形公式，错用平行四边形公式计算三角形、梯形面积。 3. 图形规律易错 误认为周长不变面积就不变，忽略拉伸变形的面积变化；误以为形状相同面积才相等，忽略等底等高面积相等的规律；混淆拼接、拉伸、切割的变化特征，分不清周长、面积变与不变。 4. 组合图形易错 分割图形重复计算、遗漏部分区域；添补法找错空白图形尺寸；拆分后部分基础图形缺少对应计算数据，强行计算；不会灵活切换分割法与添补法，计算繁琐易出错。 5. 概念认知易错 误认为三角形面积是平行四边形面积的一半，忽略等底等高前提；误认为高越长面积越大，忽略底的制约条件；误认为梯形上下底变化面积一定变化，忽略高和的整体关系。 例题讲解 【例题】 1．一块正方形苗圃的面积是1公顷，现在要扩建这块苗圃，把它的边长增加到300米，扩建后的苗圃面积增加了( )公顷。 【答案】8 【分析】根据正方形面积＝边长×边长，用300×300，求出扩建后苗圃的面积是多少平方米，再根据1公顷＝10000平方米，将扩建后苗圃的面积换算成公顷，再用扩建后苗圃的面积减去原来苗圃的面积，即可求出扩建后苗圃的面积增加了多少公顷。 【详解】300×300＝90000（平方米） 90000平方米＝9公顷 9公顷－1公顷＝8公顷 一块正方形苗圃的面积是1公顷，现在要扩建这块苗圃，把它的边长增加到300米，扩建后的苗圃面积增加了8公顷。 【例题】 2．填写合适的面积单位。 桂林市全州县有着“广西北大门”的美誉，总面积约为4021( )；被称为“楚南第一名刹”的湘山寺景区，建筑面积约为2( )。 【答案】 平方千米/km2 公顷/hm2 【分析】常见的面积单位有平方厘米、平方分米、平方米、公顷、平方千米等，其中1平方千米＝100公顷，1公顷＝10000平方米，1平方米＝100平方分米，1平方分米＝100平方厘米。根据生活常识和对不同面积单位大小的理解，结合所描述物体的实际情况，选择合适的面积单位。 【详解】全州县是县级行政区，县级区域总面积通常较大，常用平方千米作为面积单位，因此填全州县总面积约为4021平方千米（km2）。 湘山寺景区的建筑面积属于中等规模，公顷是计量稍大面积的常用单位（1公顷＝10000平方米），2公顷符合景区建筑面积的实际情况，因此湘山寺景区建筑面积约为2公顷（hm2）。 【例题】 3．为优化阅读环境，学校按下面的平面示意图扩建图书馆，新图书馆藏书区的面积共有多少平方米？ 【答案】1080平方米 【分析】把藏书区的平面示意图分成两个长方形，左边长方形的长是37米、宽是18米，右边长方形的长是23米、宽是18米，再分别计算面积并求和。 【详解】37×18＋23×18 ＝18×（37＋23） ＝18×60 ＝1080（平方米） 答：新图书馆藏书区的面积共有1080平方米。 【例题】 4．一个梯形的下底是10厘米，把它的上底一端延长6厘米，就成为一个面积是30平方厘米的平行四边形。原来梯形的面积是多少平方厘米？ 【答案】 21 平方厘米 【分析】把梯形的上底延长6厘米后变成一个平行四边形，说明平行四边形的底等于梯形的下底，且延长的长度等于梯形下底与上底的差。由此可求出梯形的上底。已知平行四边形的面积和底（即梯形的下底），根据平行四边形面积公式可求出高，该高也是梯形的高。最后利用梯形面积公式计算原来梯形的面积。 【详解】梯形的上底：（厘米） 梯形的高：（厘米） 梯形的面积： ＝ ＝21（平方厘米） 答：原来梯形的面积是 21 平方厘米。 真题拔高 二、填空题 5．一个平行四边形和一个三角形等底、等高。已知平行四边形的面积是48平方厘米，三角形的面积是( )平方厘米。 【答案】24 【分析】等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍，平行四边形面积÷2＝三角形面积。 【详解】48÷2＝24（平方厘米） 6．把梯形沿线段AB剪开，如下图，图形ABCD绕B点( )时针旋转( )°后，将梯形转化为平行四边形。平行四边形的底和原来梯形的( )相等。平行四边形的高和原来梯形的( )相等。 【答案】 逆/顺 180 上下底之和 高的一半 【分析】要让剪开的上半部分图形和下半部分梯形拼接成完整的平行四边形，需要将上半部分绕B点顺时针旋转180°或逆时针旋转180°，这样原本朝上的梯形上底就可以和下半部分梯形的下底处在同一条水平线上。拼接完成后，平行四边形的底的总长度，刚好等于原梯形的上底长度加下底长度，因此平行四边形的底和原来梯形的上下底之和相等。线段AB是平行于梯形上下底、位于梯形高度中点位置的线段，拼接之后平行四边形的高度，刚好是原梯形总高度的一半，因此平行四边形的高和原来梯形的高的一半相等。 【详解】把梯形沿线段AB剪开，如下图，图形ABCD绕B点顺时针旋转180°或逆时针旋转180°后，将梯形转化为平行四边形。平行四边形的底和原来梯形的上下底之和相等。平行四边形的高和原来梯形的高的一半相等。 7．250千克＝( )吨       15分＝( )小时        200平方米 ＝( )公顷 【答案】 0.25 0.25 0.02 【分析】（1）1吨＝1000千克，小单位换算成大单位除以1000。 （2）1小时＝60分，小单位换算成大单位除以60。 （3）1公顷＝10000平方米，小单位换算成大单位除以10000。 【详解】（1） 250千克＝吨   （2） 15分＝小时   （3） 200平方米＝公顷 8．七巧板又称七巧图、智慧板，是一种古老的中国传统智力玩具。小明用其中6块先拼了一个“帐篷”（如图1），又用7块拼了一只袋鼠（如图2），如果“帐篷”的面积为140平方厘米。那么“袋鼠”的面积是( )平方厘米。 【答案】 【分析】设七巧板中最小的三角形面积为份，观察发现正方形、平行四边形、中三角形各占份，大三角形各占份，数一数帐篷有几份，面积是平方厘米，用除法求出份的面积。袋鼠用了全部块，比帐篷多了块中三角形。也就是多了份的面积，据此求出袋鼠面积。 【详解】（份） （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 9．如图，一个由细木条钉成的长方形框，长10厘米、宽6厘米，它的面积是( )平方厘米。如果把它拉成一个平行四边形，高4厘米，平行四边形的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 【答案】 【分析】长方形的面积长宽，长方形的周长（长宽）；由长方形拉成平行四边形，平行四边形的周长和长方形的周长相等。平行四边形的面积＝底高，观察发现是以长方形的长为底。据此计算。 【详解】（平方厘米） （厘米） （平方厘米） 10．如图中，三角形ABC的面积为15cm2，已知AD＝2AB，AE＝3AC，那么△ADE的面积是( )cm2。 【答案】90 【分析】已知AD＝2AB，说明AB＝BD，连接CD，因为在△ABC和△BDC中，AB＝BD且高相等，所以△ABC和△BDC的面积相等；在△ADC和△CDE中，AE＝3AC，说明EC＝（3－1）AC，也就是EC＝2AC，高相等，所以△CDE的面积也是△ADC的2倍，将△ABC的面积看作1份，△BDC的面积也是一份，△ADC的面积为2份，△CDE的面积为2×2＝4（份），△ADE为2＋4＝6（份），据此可算出△ADE的面积。 【详解】 连接CD，已知AD＝2AB，说明AB＝BD，在△ABC和△BDC中，等底等高，所以△ABC和△BDC的面积相等； 因为AE＝3AC 3－1＝2，所以EC＝2AC 在△ADC和△CDE中EC＝2AC，高相等，所以△CDE的面积也是△ADC的2倍 将△ABC的面积看作1份，△BDC的面积也是一份，△ADC的面积为2份，△CDE的面积为2×2＝4（份），△ADE为2＋4＝6（份） △ADE的面积：15×6＝90（cm2） 11．光明欢乐田园占地面积约为3800000平方米，横线上的数读作( )，改写成以“万”作单位的数是( )万平方米，合( )平方千米。 【答案】 三百八十万 【分析】读数时先分级，从右往左每4位为一级，先读万级再读个级，万级按个级读法，读完加“万”字，末尾有0都不读，中间连续多个0只读一个。改写成以“万”作单位的数，只需去掉末尾的4个0并加上“万”字。平方米换算成平方千米，需除以进率1000000 。 【详解】（1）将3800000分级，万级是380 ，个级是0000，读作三百八十万。 （2）去掉3800000末尾的4个0 ，得到380，即3800000＝380万。 （3）已知1平方千米＝1000000平方米 ，3800000÷1000000＝3.8，所以合3.8平方千米。 12．如图中，三角形ABC的底是4分米，高是2分米，面积是( )平方分米，平行四边形BCDE的面积是( )平方分米。 【答案】 4 8 【分析】由图可知，平行四边形与三角形等底等高。三角形面积＝底×高÷2，平行四边形面积＝底×高。 【详解】三角形面积：4×2÷2 ＝8÷2 ＝4（平方分米） 平行四边形面积：4×2＝8（平方分米） 三、选择题 13．下图由两个边长分别为4cm、3cm的正方形组成，在三角形ABC中，底边AC上的高是（    ）。 A．1cm B．3cm C．4cm 【答案】B 【分析】观察图形可得：两个正方形底边对齐，AC是小正方形的顶边，是水平线段，和正方形底边平行，顶点B在整个图形的左下角底边上。AC所在直线到正方形底边的垂直距离，就是小正方形的边长，也就是3cm，因此AC边上的高就是3cm。 【详解】下图由两个边长分别为4cm、3cm的正方形组成，在三角形ABC中，底边AC上的高是3cm。 14．下图三角形中，与底AB对应的高是（    ）。 A．CE B．AF C．BD 【答案】A 【分析】从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底，题中底AB对应的顶点是C，与底AB对应的高是CE。 【详解】三角形中，与底AB对应的高是CE。 15．下图中每个小方格表示1平方厘米，估计一下，图中树叶的面积最接近（    ）平方厘米。 A．14 B．22 C．34 【答案】B 【分析】用数方格的方法估计树叶的面积。先数整格的，再数不满整格的，不满整格的按半格计算，最后把两者加起来。 【详解】 整格有：16个；不满整格有12个 16＋12÷2 ＝16＋6 ＝22（平方厘米） 故答案为：B 16．如下图，两条平行线之间还能画出（    ）个与三角形ABC等底等高的三角形。 A．1 B．2 C．无数 【答案】C 【分析】因为两平行线间的距离处处相等，所以在上面的平行线上的点A之外任取一点，这一点和点B、C构成的三角形都和三角形ABC等底等高，由此即可判断。 【详解】由分析知，在上面的平行线上的点A之外任取一点，这一点和点B、点C构成的三角形都和三角形ABC等底等高，如下图所示： 所以两平行线之间还能画出无数个与三角形ABC等底等高的三角形。 故答案为：C 17．小清在钉子板上围出的哪块“草地”最大？（    ） A． B． C． 【答案】A 【分析】二图和一图中的一部分一样大，所以一图比二图大。三图和二图中的一部分一样大，所以二图比三图大。所以一图最大，然后是二图，三图最小。 【详解】由分析可知，小清在钉子板上围出的“草地”最大。 故答案为：A 四、判断题 18．面积相等的两个平行四边形，它们的周长一定相等。( ) 【答案】× 【分析】平行四边形的面积由底和高的乘积决定，周长由底和邻边的和决定。当面积相等时，底和高的乘积相同，但底和邻边的具体长度可能不同，因此周长不一定相等。 【详解】例如，一个平行四边形的底是6厘米，高是2厘米。 面积：6×2＝12（平方厘米） 周长：（6＋2）×2 ＝8×2 ＝16（厘米） 另一个平行四边形的底是4厘米，高是3厘米。 面积：4×3＝12（平方厘米） 周长：（4＋3）×2 ＝7×2 ＝14（厘米） 两个平行四边形面积相等，但周长不相等，因此周长不一定相等，原题说法错误。 故答案为：× 19．一个直角梯形，如果把上底延长3厘米，面积就增加9平方厘米，而且变成了一个正方形，原来梯形的面积是27平方厘米。( ) 【答案】√ 【分析】 如图所示，把上底延长3厘米后，增加部分是一个直角三角形，直角三角形的面积是9平方厘米，短直角边是3厘米，根据“”求出直角三角形的长直角边，即正方形的边长，再根据“”求出正方形的面积，原来梯形的面积＝正方形的面积－直角三角形的面积，据此解答。 【详解】2×9÷3 ＝18÷3 ＝6（厘米） 6×6－9 ＝36－9 ＝27（平方厘米） 所以，原来梯形的面积是27平方厘米，题目说法正确。 故答案为：√ 20．底和高都相等的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，它们的面积相等。( ) 【答案】√ 【分析】三角形面积的计算公式为：。面积的大小仅由底和高的长度决定，与三角形的类型（锐角、直角或钝角）无关。因此，底和高都相等的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，它们的面积一定相等。 【详解】由分析可知： 底和高都相等的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，它们的面积相等。说法正确。 故答案为：√ 21．两个面积相等的三角形，一定是等底等高的。( ) 【答案】× 【分析】根据“三角形面积＝底×高÷2”可知两个三角形面积相等，说明它们的底与高的乘积相等，但底和高的大小关系不确定，可能一个底大高小，另一个底小高大，因此不一定有相等的底和高。 【详解】两个三角形的面积相等，只能说明底与高的乘积相等，但底和高不一定相等。 例如，一个三角形的底是4厘米，高是3厘米。 4×3÷2 ＝12÷2 ＝6（平方厘米） 另一个三角形的底是6厘米，高是2厘米。 6×2÷2 ＝12÷2 ＝6（平方厘米） 它们的面积相等，但底和高不相等。因此，原题说法错误。 故答案为：× 22．底和高都是0.2分米的三角形面积是0.2平方分米。( ) 【答案】× 【分析】根据三角形面积＝底×高÷2，将底和高均为0.2分米代入即可求出三角形的面积。 【详解】0.2×0.2÷2＝0.02（平方分米） 底和高都是0.2分米的三角形面积是0.02平方分米，原说法错误。 故答案为：× 五、计算题 23．按要求，画一画。 (1)画出图①向下平移4格后的图形。 (2)画出图②三角形指定底边上的高。 (3)根据对称轴补全图③这个轴对称图形。 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）图①向下平移4格的作图步骤：先找出图①的所有顶点，把每个顶点向下数4格，描出平移后的对应顶点； 按照原图形的形状，顺次连接这些对应顶点，就得到平移后的图形。 （2）画三角形指定底边上的高：把三角板的一条直角边和题目标注的底边重合，移动三角板让另一条直角边经过底边所对的顶点，从顶点向底边画垂直线段，最后标出直角符号，这条线段就是指定底边上的高。 （3）补全轴对称图形③：找出已知半边图形的所有顶点，分别数出每个顶点到左侧对称轴的水平距离； 在对称轴另一侧，按照相同距离找到每个顶点的对称点； 顺次连接所有对称点，就能补全这个轴对称图形。 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 六、解答题 24．一块梯形麦田，上底是40米，下底是60米，高是25米。如果每平方米收小麦0.8千克，这块麦田一共可以收小麦多少千克？ 【答案】 1000千克 【分析】根据梯形的面积，先求出梯形麦田的面积。已知每平方米收小麦的质量，用麦田的面积乘每平方米收小麦的质量，即可求出这块麦田一共可以收小麦的质量。 【详解】 （平方米） （千克） 答：这块麦田一共可以收小麦1000千克。 25．下图中甲的面积比乙大5平方厘米，求EB长多少厘米？ 【答案】5厘米 【分析】由图可知，ABCD是长10厘米、宽4厘米的长方形，乙属于长方形，甲属于三角形EDC，两者有公共部分FBCD。因为甲的面积比乙大5平方厘米，所以三角形EDC的面积比长方形ABCD的面积大5平方厘米。长方形面积＝长×宽，算出长方形ABCD的面积，加上5平方厘米求出三角形EDC的面积。三角形面积＝底×高÷2，用三角形的面积乘2除以底（DC＝10厘米）求出高，即为EC的长度，减去BC的长度即可求出EB的长度。 【详解】10×4＝40（平方厘米） 40＋5＝45（平方厘米） 45×2÷10 ＝90÷10 ＝9（厘米） 9－4＝5（厘米） 答：EB长5厘米。 26．一块梯形麦地，上底是400米，下底是600米，高是240米，它的面积是多少公顷？如果每公顷收小麦6000千克，这块地能收多少吨小麦？ 【答案】 12公顷；72吨 【分析】根据梯形面积公式：梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据求出面积，再根据1公顷＝10000平方米，将平方米转换成公顷。用求出来的麦地面积乘每公顷收小麦的千克数，得出总共可以收多少千克小麦，最后根据1千克＝1000克，将千克转换成吨。 【详解】麦地面积： （平方米） 平方米公顷 收小麦千克数： （千克） 千克吨 答：它的面积是12公顷，这块地能收72吨小麦。 27．如图，点P为长方形ABCD边上的一个动点，它以每秒2厘米的速度从A点出发，沿着A→B→C→D的路线运动，到D点停止。当运动到3秒至9秒时，三角形APD的面积保持不变，则长方形ABCD的周长是多少厘米？ 【答案】36厘米 【分析】三角形APD面积不变时P点在BC边上，先用9减3求出P在BC运动的时间，再乘速度得到BC长，再用运动3秒乘速度得到AB长，最后根据长方形周长公式：周长＝（长＋宽）×2求出周长。 【详解】根据题意可知：当P点运动到B点到C点时，面积始终保持不变， P点在BC边上运动了9－3＝6（秒） BC边的长度为：2×6＝12（厘米） P点在AB边上运动了3秒，AB边的长度为：2×3＝6（厘米） 长方形ABCD的周长为：（12＋6）×2 ＝18×2 ＝36（厘米） 答：长方形ABCD的周长是36厘米。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 多边形的面积（单元举一反三讲义） 知识精讲 一、单元整体知识概述 1. 知识定位 《多边形的面积》是人教版五年级上册几何核心重点单元，承接三年级长方形、正方形面积知识，系统学习平行四边形、三角形、梯形三类直线平面图形的面积计算，同时涵盖组合图形、不规则图形面积估算。本单元全程依托转化思想搭建几何计算体系，是小学平面几何面积计算的收官核心内容，也是后续立体图形表面积、体积计算，初中几何图形面积推导、几何证明的重要前置基础，是小学阶段数形结合、几何建模思维的重点培养单元。 2. 核心学习内容 掌握平行四边形、三角形、梯形的底和高的定义、识别与画法；理解三类图形面积公式的完整推导过程与转化原理；熟记标准面积字母公式及所有逆向推导公式；掌握等底等高图形的面积变化规律；理解图形拉伸、切割、拼接后的周长与面积变化特征；掌握组合图形的拆分、添补计算逻辑；掌握不规则图形的面积估算方法；梳理单元核心重难点、易混概念、公式易错点与图形规律。 3. 核心数学思想 转化思想：将未知多边形通过割补、拼接、平移转化为已知的长方形、平行四边形，化未知为已知；数形结合思想：依托底、高的量化数据计算图形面积，实现图形特征与数值计算结合；建模思想：建立基础图形、组合图形标准化面积计算模型；守恒思想：理解图形切割拼接面积守恒、拉伸变形周长守恒的核心规律。 二、多边形底与高的通用核心知识点 1. 高的通用定义 从多边形一条底边对应的顶点或对边，向这条底边作垂直的线段，这条垂直线段就是该底边对应的高。高与对应的底边必须互相垂直，每条底边都有对应的唯一标准高，底和高具备严格的一一对应关系，是面积计算的核心前提。 2. 三类图形高的特征 平行四边形：有无数条高，两组对边分别对应两组等高，同一组底边对应的高长度完全相等；三角形：每条底边对应一条高，共三条高，锐角三角形三条高在图形内部，直角三角形两条直角边互为底和高，钝角三角形两条高在图形外部；梯形：有无数条高，所有高的长度全部相等，上下底之间的垂直距离为梯形的固定高。 3. 画高通用规范 用三角板直角边对齐指定底边，平移三角板使另一条直角边对准对应顶点或对边，画出垂直虚线，标注直角符号、底和高，高优先画虚线，保证作图规范、垂直关系明确。 三、平行四边形的面积知识点 1. 公式推导原理 采用割补平移法，沿着平行四边形的任意一条高剪开，将一侧三角形或梯形平移拼接，可完美转化为一个长方形。拼接后的长方形长等于平行四边形的底，长方形宽等于平行四边形的高，依托长方形面积公式推导得出平行四边形面积公式，整个过程图形面积保持不变。 2. 标准公式与逆向公式 面积公式：平行四边形面积=底×高，字母公式：S=ah；逆向推导公式：底=面积÷高（a=S÷h），高=面积÷底（h=S÷a），所有公式必须满足底和高相互对应。 3. 核心图形规律 等底等高的平行四边形，面积一定相等，形状可以不同；平行四边形拉伸变形：将长方形拉成平行四边形，四条边长度不变，周长不变，高变小，面积随之变小；平行四边形拉回长方形，周长不变，高变大，面积变大。 四、三角形的面积知识点 1. 公式推导原理 采用拼接法，将两个完全一样（形状相同、大小相等）的三角形，通过旋转、平移可以拼成一个平行四边形。拼成的平行四边形的底等于三角形的底，平行四边形的高等于三角形的高，单个三角形的面积是拼成平行四边形面积的一半，由此推导得出三角形面积公式。 2. 标准公式与逆向公式 面积公式：三角形面积=底×高÷2，字母公式：S=ah÷2；逆向推导公式：底=面积×2÷高（a=2S÷h），高=面积×2÷底（h=2S÷a）。三角形面积计算必须固定除以2，逆向计算必须先乘2再计算底或高，是区别于平行四边形的核心特征。 3. 核心图形规律 等底等高的三角形，面积一定相等，形状可以不同；同一个三角形，任意一组对应底和高计算出的面积完全相等；三角形的面积是等底等高平行四边形面积的一半。 五、梯形的面积知识点 1. 公式推导原理 采用拼接法，将两个完全一样的梯形，通过旋转、平移拼接成一个平行四边形。拼成的平行四边形的底等于梯形上底与下底的和，平行四边形的高等于梯形的高，单个梯形面积是拼成平行四边形面积的一半，据此推导梯形面积公式。 2. 标准公式与逆向公式 面积公式：梯形面积=（上底+下底）×高÷2，字母公式：S=(a+b)h÷2；逆向推导公式：上下底之和=面积×2÷高，高=面积×2÷（上底+下底），已知和可分别求上底、下底。 3. 核心图形规律 上下底之和相等、高相等的梯形，面积相等，形状可以不同；梯形变形过程中，只要上下底的和与高不变，面积保持恒定；梯形面积公式可统一概括三角形、长方形、平行四边形面积规律，是通用性最强的平面图形面积公式。 六、三类基础图形面积规律整合对比 平行四边形无除以2，三角形、梯形必须除以2；等底等高前提下，面积大小关系：平行四边形面积=2×三角形面积，梯形面积根据上下底长度介于二者之间；所有图形面积计算的核心前提均为底高对应，不对应底高无法计算正确面积；切割拼接只改变图形形状，不改变图形总面积；拉伸变形只改变高与面积，不改变周长。 七、组合图形面积知识点 1. 组合图形定义 由两个或两个以上长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形等基础图形组合拼接、重叠镂空形成的复杂图形，统称为组合图形，无固定公式，依托拆分、添补思想计算。 2. 两种核心计算方法 分割法（加法）：将复杂组合图形合理分割成若干个可计算的基础图形，分别算出每个基础图形面积，相加求和得到总面积，分割遵循简洁、易算、数据齐全的原则；添补法（减法）：将不规则组合图形补全为完整的大规则图形，用大图形面积减去补充部分的空白图形面积，得到原图形面积。 3. 计算核心原则 优先选择分割少、数据齐全、计算简便的拆分或添补方式；分割无重复、无遗漏，添补区域精准对应空白部分，保证总面积计算准确。 八、不规则图形面积估算知识点 1. 数方格估算法 在方格纸中统计不规则图形面积，完整占据的方格记为整格，不满一格的全部按半格计算，总面积=整格数+不满格数÷2，估算结果为近似值，无需精准取值。 2. 近似转化估算法 将轮廓不规则的图形，近似看成相近的规则多边形，套用对应规则图形面积公式估算面积，适用于轮廓规整、偏差较小的不规则图形。 易错指引 1. 底高对应易错 不区分对应底和高，随意搭配数据计算面积；混淆三角形、梯形内外高，误用非垂直线段当作高；画高不垂直、不标注直角符号，作图不规范。 2. 公式使用易错 三角形、梯形面积计算遗漏除以2，是最高频错误；逆向求底、求高时忘记先乘2，公式变形混乱；混淆三类图形公式，错用平行四边形公式计算三角形、梯形面积。 3. 图形规律易错 误认为周长不变面积就不变，忽略拉伸变形的面积变化；误以为形状相同面积才相等，忽略等底等高面积相等的规律；混淆拼接、拉伸、切割的变化特征，分不清周长、面积变与不变。 4. 组合图形易错 分割图形重复计算、遗漏部分区域；添补法找错空白图形尺寸；拆分后部分基础图形缺少对应计算数据，强行计算；不会灵活切换分割法与添补法，计算繁琐易出错。 5. 概念认知易错 误认为三角形面积是平行四边形面积的一半，忽略等底等高前提；误认为高越长面积越大，忽略底的制约条件；误认为梯形上下底变化面积一定变化，忽略高和的整体关系。 例题讲解 【例题】 1．一块正方形苗圃的面积是1公顷，现在要扩建这块苗圃，把它的边长增加到300米，扩建后的苗圃面积增加了( )公顷。 【例题】 2．填写合适的面积单位。 桂林市全州县有着“广西北大门”的美誉，总面积约为4021( )；被称为“楚南第一名刹”的湘山寺景区，建筑面积约为2( )。 【例题】 3．为优化阅读环境，学校按下面的平面示意图扩建图书馆，新图书馆藏书区的面积共有多少平方米？ 【例题】 4．一个梯形的下底是10厘米，把它的上底一端延长6厘米，就成为一个面积是30平方厘米的平行四边形。原来梯形的面积是多少平方厘米？ 真题拔高 二、填空题 5．一个平行四边形和一个三角形等底、等高。已知平行四边形的面积是48平方厘米，三角形的面积是( )平方厘米。 6．把梯形沿线段AB剪开，如下图，图形ABCD绕B点( )时针旋转( )°后，将梯形转化为平行四边形。平行四边形的底和原来梯形的( )相等。平行四边形的高和原来梯形的( )相等。 7．250千克＝( )吨       15分＝( )小时        200平方米 ＝( )公顷 8．七巧板又称七巧图、智慧板，是一种古老的中国传统智力玩具。小明用其中6块先拼了一个“帐篷”（如图1），又用7块拼了一只袋鼠（如图2），如果“帐篷”的面积为140平方厘米。那么“袋鼠”的面积是( )平方厘米。 9．如图，一个由细木条钉成的长方形框，长10厘米、宽6厘米，它的面积是( )平方厘米。如果把它拉成一个平行四边形，高4厘米，平行四边形的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。 10．如图中，三角形ABC的面积为15cm2，已知AD＝2AB，AE＝3AC，那么△ADE的面积是( )cm2。 11．光明欢乐田园占地面积约为3800000平方米，横线上的数读作( )，改写成以“万”作单位的数是( )万平方米，合( )平方千米。 12．如图中，三角形ABC的底是4分米，高是2分米，面积是( )平方分米，平行四边形BCDE的面积是( )平方分米。 三、选择题 13．下图由两个边长分别为4cm、3cm的正方形组成，在三角形ABC中，底边AC上的高是（    ）。 A．1cm B．3cm C．4cm 14．下图三角形中，与底AB对应的高是（    ）。 A．CE B．AF C．BD 15．下图中每个小方格表示1平方厘米，估计一下，图中树叶的面积最接近（    ）平方厘米。 A．14 B．22 C．34 16．如下图，两条平行线之间还能画出（    ）个与三角形ABC等底等高的三角形。 A．1 B．2 C．无数 17．小清在钉子板上围出的哪块“草地”最大？（    ） A． B． C． 四、判断题 18．面积相等的两个平行四边形，它们的周长一定相等。( ) 19．一个直角梯形，如果把上底延长3厘米，面积就增加9平方厘米，而且变成了一个正方形，原来梯形的面积是27平方厘米。( ) 20．底和高都相等的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，它们的面积相等。( ) 21．两个面积相等的三角形，一定是等底等高的。( ) 22．底和高都是0.2分米的三角形面积是0.2平方分米。( ) 五、计算题 23．按要求，画一画。 (1)画出图①向下平移4格后的图形。 (2)画出图②三角形指定底边上的高。 (3)根据对称轴补全图③这个轴对称图形。 六、解答题 24．一块梯形麦田，上底是40米，下底是60米，高是25米。如果每平方米收小麦0.8千克，这块麦田一共可以收小麦多少千克？ 25．下图中甲的面积比乙大5平方厘米，求EB长多少厘米？ 26．一块梯形麦地，上底是400米，下底是600米，高是240米，它的面积是多少公顷？如果每公顷收小麦6000千克，这块地能收多少吨小麦？ 27．如图，点P为长方形ABCD边上的一个动点，它以每秒2厘米的速度从A点出发，沿着A→B→C→D的路线运动，到D点停止。当运动到3秒至9秒时，三角形APD的面积保持不变，则长方形ABCD的周长是多少厘米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $