专题 2.2 一元二次方程的解法（暑假预习讲义）2026-2027学年苏科版九年级数学上册

专题2.2 一元二次方程的解法 【本节预习目标】 1.理解直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的原理，掌握每种解法的一般步骤与规范书写格式。 2.能根据方程的结构特征灵活选择最优解法，准确求解一元二次方程，提升数学运算素养。 3.理解一元二次方程根的判别式，能利用判别式判断方程根的情况，或根据根的情况求解参数的取值范围。 4.体会“降次转化”的数学思想，能运用方程解法解决几何情境、新定义、规律探究类问题，发展逻辑推理与数学建模能力。 【前置旧知回顾】 旧知模块 核心内容 本节新知关联 平方根的性质 正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根 直接开平方法的理论依据，决定了形如的方程的根的三种情况 完全平方公式 配方法的核心公式，用于将二次三项式配成完全平方式，实现降次 因式分解 提取公因式法、公式法（平方差、完全平方）分解多项式 因式分解法的运算基础，通过分解将二次方程转化为两个一次方程 知识点1：直接开平方法 1.基本原理 根据平方根的意义，若一个数的平方等于，则这个数是的平方根。对形如的方程两边同时开平方，可将二次方程直接降为一次方程求解。 2.适用形式与根的情况 对于形如或（）的方程，根的情况由的取值决定： 的取值 方程根的情况 P>0 有两个不相等的实数根，（或） P=0 有两个相等的实数根，（或） P<0 没有实数根 知识点2：配方法 1.核心思路 通过恒等变形，将一元二次方程配成完全平方式，转化为的形式，再利用直接开平方法求解，本质是通过配方实现“降次”。 2.一般步骤（以，为例） 一移：将常数项移到方程右侧，含未知数的项留在左侧； 二化：方程两边同时除以二次项系数，将二次项系数化为1； 三配：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式； 四开：若右侧非负，直接开平方得到两个一元一次方程； 五解：分别解两个一元一次方程，得到原方程的根。 知识点3：公式法 1.根的判别式 对于一元二次方程（），把叫做根的判别式，其符号与方程根的情况一一对应： 的取值 方程根的情况 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 2.求根公式 当时，一元二次方程（）的实数根为： 将a,b,c的值直接代入公式即可求解，这种方法叫做公式法。 知识点4：因式分解法 1.基本原理 依据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，即若，则或。将一元二次方程左边分解为两个一次因式的乘积，令每个因式分别为0，实现降次求解。 2.一般步骤 一移：将方程整理为右侧为0的标准形式； 二分：将方程左侧分解为两个一次因式的乘积； 三化：令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程； 四解：解这两个一元一次方程，得到原方程的根。 【基础巩固题型】 【题型1】直接开平方法解标准型方程 1.核心知识点 直接开平方法的原理；平方根的性质 2.解题方法技巧 ①先将方程化为或的标准形式，确保平方项单独在一侧； ②开平方时先判断的符号，非负时取正负两个值，严禁漏掉负根； ③解一次方程时准确移项、化简，最终将根写成的规范形式。 【例题1】.（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）一元二次方程的根为（   ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（24-25九年级上·山西太原·阶段检测）一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26八年级·全国·暑假作业）方程解为_________． 【变式题1-3】.（25-26九年级下·黑龙江大庆·期末）解方程： (1)； (2)． 【题型2】二次三项式的配方变形 1.核心知识点 完全平方公式；配方的恒等变形规则 2.解题方法技巧 ①二次项系数为1时，直接加上一次项系数一半的平方，即可配成完全平方式； ②二次项系数不为1时，先提取二次项系数，再对括号内的部分进行配方； ③代数式配方是恒等变形，加了常数项后要对应减去相同的数，保证代数式的值不变。 【例题2】.（25-26八年级下·山东威海·期末）一元二次方程配方后可变形为（     ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26九年级下·山东淄博·期末）若用配方法解一元二次方程，则下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·浙江湖州·期末）用配方法解方程时，配方结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·浙江杭州·期末）用配方法解方程时，配方结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【题型3】因式分解法解方程 1.核心知识点 提取公因式法、公式法分解因式；因式分解法的降次原理 2.解题方法技巧 ①优先观察方程是否有公因式，先提取公因式简化结构； ②符合平方差、完全平方公式特征的方程，直接用公式法分解因式； ③必须将方程右侧化为0再分解，严禁直接约去含未知数的公因式，避免丢根。 【例题3】.（25-26八年级下·浙江金华·期末）解方程： (1)； (2)． 【变式题3-1】.（25-26九年级下·山东淄博·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·山东淄博·期末）解方程： (1) (2) 【变式题3-3】.（25-26八年级下·福建厦门·期末）解方程： (1)； (2) 【题型4】根的判别式的基础计算 1.核心知识点 一元二次方程的一般形式；根的判别式的定义 2.解题方法技巧 ①先将方程化为的一般形式，准确确定$a,b,c$的取值与符号； ②代入公式计算，注意平方运算与符号运算的准确性； ③根据的正负、零值，直接对应方程根的三种情况。 【例题4】.（25-26八年级下·浙江宁波·期末）下列关于的一元二次方程中有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·山东泰安·期末）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·山东青岛·期末）一元二次方程根的情况为（     ）． A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根 【变式题4-3】.（25-26八年级下·河北衡水·期末）一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【培优提升题型】 【题型6】公式法解一元二次方程 1.核心知识点 求根公式；根的判别式的前置应用 2.解题方法技巧 ①先将方程整理为一般形式，特别注意一次项、常数项的符号，避免b,c取值错误； ②先计算判别式，确认有实数根后再代入求根公式，减少无效计算； ③代入公式时注意分子部分的符号，根号部分能化简的要化到最简。 【例题5】.（25-26八年级下·浙江台州·期末）解一元二次方程： (1)； (2)． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·安徽亳州·期末）解方程： (1) (2) 【变式题5-2】.（25-26八年级下·山东泰安·期末）解下列方程： (1) (2) 【变式题5-3】.（25-26八年级·全国·暑假作业）用公式法解下列方程． (1)； (2)； (3)． 【题型5】配方法解一元二次方程 1.核心知识点 配方法的完整步骤；完全平方公式的应用 2.解题方法技巧 ①严格遵循“移项→化二次项系数为1→配方→开平方→求解”的步骤，不跳步； ②配方时方程两边要同时加上一次项系数一半的平方，保证等式仍然成立； ③开平方前先判断右侧的符号，若为负数可直接判定方程无实数根。 【例题6】.（25-26八年级下·安徽合肥·期末）解方程：． 【变式题6-1】.（26-27八年级·上海·暑假作业）解方程 (1)； (2)（用配方法）． 【变式题6-2】.（26-27八年级·上海·暑假作业）解方程： (1)（用配方法） (2)（用配方法） 【变式题6-3】.（25-26八年级下·北京昌平·期末）解方程： (1)（配方法）； (2)． 【压轴素养题型】 【题型7】灵活选择方法解一元二次方程 1.核心知识点 四种解法的适用特征与优劣对比 2.解题方法技巧 ①形如的方程，优先选择直接开平方法； ②右侧为0且左侧易分解因式的方程，优先选择因式分解法； ③系数较小且易配方的可选配方法，一般形式且不易分解的方程选用公式法。 【例题7】.（25-26八年级下·浙江杭州·期末）用适当方法解下列方程： (1)； (2) 【变式题7-1】.（25-26八年级下·山东日照·期末）解方程： (1)用配方法解方程：； (2)用适当方法解方程：． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·北京·期末）选择合适的方法解下列方程 (1)； (2)． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·河南新乡·期末）解方程． (1)（配方法）； (2)（选择适当的方法）． 【题型8】换元法解特殊结构方程 1.核心知识点 整体代换思想；一元二次方程的常规解法 2.解题方法技巧 ①观察方程结构，将重复出现的代数式设为新元，将原方程转化为关于新元的一元二次方程； ②解出新元的取值后，再代回原关系式求解原未知数； ③还原后注意检验根的合理性，结合取值范围舍去不符合题意的解。 【例题8】.（25-26九年级下·山东烟台·期末）已知一元二次方程（）的两根分别为、，则一元二次方程（）的两根分别为________． 【变式题8-1】.（24-25八年级下·山东泰安·期末）若是关于x的方程的一个根，则关于x的方程必有一个根为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【变式题8-2】.（25-26八年级下·山东济南·期末）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，． (1)请你利用这种方法解方程：； (2)已知三条边的长度分别为，，，若满足，且，请判断的形状，并说明理由． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·安徽滁州·期末）阅读材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，① 解得，． 当时，，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，体现了转化的思想． 请仿照材料解决问题： (1)解方程：． (2)若四个连续正整数的积为，求出这四个连续的正整数． 易错点 1、配方运算错误：只在方程左侧加常数项，右侧漏加对应数值；二次项系数不为1时，提取系数后括号内漏乘或错加常数项。 2、漏根丢根问题：用因式分解法时，方程两边直接约去含未知数的公因式；直接开平方时只取正根，漏掉负根。 3、公式法误用：未将方程化为一般形式就确定$a,b,c$，符号判断错误；忽略判别式，在无实数根的情况下强行代入公式计算。 4、参数范围疏漏：已知方程有实数根求参数时，忽略“二次项系数不为0”的前提，导致参数取值范围扩大。 重点 1、一元二次方程的四种基本解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）的原理与步骤，能规范、准确地解方程。 2、根的判别式的计算与应用，能判断根的情况，或根据根的情况求解参数的取值范围。 3、根据方程的结构特征灵活选择最优解法，提升运算效率与准确率。 难点 1、配方法的灵活拓展应用，包括代数式配方、求最值、代数证明、几何判定等综合题型。 2、特殊结构方程（换元、含绝对值、新定义、几何情境）的分析思路与求解方法。 一、单选题 1．用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 3．已知关于x的方程（），当时，方程的解为（    ） A．， B．， C． D． 二、填空题 4．若是关于x的方程的一个根，则的值为________． 5．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是__________． 6．已知关于的一元二次方程的两个根分别是5和1，则的值为________． 三、解答题 7．解方程： (1) (2) 8．新运算：，例如：．若关于x的方程有两个不相等的实数根，解答下列各题： (1)求的取值范围； (2)当时，用配方法解此方程． 9．小明与小颖两位同学解方程的过程如图： 小明： 两边同除以， 得， 解得． 小颖： 移项，得， 提取公因式，得． 或． 解得． (1)他们的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程； (2)请结合上述解题过程归纳总结：形如的一元二次方程的一般解法． 10．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题． 例：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以，所以的最小值是． (1)代数式的最小值为 ． (2)关于的二次多项式（为常数）有最小值为，求常数的值． (3)已知实数，满足，求的最大值． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 一元二次方程的解法 【本节预习目标】 1.理解直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的原理，掌握每种解法的一般步骤与规范书写格式。 2.能根据方程的结构特征灵活选择最优解法，准确求解一元二次方程，提升数学运算素养。 3.理解一元二次方程根的判别式，能利用判别式判断方程根的情况，或根据根的情况求解参数的取值范围。 4.体会“降次转化”的数学思想，能运用方程解法解决几何情境、新定义、规律探究类问题，发展逻辑推理与数学建模能力。 【前置旧知回顾】 旧知模块 核心内容 本节新知关联 平方根的性质 正数有两个互为相反数的平方根，0的平方根是0，负数没有平方根 直接开平方法的理论依据，决定了形如的方程的根的三种情况 完全平方公式 配方法的核心公式，用于将二次三项式配成完全平方式，实现降次 因式分解 提取公因式法、公式法（平方差、完全平方）分解多项式 因式分解法的运算基础，通过分解将二次方程转化为两个一次方程 知识点1：直接开平方法 1.基本原理 根据平方根的意义，若一个数的平方等于，则这个数是的平方根。对形如的方程两边同时开平方，可将二次方程直接降为一次方程求解。 2.适用形式与根的情况 对于形如或（）的方程，根的情况由的取值决定： 的取值 方程根的情况 P>0 有两个不相等的实数根，（或） P=0 有两个相等的实数根，（或） P<0 没有实数根 知识点2：配方法 1.核心思路 通过恒等变形，将一元二次方程配成完全平方式，转化为的形式，再利用直接开平方法求解，本质是通过配方实现“降次”。 2.一般步骤（以，为例） 一移：将常数项移到方程右侧，含未知数的项留在左侧； 二化：方程两边同时除以二次项系数，将二次项系数化为1； 三配：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式； 四开：若右侧非负，直接开平方得到两个一元一次方程； 五解：分别解两个一元一次方程，得到原方程的根。 知识点3：公式法 1.根的判别式 对于一元二次方程（），把叫做根的判别式，其符号与方程根的情况一一对应： 的取值 方程根的情况 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 2.求根公式 当时，一元二次方程（）的实数根为： 将a,b,c的值直接代入公式即可求解，这种方法叫做公式法。 知识点4：因式分解法 1.基本原理 依据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，即若，则或。将一元二次方程左边分解为两个一次因式的乘积，令每个因式分别为0，实现降次求解。 2.一般步骤 一移：将方程整理为右侧为0的标准形式； 二分：将方程左侧分解为两个一次因式的乘积； 三化：令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程； 四解：解这两个一元一次方程，得到原方程的根。 【基础巩固题型】 【题型1】直接开平方法解标准型方程 1.核心知识点 直接开平方法的原理；平方根的性质 2.解题方法技巧 ①先将方程化为或的标准形式，确保平方项单独在一侧； ②开平方时先判断的符号，非负时取正负两个值，严禁漏掉负根； ③解一次方程时准确移项、化简，最终将根写成的规范形式。 【例题1】.（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）一元二次方程的根为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． 移项，然后利用直接开方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， 解得． 故选：C． 【变式题1-1】.（24-25九年级上·山西太原·阶段检测）一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，先把方程化为，然后利用直接开平方法解方程即可，掌握解一元二次方程的解法是解题的关键． 【详解】解：， ∴， 解得：，， 故选：C． 【变式题1-2】.（25-26八年级·全国·暑假作业）方程解为_________． 【答案】 【详解】解：， ∴， ∴， 解得：． 【变式题1-3】.（25-26九年级下·黑龙江大庆·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用直接开平方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ； （2）解：， ， 或， ． 【题型2】二次三项式的配方变形 1.核心知识点 完全平方公式；配方的恒等变形规则 2.解题方法技巧 ①二次项系数为1时，直接加上一次项系数一半的平方，即可配成完全平方式； ②二次项系数不为1时，先提取二次项系数，再对括号内的部分进行配方； ③代数式配方是恒等变形，加了常数项后要对应减去相同的数，保证代数式的值不变。 【例题2】.（25-26八年级下·山东威海·期末）一元二次方程配方后可变形为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， ， ， ． 【变式题2-1】.（25-26九年级下·山东淄博·期末）若用配方法解一元二次方程，则下列配方正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再配方得到完全平方形式，对比选项即可得到正确结果． 【详解】解：， 移项得， 配方得， 整理得． 【变式题2-2】.（25-26八年级下·浙江湖州·期末）用配方法解方程时，配方结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：配方得， 整理得． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·浙江杭州·期末）用配方法解方程时，配方结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此可得答案． 【详解】解： ， ， ， ． 【题型3】因式分解法解方程 1.核心知识点 提取公因式法、公式法分解因式；因式分解法的降次原理 2.解题方法技巧 ①优先观察方程是否有公因式，先提取公因式简化结构； ②符合平方差、完全平方公式特征的方程，直接用公式法分解因式； ③必须将方程右侧化为0再分解，严禁直接约去含未知数的公因式，避免丢根。 【例题3】.（25-26八年级下·浙江金华·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：原方程为 提取公因式得 可得或 解得， （2）原方程为 移项得 提取公因式得 可得或 解得， 【变式题3-1】.（25-26九年级下·山东淄博·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 因式分解得， ∴或， 解得，； （2）解：， 整理得， 因式分解得， ∴或， 解得，． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·山东淄博·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）采用因式分解法求解； （2）移项后采用因式分解法求解； 【详解】（1）解：， 因式分解得， ∴或， 解得：； （2）解：， 移项得， 提取公因式得， 整理得， ∴或， 解得：． 【变式题3-3】.（25-26八年级下·福建厦门·期末）解方程： (1)； (2) 【答案】(1) ， (2) ， 【详解】（1）解：， ， 或， 解得，. （2）解：， ， 或， 解得，. 【题型4】根的判别式的基础计算 1.核心知识点 一元二次方程的一般形式；根的判别式的定义 2.解题方法技巧 ①先将方程化为的一般形式，准确确定$a,b,c$的取值与符号； ②代入公式计算，注意平方运算与符号运算的准确性； ③根据的正负、零值，直接对应方程根的三种情况。 【例题4】.（25-26八年级下·浙江宁波·期末）下列关于的一元二次方程中有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个不相等的实数根，分别计算各选项的判别式即可得到结果． 【详解】解：对选项A，，，方程没有实数根，A不符合要求． 对选项B，，，方程没有实数根，B不符合要求． 对选项C，，，方程有两个相等的实数根，C不符合要求． 对选项D，，，方程有两个不相等的实数根，D符合要求． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·山东泰安·期末）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个相等的实数根，计算各选项的判别式即可判断． 【详解】解：A、对于方程，，方程没有实数根，不符合题意； B、对于方程，，方程有两个相等的实数根，符合题意； C、对于方程，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D、对于方程，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·山东青岛·期末）一元二次方程根的情况为（     ）． A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【分析】运用一元二次方程根的判别式判断根的情况即可求解． 【详解】解：∵，则，，， ∴， ∴该一元二次方程没有实数根． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·河北衡水·期末）一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】计算一元二次方程根的判别式的值，根据与的大小关系即可判断根的情况． 【详解】解：∵对于一元二次方程，可得，，， ∴， ∴该一元二次方程有两个不相等的实数根． 【培优提升题型】 【题型6】公式法解一元二次方程 1.核心知识点 求根公式；根的判别式的前置应用 2.解题方法技巧 ①先将方程整理为一般形式，特别注意一次项、常数项的符号，避免b,c取值错误； ②先计算判别式，确认有实数根后再代入求根公式，减少无效计算； ③代入公式时注意分子部分的符号，根号部分能化简的要化到最简。 【例题5】.（25-26八年级下·浙江台州·期末）解一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解； （2）根据公式法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：， 或， ，； （2）解：，其中，，， 则， 原方程有两个不相等的实数根， ， ，． 【变式题5-1】.（25-26八年级下·安徽亳州·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：对方程因式分解，得， 解得． （2）解：移项，得， 判别式， 由公式法解得，． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·山东泰安·期末）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可． （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：移项得， 提取公因式得：， ∴， 即，， 解得：，． （2）解：对于方程，其中，，， ∴判别式， ∴， ，． 【变式题5-3】.（25-26八年级·全国·暑假作业）用公式法解下列方程． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：方程整理得：， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ． 【题型5】配方法解一元二次方程 1.核心知识点 配方法的完整步骤；完全平方公式的应用 2.解题方法技巧 ①严格遵循“移项→化二次项系数为1→配方→开平方→求解”的步骤，不跳步； ②配方时方程两边要同时加上一次项系数一半的平方，保证等式仍然成立； ③开平方前先判断右侧的符号，若为负数可直接判定方程无实数根。 【例题6】.（25-26八年级下·安徽合肥·期末）解方程：． 【答案】， 【详解】解：移项，得：． 配方，得． 即． ∴，即，． ∴，． 【变式题6-1】.（26-27八年级·上海·暑假作业）解方程 (1)； (2)（用配方法）． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）将按照配方法解方程，先将一元二次方程转化为 形式，再利用直接开平方法即可求出答案． （2）将按照配方法解方程，先将一元二次方程转化为 形式，再利用直接开平方法即可求出答案． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， . （2）解：， ， ， ， ，． 【变式题6-2】.（26-27八年级·上海·暑假作业）解方程： (1)（用配方法） (2)（用配方法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，再开方求解即可； （2）先展开左侧并整理成一元二次方程的一般形式，后续按照配方法的步骤，移常数项、配方、开方求解即可． 【详解】（1）解：原方程化为， ， ，即， ，； （2）解：原方程化为， ， ， ，即， ，； 【变式题6-3】.（25-26八年级下·北京昌平·期末）解方程： (1)（配方法）； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： ∴或 解得，． 【压轴素养题型】 【题型7】灵活选择方法解一元二次方程 1.核心知识点 四种解法的适用特征与优劣对比 2.解题方法技巧 ①形如的方程，优先选择直接开平方法； ②右侧为0且左侧易分解因式的方程，优先选择因式分解法； ③系数较小且易配方的可选配方法，一般形式且不易分解的方程选用公式法。 【例题7】.（25-26八年级下·浙江杭州·期末）用适当方法解下列方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用因式分解法解方程； （2）先展开整理为一元二次方程，再利用因式分解法解方程． 【详解】（1）解：， ， ∴或， 解得； （2）解：， ， ， ∴， ∴， 解得． 【变式题7-1】.（25-26八年级下·山东日照·期末）解方程： (1)用配方法解方程：； (2)用适当方法解方程：． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： ，； （2）解： 或 ，． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·北京·期末）选择合适的方法解下列方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 移项得， 配方得， 整理得， 开方得， 解得； （2）解：， 整理为一般式得， 因式分解得， 可得或， 解得． 【变式题7-3】.（25-26八年级下·河南新乡·期末）解方程． (1)（配方法）； (2)（选择适当的方法）． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：配方得，即， 开方得， 解得，； （2）解：整理得， 因式分解得， 即或， 解得，． 【题型8】换元法解特殊结构方程 1.核心知识点 整体代换思想；一元二次方程的常规解法 2.解题方法技巧 ①观察方程结构，将重复出现的代数式设为新元，将原方程转化为关于新元的一元二次方程； ②解出新元的取值后，再代回原关系式求解原未知数； ③还原后注意检验根的合理性，结合取值范围舍去不符合题意的解。 【例题8】.（25-26九年级下·山东烟台·期末）已知一元二次方程（）的两根分别为、，则一元二次方程（）的两根分别为________． 【答案】，/， 【分析】利用换元思路，将所求方程整理为与原方程形式相同的一元二次方程，根据原方程的根得到对应关系式，即可求解． 【详解】解：将所求方程移项变形得 ， ∵一元二次方程的两根分别为，， ∴可得或， 解得，， ∴一元二次方程的两根分别为，． 【变式题8-1】.（24-25八年级下·山东泰安·期末）若是关于x的方程的一个根，则关于x的方程必有一个根为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将方程整理为：，通过变量替换，转化为原方程的形式，从而确定新方程的根． 【详解】解：将方程整理为：， 令，则方程变为，与原方程形式相同， ∵是关于y的方程的一个根， ∴， ∴， ∴关于x的方程必有一个根为2024， 故选：A． 【变式题8-2】.（25-26八年级下·山东济南·期末）解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，． (1)请你利用这种方法解方程：； (2)已知三条边的长度分别为，，，若满足，且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)， (2)是直角三角形；理由如下： 是的三边， ， ， 设， 则原方程可化为， 解得：，（舍去）， 得． 又， ． ． 是直角三角形． 【分析】（1）根据题中方法，设，将原方程可化为，解方程求出，；分别代入求出的值即可； （2）根据题中方法，设，求出，结合，根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】（1）解：设， 则原方程可变为：， 解得：，， 当即时，解得：； 当即时，解得：； ∴原方程的解为：，； （2）略 【变式题8-3】.（25-26八年级下·安徽滁州·期末）阅读材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，① 解得，． 当时，，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，体现了转化的思想． 请仿照材料解决问题： (1)解方程：． (2)若四个连续正整数的积为，求出这四个连续的正整数． 【答案】(1)原方程的解为，， (2)这四个整数为2，3，4，5 【分析】（1）将原方程整理，设，则原方程可化为，利用因式分解法解方程，再求x． （2）设最小数为，由题意得，即，设，则再利用因式分解法解一元二次方程，最后再求出x即可． 【详解】（1）解：原方程整理得 ， 设， 则原方程可化为， 因式分解得， 解得，， 当时，，配方，得， 解得，， 当时，，配方，得， 解得， 原方程的解为，，． （2）解：设最小数为， 由题意得， 即， 设， 则，即， 因式分解得 ， ，， 为正整数，，即， 因式分解得， 解得， 舍去． 这四个整数为． 易错点 1、配方运算错误：只在方程左侧加常数项，右侧漏加对应数值；二次项系数不为1时，提取系数后括号内漏乘或错加常数项。 2、漏根丢根问题：用因式分解法时，方程两边直接约去含未知数的公因式；直接开平方时只取正根，漏掉负根。 3、公式法误用：未将方程化为一般形式就确定$a,b,c$，符号判断错误；忽略判别式，在无实数根的情况下强行代入公式计算。 4、参数范围疏漏：已知方程有实数根求参数时，忽略“二次项系数不为0”的前提，导致参数取值范围扩大。 重点 1、一元二次方程的四种基本解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）的原理与步骤，能规范、准确地解方程。 2、根的判别式的计算与应用，能判断根的情况，或根据根的情况求解参数的取值范围。 3、根据方程的结构特征灵活选择最优解法，提升运算效率与准确率。 难点 1、配方法的灵活拓展应用，包括代数式配方、求最值、代数证明、几何判定等综合题型。 2、特殊结构方程（换元、含绝对值、新定义、几何情境）的分析思路与求解方法。 一、单选题 1．用配方法解方程时，配方结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：原方程为， 移项得， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方得， 由完全平方公式整理得． 2．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个不相等的实数根，只需计算各选项的判别式即可判断． 【详解】解：选项A：，，方程没有两个不相等的实数根． 选项B：，，方程没有两个不相等的实数根． 选项C：，，方程没有两个不相等的实数根． 选项D：方程整理为，得，，方程有两个不相等的实数根． 3．已知关于x的方程（），当时，方程的解为（    ） A．， B．， C． D． 【答案】D 【分析】已知，即判别式为0，方程有两个相等的实数根，通过配方即可得到方程的解． 【详解】解：∵一元二次方程，，且， ∴，方程有两个相等的实数根． 对原方程配方： 移项得， 两边同除以得， 配方得， ∵， ∴， ∴． 二、填空题 4．若是关于x的方程的一个根，则的值为________． 【答案】 【分析】将代入方程，对等式左边因式分解，结合的条件，即可得到的值． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ∴把代入方程得， 整理得：， ∵， ∴，即． 5．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，题目已明确方程为一元二次方程，二次项系数不为0，根据方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式大于0，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解： 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 整理得， 解得． 6．已知关于的一元二次方程的两个根分别是5和1，则的值为________． 【答案】 【详解】解：， ∴或， 解得，， ∵方程的两个根分别是和， ∴． 三、解答题 7．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 解得：； （2）解： 解得：． 8．新运算：，例如：．若关于x的方程有两个不相等的实数根，解答下列各题： (1)求的取值范围； (2)当时，用配方法解此方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据新定义将方程化成一般式，再根据根的判别式列不等式求解即可； （2）先将原方程化成再利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：根据新定义，方程整理为：，即，     ∵此方程有两个不相等的实数根， ，解得：， 的取值范围为． （2）解：当时，方程整理为：，即， ， ， ， ． 9．小明与小颖两位同学解方程的过程如图： 小明： 两边同除以， 得， 解得． 小颖： 移项，得， 提取公因式，得． 或． 解得． (1)他们的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程； (2)请结合上述解题过程归纳总结：形如的一元二次方程的一般解法． 【答案】(1)小明和小颖的解法都不正确． 正确的解答过程：整理得：， ∴，即， ∴， 或， ． (2)先移项将其整理为的形式，再用提公因式法将等号左边进行因式分解，进而得到两个一元一次方程，分别解之，从而求得一元二次方程的解． 【分析】（1）根据因式分解法解一元二次方程的方法和步骤进行分析即可得到答案； （2）根据因式分解法的一般步骤：移项，提取公因式，因式为零，求解，据此即可解答． 【详解】（1）解：小明错误的原因是未考虑的情况，直接除以导致漏解，小颖错误的原因是提取公因式去括号时符号出错，正确的解答过程详见答案． （2）解：先移项将其整理为的形式，再用提公因式法将等号左边进行因式分解，进而得到两个一元一次方程，分别解之，从而求得一元二次方程的解． 10．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题． 例：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以，所以的最小值是． (1)代数式的最小值为 ． (2)关于的二次多项式（为常数）有最小值为，求常数的值． (3)已知实数，满足，求的最大值． 【答案】(1) (2)常数的值为或 (3)最大值为 【分析】（1）把所求式子变形为，再仿照例题求解即可； （2）把多项式变形为，根据多项式的最小值为得到方程，解方程即可得到答案； （3）根据题意可推出，再仿照例题求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 的最小值是． （2）解： ， ， ， 关于的二次多项式的最小值为， 关于的二次多项式（为常数）有最小值为， ， ，即， 解得，， 常数的值为或； （3）解：， ， ， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $