2.2一元二次方程的解法（第2课时） 暑假预习讲义 2026- 2027学年苏科版八升九年级数学上册

苏科版数学九年级上册暑假预习讲义 第9讲　2.2　一元二次方程的解法（第2课时） 【学习目标】 1. 理解配方法的概念和原理，知道配方法是通过配方将方程化为 的形式。 1. 掌握用配方法解二次项系数为 的一元二次方程的一般步骤。 1. 在配方过程中体会“转化”的数学思想——将一般形式转化为可直接开平方的形式。 【知识梳理】 一、配方法的概念 定义：通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。 核心思想：将方程 通过配方转化为 的形式，再用直接开平方法求解。 配方依据：完全平方公式 。配方时，等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方。 二、用配方法解二次项系数为1的方程的步骤 以 为例： 步骤 操作 示例 第一步　移项 将常数项移到等号右边 第二步　配方 两边同加一次项系数一半的平方 第三步　变形 左边写成完全平方式 第四步　开方 用直接开平方法求解 ， 或 口诀：移常数，配一半，平方开方得答案。 做一做（即时练习）： 1. 填空：。 1. 填空：。 1. 用配方法解方程 时，配方后为______。 1. 方程 用直接开平方法解得 。 1. 用配方法解方程 时，第一步应______。 【典例精讲】 【例1】（配方——补全完全平方式） 在下列横线上填上适当的数，使等式成立。 （1） （2） （3） 【分析】 根据完全平方公式：。一次项系数的一半即为 ，常数项为 。 【解答】 （1）一次项系数为 ，一半为 ，。 。 （2）一次项系数为 ，一半为 ，。 。 （3）一次项系数为 ，一半为 ，。 。 【反思】 配方时，常数项等于一次项系数一半的平方，符号与一次项系数相同。 【例2】（用配方法解二次项系数为1的方程） 用配方法解下列方程： （1）　　（2）　　（3） 【分析】 二次项系数均为 ，按“移项→配方→变形→开方”四步操作。 【解答】 （1） 移项，得 ， 配方，两边同加 ，得 ， 变形，得 ， 开方，得 ， 解得 ，。 （2） 移项，得 ， 配方，两边同加 ，得 ， 变形，得 ， 开方，得 ， 解得 ，。 （3） 移项，得 ， 配方，两边同加 ，得 ， 变形，得 ， 开方，得 ， 解得 ，。 【反思】 配方法的本质是将一般形式的一元二次方程转化为可直接开平方的形式。配方时务必两边同时加同一个数，保持等式平衡。 【例3】（配方法在求值中的应用） 用配方法求代数式 的最小值。 【分析】 将代数式配方成 的形式，利用 求最值。 【解答】 配方，得 ， 即 。 ， 。 当 时，代数式取得最小值 。 【反思】 配方法不仅可以解方程，还可以求代数式的最值。关键是将代数式配成完全平方式与常数的和。 【跟踪练习1】 1. 填空： （1） （2） （3） 1. 用配方法解下列方程： （1）　　（2）　　（3） 1. 用配方法求代数式 的最小值。 【举一反三】 1. 填空：。 1. 填空：。 1. 用配方法解方程 时，配方后为______。 1. 方程 的解为______。 1. 用配方法解方程 时，配方正确的是（　　） · A. 　　B. 　　C. 　　D. 1. 若 是完全平方式，则 。 1. 用配方法解方程 的解为______。 1. 代数式 的最小值为______。 【分层训练】 ◆ A组·基础过关 一、填空题。 1. 填空：。 1. 填空：。 1. 用配方法解方程 时，配方后为____________。 1. 方程 的解为______。 1. 若 是完全平方式，则 。 1. 用配方法解方程 ，配方后为____________。 二、判断题。（对的打“√”，错的打“×”） 1. 配方时，两边加上的数是一次项系数。（　　） 1. 配方法适用于所有一元二次方程。（　　） 1. 方程 配方后为 ，因此无实数根。（　　） 1. 完全平方式 可化为 。（　　） 三、选择题。 1. 用配方法解方程 ，配方后为（　　） · A. 　　B. 　　C. 　　D. 1. 用配方法解方程 ，配方后为（　　） · A. 　　B. 　　C. 　　D. 1. 下列配方中，正确的是（　　） · A. 　　B. · C. 　　D. 以上都正确 1. 方程 的解为（　　） · A. ，　　B. ，　　 · C. ，　　D. ， ◆ B组·能力提升 1. 用配方法解下列方程： （1）　　（2）　　（3） 1. 已知方程 配方后为 ，求 的值。 1. 用配方法证明：代数式 的值恒为正数。 ◆ C组·思维拓展 18. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式x2+2x+3的最小值． 解：x2+2x+3＝x2+2x+1+2＝（x+1）2+2， ∵无论x取何实数，都有（x+1）2≥0， ∴（x+1）2+2≥2，即x2+2x+3的最小值为2． 试利用配方法解决下列问题： （1）直接写出x2﹣6x+12的最小值　　； （2）比较代数式3x2﹣x+2与2x2+3x﹣6的大小，并说明理由； （3）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD．若AC+BD＝10，求四边形ABCD面积的最大值． 19. 已知 ，求 、 的值。 20. 探究代数式x2+4x+5的最小值时，我们可以这样处理： x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1因为（x+2）2≥0， 所以当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0． 所以（x+2）2+1≥1． 所以当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1． 所以x2+4x+5的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题： （1）当x＝　　时，x2+6x﹣10有最小值是　　； （2）多项式有最　　（填“大”或“小”）值，该值为　　； （3）已知﹣x2+5x+y+20＝0，求y+x的最小值． 【本讲总结】 知识框架 分类 核心内容 关键要点 配方法定义 通过配成完全平方式解方程 将一般形式转化为 配方关键 两边加一次项系数一半的平方 常数项 解题步骤 移项→配方→变形→开方 四步顺序固定 适用条件 二次项系数为1 系数不为1时需先化为1 常见错误提醒 错误类型 正确理解 配方时忘记两边同时加 等式两边必须同时加同一个数，保持平衡 一次项系数一半的平方算错 先除以2，再平方；符号不影响平方结果 开方时漏掉负根 牢记 开方得 学习建议 1. 配方前先确认二次项系数是否为1，若不是则需先化为1。 1. 严格按照“移项→配方→变形→开方”四步操作，不要跳步。 1. 多做配方练习，熟练掌握“一次项系数一半的平方”的计算。 【参考答案与详细解析】 知识梳理·做一做 1. 答案：； 1. 答案：； 1. 答案： 1. 答案：， 1. 答案：移项（将常数项移到等号右边） 典例精讲·跟踪练习1 1. 答案：（1），；（2），；（3）， 1. 答案：（1），；（2），；（3）， 解析：（1），，。（2），。（3），。 1. 答案：最小值为 解析：，当 时取最小值 。 举一反三 1. 答案：； 1. 答案：； 1. 答案： 1. 答案：， 1. 答案：A（，） 1. 答案： 1. 答案：， 解析：，，， 或 。 1. 答案： 解析：，最小值为 。 A组·基础过关 1. 答案：； 1. 答案：； 1. 答案： 1. 答案：， 1. 答案： 1. 答案： 1. 答案：×（加上的是一次项系数一半的平方） 1. 答案：√ 1. 答案：√ 1. 答案：√ 1. 答案：A 1. 答案：A 1. 答案：D 1. 答案：A B组·能力提升 1. 答案： （1），，，，。 （2），，，，。 （3），，，，。 1. 答案： 解析：，展开得 ，，。 1. 答案：，，，恒为正数。 C组·思维拓展 1. 解：（1）x2﹣6x+12 ＝（x﹣3）2+3， ∵无论x取何实数，都有（x﹣3）2≥0， ∴（x﹣3）2+3≥3， ∴x2﹣6x+12的最小值为3， 故答案为：3； （2）∵3x2﹣x+2﹣（2x2+3x﹣6） ＝（x﹣2）2+4＞0， ∴3x2﹣x+2＞2x2+3x﹣6； （3）∵S四边形ABCD AC·BD AC·（10﹣AC） AC2+5AC （AC﹣5）2， ∴四边形ABCD面积的最大值为． 1. 答案：， 解析：，，，，，，。 1. 解：（1）x2+6x﹣10＝x2+6x+9﹣19＝（x+3）2﹣19， ∵（x+3）2≥0， ∴当x＝﹣3时，（x+3）2的值最小，最小值是0， ∴（x+3）2﹣19≥﹣19, ∴当x＝﹣3时，x2+6x﹣10有最小值是﹣19， 故答案为：﹣3,﹣19； （2）x2+4x+9（x2﹣8x+16）+17（x﹣4）2+17， ∵（x﹣4）2≥0， ∴（x﹣4）2≤0， ∴（x﹣4）2有最大值0， ∴x2+4x+9有最大值，最大值为17， 故答案为：大，17； （3）∵﹣x2+5x+y+20＝0， ∴y＝x2﹣5x﹣20， ∴y+x＝x2﹣4x﹣20＝（x﹣2）2﹣24， ∴y+x的最小值为﹣24． 【本讲完成情况】 项目 完成情况（✔） 自我评价 知识梳理阅读 （　） 已理解 / 需再读 做一做（5题） （　） 全对 / 错______题 典例精讲学习 （　） 已掌握 / 需再练 跟踪练习1（3题） （　） 全对 / 错______题 举一反三（8题） （　） 全对 / 错______题 A组·基础过关（14题） （　） 全对 / 错______题 B组·能力提升（3题） （　） 全对 / 错______题 C组·思维拓展（3题） （　） 全对 / 错______题 错题号：________________ 订正笔记： ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________ 学科网（北京）股份有限公司 $