4.4.2对数函数的图象和性质的应用第2课时课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦对数函数图象和性质的应用，涵盖反函数、图象应用、值域最值及综合应用等核心题型，通过复习对数函数基础性质导入，以典型例题为支架衔接前后知识，构建从基础到应用的学习脉络。 其亮点是题型分类系统，典型例题与跟踪训练结合，通性通法总结注重数形结合和逻辑推理，如通过图象解不等式、换元法求值域，培养数学眼光和思维。助力学生提升解题能力，教师可高效开展教学。

第2课时　 对数函数的图象和性质的应用 目录 典型例题·精研析 01 知能演练·扣课标 02 典型例题·精研析 01 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 反函数 【例1】　若函数 f （ x ）与 g （ x ）的图象关于直线 y ＝ x 对称，函数 f （ x ）＝（ ）－ x ，则 f （2）＋ g （4）＝（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 解析： 　∵函数 f （ x ）与 g （ x ）的图象关于直线 y ＝ x 对称， f （ x ）＝（ ）－ x ＝2 x ，∴ g （ x ）＝log2 x ，∴ f （2）＋ g （4）＝22 ＋log24＝6. 目录 数学·必修第一册 通性通法 反函数的性质 （1）同底数的指数函数与对数函数互为反函数； （2）互为反函数的两个函数的定义域与值域互换； （3）互为反函数的两个函数的图象关于直线 y ＝ x 对称. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 　（2025秋·临淄区校级月考）已知函数与互为反函数，则＝（　　） 解析： 根据题意可知，以，则. A. B. C. D.  目录 数学·必修第一册 题型二 对数型函数图象的应用 【例2】　（1）如图所示，函数 f （ x ）的图象为折线 ACB ，则不等 式 f （ x ）≥log2（ x ＋1）的解集是（　　） A. { x ｜－1＜ x ≤0} B. { x ｜－1≤ x ≤1} C. { x ｜－1＜ x ≤1} D. { x ｜－1＜ x ≤2} 目录 数学·必修第一册 解析： 在平面直角坐标系中作出函 数 y ＝log2（ x ＋1）的大致图象，如图所 示，且 y ＝log2（ x ＋1）的定义域为（－ 1，＋∞）.由图可知， f （ x ）≥log2（ x ＋1）的解集是{ x ｜－1＜ x ≤1}. 目录 数学·必修第一册 （2）（多选）已知 f （ x ）＝｜log2 x ｜，若 f （ a ）＞ f （2），则 a 的 值可以是（　　） D. 3 解析：作出函数 f （ x ）的图象，如图所示， 由于 f （2）＝ f ，故结合图象可知0＜ a ＜ 或 a ＞2. 目录 数学·必修第一册 通性通法 　　正确作出函数 y ＝ f （ x ）的图象，由数形结合思想将对数型不等 式转化为代数不等式，此方法是求解对数型不等式或求参数值（范 围）的常用方法. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 当 x ∈（1，2）时，不等式（ x －1）2＜log ax 恒成立，则实数 a 的取值 范围是（　　） A. （0，1） B. （1，2） C. （1，2] 目录 数学·必修第一册 解析： 　设 f1（ x ）＝（ x －1）2， f2（ x ）＝log ax ，要使当 x ∈（1，2）时，不等式（ x －1）2＜log ax 恒成立，只需 f1（ x ）＝（ x －1）2在（1，2）上的 图象在 f2（ x ）＝log ax 在（1，2）上的图象的下方即 可.当0＜ a ＜1时，显然不成立.当 a ＞1时，如图所示，要使在区间（1，2）上， f1（ x ）＝（ x －1）2的图象在 f2（ x ）＝log ax 的图象下方，只需 f1（2）≤ f2（2），即（2－1）2≤log a 2，log a 2≥1，解得1＜ a ≤2，故选C. 目录 数学·必修第一册 题型三 对数型函数的最值与值域 【例3】　求下列函数的值域： （1） y ＝log3（2 x －1）， x ∈[1，2]； 解： ∵1≤ x ≤2，∴1≤2 x －1≤3，∴0＝log31≤log3（2 x －1）≤log33＝1. ∴函数 y ＝log3（2 x －1）， x ∈[1，2]的值域是[0，1]. 目录 数学·必修第一册 （2） f （ x ）＝log2 ·log2 （1≤ x ≤4）. 解： ∵ f （ x ）＝log2 ·log2 ＝（log2 x －2）·（log2 x －1） ＝ － ， 又∵1≤ x ≤4，∴0≤log2 x ≤2， ∴当log2 x ＝ ，即 x ＝ ＝2 时， f （ x ）取最小值－ ； 当log2 x ＝0，即 x ＝1时， f （ x ）取得最大值2， ∴函数 f （ x ）的值域是 . 目录 数学·必修第一册 通性通法 求对数型函数值域（最值）的方法 　　对于形如 y ＝log af （ x ）（ a ＞0，且 a ≠1）的复合函数，其值域 （最值）的求解步骤如下： （1）分解成 y ＝log au ， u ＝ f （ x ）两个函数； （2）求 f （ x ）的定义域； （3）求 u 的取值范围； （4）利用 y ＝log au 的单调性求解. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 1. 已知函数 f （ x ）＝3lo x 的定义域为[3，9]，则函数 f （ x ）的值 域是 ⁠. 解析：∵ y ＝lo x 在（0，＋∞）上是减函数，∴当3≤ x ≤9时， lo 9≤lo x ≤lo 3，即－2≤lo x ≤－1，∴－6≤3lo x ≤－ 3，∴函数 f （ x ）的值域是[－6，－3]. [－6，－3]　 目录 数学·必修第一册 2.函数的最小值为( ) 解析：由题意得， 当时，的最小值为. A. B. C. D.  目录 数学·必修第一册 题型四 对数函数性质的综合应用 【例4】　已知 f （ x ）＝log4（4 x －1）. （1）求 f （ x ）的定义域； 解： 由4 x －1＞0，解得 x ＞0， 因此 f （ x ）的定义域为（0，＋∞）. 目录 数学·必修第一册 （2）讨论 f （ x ）的单调性； 解： 设0＜ x1＜ x2，则0＜ －1＜ －1， 因此log4（ －1）＜log4（ －1）， 即 f （ x1）＜ f （ x2），故 f （ x ）在（0，＋∞）上是增函数. （3）求 f （ x ）在区间 上的值域. 解： 因为 f （ x ）在区间 上单调递增， 又 f ＝0， f （2）＝log415， 因此 f （ x ）在 上的值域为[0，log415]. 目录 数学·必修第一册 通性通法 解决对数函数性质的综合问题的注意点 （1）注意代数式的变形，如分式通分，因式分解、配方法、分母 （或分子）有理化等变形技巧； （2）解答问题时应注意定义域优先的原则； （3）由于对数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需分类讨论. 目录 数学·必修第一册 【跟踪训练】 　已知函数 f （ x ）＝ln（ ax ＋1）＋ln（ x －1）的图象经过点（3， 3ln 2）. （1）求 a 的值，及 f （ x ）的定义域； 解： 由题意可得ln（3 a ＋1）＋ln（3－1）＝3ln 2， 即ln（3 a ＋1）＝2ln 2，所以3 a ＋1＝4， 解得 a ＝1，则 f （ x ）＝ln（ x ＋1）＋ln（ x －1）. 由解得 x ＞1. 所以 f （ x ）的定义域为（1，＋∞）. 目录 数学·必修第一册 （2）求关于 x 的不等式 f （ x ）≤ln 2 x 的解集. 解： 由（1）可得 f （ x ）＝ln（ x ＋1）＋ln（ x －1）＝ln （ x2－1）， x ＞1， 不等式 f （ x ）≤ln 2 x 可化为ln（ x2－1）≤ln 2 x ， 因为 y ＝ln x 在（0，＋∞）上是增函数， 所以 解得1＜ x ≤1＋ . 故不等式 f （ x ）≤ln 2 x 的解集为{ x ｜1＜ x ≤1＋ }. 目录 数学·必修第一册 1. 函数 y ＝2＋log2 x （ x ≥2）的值域为（　　） A. （3，＋∞） B. （－∞，3） C. [3，＋∞） D. （－∞，3] 解析： 　因为 x ≥2，所以log2 x ≥1，所以 y ≥3. 目录 数学·必修第一册 2. 若函数 f （ x ）＝ ax ＋log a （ x ＋1）在[0，1]上的最大值和最小值 之和为 a ，则 a ＝（　　） C. 2 D. 4 解析： 　由题意得 f （ x ）在[0，1]上单调递增或单调递减，∴ f （ x ）的最大值或最小值在端点处取得，即 f （0）＋ f （1）＝ a ， 即1＋ a ＋log a 2＝ a ，∴log a 2＝－1，解得 a ＝ . 目录 数学·必修第一册 3. 若函数 y ＝ f （ x ）是函数 y ＝ ax （ a ＞0，且 a ≠1）的反函数，其 图象经过点（ ， ），则 a ＝ 　 　. 解析：由题意得 f （ x ）＝log ax （ a ＞0，且 a ≠1， x ＞0），因为 f （ x ）的图象过点（ ， ），所以log a ＝ ，所以 ＝ ， 所以 a2＝2，所以 a ＝ （负值舍去）. 　 目录 数学·必修第一册 4. 已知函数 f （ x ）＝log2（1＋ x2）. 求证：（1）函数 f （ x ）是偶函数； 证明： 函数 f （ x ）的定义域是R， f （－ x ）＝log2[1＋（－ x ）2]＝log2（1＋ x2）＝ f （ x ）， 所以函数 f （ x ）是偶函数. 目录 数学·必修第一册 （2）函数 f （ x ）在区间（0，＋∞）上单调递增. 证明： 设 x1， x2为区间（0，＋∞）内的任意两个实 数，且 x1＜ x2， 则 f （ x1）－ f （ x2）＝log2（1＋ ）－log2（1＋ ）＝log2 . 由于0＜ x1＜ x2， 则0＜ ＜ ，0＜1＋ ＜1＋ ， 所以0＜ ＜1，所以log2 ＜0， 所以 f （ x1）＜ f （ x2）， 所以函数 f （ x ）在区间（0，＋∞）上单调递增. 目录 数学·必修第一册 知能演练·扣课标 02 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1. 已知函数 f （ x ）＝5－log3 x ， x ∈（3，27]，则 f （ x ）的值域是 （　　） A. （2，4] B. [2，4） C. [－4，4） D. （6，9] 解析： 　 f （ x ）＝5－log3 x 在 x ∈（3，27]上单调递减，所以 f （27）≤ f （ x ）＜ f （3），即2≤ f （ x ）＜4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 解析： 依题意函数的反函数图象过点， 所以的图象经过点-1，0）， 所以，解得. 故答案为：D.. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2. (2025高一下·鹤山月考) 已知函数的反函数图象过点，则（ ） A. 5 B. 4 C.3 D. 2 目录 数学·必修第一册 3. （多选）函数 y ＝ f （ x ）是函数 y ＝ ax （ a ＞0且 a ≠1）的反函 数，则下列结论正确的是（　　） A. f （ x2）＝2 f （ x ） B. f （2 x ）＝ f （ x ）＋ f （2） D. f （2 x ）＝2 f （ x ） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 解析： 　因为函数 y ＝ f （ x ）是函数 y ＝ ax （ a ＞0且 a ≠1） 的反函数，所以 f （ x ）＝log ax （ a ＞0且 a ≠1）.所以 f （ x2）＝ log ax2＝2log ax ＝2 f （ x ）， f （2 x ）＝log a 2 x ＝log a 2＋log ax ＝ f （ x ）＋ f （2）， f ＝log a x ＝log ax －log a 2＝ f （ x ）－ f （2）.所以选项A、B、C正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 4. 如果函数 f （ x ）＝（3－ a ） x 与 g （ x ）＝log ax 的单调性相同，则 实数 a 的取值范围是 ⁠. 解析：若 f （ x ）， g （ x ）均为增函数，则即1＜ a ＜ 2；若 f （ x ）， g （ x ）均为减函数，则无解，故 1＜ a ＜2. （1，2）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 5. 函数 f （ x ）＝lg（ ＋ x ）的奇偶性为（　　） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数 解析： 　易知该函数的定义域为R，又 f （ x ）＋ f （－ x ）＝lg （ ＋ x ）＋lg（ － x ）＝lg[（ ＋ x ）·（ － x ）]＝lg 1＝0，∴ f （ x ）＝－ f （－ x ），∴ f （ x ）为奇函数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 6. 设函数 f （ x ）＝｜log2 x ｜.若0＜ a ＜1＜ b 且 f （ b ）＝ f （ a ）＋ 1，则 a ＋4 b 的取值范围为 ⁠. 解析：函数 f （ x ）＝｜log2 x ｜的图象如图所 示.∵0＜ a ＜1＜ b 且 f （ b ）＝ f （ a ）＋1， ∴log2 b ＝－log2 a ＋1，∴log2 b ＋log2 a ＝1，log2 （ ab ）＝1，即 ab ＝2，∴ a ＋4 b ＝ a ＋4× ＝ a ＋ .利用对勾函数的性质知，函数 y ＝ a ＋ 在（0，1）上单调递减，∴ y ＞1＋ ＝9，∴ a ＋4 b 的取值范围为（9，＋∞）. （9，＋∞）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册 谢 谢 观 看！ $