4.4　4.4.2　第1课时　对数函数的图象和性质-2026-2027学年高一上学期数学必修一课件人教A版

该高中数学课件聚焦对数函数的图象和性质，通过课前自主学习引导学生用描点法绘制log₂x、log₃x及log₁/₂x的图象，观察单调性与对称性，搭建从具体操作到抽象性质的学习支架，衔接函数图象绘制与性质探究的知识脉络。 其亮点在于结合思维导图梳理单调性、特殊点等核心性质，课堂合作探究通过典例分析（如图象判断、大小比较）培养直观想象和数学抽象素养。采用自主画图与合作讨论结合的方法，学生能深化对函数性质的理解，教师可借助丰富实例提升教学效率，助力知识体系构建与思维能力发展。

4.4.2　对数函数的图象和性质 第1课时　对数函数的图象和性质 素养目标 思维导图 1.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象(直观想象). 2.探索并了解对数函数的单调性与特殊点(数学抽象). 课前自主学习 问题1.在同一坐标系内画出函数y=log2x和y=log3x的图象,并说出函数图象从左到右的变化趋势. x 1 2 3 4 y=log2x -2 -log23 -1 0 1 log23 2 y=log3x -log34 -1 -log32 0 log32 1 log34 提示:(1)列表 描点画图   (2)图象的变化趋势:这两个函数的图象从左到右均是不断上升的. 问题2.在问题1所画图象的基础上,再画出函数y=lox和y=lox的图象,并说出新画出的两个函数图象的变化趋势及这四个函数图象的特征. 提示:  (1)函数y=lox和y=lox的图象从左到右是下降的. (2)函数y=log2x和y=lox的图象关于x轴对称,同样,函数y=log3x和y=lox的图象也关于x轴对称. (3)这四个函数的定义域均为(0,+∞),值域为R,都过定点(1,0). 【核心概念】 对数函数的图象与性质 项目 0<a<1 a>1 图象 定义域 ______ 值域 R 性质 过定点_____,即x=1时,y=0 减函数 增函数 (0,+∞) (1,0) 课堂合作探究 探究点一　对数函数的图象 【典例1】(1)如图,其所对应的函数可能是(　　) A.y= B.y= C.y= D.y= (2)在同一直角坐标系中,函数y=a-x,y=loga(x+),(a>0且a≠1)的图象可能是(　　) 【思维导引】(1)代入特殊点的坐标即可判断答案. (2)分0<a<1、a>1讨论,结合图象可得答案. 【解析】(1)选B.设函数为y=f(x),由题图可知,f(2)=0,排除C,D,又f(0)=0,排除A. (2)选D.当0<a<1时,y=a-x是单调递增函数,图象恒过点(0,1),y=loga(x+)是单调递减函数,图象恒过点(,0);当a>1时,y=a-x是单调递减函数,图象恒过点(0,1),y=loga(x+)是单调递增函数,图象恒过点(,0);所以满足条件的图象为D. 【类题通法】现在画图象很少描点连线,大多是以基本初等函数为原料加工,所以一方面要掌握一些常见的平移、对称变换的结论,另一方面要关注定义域、值域、单调性、关键点. 提醒:图象平移时“左加右减、上加下减”仍然适用. 【定向训练】 已知a>0,且a≠1,则函数y=loga(x+)的图象一定经过(　　) A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限 【解析】选D.当x=0时,y=loga=-1, 则当0<a<1时,函数图象过第二、三、四象限;  则当a>1时,函数图象过第一、三、四象限;  所以函数y=loga(x+)的图象一定经过第三、四象限. 探究点二　对数函数单调性的应用 【典例2】比较下列各组中两个数的大小: (1)log31.9,log32;(2)log23,log0.32;(3)logaπ,loga3.14(a>0且a≠1);(4)log50.4,log60.4. 【解析】(1)因为y=log3x在(0,+∞)上单调递增,1.9<2,所以log31.9<log32. (2)因为log23>log21=0,log0.32<log0.31=0,所以log23>log0.32. (3)当a>1时,函数y=logax在(0,+∞)上单调递增,则有logaπ>loga3.14;当0<a<1时,函数y=logax在(0,+∞)上单调递减,则有logaπ<loga3.14. 综上所述,当a>1时,logaπ>loga3.14;当0<a<1时,logaπ<loga3.14. (4)在同一平面直角坐标系中,作出y=log5x,y=log6x的图象,再作出直线x=0.4(图略),观察图象可得log50.4<log60.4. 【类题通法】对数值大小的比较 (1)同底数的对数 ①首先要根据对数底数来判断对数函数的增减性,然后比较真数大小,最后利用对数函数的增减性判断两对数值的大小. ②对于底数以字母形式出现的,需要对底数a进行讨论. (2)对于不同底的对数,可以估算范围,如1<log23<2,从而借助中间值比较大小. 【定向训练】 已知关于x的函数y=log2(2-ax)在[0,1]上是单调递减的函数,则a的取值范围为(　　) A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.(0,2] D.(0,2) 【解析】选D.令t=2-ax(t>0),则y=log2t,因为y=log2t是单调递增函数,函数y=log2(2-ax)在[0,1]上是单调递减的函数,由复合函数的单调性判断方法可得t=2-ax(t>0)是单调递减函数,所以a>0,又y=log2(2-ax)在[0,1]上是单调递减的函数,所以,得0<a<2. 探究点三　求函数的值域及综合问题 【典例3】(一题多问) 已知函数f(x)=(x2-2ax+3).解决下列问题: (1)若函数f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围. (2)若函数f(x)的值域为R,求实数a的取值范围. (3)若函数f(x)在[-1,+∞)内有意义,求实数a的取值范围. (4)若函数f(x)的定义域为(-∞,1)∪(3,+∞),求实数a的值. (5)若函数f(x)的值域为(-∞,-1],求实数a的值. (6)若函数f(x)在(-∞,1]上为增函数,求实数a的取值范围. 【问题解读】(1)说明真数大于0. (2)说明真数取遍所有正数. (3)说明x∈[-1,+∞)时,真数大于0. (4)说明真数等于0时,两根分别为1,3. (5)说明真数存在最小值为2. (6)说明真数在(-∞,1]上单调递减,且大于0. 【解析】(1)若函数f(x)的定义域为R,则对∀x∈R,x2-2ax+3>0恒成立, 即(-2a)2-12<0,所以-<a<,即a的取值范围为(-,). (2)若函数f(x)的值域为R,则x2-2ax+3可以取到所有正数, 所以(-2a)2-12≥0,所以a≤-或a≥,即a的取值范围为(-∞,-]∪[,+∞). (3)若函数f(x)在[-1,+∞)内有意义,则∀x∈[-1,+∞),x2-2ax+3>0恒成立, 函数y=x2-2ax+3,对称轴x=a,当a≤-1时,(-1)2-2a×(-1)+3>0,解得-2<a≤-1, 当a>-1时,(-2a)2-12<0,解得-1<a<,所以a的取值范围为(-2,). (4)因为函数f(x)的定义域为(-∞,1)∪(3,+∞),所以x2-2ax+3=0的两根分别为1,3,即2a=1+3,所以a=2. (5)因为函数f(x)的值域为(-∞,-1],所以函数y=x2-2ax+3的最小值为2, 即x=a时,y=a2-2a2+3=2,解得a=±1. (6)因为函数f(x)在(-∞,1]上为增函数, 所以函数y=x2-2ax+3在(-∞,1]上单调递减,且12-2a+3>0,所以对称轴x=a≥1,且a<2, 所以实数a的取值范围为[1,2). 【类题通法】在函数三要素中,值域从属于定义域和对应关系.故求y=logaf(x)型函数的值域必先求定义域,进而确定f(x)的范围,再利用对数函数y=logax的单调性求出logaf(x)的取值范围. 课堂练习 1.函数y=的图象大致是(　　)   【解析】选D.函数y=的定义域是{x|x≠0},且易得函数为奇函数, 所以函数图象关于原点对称,可排除A,B,当x=1时,y=lg 1=0,故图象与x轴相交,且其中一个交点为(1,0),只有D中图象符合. √ 2.设集合M=,N={y|y=log2x,x∈(0,1]},则集合M∪N等于 (　　) A.(-∞,0)∪[1,+∞) B.[0,+∞) C.(-∞,1] D.(-∞,0)∪(0,1) 【解析】选C.M=(0,1],N=(-∞,0],因此M∪N=(-∞,1]. √ 3.设a=log3π,b=log2,c=log3,则(　　) A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a 【解析】选A.因为a=log3π>1,b=log23,则<b<1,c=log32<,所以a>b>c. √ 4.函数y=loga(x-4)+2(a>0且a≠1)恒过定点　　　　　.  【解析】令x-4=1得x=5,此时y=loga1+2=2,所以函数y=loga(x-4)+2恒过定点(5,2). 答案:(5,2) 5.已知函数y=loga(x+3)-(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A也在函数f(x)=3x+b的图象上,则b=　　　　.  【解析】当x+3=1,即x=-2时,对任意的a>0,且a≠1都有y=loga1-=0-=-, 所以函数y=loga(x+3)-的图象恒过定点A(-2,-),若点A也在函数f(x)=3x+b的图象上,则-=3-2+b,所以b=-1. 答案:-1 谢 谢 $