2.2.3 两条直线的位置关系（同步课件）数学人教B版2019选择性必修第一册

2.2.3 两条直线的位置关系 主讲： 人教B版选择性必修第一册 第2章 平面解析几何 #复习回顾 斜截式： y=kx+b 点斜式： Ax+By+C=0 两点式： 截距式： 一般式： 尝试与发现 (1)已知直线l1：x-y+1=0，直线l2：x+y+3=0，判断l1与l2之间的关系. 如果相交，求出交点的坐标；如果不相交，说明理由. (2)总结怎样依据两条直线的方程来考察它们之间的位置关系. 联立方程组 解得x=-2，y=-1, 所以点(-2,-1)同时在直线l1和l2上， 即直线l1与l2相交，交点为(-2,-1). 点在直线上的充要条件是这个点的坐标能满足直线的方程。 联立方程组 消去y可得 (k1-k2)x= - (b1-b2) 若直线l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，则可得方程组 (1)当k1≠k2时，方程组有唯一的解，即直线相交，交点坐标为 (2)当k1=k2且b1≠b2时，方程组无解，即两直线没有交点，因此两直线平行。 (3)当k1=k2且b1=b2时，方程组有无数组解，即两直线方程完全一样，因此两直线重合。 一、两条直线的相交、平行与重合 若直线l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，则 l1与l2相交 ⇔ k1≠k2 l1与l2平行 ⇔ k1=k2且b1≠b2 l1与l2重合 ⇔ k1=k2且b1=b2 一、两条直线的相交、平行与重合 若直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0则 l1与l2相交 ⇔ A1B2≠A2B1 l1与l2平行 ⇔ A1B2=A2B1且B1C2≠B2C1 l1与l2重合 ⇔ A1B2=A2B1且B1C2=B2C1 【典型例题一】 例1 判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标： (1) l1：x-y+1=0，l2：2x-2y+1=0 (2) l1：x-2y+1=0，l2：x+2y+5=0 解：(1)将l1与l2的方程分别化为斜截式可知 l1：y=x+1，l2：y=x+ 因为l1与l2的斜率相等，但截距不相等，所以它们平行. 【典型例题一】 例1 判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标： (1) l1：x-y+1=0，l2：2x-2y+1=0 (2) l1：x-2y+1=0，l2：x+2y+5=0 解：(2)解方程组 可得x=-3，y=-1. 因为l1与l2相交，而且交点坐标为(3,-1) 【典型例题二】 例2 已知直线l过点(1,-4)且与直线2x+3y+5=0平行，求直线l的方程. 解：依题意，设l的方程为2x+3y+C=0， 由于直线 l 过点(1,-4)，因此2×1+3×(-4)+C=0， 解得C=10， 因此直线l的方程为2x+3y+10=0. 二、直线的法向量 直线的一般式方程为Ax+By+C=0 (A,B不同时为0） 设P0(x0,y0)为直线l上一个固定的点，P(x,y)为直线l上任意一点， 则 第二式减去第一式可得 A(x-x0)+B(y-y0)=0 若记v=(A,B)，则v与向量=(x-x0,y-y0)的内积为0，记v⊥， 即v=(A,B)为直线Ax+By+C=0的一个法向量。 尝试与发现 如果要根据两条直线的方程来判断它们是否垂直，可以从哪些方面来考虑？用你想到的方法判断直线l1：A1x+B1y+C1=0与直线l2：A2x+B2y+C2=0是否垂直. x y O l1 l2 直线l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2的倾斜角分别α1，α2 显然，两条直线垂直的充要条件是 α2=α1+90° l1 ⊥ l2 ⇔ α2=α1+90° ⇔ tanα2=tan(α1+90°)= α1 α2 ⇔ tanα1 tanα2=-1 ⇔ k1 k2=-1 x y O l1 l2 直线l1：A1x+B1y+C1=0与直线l2：A2x+B2y+C2=0的法向量分别是v1=(A1,B1)，v2=(A2,B2). 显然，两条直线垂直的充要条件是它们的法向量相互垂直。 l1 ⊥ l2 ⇔ v1 · v2=0 ⇔ A1A2+B1B2=0 二、两条直线的垂直 对于斜率分别为k1，k2的两条不重合的直线l1，l2，有 l1 ⊥ l2 k1 · k2=-1 当l1或l2的倾斜角为90°时，若 l1⊥l2 ，则另一条直线的倾斜角为0°；反之亦然. 对于直线l1：A1x+B1y+C1=0与直线l2：A2x+B2y+C2=0，有 l1 ⊥ l2 A1A2+B1B2=0 【典型例题三】 例3 判断下列各对直线是否垂直 (1) l1：y=2x-2，l2：x-2y+1=0； (2) l1：x=2，l2：y-3=0 垂直 不垂直 【典型例题四】 例4 分别求下列直线的方程 (1)过点(3,1)且与直线y=3x-1垂直的直线l1； (2)过点(1,2)且直线2x+y-10=0垂直的直线l2. 解：(1)因为直线 y=3x-1的斜率为3且与l1垂直，所以l1的斜率为， 因此直线l1的点斜式方程为 y-1(x-3)，整理得x+3y-6=0. (2)依题意可设l2的方程为x-2y+C=0，由于l2过点(1,2)， 因此 1-2×2+C=0，解得C=3，因此直线l2的方程为 x-2y+3=0. 课堂小结 l1⊥l2 ⇔ k1k2=–1 l1∥l2 ⇔ k1=k2 ⇔ A1B2=A2B1且B1C2≠B2C1 ⇔ A1A2+B1B2=0 主讲： 人教B版选择性必修第一册 感谢聆听 $$