2.2.3 两条直线的位置关系第1课时课件——2026-2027学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦两条直线的相交、平行与重合的判定及充要条件，从初中平面几何中直线位置关系的知识出发，通过问题“如何依据直线方程判定位置关系”建立联系，搭建从几何直观到代数表达的学习支架。 其亮点在于采用“尝试与发现”引导学生自主探究，先从斜截式方程分析方程组解的情况得出斜率存在时的判定条件，再补充斜率不存在的情况用一般式和法向量共线完善，体现逻辑推理的数学思维。例题与练习设计注重充要条件辨析，如判断“k1=k2是l1∥l2的什么条件”，培养学生的数学眼光和语言表达能力。学生能理解知识形成过程，教师可借助清晰结构提升教学效率。

人教B版(2019)选择性必修第一册 2.2.3两条直线的位置关系（第一课时） 第二章 平面解析几何 1 学习目标 了解两条直线的相交、平行和重合的斜率之间关系，体现逻辑推理能力（重点） 掌握两条直线的平行和重合的充要条件，体现逻辑推理能力（重难点） 2 新课导入 从初中平面几何中我们就已经知道，两条不重合的直线l1与l2：如果它们没有公共点，那么l1与l2平行；否则，l1与l2相交，而且有唯一的交点.在平面直角坐标系中，直线可以用直线的方程来表示，那么如何依据两条直线的方程来判定它们之间的位置关系呢？这就是下面我们要讨论的问题. 3 新课学习 尝试与发现：(1)已知直线l1:x−y+1=0，直线l2:x+y+3=0，判断l1与l2之间的关系. 如果相交，求出交点的坐标；如果不相交，说明理由. 因为平面直角坐标系中，一个点在直线上的充要条件是这个点的坐标能满足直线的方程，所以为了考察l1与l2之间的位置关系，只要看它们的方程组成的方程组的解的情况即可. 又因为解方程组 可得x=−2，y=−1，所以可知l1与l2是相交的，而且交点的坐标为(-2, -1). 4 新课学习 尝试与发现：(2)总结怎样依据两条直线的方程来考察它们之间的位置关系. 若直线l1:y=k1x+b1，l2:y=k2x+b2，则可得方程组 消去未知数y并整理，可得(k1−k2)x=−(b1−b2).① 5 新课学习 尝试与发现：(2)总结怎样依据两条直线的方程来考察它们之间的位置关系. (2)当且仅当k1−k2=0且−(b1−b2)≠0，即k1=k2且b1≠b2时，①式无解，因此方程组也无解. 此时，直线l1与l2没有交点，因此它们相互平行. (3)当且仅当k1−k2=0且−(b1−b2)=0，即k1=k2且b1=b2时，任意实数都是①式的解，方程组有无数组解. 此时，直线l1与l2的方程完全一样，它们有无穷多个交点，因此重合. 6 新课学习 直线与直线的相交、平行与重合的判定 若直线l1:y=k1x+b1，l2:y=k2x+b2，则： l1与l2相交⇔k1≠k2； l1与l2平行⇔k1=k2且b1≠b2； l1与l2重合⇔k1=k2且b1=b2. 例如：直线y=-x与y=2x相交，直线y=3与y=-1平行. 7 新课学习 尝试与发现：上述结论中包括了平面直角坐标系中所有的直线吗？如果没有，请提出能包括所有直线的解决方案，并尝试给出最后的结论 ． 上次的讨论没有包含斜率不存在的情况 设直线l1:A1x+B1y+C1=0，l2:A2x+B2y+C2=0，设v1=(A1,B1)是直线l1的一个法向量，v2=(A2,B2)是直线l2的一个法向量，如图(1)(2)所示，不难看出： 1.l1与l2相交(即只有一个交点)的充要条件是v1与v2不共线，即A1B2≠A2B1； 2.l1与l2平行或重合的充要条件是v1与v2共线，即 A1B2=A2B1. 8 新课学习 尝试与发现：上述结论中包括了平面直角坐标系中所有的直线吗？如果没有，请提出能包括所有直线的解决方案，并尝试给出最后的结论 ． 9 新课学习 尝试与发现：上述结论中包括了平面直角坐标系中所有的直线吗？如果没有，请提出能包括所有直线的解决方案，并尝试给出最后的结论 ． 10 新课学习 直线与直线的平行与重合的充要条件 直线Ax+By+C1=0与直线Ax+By+C2=0，平行的充要条件是C1≠C2， 重合的充要条件是C1=C2. 11 新课学习 例1：判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标： (1)l1:x−y+1=0，l2:2x−2y+1=0； 将l1与l2的方程分别化为斜截式可知 l1:y=x+1， 因此l1与l2的斜率相等，但截距不相等，所以它们平行. 12 新课学习 例1：判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标： (2)l1:x−2y+1=0，l2:x+2y+5=0. 解方程组 可得x=−3，y=−1. 因此l1与l2相交，而且交点的坐标为(-3, -1). 13 新课学习 例2：已知直线l过点(1,-4)且与直线2x+3y+5=0平行，求直线l的方程. 依题意可设l的方程为2x+3y+C=0. 由于l过点(1,-4)，因此 2×1+3×(−4)+C=0, 解得C=10. 因此直线l的方程为2x+3y+10=0. 结论：例2所求得直线只有一条，这实际也可以说明：通过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行. 14 课堂练习 A 15 课堂练习 16 课堂练习 B 17 课堂练习 18 课堂练习 B 19 课堂练习 20 课堂练习 B 21 课堂练习 22 课堂练习 B 23 课堂练习 24 课堂练习 7 25 课堂练习 26 课堂总结 1.直线与直线的相交、平行与重合的判定 2.直线与直线的平行与重合的充要条件 27 谢 谢 观 看 28 (1)当且仅当 ，即 时，①式有唯一的解 ，因此可知方程组有唯一的解，且 . 此时，直线l1与l2有唯一的交点（称为相交），且交点坐标为 . 在v1与v2共线时，存在实常数λ ，使得v1=λv2，因为v1与v2都不是零向量，所以λ≠0，且 此时 的方程可以改写为 ，即 . 2.下列直线中与直线 平行的是( ) A. B. C. D. 解析：对于直线 ，可化为 ， 对于A，因为 ，所以 ，与目标直线不平行，故A错误， 对于B，因为 ，所以 ，与目标直线平行，故B正确， 对于C，因为 ，所以 ，与目标直线不平行，故C错误， 对于D，因为 ，所以 ，与目标直线不平行，故D错误. 故选：B 3.已知直线 与直线 平行，则m的值为( ) A.4 B.–4 C.2或-4 D.-2或4 解析：因为直线 与直线 平行，所以 ，解得 或 ，当 时直线 与直线 重合，不符合题意；当 时直线 与直线 平行.故选：B 4.下列说法正确的是( ) A.两条直线的斜率相等是这两条直线平行的充要条件 B.两条直线的倾斜角不相等是这两条直线相交的充要条件 C.两条直线平行是这两条直线的倾斜角相等的充要条件 D.两条直线平行是这两条直线的法向量平行的充要条件 解析：因为直线 与 的斜率存在，若 ，则 ，或重合；若 ，则斜率相等，即 .因此，“ ”是“ ”的必要不充分条件.故选：B 解析：由题意得，直线 的斜率为 ， 直线 的斜率为 ， 则 ，得 .故答案为：7. $