福建省福州第一中学2025-2026学年第二学期第四学段模块考试（期末）数学试卷

福州一中2025-2026学年第二学期第四学段模块考试 高二数学选择性必修三模块试卷 满分：150分 完卷时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1．（ ） A．63 B．10 C．21 D．0 2．设实数x满足，则函数的最小值为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．设，，若是的必要条件，则（ ） A． B． C． D． 4．从数字1，2，3，4，5中随机选取两个不同的数，在至少有一个为奇数的条件下，这两个数为一奇一偶的概率为（ ） A． B． C． D． 5．由下表中的成对样本数据得到经验回归方程为，则（ ） x 1 2 3 4 5 y 2 4 5 6 8 附：①经验回归方程中，，； ②参考数据：，． A． B． C． D． 6．若，则（ ） A．0 B． C．81 D．80 7．设随机变量，若，则（ ） A． B．在上有最大值 C． D． 附参考数据：①；②； ③． 8．从的方格表中随机选出4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中．若选中方格中的4个数之和为X，则随机变量X的期望（ ） A．0 B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若随机事件M，N满足：，，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D．M与N相互独立 10．下列关于排列数、组合数的等式（，，）中，正确的是（ ） A． B． C． D． 11．在信道内发送5位二进制码数据流，前4位为信息码，最后一位为偶检验码，使得5位二进制码数据流中1的个数为偶数．例如：若信息码为1100，则检验码为0，所发送数据流为11000；若信息码为1000，则检验码为1，所发送数据流为10001．每位二进制码信号的传输相互独立，当发送时，收到的概率为，收到的概率为．接收方收到数据后，若数据流中1的个数是奇数个，则数据传输错误，要求重新发送该数据，则下列说法正确的是（ ） A．5位二进制码数据流传输全部正确的概率为 B．若发送的数据流为10010，则接收到的数据流为11101的概率为； C．接收方要求重新发送该数据的概率为 D．若所接收数据流中1的个数是偶数个，则信息码传输正确的概率为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．两批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为．将两批产品混合，从混合产品中任取一件，则这件产品是次品的概率为__________． 13．已知，且，记随机变量X为x，y，z中的最小值，则__________． 14．若数列不是等比数列，且使得，那么称数列为“局部等比数列”．若从集合中抽取个数构成一个数列，则数列为“局部等比数列”的概率为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（分）已知的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，． （）求A； （）若的面积为，求a和． 16．（15分）某学校对学生是否经常锻炼的情况开展调查，采用简单随机抽样的方法抽取男生、女生各50人．调查数据发现：经常锻炼的学生共46人，其中女生16人． （1）根据以上数据，完成下述列联表： 经常锻炼 不经常锻炼 合计 男生 女生 合计 （2）依据的独立性检验，分析该校学生在体育锻炼的经常性方面是否与性别有关； （3）现从调查的男生中，按是否经常锻炼的比例分层抽样选出5人，再从这5人中随机抽取3人赠送书签，记赠送书签的3人中经常锻炼的人数为X，求X的分布列及数学期望． 附：，． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.841 10.828 17．（15分）某地区为了解本地直播带货情况，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本．通过数据分析得知，直播销售主播年龄等级分布如图1所示，一周内使用直播销售的频率分布扇形图如图2所示．若将销售主播按照年龄分为“年轻人”（20岁~39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内直播销售使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用直播销售用户”，直播销售使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用直播销售用户”，已知“经常使用直播销售用户”中有是“年轻人”． 记， （1）计算的估计值； （2）利用样本估计总体，及频率估计概率，若在该地区“非年轻人”中随机抽取4人，记这抽到的4人中“不经常使用直播”人数为Z，求Z的分布列和数学期望； （3）某投资公司准备将100万元投资到“销售该地区农产品”的项目上，对如下两方案： 方案一：线下销售．根据市场调研，利用传统的线下销售，到年底可能获利，可能亏损，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，； 方案二：线上直播销售．根据市场调研，利用线上直播销售，到年底可能获利，可能亏损，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，． 请你从期望和方差的角度为投资公司选择一个合理的方案，并说明理由． 18．（17分）在一个口袋中装有6个红球和4个黑球，这些球除颜色外完全相同．有一个摸奖游戏，游戏规定：每位参与者进行4次摸球，每次从袋中摸出一个球，现有A，B两种摸球方式：A是有放回摸球，记摸到红球的次数为X；B是不放回摸球，记摸到红球的次数为Y． （1）若游戏规定：摸到的红球数不少于摸到的黑球数则中奖．则在这个规定下，游戏的参与者应该选择哪种摸球方式更有利于中奖？ （2）求当取得最大时k的值． （3）定义变换函数：，现采用A摸球方式对函数进行连续变换，记，求随机变量Z的数学期望和方差． 19．（17分）某城市进行街舞比赛，采用单淘汰制，即每名选手负一次即被淘汰出局．已知共有名选手将其随机编号后对阵比赛，所有选手在任何一场比赛中获胜的概率均为．现有甲、乙两位孪生兄弟参加比赛． （1）当时，下图1为4名选手的对阵示意图，求甲、乙在第二轮比赛过程中相遇的概率； （2）当时，下图2为8名选手的对阵示意图，求甲、乙在比赛过程中相遇的概率； （3）当时，对阵示意图和以上图类似． （i）求甲、乙两人在第三轮比赛中相遇的概率（用含n的式子表示）； （ii）若甲、乙两人在比赛过程中相遇的概率小于0.01，求n的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $