第17讲角的概念（知识点+题型精讲+过关检测）2026-2027学年人教版七年级数学上册暑假预习讲义

第17讲角的概念 目录 知识点1 角的双重定义（必考） 2 知识点2 角的四种规范表示方法 2 知识点3 角的分类及度数范围 3 知识点4 角度制与度分秒换算（六十进制） 3 知识点5 钟面角核心规律 3 知识点6 方向角定义与规范 4 题型1 角的概念理解 4 题型2 角的表示方法 5 题型3 角的分类 6 题型4 钟面角 6 题型5 方向角的表示 7 题型6 与方向角有关的计算题 8 题型7 角的单位与角度制 10 题型8 角的度数大小比较 10 1. 知识目标：掌握角的静态、动态双重定义，熟记角的四种规范表示方法；明确锐角、直角、钝角、平角、周角的分类标准；掌握角度六十进制换算规则、钟面角与方向角的核心概念。 2. 能力目标：能精准辨析角的概念误区、规范书写角的符号与名称；熟练进行度分秒换算、角度大小比较；掌握钟面角计算、方向角识别与计算的标准解题方法，适配各类基础题型。 3. 素养目标：建立几何图形抽象思维与规范几何语言体系，培养数形结合、精准计算、方位辨识的能力，夯实角度计算与几何识图基础。 知识点1 角的双重定义（必考） 1. 静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。三要素：公共顶点、两条射线边，三者缺一不可。 图2 图1 2. 动态定义：一条射线绕着它的端点从起始位置旋转到终止位置所形成的图形，始边为起始射线，终边为终止射线。 3. 初中默认范围：无特殊说明，所有角均指小于平角的角。 知识点2 角的四种规范表示方法 1. 三个大写字母：∠AOB，顶点字母必须在中间，通用无限制，永不出错； 2. 一个大写字母：∠O，仅适用于顶点处只有一个角的情况，多角共用顶点禁止使用； 3. 数字表示：∠1、∠2，需在角内部标注数字弧线，简洁直观； 4. 希腊字母表示：∠α、∠β，多用于复杂图形标注，规范统一。 知识点3 角的分类及度数范围 1. 锐角： 2. 直角：，可用直角符号标注 3. 钝角： 4. 平角：，两边成一条直线，但平角不是直线（有顶点） 5. 周角：，两边重合，但周角不是射线（有旋转过程） 知识点4 角度制与度分秒换算（六十进制） 1. 核心进率：，，，全程六十进制，区别于十进制； 2. 大换小：乘60；小换大：除以60； 3. 书写规范：度（°）、分（′）、秒（″）符号不可遗漏、混用。 知识点5 钟面角核心规律 1. 钟面一周360°，均分12大格，每大格30°（）； 2. 每大格分5小格，共60小格，每小格6°（）； 3. 时针转速：，分针转速：。 知识点6 方向角定义与规范 1. 定义：以正南、正北为基准，描述物体方位的角，统称方位角/方向角； 2. 规范格式：北偏东、北偏西、南偏东、南偏西，先南北、后东西； 3. 特殊方向：正东、正西、正南、正北、东北（北偏东45°）、西北、东南、西南。 例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角． 题型1 角的概念理解 解题技巧（三要素判定法）：1. 严格对照角的定义，必须同时满足：公共端点、两条射线边，缺一不是角；2. 区分易错误区：直线不是平角、射线不是周角，角是图形，线无顶点；3. 排除干扰图形：曲线组成、无公共端点、线段组成的图形均不是角；4. 动态辨析：射线旋转过程中形成的图形均为角，范围符合初中默认规则。 易错汇总：有顶点无射线、有射线无公共顶点、曲线构成图形均不属于角。 【典例1】．下列叙述正确的是（     ） A．线段可表示为线段 B．射线可表示为射线 C．直线和射线可以比较长短 D．角是由两条射线组成的图形 【变式1】．下列说法中正确的是（　　） A．角是由两条射线组成的图形 B．两点之间的线段叫做两点之间的距离 C．如果线段，那么B叫做线段的中点 D．两点确定一条直线 【变式2】．一个角的度数是，用倍的放大镜观察，此时这个角的度数是______． 【变式3】．如图，有___________个角． 题型2 角的表示方法 解题技巧（择优规范法）：1. 多角共顶点：必须用三个大写字母，顶点居中，杜绝单字母表示；2. 唯一角顶点：可直接用单个大写字母表示，简洁规范；3. 复杂图形：优先标注数字或希腊字母，避免字母混淆；4. 绝对禁忌：颠倒顶点字母、漏写角符号∠、字母顺序混乱。 秒杀口诀：多角三字母，单角单字母，复杂标数字，顶点居中不搞错。 【典例2】．如图，下列说法错误的是（     ） A．与表示同一个角 B．与表示同一个角 C．也可以用表示 D．图中共有三个角 【变式1】．下列图形中，能用，，三种方法表示同一个角的是（ 　   ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，下列四种说法：①与是同一个角；②也可用来表示；③图中共有三个角：，，；④与是同一个角．其中正确的是________（填序号）． 【变式3】．如图，写出符合下列条件的角： （1）能用一个大写字母表示的角有______； （2）以B为顶点的角有______（用较简洁的方法表示）； （3）以CD为边的角有______． 题型3 角的分类 解题技巧（区间定位法）：1. 熟记五类角度区间，精准对号入座；2. 取值判断：严格区分边界，90°是直角、不属于锐角钝角，180°是平角、不属于钝角；3. 图形判断：目测结合直角参照，快速区分各类角；4. 综合排序：按锐角<直角<钝角<平角<周角固定顺序排列。 高频易错：易将180°归为钝角、90°归为锐角，务必牢记边界值专属分类。 【典例3】．下列说法正确的是（   ） A．平角就是一条直线 B．周角就是一条射线 C．小于平角的角是钝角 D．锐角是指大于而小于的角 【变式1】．下列各角中，是钝角的是（   ） A．周角 B．平角 C．平角 D．平角 【变式2】．1周角=___________平角，1平角=___________直角，1直角=___________，___________，___________． 【变式3】．如图，小于平角的角共有________个． 题型4 钟面角 解题技巧（双转速公式法）：1. 固定参数：时针0.5°/分钟，分针6°/分钟，每大格30°；2. 先算夹角格数：根据时针、分针位置，计算间隔大格数；3. 动态计算：非整点时刻，分别算出时针、分针旋转角度，求差值；4. 取值修正：钟面夹角取0°~180°，超过180°用360°减去差值。 核心公式：钟面较小夹角 = min(|分针角度-时针角度|,360°-差值) 【典例4】．钟面上9点15时，时针与分针形成的最小夹角的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．如图，此时钟面上的时间是10时40分，到11时，时针走过的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．3：30时，钟面上时针和分针组成的角是________角；_________时整或________时整，时针和分针的夹角是直角． 【变式3】．钟面上指针指示的时刻是10点45分，此时时针与分针的夹角是________度． 题型5 方向角的表示 解题技巧（基准优先法）：1. 固定基准：先定南北，再定东西，严禁东偏北、西偏南颠倒表述；2. 角度判定：角度为与南北基准线的夹角，不是与东西线夹角；3. 特殊简写：45°方位可简写为东北、西北、东南、西南；4. 规范书写：完整格式为“北偏东××°”“南偏西××°”，数值精准无偏差。 扣分重点：方位顺序颠倒、角度基准找错、特殊方位表述不规范。 【典例5】．某小区要进行地下管道建设，从A区和B区同时向中间开挖一条笔直的管道．工程人员在A区测得管道方向为北偏东．为了保证在中间能准确对接，工程人员在B区施工的方向应是（   ） A．北偏西35° B．南偏西35° C．南偏东35° D．西偏南35° 【变式1】．如图，琪琪一家要到革命圣地西柏坡参观，下列说法正确的是（     ） A．西柏坡在家东偏北方向 B．西柏坡在家北偏东方向 C．家在西柏坡南偏西方向 D．家在西柏坡西偏南方向 【变式2】．某军事行动中，对军队部署的行动，采用代码方式来表示．例如，北偏东方向的位置与钟面相结合，以钟面圆心为基准，时针指向北偏东的时刻是∶，那么这个地点就用代码表示，按这种表示方式，北偏东方向的位置，可用代码表示为__________． 【变式3】．如图，货船与港口相距30海里，从港口看，货船的位置可描述为________方向． 题型6 与方向角有关的计算题 解题技巧（画图建模法）：1. 建立十字方位坐标系，标注正北、正南、正东、正西；2. 根据题干依次画出各条方位射线，标注对应角度；3. 利用平角180°、直角90°、对顶角相等推导未知角度；4. 结合角度和差运算，精准计算目标方位角，最后规范表述。 解题关键：无图必画图，通过几何图形转化角度关系，避免纯文字空想出错。 【典例6】．如图，是北偏东方向的一条射线，射线与射线互相垂直，则射线所在的方位是（     ） A．东偏北 B．西偏北 C．北偏西 D．北偏西 【变式1】．如图，从登山电梯上的点处观察山顶处的仰角为与竖直方向的夹角分别为和，则从点处观察山脚处的俯角为（     ） A． B． C． D． 【变式2】．开州拥有丰富的红色文化和传统文化资源，其中举子园、刘伯承同志纪念馆、刘伯承同志故居都是著名景点．如图，点是举子园，刘伯承同志纪念馆位于举子园的北偏西方向，刘伯承故居位于举子园的南偏西方向，那么__________． 【变式3】．如图，是北偏东方向上的一条射线，是南偏西方向上的一条射线，则_______． 题型7 角的单位与角度制 解题技巧（六十进制换算套路）：1. 度转分、分转秒：大换小乘60，逐级拆分；2. 秒转分、分转度：小换大除60，逐级合并；3. 带余数换算：余数保留进下一级，杜绝十进制混用；4. 加减运算：同级单位相加减，满60进1，不够减向前借1当60。 易错警示：角度是六十进制，严禁按10、100进制换算，是计算高频丢分点。 【典例7】．下列换算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．一个角是，则可化为多少分（     ） A． B． C． D． 【变式2】．______． 【变式3】．已知，，则 _______ （填“<”或“>”或“=”）． 题型8 角的度数大小比较 解题技巧（统一单位比较法）：1. 统一格式：所有角度统一换算为度、或度分秒完整格式；2. 分级比较：先比度数、再比分数、最后比秒数，逐级比对；3. 分类速判：锐角<直角<钝角<平角<周角，可直接定性比较；4. 近似取值：复杂角度可统一保留小数位数，精准对比大小。 核心原则：单位不统一绝不比较，先换算、后对比，杜绝主观判断。 【典例8】．如图，射线，，，，分别对应量角器上外圈的，，，，刻度线，点与量角器的中心重合，下列最大的角是（     ） A． B． C． D． 【变式1】．若，，则这两个角的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式2】．比较角度的大小：________．（填“”“”或“”） 【变式3】．如果，，，那么，，的大小关系是_____________． 1．下列有四种说法，其中正确的是（   ） A．经过一点可以作无数条直线 B．射线和射线是同一条射线 C．角两边的长度决定角的大小 D．直线比线段长 2．用一个7倍的放大镜看一个的角，看到的角的度数为（   ） A． B． C． D． 3．下列说法： ①由两条射线组成的图形叫做角； ②连接两点的线段叫两点之间的距离； ③射线与射线是两条不同的射线； ④用两颗钉子可以把木条固定在墙上可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释； ⑤两点之间直线最短． 其中正确的有（     ）个 A． B． C． D． 4．下列四个图中，对于图形的描述正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．在综合与实践课上，将与两个角的关系记为，探索n的大小与两个角的类型之间的关系（　　） A．当时，若为锐角，则为锐角 B．当时，若为钝角，则为钝角 C．当时，若为锐角，则为锐角 D．当时，若为锐角，则为钝角 6．在时刻时，时钟上的时针与分针之间所成的夹角是（     ） A． B． C． D． 7．白河的生态修复工程让南阳的母亲河重焕生机．如图是东西流向且两岸a、b互相平行的一段白河河道，在河岸a上有一建筑P，在河岸b上的小宛观测到建筑P在他的北偏西方向上，则小宛的位置可能是（     ） A．A B．B C．C D．D 8．如图，小军和小强分别用点A，B表示，小军在广场处的北偏西方向，的大小为，则图示状态下，小强在广场处的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．南偏东方向 D．南偏西方向 9．若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 10．以下说法中①一批水果质量一定，按每箱质量相等分装，则装箱数与每箱的质量成反比例关系；②“把弯曲的河道改直，河道长度变短”的依据是“两点确定一条直线”；③若，，则；④代数式的意义是与3的和的2倍；⑤在木条上只要钉两个钉子，木条就被固定在木板上，这说明“两点之间，线段最短”．完全正确的是（   ） A．②③⑤ B．①③④ C．②④⑤ D．①②④ 11．图中有______个角． 12．如图所示的图形中有______个小于平角的角，写出以为一边的所有角：______． 13．北京时间2023年9月21日15时45分，《天宫课堂》第四课正式开讲．在时，时钟上的时针与分针之间所成的夹角是_________． 14．如图，是点南偏西方向的一条射线，若，则的方向是______． 15．已知，，，，则、、的大小关系是______（用“”连接）． 16．用度、分、秒表示下列各角： (1)； (2)． 17．计算：． 18．如图，所有小正方形的边长都为1，点，，都在格点（小正方形的顶点）上．请仅用无刻度的直尺完成下列作图（不写作法）． (1)在图①中作，使； (2)在图②中作线段，使于点，交于点． 19．推理能力如图是锐角，以O为端点向内部作1条射线时，图中有多少个角？作2条、3条射线时各有多少个角？作n条射线时有多少个角？ 20．观察常用时钟，回答下列问题： (1)早晨8时整，时针和分针所成的最小的角是多少度？ (2)时针多长时间转一圈？它转动的速度是每小时多少度？ (3)从8：00到8：40，分针转动了多少度？ 21．填一填，画一画． (1)图书馆在区政府的_______偏_______ _______°方向_______米处． (2)人民会堂在区政府的_______偏_______ _______°方向_______米处． (3)人民会堂在图书馆的_______偏_______方向． (4)绿园在图书馆的南偏东方向400米处，在图上画出绿园的位置． 22．阅读信息，解决问题： 信息1 信息2 小莹和小亮两家人相约自驾游，他们沿同一条道路匀速行驶．小莹家车的速度是50千米/时，小亮家车的速度是小莹家车的速度的倍． 某时刻小莹家车在小亮家车前方10千米，此时小亮看到自己手表显示的时间如图中表盘所示，表示时针，表示分针，时针和分针在转动的过程中形成的角是，表带所在直线为． (1)小亮看表时，时针和分针的夹角为____________； (2)小亮家车刚追上小莹家车时，时针和分针的夹角为____________； (3)自小亮看表的时刻起，到他家车追上小莹家车这一段时间中，求经过多少分钟，的度数为？ 23．问题情景：如图1，已知点，在数轴上表示的数分别为和，若有一动点从数轴上点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒． 解决问题： （1）若点为线段的中点，点为线段的中点，点在线段上运动时，线段的长度是否发生变化？请说明理由； 探索问题： （2）当点运动的同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动． ①在运动过程中，点表示的数为_________，点表示的数为 _________ ． ②求运动多少秒时，点与点相距个单位长度？ 知识迁移： （3）如图2，若线段与分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，，在时针与分针转动过程中，经过_________分钟后，的度数第一次等于． 24．已知m，n为常数，且满足两个单项式与合并得．其中m，n分别为点A，点B在数轴上表示的数，如图所示． (1)在数轴上，点A表示的数为 ，点B表示的数为 ； (2)若动点P，Q分别从A，B同时开始运动，点P以每秒2个单位向左运动，点Q以每秒4个单位向右运动，设运动时间为t秒． ①求经过几秒，点P与点Q第一次相遇； ②当P，Q相遇后，点Q继续保持向右运动，点P在原地停留4秒后向右运动且速度变为原来的3倍，在整个运动过程中，当P，Q之间的距离为2个单位时，直接写出运动时间t的值（不必写过程） (3)我们知道，2025年秋季学期数学期末考试在今天上午9：00正式开考．此时，模拟钟面上的指针如上图所示，O为钟面圆心，时针和分针分别指向9和12，、分别从，同时出发，绕点O按顺时针方向转动，时针运动速度为每分钟，分针运动速度为每分钟，从这场数学考试开考多少分钟，时针与分针的夹角第一次等于？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲角的概念 目录 知识点1 角的双重定义（必考） 2 知识点2 角的四种规范表示方法 2 知识点3 角的分类及度数范围 3 知识点4 角度制与度分秒换算（六十进制） 3 知识点5 钟面角核心规律 3 知识点6 方向角定义与规范 4 题型1 角的概念理解 4 题型2 角的表示方法 6 题型3 角的分类 8 题型4 钟面角 10 题型5 方向角的表示 11 题型6 与方向角有关的计算题 13 题型7 角的单位与角度制 16 题型8 角的度数大小比较 17 1. 知识目标：掌握角的静态、动态双重定义，熟记角的四种规范表示方法；明确锐角、直角、钝角、平角、周角的分类标准；掌握角度六十进制换算规则、钟面角与方向角的核心概念。 2. 能力目标：能精准辨析角的概念误区、规范书写角的符号与名称；熟练进行度分秒换算、角度大小比较；掌握钟面角计算、方向角识别与计算的标准解题方法，适配各类基础题型。 3. 素养目标：建立几何图形抽象思维与规范几何语言体系，培养数形结合、精准计算、方位辨识的能力，夯实角度计算与几何识图基础。 知识点1 角的双重定义（必考） 1. 静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。三要素：公共顶点、两条射线边，三者缺一不可。 图2 图1 2. 动态定义：一条射线绕着它的端点从起始位置旋转到终止位置所形成的图形，始边为起始射线，终边为终止射线。 3. 初中默认范围：无特殊说明，所有角均指小于平角的角。 知识点2 角的四种规范表示方法 1. 三个大写字母：∠AOB，顶点字母必须在中间，通用无限制，永不出错； 2. 一个大写字母：∠O，仅适用于顶点处只有一个角的情况，多角共用顶点禁止使用； 3. 数字表示：∠1、∠2，需在角内部标注数字弧线，简洁直观； 4. 希腊字母表示：∠α、∠β，多用于复杂图形标注，规范统一。 知识点3 角的分类及度数范围 1. 锐角： 2. 直角：，可用直角符号标注 3. 钝角： 4. 平角：，两边成一条直线，但平角不是直线（有顶点） 5. 周角：，两边重合，但周角不是射线（有旋转过程） 知识点4 角度制与度分秒换算（六十进制） 1. 核心进率：，，，全程六十进制，区别于十进制； 2. 大换小：乘60；小换大：除以60； 3. 书写规范：度（°）、分（′）、秒（″）符号不可遗漏、混用。 知识点5 钟面角核心规律 1. 钟面一周360°，均分12大格，每大格30°（）； 2. 每大格分5小格，共60小格，每小格6°（）； 3. 时针转速：，分针转速：。 知识点6 方向角定义与规范 1. 定义：以正南、正北为基准，描述物体方位的角，统称方位角/方向角； 2. 规范格式：北偏东、北偏西、南偏东、南偏西，先南北、后东西； 3. 特殊方向：正东、正西、正南、正北、东北（北偏东45°）、西北、东南、西南。 例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角． 题型1 角的概念理解 解题技巧（三要素判定法）：1. 严格对照角的定义，必须同时满足：公共端点、两条射线边，缺一不是角；2. 区分易错误区：直线不是平角、射线不是周角，角是图形，线无顶点；3. 排除干扰图形：曲线组成、无公共端点、线段组成的图形均不是角；4. 动态辨析：射线旋转过程中形成的图形均为角，范围符合初中默认规则。 易错汇总：有顶点无射线、有射线无公共顶点、曲线构成图形均不属于角。 【典例1】．下列叙述正确的是（     ） A．线段可表示为线段 B．射线可表示为射线 C．直线和射线可以比较长短 D．角是由两条射线组成的图形 【答案】A 【详解】A、线段可表示为线段，故A正确； B、射线有方向，端点不同表示的射线不同，射线端点为，沿方向延伸，射线端点为，沿方向延伸，二者不是同一条射线，故B错误； C、直线和射线都是无限延伸的，没有确定长度，无法比较长短，故C错误； D、角是由有公共端点的两条射线组成的图形，选项缺少“公共端点”的必要条件，故D错误； 故选：A． 【变式1】．下列说法中正确的是（　　） A．角是由两条射线组成的图形 B．两点之间的线段叫做两点之间的距离 C．如果线段，那么B叫做线段的中点 D．两点确定一条直线 【答案】D 【详解】解：A、∵角是有公共端点的两条射线组成的图形，A选项未提及公共端点，∴A错误； B、∵两点之间线段的长度叫做两点之间的距离，不是线段本身，∴B错误； C、∵只有当A、B、C三点共线，且时，B才是线段的中点，选项未说明三点共线，因此不一定是线段的中点，∴C错误； D、∵直线的基本事实为两点确定一条直线，∴D正确． 【变式2】．一个角的度数是，用倍的放大镜观察，此时这个角的度数是______． 【答案】/30度 【分析】本题主要考查了角的概念，角的大小只与两边叉开的大小有关，与边的长短无关，放大镜不改变角的大小，据此即可求解． 【详解】解：用放大镜观察角时，角的两边叉开的大小不变，因此角的度数不变，仍为． 故答案为：． 【变式3】．如图，有___________个角． 【答案】6 【分析】本题考查了角的个数，熟练掌握角的概念是解题的关键． 根据角的概念即可求解． 【详解】解：如图， 图中的角有、、、、、，共6个， 故答案为：6． 题型2 角的表示方法 解题技巧（择优规范法）：1. 多角共顶点：必须用三个大写字母，顶点居中，杜绝单字母表示；2. 唯一角顶点：可直接用单个大写字母表示，简洁规范；3. 复杂图形：优先标注数字或希腊字母，避免字母混淆；4. 绝对禁忌：颠倒顶点字母、漏写角符号∠、字母顺序混乱。 秒杀口诀：多角三字母，单角单字母，复杂标数字，顶点居中不搞错。 【典例2】．如图，下列说法错误的是（     ） A．与表示同一个角 B．与表示同一个角 C．也可以用表示 D．图中共有三个角 【答案】C 【详解】解：根据题意得：与表示同一个角，与表示同一个角，不可以用表示，一共有三个角，故A，B，D正确，不符合题意；C错误，符合题意． 【变式1】．下列图形中，能用，，三种方法表示同一个角的是（ 　   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、能用，表示，不能用表示，故选项不符合题意； B、能用，表示，不能用表示，故选项不符合题意； C、能用，，表示同一个角，故选项符合题意； D、和表示不同的角，故选项不符合题意． 【变式2】．如图，下列四种说法：①与是同一个角；②也可用来表示；③图中共有三个角：，，；④与是同一个角．其中正确的是________（填序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了角的概念，准确计算是解题的关键． 直接利用角的概念以及角的表示方法，进而分别分析得出即可． 【详解】解：由图可得，与是同一个角；图中共有三个角：，，；与是同一个角；不可用来表示， ∴①③④正确， 故答案为：①③④． 【变式3】．如图，写出符合下列条件的角： （1）能用一个大写字母表示的角有______； （2）以B为顶点的角有______（用较简洁的方法表示）； （3）以CD为边的角有______． 【答案】 ， ，， ，， 【分析】本题主要考查角的表示方法，需要根据角的顶点处角的数量情况，选择合适的表示方法； 本题考查了角的表示方法，掌握当角的顶点处只有一个角时，可用一个大写字母表示；当顶点处有多个角时，需用三个大写字母或数字、希腊字母表示角，根据这些规则确定符合条件的角是解题的关键． 【详解】解：（1）能用一个大写字母表示的角：当角的顶点处只有一个角时，可用一个大写字母表示。图中顶点处各只有一个角，所以能用一个大写字母表示的角有，故①处填； （2）以为顶点的角：以为顶点的角有，所以②处填； （3）以为边的角：以为边的角有，所以③处填． 故答案为：，；，，；，，． 题型3 角的分类 解题技巧（区间定位法）：1. 熟记五类角度区间，精准对号入座；2. 取值判断：严格区分边界，90°是直角、不属于锐角钝角，180°是平角、不属于钝角；3. 图形判断：目测结合直角参照，快速区分各类角；4. 综合排序：按锐角<直角<钝角<平角<周角固定顺序排列。 高频易错：易将180°归为钝角、90°归为锐角，务必牢记边界值专属分类。 【典例3】．下列说法正确的是（   ） A．平角就是一条直线 B．周角就是一条射线 C．小于平角的角是钝角 D．锐角是指大于而小于的角 【答案】D 【分析】本题考查平角、周角、钝角、锐角的定义，需根据各类角的概念逐一判断选项的正误． 【详解】解：∵平角是由一条射线绕它的端点旋转，当始边和终边在同一条直线上，且方向相反时所构成的角，它有顶点和两条边，并非一条直线， ∴A选项错误，不符合题意． ∵周角是一条射线绕它的端点旋转一周所形成的角，它有顶点和重合的两条边，并非一条射线， ∴B选项错误，不符合题意． ∵小于平角的角包括锐角、直角、钝角，并非只有钝角， ∴C选项错误，不符合题意． ∵锐角的定义是大于而小于的角， ∴D选项正确，符合题意． 故选：D． 【变式1】．下列各角中，是钝角的是（   ） A．周角 B．平角 C．平角 D．平角 【答案】B 【分析】本题考查钝角的定义，以及周角、平角的度数，通过计算各选项的角度，结合钝角定义判断． 【详解】解：A、周角，计算得：，是直角，不符合题意； B、平角，计算得：，是钝角，符合题意； C、平角，计算得：，是直角，不符合题意； D、平角，计算得：，是锐角，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了钝角的定义以及周角、平角的度数，解题关键是掌握钝角的范围，并能结合周角、平角的度数准确计算角度． 【变式2】．1周角=___________平角，1平角=___________直角，1直角=___________，___________，___________． 【答案】 2 2 90 60 60 【分析】此题考查了周角、平角、直角的概念以及角度单位度、分、秒的换算，根据周角为，平角为，直角为；等于，等于，即可求解． 【详解】解：周角等于，平角等于，因此1周角 平角； 平角等于，直角等于，因此1平角直角； 直角等于； 根据角度单位换算，，． 故答案为：2，2，90，60，60． 【变式3】．如图，小于平角的角共有________个． 【答案】14 【分析】此题考查的是数角，掌握平角的定义和角的数法是解决此题的关键． 根据题意，写出所有小于平角的角即可得出结论． 【详解】解：由于平角为， 小于平角的角有，，，，，，，，，，，，，，共14个， 故答案为：14． 题型4 钟面角 解题技巧（双转速公式法）：1. 固定参数：时针0.5°/分钟，分针6°/分钟，每大格30°；2. 先算夹角格数：根据时针、分针位置，计算间隔大格数；3. 动态计算：非整点时刻，分别算出时针、分针旋转角度，求差值；4. 取值修正：钟面夹角取0°~180°，超过180°用360°减去差值。 核心公式：钟面较小夹角 = min(|分针角度-时针角度|,360°-差值) 【典例4】．钟面上9点15时，时针与分针形成的最小夹角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】钟面每个大格为，时针每分钟走的角度为，分针每分钟走的角度为，再结合9点15分时，时针和分针分别走的格数，进而求出它们的夹角． 【详解】解：9点时，时针与分针的夹角为：， 9点15分时，时针从9点开始又走了15分钟， ∴时针15分钟走的度数为：， 分针15分钟走的度数为：， ∴此时时针与分针的夹角为：（大于平角）， 最小夹角为：． 【变式1】．如图，此时钟面上的时间是10时40分，到11时，时针走过的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】整个钟面分为12个格，每个大格为，时针每分钟走，据此即可解答． 【详解】解：整个钟面分为12个格，每个大格为，时针每分钟走， 从10时40分到11时经过了20分钟， ， 时针走过的度数是． 【变式2】．3：30时，钟面上时针和分针组成的角是________角；_________时整或________时整，时针和分针的夹角是直角． 【答案】 锐 3 9 【分析】根据钟面上各时间时针和分针的位置关系分别解答即可． 【详解】解：3：30时，钟面上时针和分针组成的角是锐角；3时整或9时整，时针和分针的夹角是直角． 【变式3】．钟面上指针指示的时刻是10点45分，此时时针与分针的夹角是________度． 【答案】 【分析】钟面一圈，12大格，每大格；分针每分钟走，时针每小时走，每分钟走；45分时分针正对9刻度；10点时，时针指向10，10点45分时针从10向11走了45分钟，可求出时针走的度数，即可求出夹角． 【详解】解：时针每小时走，每分钟走， ， 夹角：， 所以，此时时针与分针的夹角是． 题型5 方向角的表示 解题技巧（基准优先法）：1. 固定基准：先定南北，再定东西，严禁东偏北、西偏南颠倒表述；2. 角度判定：角度为与南北基准线的夹角，不是与东西线夹角；3. 特殊简写：45°方位可简写为东北、西北、东南、西南；4. 规范书写：完整格式为“北偏东××°”“南偏西××°”，数值精准无偏差。 扣分重点：方位顺序颠倒、角度基准找错、特殊方位表述不规范。 【典例5】．某小区要进行地下管道建设，从A区和B区同时向中间开挖一条笔直的管道．工程人员在A区测得管道方向为北偏东．为了保证在中间能准确对接，工程人员在B区施工的方向应是（   ） A．北偏西35° B．南偏西35° C．南偏东35° D．西偏南35° 【答案】B 【详解】解：A区测得管道方向为北偏东， B区施工的方向应是南偏西． 【变式1】．如图，琪琪一家要到革命圣地西柏坡参观，下列说法正确的是（     ） A．西柏坡在家东偏北方向 B．西柏坡在家北偏东方向 C．家在西柏坡南偏西方向 D．家在西柏坡西偏南方向 【答案】C 【分析】根据方向角的定义（通常以正北或正南方向为基准）及图形中的角度关系，结合方位角的相对性进行判断即可； 【详解】解：由图可知，以“家”为观测点，视线与正东方向的夹角为， 视线与正北方向的夹角为， 西柏坡在家北偏东方向，故A 表述不规范，B 错误； 根据方位角的相对性，方向相反，角度不变， 家在西柏坡南偏西方向（或西偏南方向） C正确，D错误． 【变式2】．某军事行动中，对军队部署的行动，采用代码方式来表示．例如，北偏东方向的位置与钟面相结合，以钟面圆心为基准，时针指向北偏东的时刻是∶，那么这个地点就用代码表示，按这种表示方式，北偏东方向的位置，可用代码表示为__________． 【答案】020078 【分析】先计算钟面上每个刻度对应的角度，再求出北偏东对应的时刻，最后按照代码规则组合出完整代码． 【详解】解：；； 时对应的代码为； 故北偏东方向的位置，可用代码表示为． 【变式3】．如图，货船与港口相距30海里，从港口看，货船的位置可描述为________方向． 【答案】南偏东 【分析】根据方位角的定义，通常以正北或正南方向为基准线，图中给出了与正东方向的夹角，利用互余关系求出与正南方向的夹角即可确定方向． 【详解】解：由图可知，射线与正东方向的夹角为， 正东方向与正南方向互相垂直，夹角为， 射线与正南方向的夹角为， 货船B在港口A的南偏东方向． 题型6 与方向角有关的计算题 解题技巧（画图建模法）：1. 建立十字方位坐标系，标注正北、正南、正东、正西；2. 根据题干依次画出各条方位射线，标注对应角度；3. 利用平角180°、直角90°、对顶角相等推导未知角度；4. 结合角度和差运算，精准计算目标方位角，最后规范表述。 解题关键：无图必画图，通过几何图形转化角度关系，避免纯文字空想出错。 【典例6】．如图，是北偏东方向的一条射线，射线与射线互相垂直，则射线所在的方位是（     ） A．东偏北 B．西偏北 C．北偏西 D．北偏西 【答案】D 【分析】利用垂直关系计算射线与正北方向的夹角，从而确定其方位． 【详解】解：如图， 根据题意可知，， 又， ， ， 射线所在的方位是北偏西． 【变式1】．如图，从登山电梯上的点处观察山顶处的仰角为与竖直方向的夹角分别为和，则从点处观察山脚处的俯角为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作，可得，故可得从点处观察山脚处的俯角为． 【详解】解：如图，作， ∴， ∵， ∴，即从点处观察山脚处的俯角为． 【变式2】．开州拥有丰富的红色文化和传统文化资源，其中举子园、刘伯承同志纪念馆、刘伯承同志故居都是著名景点．如图，点是举子园，刘伯承同志纪念馆位于举子园的北偏西方向，刘伯承故居位于举子园的南偏西方向，那么__________． 【答案】 【详解】解：由题意得，． 【变式3】．如图，是北偏东方向上的一条射线，是南偏西方向上的一条射线，则_______． 【答案】/度 【详解】解：∵是北偏东方向上的一条射线，是南偏西方向上的一条射线， ∴． 题型7 角的单位与角度制 解题技巧（六十进制换算套路）：1. 度转分、分转秒：大换小乘60，逐级拆分；2. 秒转分、分转度：小换大除60，逐级合并；3. 带余数换算：余数保留进下一级，杜绝十进制混用；4. 加减运算：同级单位相加减，满60进1，不够减向前借1当60。 易错警示：角度是六十进制，严禁按10、100进制换算，是计算高频丢分点。 【典例7】．下列换算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用度分秒的60进制换算规则，，逐一对选项换算验证即可得到正确结果． 【详解】解：对选项A：，A错误． 对选项B：，B错误． 对选项C：，∴ C正确． 对选项D： ，∴ D错误． 【变式1】．一个角是，则可化为多少分（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵角度单位中， ∴． 【变式2】．______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【变式3】．已知，，则 _______ （填“<”或“>”或“=”）． 【答案】 【分析】统一两个角的角度单位，将 化为度分表示后比较大小即可． 【详解】解： ， ， ，且 ， ． 题型8 角的度数大小比较 解题技巧（统一单位比较法）：1. 统一格式：所有角度统一换算为度、或度分秒完整格式；2. 分级比较：先比度数、再比分数、最后比秒数，逐级比对；3. 分类速判：锐角<直角<钝角<平角<周角，可直接定性比较；4. 近似取值：复杂角度可统一保留小数位数，精准对比大小。 核心原则：单位不统一绝不比较，先换算、后对比，杜绝主观判断。 【典例8】．如图，射线，，，，分别对应量角器上外圈的，，，，刻度线，点与量角器的中心重合，下列最大的角是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据量角器上各射线对应的刻度，利用角的和差关系分别计算出 、、、 的度数，比较大小即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，射线、、、、对应量角器外圈的刻度分别为、、、、， ，，，， ， 最大． 【变式1】．若，，则这两个角的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据的换算关系将两个角度统一单位，再比较大小． 【详解】解：因为， 所以， 又因为，， 所以． 【变式2】．比较角度的大小：________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】利用进行换算后再比较大小． 【详解】∵，即， 又∵， ∴． 【变式3】．如果，，，那么，，的大小关系是_____________． 【答案】 【分析】将三个角统一换算为以度为单位，再进行大小比较． 【详解】解： 因为 ，所以 ． 1．下列有四种说法，其中正确的是（   ） A．经过一点可以作无数条直线 B．射线和射线是同一条射线 C．角两边的长度决定角的大小 D．直线比线段长 【答案】A 【分析】根据直线、射线、角的定义逐项判断． 【详解】解：A．过一点可以向任意方向画直线，即过一点可以作无数条直线，故A正确； B．射线的端点是A，射线的端点是C，端点不同，即二者不是同一条射线，故B错误； C．角的大小只与角两边张开的程度有关，与角两边的长度无关，即角两边的长度不决定角的大小，故C错误； D．直线无限长，无法度量长度，因此不能比较直线和线段的长度，故D错误． 2．用一个7倍的放大镜看一个的角，看到的角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】角的大小仅由两边张开的程度决定，放大镜仅放大图形的边长，不改变角两边的张开程度，因此角的度数不变． 【详解】解：∵角的大小只与角的两边张开的程度有关，与边的长度无关，放大镜只改变角两边的长度，不改变两边张开程度， ∴用7倍放大镜看的角，看到的角的度数仍为． 3．下列说法： ①由两条射线组成的图形叫做角； ②连接两点的线段叫两点之间的距离； ③射线与射线是两条不同的射线； ④用两颗钉子可以把木条固定在墙上可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释； ⑤两点之间直线最短． 其中正确的有（     ）个 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面几何相关基本概念，逐一判断正误，统计正确说法的个数即可得到结果． 【详解】解：① 角的定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，该说法未提及公共端点，∴①错误； ② 两点之间的距离是连接两点的线段的长度，不是连接两点的线段本身，∴②错误； ③ 射线的端点是，射线的端点是，端点不同，延伸方向不同，是两条不同的射线，∴③正确； ④ 基本事实“两点确定一条直线”，因此用两颗钉子可以把木条固定在墙上，该说法正确，∴④正确； ⑤ 正确结论为两点之间线段最短，直线没有长度，∴⑤错误； 综上，正确的说法共个． 4．下列四个图中，对于图形的描述正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了角的表示方法、周角和平角的定义以及射线，熟练掌握相关概念是解题关键．根据角的表示方法、周角和平角的定义以及射线的概念逐个判断即可得． 【详解】解：第1个图形：表示应该是，则原描述错误； 第2个图形：射线绕点旋转一周形成，符合周角的定义，则原描述正确； 第3个图形：的两边在同一直线上且方向相反，符合平角的定义，则原描述正确； 第4个图形：射线是从点出发向点方向延伸的线，周角是角的一种概念，射线不是周角，则原描述错误； 综上，对于图形的描述正确的有2个， 故选：B． 5．在综合与实践课上，将与两个角的关系记为，探索n的大小与两个角的类型之间的关系（　　） A．当时，若为锐角，则为锐角 B．当时，若为钝角，则为钝角 C．当时，若为锐角，则为锐角 D．当时，若为锐角，则为钝角 【答案】A 【分析】本题考查了角的倍分关系及锐角、钝角定义，根据角的分类及倍分关系逐项判断即可． 【详解】解：A、当时，若为锐角，则为锐角，正确，故本选项符合题意； B、当时，若为钝角，则为锐角，原说法错误，故本选项不符合题意； C、当时，若为锐角，则为锐角或钝角，原说法错误，故本选项不符合题意； D、当时，若为锐角，则为钝角或锐角，原说法错误，故本选项不符合题意； 故选：A． 6．在时刻时，时钟上的时针与分针之间所成的夹角是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先明确时针和分针的转动速度，再分别计算时，时针与分针从12点位置转过的角度，最后求角度差得到夹角． 【详解】解：∵时钟共分12个小时，时钟一圈总角度为， ∴时针每小时转，时针每分钟转； ∵分针60分钟转一圈， ∴分针每分钟转， 计算时针转过的角度：， 去掉整圈得， 计算分针转过的角度：， ∴时针与分针的夹角为． 7．白河的生态修复工程让南阳的母亲河重焕生机．如图是东西流向且两岸a、b互相平行的一段白河河道，在河岸a上有一建筑P，在河岸b上的小宛观测到建筑P在他的北偏西方向上，则小宛的位置可能是（     ） A．A B．B C．C D．D 【答案】D 【详解】解：根据题意得： 若点为观测点，则在点的北偏东方向上，不符合题意； 若点为观测点，则在点的正北方向上，不符合题意； 若点、为观测点，则在点、的北偏西方向上，但是点观测的偏西角度远小于，只有点观测符合北偏西的描述． 因此，小宛的位置可能是点处． 8．如图，小军和小强分别用点A，B表示，小军在广场处的北偏西方向，的大小为，则图示状态下，小强在广场处的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．南偏东方向 D．南偏西方向 【答案】A 【详解】解：如图 由题意得，， ∴ ∴ ∴， ∴小强在广场处的南偏东方向． 9．若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查度分秒的换算，熟练掌握度分秒的换算规则是解题的关键．将进行换算，即可得到答案． 【详解】解：，，， ， 故选：D． 10．以下说法中①一批水果质量一定，按每箱质量相等分装，则装箱数与每箱的质量成反比例关系；②“把弯曲的河道改直，河道长度变短”的依据是“两点确定一条直线”；③若，，则；④代数式的意义是与3的和的2倍；⑤在木条上只要钉两个钉子，木条就被固定在木板上，这说明“两点之间，线段最短”．完全正确的是（   ） A．②③⑤ B．①③④ C．②④⑤ D．①②④ 【答案】B 【分析】根据反比例关系的判定，线段性质，角度换算，代数式的意义，直线的性质逐一判断每个说法的正误即可得到答案． 【详解】解：①：∵总质量=装箱数×每箱质量，总质量一定，即装箱数与每箱质量的乘积为定值， ∴装箱数与每箱质量成反比例关系，故①正确.； ②：“把弯曲的河道改直，河道长度变短”的依据是“两点之间，线段最短”，不是“两点确定一条直线”，故②错误； ③：∵，， ∴，故③正确； ④：代数式的意义是与的和的倍，故④正确； ⑤：钉两个钉子固定木条，依据是“两点确定一条直线”，不是“两点之间，线段最短”，故⑤错误； 综上，正确的说法为①③④． 11．图中有______个角． 【答案】 【分析】数角时，按一定顺序（如从一边开始，依次与其他边组成角）避免重复和遗漏． 【详解】解：按一定顺序（如从一边开始，依次与其他边组成角），则： 以为开始边的有，4个角； 以为开始边的有，3个角； 以为开始边的有，2个角； 以为开始边的有，1个角； 共有个角． 故选：． 12．如图所示的图形中有______个小于平角的角，写出以为一边的所有角：______． 【答案】 7 ，，， 【分析】本题考查了角的表示及分类熟练掌握角的表示及分类是解答本题的关键．根据角的表示方法及角的分类，即可得到答案． 【详解】题图中小于平角的角有，，，，，，，共7个；其中以为一边的角有，，，． 故答案为：7； ，，，． 13．北京时间2023年9月21日15时45分，《天宫课堂》第四课正式开讲．在时，时钟上的时针与分针之间所成的夹角是_________． 【答案】 【分析】根据时钟上每一大格对应度数为，时针每分钟转动，分针每分钟转动，计算时针与分针的位置角度差即可． 【详解】解：由题意得：时，分针对应的角度为， 时针对应的角度为， 因此时针与分针的夹角为 ． 14．如图，是点南偏西方向的一条射线，若，则的方向是______． 【答案】 南偏东 【分析】设正南方向为射线，根据角的和差关系求出的度数，从而确定射线的方向． 【详解】解：如图，设正南方向为射线 射线是点南偏西方向， ， ， ， 即射线的方向是南偏东． 15．已知，，，，则、、的大小关系是______（用“”连接）． 【答案】 【分析】此题主要考查了角的大小比较，解答此题的关键是把各角统一单位． 先把各角统一单位，再进行比较大小即可得到答案． 【详解】解：，， ∵， ∴． 故答案为：． 16．用度、分、秒表示下列各角： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查度、分、秒单位之间的换算，熟练掌握它们之间的进率及换算方法是解答关键； （1）根据，解答即可； （2）根据，解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴． 17．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了角度制，角的运算，先整理，则原式，再进行角的运算，即可作答． 【详解】解：依题意，， ． 18．如图，所有小正方形的边长都为1，点，，都在格点（小正方形的顶点）上．请仅用无刻度的直尺完成下列作图（不写作法）． (1)在图①中作，使； (2)在图②中作线段，使于点，交于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用平移变换的性质画出图形； （2）利用数形结合的思想画出图形即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求（作法不唯一）． （2）解：如图，线段即为所求． 【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，平行四边形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 19．推理能力如图是锐角，以O为端点向内部作1条射线时，图中有多少个角？作2条、3条射线时各有多少个角？作n条射线时有多少个角？ 【答案】作1条射线时，图中有（个）角；作2条射线时，图中有（个）角；作3条射线时，图中有（个）角；作条射线时，图中有（个）角 【分析】此题考查了角的概念及角的数量统计，根据具体数值得出角的数量变化和射线条数的关系是解题的关键． 根据图①，图②，图③中角的个数找出规律，然后根据这一规律即可得出在内部作条射线时，角的个数． 【详解】解：向内部作1条射线时，图中有（个）角； 向内部作2条射线时，图中有（个）角； 向内部作3条射线时，图中有（个）角；； 向内部作条射线时，图中有（个）角． 20．观察常用时钟，回答下列问题： (1)早晨8时整，时针和分针所成的最小的角是多少度？ (2)时针多长时间转一圈？它转动的速度是每小时多少度？ (3)从8：00到8：40，分针转动了多少度？ 【答案】(1)120° (2)30° (3)240° 【分析】本题考查了钟面角，熟练掌握时钟上一大格是度是解题的关键． （1）因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了等份，每一份是，找出8时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘即可； （2）由时钟可知时针个小时转一圈，一圈是，所以速度为； （3）若时针从8：00到8：40，共经过分钟，时针一小时即分钟转，一分钟转动，分针一小时转，一分钟转，据此作答． 【详解】（1）解：8时整，时针和分针中间相差4个大格． 因为钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°， 所以早晨8时整，时针与分针所成的最小的角为． （2）解：由时钟可知，时针12个小时转一圈． ． 故时针12个小时转一圈，它转动的速度是每小时30°． （3）解：． 故分针转动了240°． 21．填一填，画一画． (1)图书馆在区政府的_______偏_______ _______°方向_______米处． (2)人民会堂在区政府的_______偏_______ _______°方向_______米处． (3)人民会堂在图书馆的_______偏_______方向． (4)绿园在图书馆的南偏东方向400米处，在图上画出绿园的位置． 【答案】(1)北，东，，800 (2)南，西，，200 (3)南，西 (4)见解析 【分析】本题考查方向图，掌握知识点是解题的关键． (1)由图可直接看出方向与距离，即可解答； (2) 由图可直接看出方向与距离，即可解答； (3)由图可直接看出方向，即可解答； (4)按照方向图作图即可． 【详解】（1）解：图书馆在区政府的北偏东方向800米处． 故答案为：北，东，，800． （2）人民会堂在区政府的南偏西方向200米处． 故答案为：南，西，，200． （3）人民会堂在图书馆的南偏西方向． 故答案为：南，西． （4）作图如图 22．阅读信息，解决问题： 信息1 信息2 小莹和小亮两家人相约自驾游，他们沿同一条道路匀速行驶．小莹家车的速度是50千米/时，小亮家车的速度是小莹家车的速度的倍． 某时刻小莹家车在小亮家车前方10千米，此时小亮看到自己手表显示的时间如图中表盘所示，表示时针，表示分针，时针和分针在转动的过程中形成的角是，表带所在直线为． (1)小亮看表时，时针和分针的夹角为____________； (2)小亮家车刚追上小莹家车时，时针和分针的夹角为____________； (3)自小亮看表的时刻起，到他家车追上小莹家车这一段时间中，求经过多少分钟，的度数为？ 【答案】(1)； (2)； (3)经过或分钟后，． 【分析】本题考查了钟面角，一元一次方程的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据钟面角的计算方法，确定分针和时针的位置进行计算即可； （2）求出小亮家车追上小莹家车的时刻，再根据钟面角的计算方法进行计算即可； （3）求出分针和时针每分钟转过的角度，设运动时间为，根据钟面上的角度关系列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：手表显示的时刻为：， ∴， 故答案为：； （2）解：小亮家车的速度为：（千米/时）， ∴小亮家车追上小莹家车用的时间为：（小时）， ∴小亮家车追上小莹家车的时刻为：， ∴， 故答案为：； （3）解：∵分针每小时转， ∴分针每分钟转：， ∵时针一小时转一小格，即， ∴时针每分钟转：， 设经过的时间为分钟， 第一次时，， 解得：， 第二次时，， 解得：， 第三次时，， 解得：，不符合题意， ∴经过或分钟后，． 23．问题情景：如图1，已知点，在数轴上表示的数分别为和，若有一动点从数轴上点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒． 解决问题： （1）若点为线段的中点，点为线段的中点，点在线段上运动时，线段的长度是否发生变化？请说明理由； 探索问题： （2）当点运动的同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动． ①在运动过程中，点表示的数为_________，点表示的数为 _________ ． ②求运动多少秒时，点与点相距个单位长度？ 知识迁移： （3）如图2，若线段与分别为同一钟表上某一时刻的时针与分针，，在时针与分针转动过程中，经过_________分钟后，的度数第一次等于． 【答案】（1）不发生变化，理由见解析；（2）①，；②或秒；（3）分钟． 【分析】本题考查数轴上的动点问题，钟面角，一元一次方程的应用； （1）先求出的长，再根据，即可求解； （2）①根据题目条件，分别表示出点表示的数为，点表示的数为；②分两种情况讨论当点在点左侧时和当点在点右侧时，进行求解； （3）根据钟表上的时针与分针运动的角度，即可求解． 【详解】解：（1）如图，点在线段上运动时，线段的长度不发生变化， 理由如下： ∵点在数轴上表示的数分别为和10， ∴， ∵点为线段的中点，点为线段的中点， ∴， ∴， ∴ 点在线段上运动时，线段的长度不发生变化； （2）①点在数轴上表示的数分别为和10，则 在运动过程中，点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：，； ②点与点相距2个单位长度，分两种情况： 如图，当点在点左侧时， ，解得， 如图，当点在点右侧时， ，解得， 综上所述，运动或秒时，点与点相距2个单位长度； （3）时针每小时转，分针每分钟转， 设经过分钟后，的度数第一次等于，则 ， 解得， ∴经过分钟后，的度数第一次等于 24．已知m，n为常数，且满足两个单项式与合并得．其中m，n分别为点A，点B在数轴上表示的数，如图所示． (1)在数轴上，点A表示的数为 ，点B表示的数为 ； (2)若动点P，Q分别从A，B同时开始运动，点P以每秒2个单位向左运动，点Q以每秒4个单位向右运动，设运动时间为t秒． ①求经过几秒，点P与点Q第一次相遇； ②当P，Q相遇后，点Q继续保持向右运动，点P在原地停留4秒后向右运动且速度变为原来的3倍，在整个运动过程中，当P，Q之间的距离为2个单位时，直接写出运动时间t的值（不必写过程） (3)我们知道，2025年秋季学期数学期末考试在今天上午9：00正式开考．此时，模拟钟面上的指针如上图所示，O为钟面圆心，时针和分针分别指向9和12，、分别从，同时出发，绕点O按顺时针方向转动，时针运动速度为每分钟，分针运动速度为每分钟，从这场数学考试开考多少分钟，时针与分针的夹角第一次等于？ 【答案】(1)12， (2)①P，Q第一次相遇时t的值是3；②t的值是或14或 (3)从这场数学考试开考10分钟时，时针与分针的夹角第一次等于 【分析】本题主要考查了列代数式，数轴上两点距离计算，非负性的性质及一元一次方程的应用，正确进行计算是解题关键． （1）根据题意可知与是同类项，由此求出m，n的值； （2）①点P表示的数为：，点Q表示的数为：，当它们重合时，有：，解方程即可． ②分当点P在原地停留时，点P在4秒向右运动后，用表示点所对应得数，再根据数轴上两点距离计算公式列方程求解即可； （3）时针与分针的夹角第一次等于等于分针走过的度数减去时针走过的度数，由此列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵两个单项式与合并得， ∴，， ∴； 故在数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为； （2）①点P表示的数为：，点Q表示的数为： 由题意可得： 解得： 答：P，Q第一次相遇时t的值是3． ②当时，点P表示的数为：，点Q表示的数为：，此时点在点右侧， 依题意得：，解得：， 当时，点P表示的数为：，点Q表示的数为：， 若点在点右侧，则，解得：， 若点在点左侧，则，解得：， 综上所述：t的值是或14或． （3）转动的角度，转动的角度，由题意可得： 解得：． 答：从这场数学考试开考10分钟时，时针与分针的夹角第一次等于． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $