暑期预习讲义（第10讲）——立体图形与线段、直线、射线 - 2026-2027学年人教版七年级数学上册

暑期预习讲义（第10讲）——立体图形与线段、直线、射线（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 课前自主预习填空 1 【知识点一】立体图形与平面图形 2 【知识点二】线段、射线、直线对比精讲（核心必考） 2 【知识点三】两大核心公理（几何解题依据） 2 【知识点三】点与直线的位置关系 3 二.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】图形识别与分类 3 【题型 2】线段、射线、直线概念辨析 5 【题型 3】公理应用题型 7 【题型 4】几何计数问题（拔高必考） 9 【题型 5】两点间距离概念辨析 11 三.经典题型精析（巩固提升） 14 【题型 6】几何展开图 14 【题型 7】从不同方向看几何体 16 【题型 8】直线、射线、线段 18 四.同步自测 21 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 22 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 26 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 29 预习方法：读概念→理解定义性质→学例题→练变式→同步自测 一.教材知识梳理 课前自主预习填空 请结合课本内容，自主完成以下填空，提前夯实本节核心概念： 1. 各部分不都在同一平面内的图形叫做________图形；各部分都在同一平面内的图形叫做________图形。 2. 常见立体图形有：正方体、长方体、________、________、圆锥、棱柱等。 3. 线段有________个端点，________延伸，可以测量长度；射线有________个端点，向________无限延伸，无法测量长度；直线________端点，向________无限延伸，无法测量长度。 4. 直线基本公理：________________________________，简述为两点确定一条直线。 5. 线段基本公理：两点的所有连线中，________最短，简述为________________。 6. 连接两点间的线段的________，叫做这两点间的距离。 7. 点与直线的位置关系有两种：点在直线________、点在直线________。 答案：1. 立体；平面 2. 圆柱；棱锥（答案不唯一） 3. 2；不能；1；一端；无；两端 4. 经过两点有且只有一条直线 5. 线段；两点之间，线段最短 6. 长度 7. 上；外 【知识点一】立体图形与平面图形 核心区分：立体图形占有一定空间，包含多个平面；平面图形仅在一个平面内，无空间结构。 常见图形分类 立体图形：正方体、长方体、圆柱、圆锥、三棱柱、四棱锥、球； 平面图形：线段、直线、射线、角、三角形、长方形、圆、多边形。 重点拓展：立体图形展开图 正方体展开图共11种，核心规律：一线不过四、田凹应弃之；相对面不相邻，相邻面不相对，是考试高频考点。 圆柱展开图：两个圆形底面+一个长方形侧面；圆锥展开图：一个圆形底面+一个扇形侧面。 【知识点二】线段、射线、直线对比精讲（核心必考） 图形类型 端点个数 延伸方向 能否度量 表示方法规范 线段 2个 不可延伸 能 线段AB（BA）、线段a 射线 1个 向一端无限延伸 不能 射线AB（端点必须在前，不可写BA） 直线 0个 向两端无限延伸 不能 直线AB（BA）、直线l 【特别提示】：射线具有方向性，射线AB和射线BA是两条不同射线，端点和延伸方向均不同。 【知识点三】两大核心公理（几何解题依据） 公理1：两点确定一条直线 应用场景：植树定直线、钉木条固定（两点固定）、射击瞄准，生活中所有直线定位问题均用此公理。 公理2：两点之间，线段最短 应用场景：修路改直、最短路径问题。注意：两点间的距离是线段的长度，不是线段本身，距离是数值，线段是图形。 【知识点三】点与直线的位置关系 ① 点在直线上（直线经过该点）；② 点在直线外（直线不经过该点）。 补充：两条直线相交，有且只有一个公共点。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】图形识别与分类 【例题1】（25-26七年级上·全国·课后作业）请说出下列物体分别类似于哪一类几何体，或可看作由哪些几何体构成的． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了对常见几何体的认识，通过观察题干的物体的形状特征，将其与圆柱、球、圆锥等几何体进行对应，即可作答． 解：观察左1的图中的物体，其上下底面是完全相同的圆形，侧面是一个曲面，符合圆柱的特征， ∴左1的图的物体类似于圆柱； 观察左2的图中的物体，主体部分是一个球体，下方有一个类似圆柱的部分， ∴左2的图的物体可看作由球和圆柱构成； 观察右2的图的物体，上半部分是一个圆锥，下半部分是一个圆柱， ∴该物体可看作由圆锥和圆柱构成； 观察右1的图的物体，有一个顶点，底面是一个圆形，侧面是一个曲面，符合圆锥的特征， ∴右1的图类似于圆锥； 【变式1】（2026·河南商丘·模拟预测）分别观察下列几何体，其中不含曲面的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图形观察，围成立体图形的各个面是平面还是曲面逐一判断即可． 解：A．选项图形只有曲面，不符合题意； B．选项图形有曲面也有平面，不符合题意； C．选项图形有曲面也有平面，不符合题意； D．选项图形只有平面，符合题意． 【变式2】（26-27七年级·全国·暑假作业）将下图中的立体图形分类． 柱体____________；锥体____________；球体____________． 【答案】 ①②⑤⑦⑧ ④⑥ ③ 【分析】根据立体图形的特征．据此可得答案． 解：柱体分为棱柱和圆柱，在以上立体图形中，柱体有：①②⑤⑦⑧； 锥体分为棱锥和圆锥，在以上立体图形中，锥体有：④⑥； 球体是一个连续曲面的立体图形，在以上立体图形中，球体有：③． 【变式3】（25-26七年级上·贵州六盘水·阶段检测）根据如图所示的图形，完成下列各题： （1）指出哪些是平面图形？哪些是立体图形？ （2）把立体图形按柱体、锥体、球分类； （3）指出立体图形中各面既有平面又有曲面图形． 【答案】（1）平面图形：②④⑦⑧，立体图形：①③⑤⑥⑨；（2）柱体：①③⑤；锥体：⑨；球体：⑥；（3）③⑨ 【分析】本题主要考查点、线、面、体的基本知识，可以根据平面图形、立体图形进行解答， （1）根据平面图形与立体图形的定义解答即可； （2）根据柱体、锥体、球的定义进行解答即可； （3） 结合立体图形的面的定义，即可解决． 解：（1）解：平面图形：②④⑦⑧，立体图形：①③⑤⑥⑨； （2）解：柱体：①③⑤；锥体：⑨；球体：⑥； （3）解：各面既有平面又有曲面的立体图形：③⑨． 【题型 2】线段、射线、直线概念辨析 【例题2】（24-25七年级上·全国·单元复习）学习情境·学科内融合已知数轴上的原点为O点，点A表示3，点B表示，回答下列问题． （1）数轴在原点左边的部分（包括原点）是一条什么线？怎么表示？ （2）射线上的点表示什么数？ （3）数轴上表示不大于3，且不小于的数的部分是什么图形？怎么表示？ 【答案】（1）是一条射线，表示为射线；（2）非正数；（3）线段，线段 【分析】本题考查了数轴，弄清题意是解本题的关键． （1）观察数轴，利用射线定义判断，表示即可； （2）找出射线上的点表示的数即可； （3）由线段的定义可直接得出结论． 解：（1）解：数轴在原点O左边部分（包括原点）是一条射线，表示为射线； （2）解：射线上的点表示非正数； （3）解：线段，可表示为线段． 【变式1】（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，下列说法正确的是（     ） A．射线和射线是同一条射线 B．直线和直线不是同一条直线 C．线段和线段不是同一条线段 D．点在线段的延长线上 【答案】A 【分析】根据直线、射线、线段的定义逐项判断即可． 解：A、射线和射线是同一条射线，说法正确，符合题意； B、直线和直线是同一条直线，该选项说法错误，不符合题意； C、线段和线段是同一条线段，该选项说法错误，不符合题意； D、点在线段的反向延长线上，该选项说法错误，不符合题意． 【变式2】（24-25七年级上·吉林长春·阶段检测）如图，有下列结论： ①以点为端点的射线共有5条；    ②以点为端点的线段共有4条； ③射线和射线是同一条射线；    ④直线和直线是同一条直线． 以上结论正确的是__________．（填序号） 【答案】①④/④① 【分析】本题考查了直线、射线、线段，根据直线、射线、线段的定义，对结论分析判断即可得解． 解：①以点A为端点的射线有射线，共有5条，故该结论正确，符合题意； ②以点D为端点的线段有线段，共有5条，故该结论错误，不符合题意； ③射线和射线不是是同一条射线，故该结论错误，不符合题意； ④直线和直线是同一条直线，故该结论正确，符合题意． 综上所述，其中正确的结论是：①④． 故答案为：①④． 【变式3】（24-25七年级上·河南周口·期末）如图，在平面内有A，B，C三点． （1）画直线，射线，线段； （2）在线段上任取一点D（不同于B，C），连接，并延长至E，使； （3）数一数，此时图中线段共有 ___________条． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）8 【分析】本题主要考查了作直线，线段，射线， 对于（1），依据直线、射线、线段的定义，即可得到直线，线段，射线； 对于（2），依据在线段上任取一点D（不同于B，C），连接线段，再作即可； 对于（3），根据图中的线段为，即可得到图中线段的条数． 解：（1）解：如图，直线，线段，射线即为所求； （2）如图，线段和线段即为所求； （3）由题可得，线段为， 图中线段的条数为8． 故答案为：8． 【题型 3】公理应用题型 【例题3】（25-26七年级上·江西赣州·期末）如图，正方形网格中有四个点，，，，它们都在网格线的交点上，请利用网格，用无刻度直尺按照下列要求画图： （1）画出直线，并找出线段的中点； （2）画出射线，并在射线上画出点，使的值最小． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了画直线，射线，线段的中点，以及线段的性质： （1）根据直线的定义以及线段中点的定义即可作图； （2）先画出射线，连接与交点即为点，根据两点之间线段最短即可说理． 解：（1）解：如图，直线，点即为所求； （2）解：如图，射线，点P即为所求． 【变式1】（2026·广西南宁·三模）彭莫山长隧道是广西最接近直线形状的隧道之一，建成后通行里程和行车时间都大大缩短．用学过的数学知识解释路程缩短的原因为（     ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．对顶角相等 【答案】A 解：∵隧道连接出入口两个端点，修成直线形状即把两地之间的路径改为线段， ∴用学过的数学知识解释路程缩短的原因为两点之间，线段最短． 【变式2】（25-26七年级上·河南南阳·期末）在下列现象中，体现了数学原理“两点确定一条直线”的有___________个． 【答案】3 【分析】本题考查了直线的性质，根据直线的性质，逐一判断即可解答． 解：根据直线的性质可知： ①平板弹墨线，体现了基本事实“两点确定一条直线”； ②建筑工人砌墙，体现了基本事实“两点确定一条直线”； ③打靶瞄准，体现了基本事实“两点确定一条直线”； ④弯河道改直，体现了基本事实“两点之间线段最短”； 故体现了基本事实“两点确定一条直线”的有①②③，共3个， 故答案为：3． 【变式3】（24-25七年级上·全国·课后作业）在纸上画出一点和一点，过点你能画出几条直线？经过、两点画直线，你又可以画几条？ 【答案】过点能画无数条直线；过、两点只能画一条直线 【分析】本题主要考查了直线的确定方法，过一点能画无数条直线，两点确定一条直线，据此可得答案． 解：∵过一点能画无数条直线， ∴过点能画无数条直线； ∵两点确定一条直线， ∴过、两点只能画一条直线． 【题型 4】几何计数问题（拔高必考） 【例题4】（25-26七年级上·江西宜春·期末）如图，已知、、三点在直线上，是外一点，请用无刻度直尺按下列要求作图： （1）画直线、线段、连接线段并反向延长； （2）图中以为端点的线段共有________条． 【答案】（1）如图所示： （2） 【分析】本题考查直线、线段的定义及线段的计数．关键是根据直线、线段的基本特征，利用无刻度直尺作出指定图形；通过列举所有以为端点的线段，统计数量得到结果． （1）依据直线向两方无限延伸、线段有两个端点的性质，分别画出直线、线段，再连接并完成反向延长操作； （2）逐一找出所有以为端点的线段，再统计线段的总条数． 解：（1）略 （2）解：以为端点的线段有、、，共3条； 故答案为：． 【变式1】（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，在内，从图（1）的顶点O画1条射线，图中共有3个角；从图（2）顶点O画2条射线，图中共有6个角，按这样规律继续下去，若从顶点O画29条射线，则图中共有几个角（    ） A．378 B．406 C．435 D．465 【答案】D 【分析】由条件可以总结出从角的顶点画条射线，图中共有个角，即可得到答案 解：在内，从图（1）的顶点画条射线，图中共有个角； 从图（2）顶点画条射线，图中共有个角； …… 若从角的顶点画条射线，图中共有个角； ∴从角的顶点画条射线，图中共有个角． 【变式2】（25-26七年级下·山东淄博·期中）平面内五条直线两两相交，最多有个交点，最少有个交点，则______． 【答案】 解：平面内五条直线两两相交，最多有个交点，最少有1个交点， ． 【变式3】（23-24七年级上·全国·课后作业）两条直线相交，有一个交点，三条直线相交，最多有多少个交点？四条直线呢？你能发现什么规律吗？ 【答案】两条直线相交，最多有1个交点，三条直线相交，最多有3个交点，四条直线相交，最多有6个交点，…，规律：n条直线相交，最多有个交点． 【分析】根据两直线相交，最多有1个交点，三直线相交最多有1+2=3个交点，四条直线相交，最多有1+2+3=6个交点，由此可以发现最多交点个数就是从1开始的连续的正整数相加，最后一个加数比直线的条数少1，由此进行求解即可 解：两条直线相交，最多有1个交点，三条直线相交，最多有1+2=3个交点，四条直线相交，最多有1+2+3=6个交点…… 由此可以发现最多交点个数就是从1开始的连续的正整数相加，最后一个加数比直线的条数少1， 一般地，n条直线相交，最多有（首尾相加和为n，第二和倒数第二个的和也为n，由此即可推出此式子）个交点． 【点拨】本题主要考查了直线的交点个数问题，解题的关键在于能够根据特例推出相应的规律． 规律总结：直线上有n个点，线段总条数：；射线总条数：。 【题型 5】两点间距离概念辨析 【例题5】（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知直线和点，，． （1）请用直尺和圆规按下列要求作图（保留作图痕迹）： ①画射线； ②连接，在线段的延长线上作线段，使； （2）连接，则____（填“”“”“”）成立的依据是_______． 【答案】（1）①如图，射线即为所作； ②如图所示，线段即为所作； （2），两点之间线段最短 【分析】本题考查作图—复杂作图、直线、射线、线段、线段的性质． （1）①根据射线的定义画图即可；②以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点，则线段即为所求； （2）根据两点之间线段最短可得答案． 解：（1）略 （2）解：如图，连接， 则，理由是：两点之间线段最短． 故答案为：，两点之间线段最短． 【变式1】（25-26六年级下·全国·课后作业）关于两点之间的距离，下列说法不正确的是（） A．连接两点的线段就是两点之间的距离 B．连接两点的线段的长度，是两点之间的距离 C．点到点的距离是指线段的长度 D．两点之间的距离是连接这两点的所有的线的长度中，长度最短的 【答案】A 【分析】本题考查两点之间距离的定义及两点之间线段最短的性质，需明确距离是线段的长度而非线段本身，据此判断各选项正误． 解：选项A的说法错误，因为两点之间的距离是指连接这两点的线段的长度，是一个具体的数值，而线段是图形，二者不是同一概念，故该选项符合题意； 选项B、C符合两点之间距离的定义，说法正确，不符合题意； 选项D符合两点之间线段最短的性质，说法正确，不符合题意； 故选：A． 【变式2】（25-26七年级上·湖南益阳·期末）如图，在点A和点B之间的四条线中，通过度量可以得到A，B两点之间的距离的线是________．（填序号） 【答案】② 【分析】本题考查了两点之间的距离，理解题意是解题的关键． 根据相关知识点解题即可． 解：两点之间的距离是以这两点为端点的线段的长度，即线段的长． 故答案为：② ． 【变式3】（24-25七年级上·河北唐山·期中）如图，已知线段上有两个定点B，C． （1）图中共有____________条线段． （2）若在线段上增加一点，则增加了_____________条线段． （3）现有一列往返于A，B两地的火车，中途停靠五个站．问：①有____________种票价；②要准备____________种车票． 【答案】（1）6；（2）4；（3）①21；②42 【分析】（1）根据图形数出线段的条数即可； （2）根据图形数出线段的条数即可，注意要做到不重不漏； （3）①当直线m上有2个点时，线段的总条数为1，直线m上有3个点时，线段的总条数为，直线m上有4个点时，线段的总条数为条，…由此得出当直线m上有n个点时，线段的总条数为，根据点数为7可求票价； ②因车票需要考虑方向性，故需要准备车票的种类是票价的2倍，用票价得数量可得车票的数量； 解：（1）解：图中有6条线段，线段． 故答案为：6； （2）解：增加一个点后共有10条线段， 所以会增加4条线段． 故答案为：4； （3）解：当直线m上有2个点时，线段的总条数为1， 直线m上有3个点时，线段的总条数为， 直线m上有4个点时，线段的总条数为， … 由此得出当直线m上有n个点时，线段的总条数为， ①现有一列往返于A，B两地的火车，中途停靠五个站， 所以直线上共有7个点，共有线段（条）， 所以共有21种票价； ②因车票需要考虑方向性，故需要准备车票的种类是票价的2倍， 所以（种）， 所以共有42种票价． 故答案为：①21；②42； 【点拨】此题考查图形的变化规律，找出运算的规律与方法，得出规律，解决问题． 三.经典题型精析（巩固提升） 【题型 6】几何展开图 【例题6】（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图是一个几何体表面的展开图． （1）这个几何体的名称是______； （2）图中的展开图经过折叠围成几何体后，数“a”与其相对面上的数互为相反数，数“b”与其相对面上的数互为倒数，求的值． 【答案】（1）正方体；（2） 【分析】本题考查了正方体展开图的识别，正方体相对面的确定，倒数、相反数的定义及代数式求值． （1）根据题意可得这个几何体是正方体； （2）根据题意求得a，b的值，再代入计算即可． 解：（1）解：根据题意可得这个几何体的名称是正方体， 故答案为：正方体． （2）解：根据展开图可得：，， 解得，， ∴． 【变式1】（2026·江苏常州·二模）某几何体的表面展开图如图所示，则该几何体可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据几何体展开图可得答案． 解：根据几何体表面的展开图有2个面，一个圆是底面，一个曲面是侧面，可知该几何体是圆锥，所以D符合题意． 【变式2】（2025七年级上·全国·专题练习）活动课上，学生们设计制作正方体包装盒，老师发给每名学生一张长方形纸板，其长为4，宽为3，可以在纸板上画出设计图，将阴影部分剪下再折叠，三名学生的设计如图所示： 小张的设计小李的设计小王的设计其中剪下后不能折成正方体的设计有________（填小张、小李或小王）． 【答案】小张 【分析】本题考查正方体的展开图．由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解答即可． 解：小李和小王的设计经过折叠均能围成正方体，小张的设计经过折叠不能折成正方体． 故答案为：小张． 【变式3】（25-26七年级上·陕西咸阳·阶段检测）下面是一个正方体形状纸盒的展开图，请把，，，，，分别填入六个正方形，使得折成正方体后，相对面上的两数互为倒数． 【答案】与，与，与分别是相对的面，如图见分析 【分析】根据正方体的展开图，倒数的定义计算判断即可． 解：由倒数的定义可知与，与，与分别是相对的面，如图所示.（答案不唯一） ． 【点拨】本题考查了正方体的展开图，倒数的定义即乘积为1的两个数，熟练掌握正方体的展开图是解题的关键． 【题型 7】从不同方向看几何体 【例题7】（25-26七年级上·全国·期末）用小立方块搭一个几何体，使它从正面和从上面看的形状图如图所示．从上面看的形状图中，小方格中的字母表示该位置小立方块的个数，试回答下列问题． （1）x，z 各表示多少？ （2）y 可能是多少？这个几何体最少由几个小立方块搭成？最多呢？ 【答案】（1）；（2）y 可能是 1 或 2；最少由 11 个立方体搭成，最多由 12 个立方体搭成 【分析】（1）结合从正面看到的图形与上面看到的图形在每个位置上的个数，即可求解； （2）根据从正面看和从上面看得到的图形，相应位置的数据，求得的可能数，即可求解． 解：（1）解：由从正面看得到的图形，最右侧是1个，最左侧是3个， 根据从上面看得到的图形，可得，； （2）解：从正面看，中间一列最高有 2 个小立方块，由俯视图看，最后一列有 2 个小立方块， 所以中间可以是 1 个小立方块或2个小立方块，即或 ； 最少：， 最多：， 这个几何体最少由 11 个立方体搭成，最多由 12 个立方体搭成． 【变式1】（2026·黑龙江·模拟预测）在一仓库里堆放着若干个大小相同的正方体小货箱，仓库管理员将从三个方向看到的物体的形状图画了出来，如图所示，则这堆正方体小货箱共有（     ） A．11个 B．10个 C．9个 D．8个 【答案】B 【分析】根据该几何体从三个方向看到的形状图中所提供的信息进行分析解答即可． 解：根据从上面看可知，该物体的最下面一层有7个正方体小货箱，由从正面看和从左面看的图可得：该物体第二层有2个正方体小货箱，第三层有1个正方体小货箱， ∴组成该物体的正方体小货箱有：（个）． 【变式2】（25-26六年级上·山东淄博·期末）一个正方体的六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，从三个不同的方向看到的情形如图1所示，图2为这个正方体的侧面展开图，则图中的表示的数字是________． 【答案】 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的数字，从不同方向看几何体，熟练掌握正方体的展开图特点是解题关键． 先根据图1可得数字1所在面的相对面上的数字是5，数字4所在面的相对面上的数字是2，则可得数字6所在面的相对面上的数字是3，再根据图2可得标有的面与标有数字2的面是相对面，由此即可得解． 解：由图1可知，与标有数字1的面相邻的面上的数字有， ∴数字1所在面的相对面上的数字是5， 同理可得：数字4所在面的相对面上的数字是2， ∴数字6所在面的相对面上的数字是3， 由图2可知，标有的面与标有数字2的面是相对面， ∴． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·河南开封·期末）如图是用棱长为的小正方体组成的简单几何体． （1）在右面的网格中画出从左面看和从上面看到的这个几何体的形状图； （2）若在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保证添加后得到的新几何体从正面和上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加______个小正方体． 【答案】（1）见详解；（2）． 【分析】（1）根据该几何体分别从左面看，从上面看，画出即可； （2）根据图中标注出应摆放的小正方体的个数即可解答． 解：（1）解：该几何体从左面看到的形状图如下： 从上面看到的形状图如下： （2）解：在备注数字的位置上加相应数量的小正方体即可，如从上面看到的形状图： ， 所以为保持从正面和上面看到的形状图不变，最多可以再添加块小正方体． 【题型 8】直线、射线、线段 【例题8】（2024七年级上·全国·专题练习）（1）经过一个点能画几条直线？经过两个点呢？ （2）由此你能得到什么结论？ （3）点和直线有哪些关系？ （4）怎样由一条线段得到一条射线或一条直线？ （5）直线、射线和线段之间有什么区别和联系？ 【答案】（1）无数条，一条；（2）经过两点有一条直线，并且只有一条直线；（3）见分析；（4）见分析；（5）见分析 【分析】本题考查直线、射线和线段的特点，直线、射线和线段之间的区别和联系，以及直线的基本事实，解题的关键在于掌握直线、射线和线段的特点． （1）根据题意画出草图，即可回答问题； （2）根据（1）中图形给出结论即可； （3）根据题意画出草图，即可回答问题； （4）根据线段与射线，线段与直线之间联系回答，即可解题； （5）根据线段，射线，直线的特点进行回答，即可解题． 解：（1）由下图可知， 经过一个点能画无数条直线，经过两个点能画一条直线； （2）经过两点有一条直线，并且只有一条直线； （3）由下图可知， 点和直线的关系为：点在线上，点在线外； （4）把一条线段向一方延伸，或反向延伸便可得到射线， 把一条线段向两方无限延伸便可得到直线； （5）区别：直线没有端点，射线只有1个端点，线段有2个端点， 直线可以向两边无限延伸，射线可以向一边无限延伸，线段不能延伸， 直线不能度量，射线不能度量，线段能度量． 联系：射线和线段都是直线的一部分． 【变式1】（25-26七年级上·福建福州·期末）下列几何图形与相应语言描述不相符的是（     ）． A．如图乙所示，直线与直线交于点 B．如图甲所示，直线不经过点 C．如图丁所示，线段与射线一定相交 D．如图丙所示，点在线段上 【答案】D 【分析】根据射线，线段，直线的定义对各选项进行判断作答即可． 解：A、B、C选项描述均正确，故不符合题意， D选项描述不正确，应为“如图丙所示，点在直线上”，故符合题意． 【变式2】（25-26七年级上·吉林长春·期中）直线，，的位置关系如图所示，下列语句：①点在直线上；②直线经过点；③直线，交于点；④点在直线外；⑤图中共有条射线，以上表述正确的有______.（只填写序号） 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查直线、射线、线段，熟练掌握相关概念是解题的关键．根据直线、线段、射线的相关概念可进行求解． 解：由图可知： ①点在直线外，故原说法错误； ②直线经过点，原说法正确； ③直线、交于点，故原说法正确； ④点在直线外，原说法正确； ⑤图中是射线的有：射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线、射线共条，故原说法正确； 以上表述正确的有②③④； 故答案为②③④． 【变式3】（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）如图，已知四点A，B，C，D，按下列要求作图： （1）连接，交于点O； （2）作射线，射线； （3）反向延长射线交射线于点P； （4）图中有几条线段？几条射线？几条直线？ 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析；（4）有线段共条，射线条，直线条 【分析】本题考查了复杂作图，掌握直线、线段和射线的意义是解题的关键. （1）根据线段的特点作图； （2）根据射线的特点作图； （3）根据射线的特点作图； （4）根据线段、直线、射线的意义求解. 解：（1）如图：线段，点即为所求； （2）如图：射线即为所求； （3）点即为所求； （4）图中有线段共条，射线条，直线条. 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·河南周口·模拟预测）下列几何体中，不含曲面的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据曲面和平面的定义，结合各个几何体的特点求解即可． 解：球，圆锥，圆柱均含曲面，正方体不含曲面，故选B． 2．（25-26七年级下·广东河源·期末）如图，是由五个相同的正方体组成的几何体，从上面看的形状图是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 解： 解：由图可知，从上面看的形状图是． 3．（2026·陕西西安·三模）下列图形中，不是正方体展开图的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方体展开图的种特征进行判断，主要类型包括“”型、“”型、“”型、“”型，出现“田”字格或“凹”字型的不是正方体展开图，据此判断即可求解． 解：∵ 正方体展开图共有种，选项属于“”型，能折叠成正方体；选项中，中间个正方形连成一行，另外个正方形在同一侧，折叠后有两个面重合，不能折叠成正方体；选项属于“”型，能折叠成正方体；选项属于“”型，能折叠成正方体， ∴ 不是正方体展开图的是选项． 4．（2026·江西南昌·一模）“赣水欢腾  马跃新春”，南昌市举办了第四届迎春烟花晚会．如图是烟花在天空中形成的美丽弧线，这种现象可以用数学原理解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点定线 【答案】A 解：烟花在天空中形成的美丽弧线，这种现象可以用数学原理解释为点动成线． 5．（24-25七年级上·贵州安顺·期末）下列四个图中的线段（或直线、射线）能相交的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直线可以向两端无限延伸，射线向一端无限延伸． 解：A．直线与直线能相交，故符合题意； B．直线与射线不能相交，故不符合题意； C．线段与射线不能相交，故不符合题意； D．线段与线段不能相交，故不符合题意． 6．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，点C，D在线段上，则图中的线段共有（　　） A．6条 B．5条 C．4条 D．3条 【答案】A 【分析】本题考查的线段的计数，掌握计数的方法是关键． 解：点C、D在线段上，则图中有线段，，，，，，共6条线段． 故选：A． 7．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）生活中，我们可以用身体中的“尺子”来估计长度，其中一拃是张开的大拇指尖和中指尖之间的最大距离（如图所示）． 以下估计正确的是（    ） A．一支水笔的长度约1拃 B．课桌的高度约2拃 C．黑板的长度约3拃 D．试卷的宽度约6拃 【答案】A 【分析】本题考查了生活中的数学，估计的知识，解题的关键是要联系生活实际．结合题意，并联系生活实际逐项判断，即可解题． 解：A.一支水笔的长度约1拃，估计正确，符合题意；     B. 课桌的高度约2拃，估计错误，不符合题意； C. 黑板的长度约3拃，估计错误，不符合题意；     D. 试卷的宽度约6拃，估计错误，不符合题意； 故选：A． 8．（25-26七年级上·全国·期末）平面上有四个点，经过其中的两点画直线最少可画a条直线，最多可画b 条直线，那么的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】当四点在一条直线上时，可画1条，当任意三点不在同一条直线上时，可画出6条直线，据此得出a、b的值，代入计算即可． 解：如图所示： 平面上有四个点最少画1条直线，最多画6条直线， ∴，， ∴． 9．（25-26七年级下·重庆江北·开学考试）过平面上个点画直线有（　　）条． A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 【答案】A 【分析】根据四个点的不同位置关系分类讨论，利用两点确定一条直线的性质计算直线条数。 解：∵ 两点确定一条直线，分三种情况讨论如下： 情况1：当个点都在同一条直线上时，只能画出条直线； 情况2：当个点中有个点共线，第个点不在这条直线上时，共线三点确定条直线，第个点和个共线点分别确定条不同直线， ∴ 总直线数为条； 情况3：当个点中任意三点都不共线时，每两个点确定一条不同直线，总直线数为条； ∴ 过平面上个点画直线有或或条． 故选：A． 10．（2026·河南平顶山·三模）把如图所示的图形折叠起来围成一个正方体，可以得到的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是正方体的展开图，先确定展开图中各个面的相对关系，首先判断带叶子图案、圆形图案、两个阴影三角形的面的相对面的图案即可． 解：根据展开图可知，阴影三角形所在的两个面为相邻面，且有公共边，“”和“”所在的两个面为相对的面，据此可排除A，B，D．所以只有符合题意，正确． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·山西临汾·期中）如图是一个正方体的表面展开图，将它折叠成一个正方体后，相对面上的数字和都相等，那么的值是________． 【答案】11 【分析】根据正方体表面展开图的特征判定相对的面，再根据相对面上的数字和都相等求解即可． 解：依题意可知，x与是相对面，y与是相对面，与3是相对面， ∵相对面上的数字和都相等， ∴， 解得， ∴． 12．（25-26七年级上·广东深圳·期末）诗人张协在《杂诗十首》中用“腾云似涌烟，密雨如散丝”描写雨的细密．其中“密雨如散丝”表现的数学原理是___________（从“点动成线”，“线动成面”，“面动成体”中选一个填入）． 【答案】点动成线 【分析】本题主要考查了“点线面体”的关系， 根据点、线、面、体的运动关系，雨滴可视为点，散丝表示线，点移动形成线． 解：诗句“密雨如散丝”中，雨滴是点，散丝是线，数学原理是点动成线． 故答案为：点动成线． 13．（25-26七年级上·河南郑州·期中）用一个平面分别去截下列几何体：①正方体；②圆柱；③圆锥；④球；⑤三棱柱；截面可能为三角形的有____（填序号） 【答案】①③⑤ 【分析】本题考查了截一个几何体，正确认识几何体的形状是解题的关键．根据各几何体的形状特征，判断平面截取时可能形成的截面形状． 解：用一个平面截正方体，当平面通过三个顶点且不通过四个顶点时，截面可能为三角形；截圆柱时，由于圆柱的侧面为曲面，截面不可能为三角形；截圆锥时，当平面通过圆锥的顶点且与底面相交时，截面可能为三角形；截球时，截面总是圆或点，不可能为三角形；截三棱柱时，当平面平行于三角形底面或通过适当角度截取时，截面可能为三角形． 故答案为：①③⑤． 14．（24-25七年级下·湖南长沙·开学考试）如图，已知四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一侧的线段在同一直线上，请借助直尺判断该线段是__________ 【答案】线段a 【分析】本题考查两点确定一条直线，掌握两点确定一条直线是解题关键．根据经过两点有一直线并且只有一条直线即可判断． 解：如图， ∴线段a与挡板另一侧的线段在同一直线上， 故答案为：线段a． 15．（25-26六年级下·山东泰安·期中）往返于泰安到北京的列车，中途停靠个站，则要准备____种不同的车票． 【答案】 【分析】结合线段的知识先计算出总的站点数量，再结合不同起点终点对应不同车票，即往返车票方向不同属于不同车票，计算即可得到总车票种类． 解：泰安到北京的列车，中途停靠个站， 总站数为（个），每个站可到达站数为（个）， 要准备不同的车票种类数为（个）． 16．（25-26七年级上·甘肃甘南·期末）要把一根实木挂衣架水平固定在墙上，则至少需要两枚钉子，其中蕴含的数学知识是___________． 【答案】两点确定一条直线 【分析】分析两枚钉子固定挂衣架的实际作用，对应数学中“两点确定一条直线”的性质，通过两个点锁定挂衣架的位置，使其保持水平状态且不会随意偏移． 解：用两枚钉子固定实木挂衣架时，两枚钉子的位置相当于两个点，这两个点能唯一确定挂衣架所在的直线位置，从而将挂衣架水平固定在墙上，防止其晃动或移位． 因此其中蕴含的数学知识是两点确定一条直线． 17．（21-22七年级下·四川自贡·开学考试）一个立体图形从上面看到的形状是，从左面看到的形状是，搭成这样的立体图形，最少需要 _____个小正方体． 【答案】 【分析】从不同方向看几何体可知，上层有2个小正方体，下层有4个小正方体，相加即可求解． 解：由从上面看和从左面看到的形状可知，上层有2个小正方体，下层有4个小正方体， ∴搭成这样的立体图形至少需要小正方体（个）． 18．（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，如图分别是从它的上面、正面、左面看到的形状图，则这个几何体是用________个小立方块搭成的． 【答案】 【分析】此题主要考查根据从不同方向看到的几何体的形状判断几何体．根据题意可以得到该几何体从正面和上面看至少有多少个小立方块，综合考虑即可解答本题． 解：从上面看底层有6个小立方块， 从正面和左面看共有2层，第2层只有1个小立方块，如图， 则这个几何体是用个小立方块搭成的． 故答案为：． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）看图解答下列各题： （1）一个正方体共有______种平面展开图； （2）在图中网格中画出两种不同的正方体的展开图． 【答案】（1）11（2）见分析 解：（1）解：一个正方体共有种平面展开图； （2）解：如图： 20．（本小题满分8分）（25-26七年级下·重庆·开学考试）如图，已知四个点A、B、C、D，根据下列要求画图： （1）画线段； （2）画射线，与线段的延长线交于点E； （3）找一点P，使P既在直线上，又在直线上． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析 【分析】（1）根据线段的定义画出图形； （2）根据射线，线段的延长线的定义画出图形即可； （3）直线与直线的交点即为所求． 解：（1）解：如图，连接，线段即为所求； （2）解：如图，连接并延长交线段的延长线于点E，射线，点E即为所求； （3）解：如图，直线与直线交于点P，点P即为所求． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·全国·课后作业）图中个正方形，编号分别为~． （1）动手做一做，看它是不是一个正方体的展开图？ （2）若将编号为的正方形分别移动到~的上面，是否可以围成一个正方体？ （3）你能否从中找出规律？ 【答案】（1）是；（2）是；（3）个正方形，四个横着排成一排，上下各一个正方形都能围城一个正方体 【分析】本题考查了立体图形的展开图：、 （1）动手操作即可判断； （2）动手操作即可判断； （3）根据前面的折叠情况观察即可． 解：（1）解：通过实际动手折叠，得出给定图形是一个正方体的展开图． （2）实际操作后可以得出给定图形能围城一个正方体． （3）根据前面的判断结果，可得：个正方形，四个横着排成一排，上下各一个正方形都能围城一个正方体． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·河南新乡·期末）如图1是两个几何体的表面展开图，图2是一个正方体的表面展开图． （1）写出图1中对应几何体的名称：①__________，②__________； （2）将图2的展开图折叠成正方体，折叠后相对的两个面上的数字之和均相等，求的值． 【答案】（1）长方体（或四棱柱）； 三棱锥；（2）11 【分析】本题主要考查了几何体的展开图、正方体相对面的识别，熟练掌握常见几何体的展开图特征、正方体展开图中相对面的位置关系是解题的关键． （1）根据几何体表面展开图的特征，即可判断图①、图②对应的几何体； （2）先确定正方体展开图中相对的面，再根据相对面数字之和相等，求出、的值，进而计算． 解：（1）解：图1中对应几何体为：①长方体（或四棱柱），②三棱锥. （2）解：由题图可知与1，2与4，y与相对． ∵相对的两个面上的数字之和均相等，， ． ． ． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级上·浙江舟山·期末）如图，棋盘上有4枚黑棋标记为点A、B、C、D，4枚白棋标记为点E、F、G、H，经过两枚棋子画一条直线，若这条直线上还有第三枚棋子，就称“三棋共线”． （1）请画出连接黑棋A与白棋F的线段． （2）图中满足“三棋共线”的直线有几条？分别是哪几条？ 【答案】（1）画图如下： （2）4条：直线，直线，直线，直线 【分析】本题考查三点共线，画线段，熟练掌握相关定义，数形结合是解题的关键： （1）根据要求，连接即可； （2）根据题意，找到符合题意的直线即可． 解：（1）略 （2）解：观察可知，满足“三棋共线”的直线有4条，分别为直线，直线，直线，直线． 24．（本小题满分12分）（25-26六年级下·山东烟台·期中）观察下图，并解决下列问题： 【模型构建】 （1）图中共有__________条线段； （2）若线段上标记了个点（含线段的两个端点），则该线段中共有___________条线段； （3）【模型应用】 某社团组织若干名成员参加趣味活动，活动设置了多项互动环节．已知每两名成员之间要合作完成一次双人游戏，总共完成了次双人游戏．若每个成员都送给其他成员一枚自制徽章，求总共要送出多少枚徽章？ 【答案】（1）；（2）；（3）枚徽章． 【分析】（）根据线段的定义求解即可； （）根据线段的定义求解出线段条数的规律即可； （）设共有名成员参加活动，由题意得，则要送出的徽章总数为，从而求解． 解：（1）解：图中线段为：，，，，，，，，，，共条， 故答案为：； （2）解：该线段中共有， 故答案为：； （3）解：设共有名成员参加活动，由题意得，， 所以要送出的徽章总数为， 答：总共要送出枚徽章． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第10讲）——立体图形与线段、直线、射线（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 课前自主预习填空 2 【知识点一】立体图形与平面图形 2 【知识点二】线段、射线、直线对比精讲（核心必考） 2 【知识点三】两大核心公理（几何解题依据） 3 【知识点三】点与直线的位置关系 3 二.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】图形识别与分类 3 【题型 2】线段、射线、直线概念辨析 4 【题型 3】公理应用题型 5 【题型 4】几何计数问题（拔高必考） 5 【题型 5】两点间距离概念辨析 6 三.经典题型精析（巩固提升） 7 【题型 6】几何展开图 7 【题型 7】从不同方向看几何体 8 【题型 8】直线、射线、线段 9 四.同步自测 10 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 10 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 12 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 13 预习方法：读概念→理解定义性质→学例题→练变式→同步自测 一.教材知识梳理 课前自主预习填空 请结合课本内容，自主完成以下填空，提前夯实本节核心概念： 1. 各部分不都在同一平面内的图形叫做________图形；各部分都在同一平面内的图形叫做________图形。 2. 常见立体图形有：正方体、长方体、________、________、圆锥、棱柱等。 3. 线段有________个端点，________延伸，可以测量长度；射线有________个端点，向________无限延伸，无法测量长度；直线________端点，向________无限延伸，无法测量长度。 4. 直线基本公理：________________________________，简述为两点确定一条直线。 5. 线段基本公理：两点的所有连线中，________最短，简述为________________。 6. 连接两点间的线段的________，叫做这两点间的距离。 7. 点与直线的位置关系有两种：点在直线________、点在直线________。 【知识点一】立体图形与平面图形 核心区分：立体图形占有一定空间，包含多个平面；平面图形仅在一个平面内，无空间结构。 常见图形分类 立体图形：正方体、长方体、圆柱、圆锥、三棱柱、四棱锥、球； 平面图形：线段、直线、射线、角、三角形、长方形、圆、多边形。 重点拓展：立体图形展开图 正方体展开图共11种，核心规律：一线不过四、田凹应弃之；相对面不相邻，相邻面不相对，是考试高频考点。 圆柱展开图：两个圆形底面+一个长方形侧面；圆锥展开图：一个圆形底面+一个扇形侧面。 【知识点二】线段、射线、直线对比精讲（核心必考） 图形类型 端点个数 延伸方向 能否度量 表示方法规范 线段 2个 不可延伸 能 线段AB（BA）、线段a 射线 1个 向一端无限延伸 不能 射线AB（端点必须在前，不可写BA） 直线 0个 向两端无限延伸 不能 直线AB（BA）、直线l 【特别提示】：射线具有方向性，射线AB和射线BA是两条不同射线，端点和延伸方向均不同。 【知识点三】两大核心公理（几何解题依据） 公理1：两点确定一条直线 应用场景：植树定直线、钉木条固定（两点固定）、射击瞄准，生活中所有直线定位问题均用此公理。 公理2：两点之间，线段最短 应用场景：修路改直、最短路径问题。注意：两点间的距离是线段的长度，不是线段本身，距离是数值，线段是图形。 【知识点三】点与直线的位置关系 ① 点在直线上（直线经过该点）；② 点在直线外（直线不经过该点）。 补充：两条直线相交，有且只有一个公共点。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】图形识别与分类 【例题1】（25-26七年级上·全国·课后作业）请说出下列物体分别类似于哪一类几何体，或可看作由哪些几何体构成的． 【变式1】（2026·河南商丘·模拟预测）分别观察下列几何体，其中不含曲面的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（26-27七年级·全国·暑假作业）将下图中的立体图形分类． 柱体____________；锥体____________；球体____________． 【变式3】（25-26七年级上·贵州六盘水·阶段检测）根据如图所示的图形，完成下列各题： （1）指出哪些是平面图形？哪些是立体图形？ （2）把立体图形按柱体、锥体、球分类； （3）指出立体图形中各面既有平面又有曲面图形． 【题型 2】线段、射线、直线概念辨析 【例题2】（24-25七年级上·全国·单元复习）学习情境·学科内融合已知数轴上的原点为O点，点A表示3，点B表示，回答下列问题． （1）数轴在原点左边的部分（包括原点）是一条什么线？怎么表示？ （2）射线上的点表示什么数？ （3）数轴上表示不大于3，且不小于的数的部分是什么图形？怎么表示？ 【变式1】（25-26七年级下·山东烟台·期末）如图，下列说法正确的是（     ） A．射线和射线是同一条射线 B．直线和直线不是同一条直线 C．线段和线段不是同一条线段 D．点在线段的延长线上 【变式2】（24-25七年级上·吉林长春·阶段检测）如图，有下列结论： ①以点为端点的射线共有5条；    ②以点为端点的线段共有4条； ③射线和射线是同一条射线；    ④直线和直线是同一条直线． 以上结论正确的是__________．（填序号） 【变式3】（24-25七年级上·河南周口·期末）如图，在平面内有A，B，C三点． （1）画直线，射线，线段； （2）在线段上任取一点D（不同于B，C），连接，并延长至E，使； （3）数一数，此时图中线段共有 ___________条． 【题型 3】公理应用题型 【例题3】（25-26七年级上·江西赣州·期末）如图，正方形网格中有四个点，，，，它们都在网格线的交点上，请利用网格，用无刻度直尺按照下列要求画图： （1）画出直线，并找出线段的中点； （2）画出射线，并在射线上画出点，使的值最小． 【变式1】（2026·广西南宁·三模）彭莫山长隧道是广西最接近直线形状的隧道之一，建成后通行里程和行车时间都大大缩短．用学过的数学知识解释路程缩短的原因为（     ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．对顶角相等 【变式2】（25-26七年级上·河南南阳·期末）在下列现象中，体现了数学原理“两点确定一条直线”的有___________个． 【变式3】（24-25七年级上·全国·课后作业）在纸上画出一点和一点，过点你能画出几条直线？经过、两点画直线，你又可以画几条？ 【题型 4】几何计数问题（拔高必考） 【例题4】（25-26七年级上·江西宜春·期末）如图，已知、、三点在直线上，是外一点，请用无刻度直尺按下列要求作图： （1）画直线、线段、连接线段并反向延长； （2）图中以为端点的线段共有________条． 【变式1】（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，在内，从图（1）的顶点O画1条射线，图中共有3个角；从图（2）顶点O画2条射线，图中共有6个角，按这样规律继续下去，若从顶点O画29条射线，则图中共有几个角（    ） A．378 B．406 C．435 D．465 【变式2】（25-26七年级下·山东淄博·期中）平面内五条直线两两相交，最多有个交点，最少有个交点，则______． 【变式3】（23-24七年级上·全国·课后作业）两条直线相交，有一个交点，三条直线相交，最多有多少个交点？四条直线呢？你能发现什么规律吗？ 规律总结：直线上有n个点，线段总条数：；射线总条数：。 【题型 5】两点间距离概念辨析 【例题5】（25-26七年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知直线和点，，． （1）请用直尺和圆规按下列要求作图（保留作图痕迹）： ①画射线； ②连接，在线段的延长线上作线段，使； （2）连接，则____（填“”“”“”）成立的依据是_______． 【变式1】（25-26六年级下·全国·课后作业）关于两点之间的距离，下列说法不正确的是（） A．连接两点的线段就是两点之间的距离 B．连接两点的线段的长度，是两点之间的距离 C．点到点的距离是指线段的长度 D．两点之间的距离是连接这两点的所有的线的长度中，长度最短的 【变式2】（25-26七年级上·湖南益阳·期末）如图，在点A和点B之间的四条线中，通过度量可以得到A，B两点之间的距离的线是________．（填序号） 【变式3】（24-25七年级上·河北唐山·期中）如图，已知线段上有两个定点B，C． （1）图中共有____________条线段． （2）若在线段上增加一点，则增加了_____________条线段． （3）现有一列往返于A，B两地的火车，中途停靠五个站．问：①有____________种票价；②要准备____________种车票． 三.经典题型精析（巩固提升） 【题型 6】几何展开图 【例题6】（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图是一个几何体表面的展开图． （1）这个几何体的名称是______； （2）图中的展开图经过折叠围成几何体后，数“a”与其相对面上的数互为相反数，数“b”与其相对面上的数互为倒数，求的值． 【变式1】（2026·江苏常州·二模）某几何体的表面展开图如图所示，则该几何体可能是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2025七年级上·全国·专题练习）活动课上，学生们设计制作正方体包装盒，老师发给每名学生一张长方形纸板，其长为4，宽为3，可以在纸板上画出设计图，将阴影部分剪下再折叠，三名学生的设计如图所示： 小张的设计小李的设计小王的设计其中剪下后不能折成正方体的设计有________（填小张、小李或小王）． 【变式3】（25-26七年级上·陕西咸阳·阶段检测）下面是一个正方体形状纸盒的展开图，请把，，，，，分别填入六个正方形，使得折成正方体后，相对面上的两数互为倒数． 【题型 7】从不同方向看几何体 【例题7】（25-26七年级上·全国·期末）用小立方块搭一个几何体，使它从正面和从上面看的形状图如图所示．从上面看的形状图中，小方格中的字母表示该位置小立方块的个数，试回答下列问题． （1）x，z 各表示多少？ （2）y 可能是多少？这个几何体最少由几个小立方块搭成？最多呢？ 【变式1】（2026·黑龙江·模拟预测）在一仓库里堆放着若干个大小相同的正方体小货箱，仓库管理员将从三个方向看到的物体的形状图画了出来，如图所示，则这堆正方体小货箱共有（     ） A．11个 B．10个 C．9个 D．8个 【变式2】（25-26六年级上·山东淄博·期末）一个正方体的六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，从三个不同的方向看到的情形如图1所示，图2为这个正方体的侧面展开图，则图中的表示的数字是________． 【变式3】（25-26七年级上·河南开封·期末）如图是用棱长为的小正方体组成的简单几何体． （1）在右面的网格中画出从左面看和从上面看到的这个几何体的形状图； （2）若在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保证添加后得到的新几何体从正面和上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加______个小正方体． 【题型 8】直线、射线、线段 【例题8】（2024七年级上·全国·专题练习）（1）经过一个点能画几条直线？经过两个点呢？ （2）由此你能得到什么结论？ （3）点和直线有哪些关系？ （4）怎样由一条线段得到一条射线或一条直线？ （5）直线、射线和线段之间有什么区别和联系？ 【变式1】（25-26七年级上·福建福州·期末）下列几何图形与相应语言描述不相符的是（     ）． A．如图乙所示，直线与直线交于点 B．如图甲所示，直线不经过点 C．如图丁所示，线段与射线一定相交 D．如图丙所示，点在线段上 【变式2】（25-26七年级上·吉林长春·期中）直线，，的位置关系如图所示，下列语句：①点在直线上；②直线经过点；③直线，交于点；④点在直线外；⑤图中共有条射线，以上表述正确的有______.（只填写序号） 【变式3】（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）如图，已知四点A，B，C，D，按下列要求作图： （1）连接，交于点O； （2）作射线，射线； （3）反向延长射线交射线于点P； （4）图中有几条线段？几条射线？几条直线？ 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·河南周口·模拟预测）下列几何体中，不含曲面的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·广东河源·期末）如图，是由五个相同的正方体组成的几何体，从上面看的形状图是（     ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西西安·三模）下列图形中，不是正方体展开图的是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·江西南昌·一模）“赣水欢腾  马跃新春”，南昌市举办了第四届迎春烟花晚会．如图是烟花在天空中形成的美丽弧线，这种现象可以用数学原理解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点定线 5．（24-25七年级上·贵州安顺·期末）下列四个图中的线段（或直线、射线）能相交的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，点C，D在线段上，则图中的线段共有（　　） A．6条 B．5条 C．4条 D．3条 7．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）生活中，我们可以用身体中的“尺子”来估计长度，其中一拃是张开的大拇指尖和中指尖之间的最大距离（如图所示）． 以下估计正确的是（    ） A．一支水笔的长度约1拃 B．课桌的高度约2拃 C．黑板的长度约3拃 D．试卷的宽度约6拃 8．（25-26七年级上·全国·期末）平面上有四个点，经过其中的两点画直线最少可画a条直线，最多可画b 条直线，那么的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 9．（25-26七年级下·重庆江北·开学考试）过平面上个点画直线有（　　）条． A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 10．（2026·河南平顶山·三模）把如图所示的图形折叠起来围成一个正方体，可以得到的是（     ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·山西临汾·期中）如图是一个正方体的表面展开图，将它折叠成一个正方体后，相对面上的数字和都相等，那么的值是________． 12．（25-26七年级上·广东深圳·期末）诗人张协在《杂诗十首》中用“腾云似涌烟，密雨如散丝”描写雨的细密．其中“密雨如散丝”表现的数学原理是___________（从“点动成线”，“线动成面”，“面动成体”中选一个填入）． 13．（25-26七年级上·河南郑州·期中）用一个平面分别去截下列几何体：①正方体；②圆柱；③圆锥；④球；⑤三棱柱；截面可能为三角形的有____（填序号） 14．（24-25七年级下·湖南长沙·开学考试）如图，已知四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一侧的线段在同一直线上，请借助直尺判断该线段是__________ 15．（25-26六年级下·山东泰安·期中）往返于泰安到北京的列车，中途停靠个站，则要准备____种不同的车票． 16．（25-26七年级上·甘肃甘南·期末）要把一根实木挂衣架水平固定在墙上，则至少需要两枚钉子，其中蕴含的数学知识是___________． 17．（21-22七年级下·四川自贡·开学考试）一个立体图形从上面看到的形状是，从左面看到的形状是，搭成这样的立体图形，最少需要 _____个小正方体． 18．（25-26七年级上·陕西咸阳·期末）一个几何体由若干大小相同的小立方块搭成，如图分别是从它的上面、正面、左面看到的形状图，则这个几何体是用________个小立方块搭成的． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25七年级上·四川达州·阶段检测）看图解答下列各题： （1）一个正方体共有______种平面展开图； （2）在图中网格中画出两种不同的正方体的展开图． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级下·重庆·开学考试）如图，已知四个点A、B、C、D，根据下列要求画图： （1）画线段； （2）画射线，与线段的延长线交于点E； （3）找一点P，使P既在直线上，又在直线上． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级上·全国·课后作业）图中个正方形，编号分别为~． （1）动手做一做，看它是不是一个正方体的展开图？ （2）若将编号为的正方形分别移动到~的上面，是否可以围成一个正方体？ （3）你能否从中找出规律？ 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·河南新乡·期末）如图1是两个几何体的表面展开图，图2是一个正方体的表面展开图． （1）写出图1中对应几何体的名称：①__________，②__________； （2）将图2的展开图折叠成正方体，折叠后相对的两个面上的数字之和均相等，求的值． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级上·浙江舟山·期末）如图，棋盘上有4枚黑棋标记为点A、B、C、D，4枚白棋标记为点E、F、G、H，经过两枚棋子画一条直线，若这条直线上还有第三枚棋子，就称“三棋共线”． （1）请画出连接黑棋A与白棋F的线段． （2）图中满足“三棋共线”的直线有几条？分别是哪几条？ 24．（本小题满分12分）（25-26六年级下·山东烟台·期中）观察下图，并解决下列问题： 【模型构建】 （1）图中共有__________条线段； （2）若线段上标记了个点（含线段的两个端点），则该线段中共有___________条线段； （3）【模型应用】 某社团组织若干名成员参加趣味活动，活动设置了多项互动环节．已知每两名成员之间要合作完成一次双人游戏，总共完成了次双人游戏．若每个成员都送给其他成员一枚自制徽章，求总共要送出多少枚徽章？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $