黑龙江鸡西市第一中学校2025-2026学年高一第二学期期末考试数学试卷

鸡西市一中高一学年第二学期期末考试数学试卷 2025～2026学年度高一年级第二学期期末考试 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：人教A版必修第二册、选择性必修第一册第一章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数在复平面内所对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．在空间直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标为 A． B． C． D． 3．已知事件A，B发生的概率分别为，，若，则 A．0.35 B．0.15 C．0.5 D．0.3 4．已知平面平面，直线平面，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．若的三个内角A，B，C满足，则的形状是 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 6．如图，一个正三棱柱形容器中盛有水，侧棱．若侧面水平放置时，水面恰好过，，，的中点，则当底面水平放置时，水面高为 A．6 B．8 C．12 D．16 7．已知O在所在平面内，满足，且，，则 A．4 B．6 C．8 D．12 8．如图1，在平面四边形中，，，且，将沿翻折到，得到三棱锥，如图2所示，若二面角的正切值是，则三棱锥外接球的表面积是 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，记下骰子面朝上的点数，设事件“点数为2”，事件“点数为奇数”，事件“点数不小于3”，事件“点数不大于2”，则下列说法正确的是 A．A与B互斥 B．A与C互斥 C．B与D互为对立 D．C与D互为对立 10．已知向量，，且，则下列说法正确的是 A． B． C． D．向量在向量上的投影向量为 11．在棱长均为1的三棱柱中，，点P满足，其中，则下列说法正确的是 A．当点P为棱的中点时， B．当时，P，，B，C四点共面 C．当时， D．当时，面积的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知一组数据的方差为2，则数据的方差为________． 13．如图，在三棱柱中，点E是棱的中点，点D是棱上的一点，且平面，则_______． 14．在中，，点D，E满足，，与交于O，且，则_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 某品牌空调为了解客户对某款空调使用的满意度，进行了一次客户满意度问卷测试，测试成绩均位于区间内，从中随机抽取了400名客户的测试成绩，将所得数据分成五组：，，，，，绘制得到频率分布直方图，如图所示． （1）求a的值； （2）求这400名客户中测试成绩落在内的人数； （3）估计这400名客户测试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）． 16．（本小题满分15分） 如图，在直四棱柱中，底面是菱形，点E，F分别为棱，的中点． （1）求证：平面； （2）求证：． 17．（本小题满分15分） 甲、乙两人组成“光之队”参加猜灯谜活动，每轮活动由甲、乙各猜一个灯谜，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也相互不影响． （1）求“光之队”在一轮活动中至少猜对1个灯谜的概率； （2）求“光之队”在两轮活动中猜对3个灯谜的概率； （3）求在两轮活动中甲猜对灯谜数量大于乙猜对灯谜数量的概率． 18．（本小题满分17分） 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）已知，点O是内一点，且． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求面积的最大值． 19．（本小题满分17分） 如图，在四棱锥中，底面是边长为6的正方形，平面平面，平面平面，点E是棱的中点，点F是棱上的一点（不包含端点）． （1）求证：平面； （2）若，且平面与平面的夹角的余弦值为． （ⅰ）求三棱锥的体积； （ⅱ）记平面交于点G，点H在平面上，求与平面所成角的正弦值的取值范围． 2025～2026学年度高一年级第二学期期末考试·数学 参考答案、提示及评分细则 1．A 由题意知，复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限．故选A． 2．C 点关于轴对称的点的坐标为．故选C． 3．D 因为，所以．故选D． 4．B 若，则可能与平面平行，故“”不是“”的充分条件；若，在平面内作垂直于与交线的直线，又平面平面，所以，又，所以，又平面，直线平面，所以，所以“”是“”的必要条件．综上，“”是“”的必要不充分条件．故选B． 5．A 由正弦定理可得，则，，因此根据余弦定理，即，而由，故为锐角三角形．故选A。 6．C 设正三棱柱的底面积为，又水面恰好过，，，的中点，所以水的体积，当底面水平放置时，设水面高为，所以水的体积，解得．故选C． 7．B 因为，所以为的外接圆的圆心，取的中点，连接，则，所以，同理可得，所以．故选B． 8．A 取的中点，则，，，，所以为二面角的平面角，所以，故，在中，由余弦定理得，所以，所以，，即，，又，，平面，所以平面，所以三棱锥外接球的半径为，所以外接球的表面积为．故选A． 9．ABD “点数为2”与“点数为奇数”不能同时发生，所以与互斥，故正确“点数为2”与“点数不小于3”不能同时发生，所以与互斥，故B正确；当“点数为1”时，与同时发生，C错误；“点数不小于3”与“点数不大于2”不能同时发生且至少有一个发生，所以与互为对立，故D正确．故选ABD． 10．AC由题意知，故A正确；，因为，所以，所以，所以，故B错误；，故C正确；向量在向量上的投影向量为，故D错误。故选AC。 11．BCD 当点为棱的中点时， ，所以，，，，故A错误；当时，，所以，即，所以，，，四点共面，故B正确；当时，，所以，所以 ，故C正确；当时， ，，所以点到的距离，因为，所以，当且仅当时，取等号，所以的面积，即面积的最小值为，故D正确．故选BCD． 12．18 因为数据的方差为2，则数据的方差为． 13． 连接，交于点，再连接，如图所示，则，因为平面，平面平面，平面，所以，所以． 14． 设，，且，则，因为，，三点共线，则存在实数，使得，又因为，，三点共线，则存在实数，使得，所以，则解得，，所以，且．因为，所以．，解得，所以，因为，所以，由余弦定理得，由正弦定理得，得． 15．解：（1）由题意知， 解得． （2）测试成绩落在的频率为， 所以这400名客户中测试成绩落在内的人数为． （3）估计这400名客户測试成绩的平均数． 16．证明：（1）取的中点，连接，，如图所示，又点为棱的中点，所以，， 在直四棱柱中，，，所以，． 又底面是菱形，点为棱的中点，所以，， 所以，，所以四边形是平行四边形，所以． 又平面，平面，所以平面． （2）连接，因为底面是菱形，所以， 在直四棱柱中，平面，又平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以． 17．解：（1）记“光之队”在一轮活动中至少猜对1个灯谜为事件， 则， 即“光之队”在一轮活动中至少猜对1个灯谜的概率为． （2）记事件表示在两轮活动中甲猜对个灯谜，其中，事件表示在两轮活动中乙猜对个灯谜，其中， 所以，， ， ，， ， 记事件表示“光之队”在两轮活动中青对3个灯谜，则， 所以， 即“光之队”在两轮活动中猜对3个灯谜的概率为． （3）记事件表示在两轮活动中甲猜对灯谜数量大于乙猜对灯谜数量，则， 所以， 即在两轮活动中甲猜对灯谜数量大于乙菁对灯谜数量的概率为． 18．解：（1）因为，由正弦定理得， 即， 即，又，所以，所以， 即，所以， 又，所以，解得． （2）（ⅰ）由题意知， 又， 故， 可得． 所以． （ⅱ）设，则，，，其中， 在中，由正弦定理可得，即， 则， 在中，由正弦定理可得，即，则， 所以 ， 又，， 所以，即面积的最大值为． 19．（1）证明：因为底面是边长为6的正方形，所以，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面， 又平面，所以， 因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以， 又，，平面，所以平面． （2）解：（ⅰ）由（1）知平面，又，平面，所以，，又，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，所以，，，设， 则． 设平面的法向量为，则 即 取，解得，，所以是平面的一个法向量， 因为平面，所以是平面的一个法向量． 因为平面与平面的夹角的余弦值为， 所以， 解得或（舍），所以． 所以三棱锥的体积 ． （ⅱ）设，则， 由（i）可知为平面的一个法向量，所以， 所以，解得， 所以， 因为在平面上，所以， 所以． 设平面的法向量，则即 取得，，所以是平面的一个法向量， 设与平面所成角为，则． 因为，所以， 即与平面所成角的正弦值的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $