3.3 幂函数（教学课件）数学人教A版2019必修第一册

第 3 章 3.3 幂函数 人教A版2019必修第一册 幂函数 学习目标 1.掌握幂函数的概念、图象特征和性质． 2.掌握幂函数的图象位置和形状变化，会根据幂函数的单调性比较幂值的大小． 3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题. 目录 CATALOG 01.幂函数的概念 03.题型强化训练 02.幂函数的图象与性质 04.小结及随堂练习 01 幂函数的概念 3.3 幂函数 导入新知：气体流量“四次方” 风洞实验—— “半径扩大 2 倍， 流量扩大 16 倍！” 问题： 为什么不是 2 倍而是 16 倍？ 函数的性质 前面学习了函数的概念，利用函数概念和对图像的观察，研究了函数的一些性质（单调性，奇偶性）． 设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，∀x1， x2∈D，且x1<x2 ， 如果都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上单调递增; 如果都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上单调递减． 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I， 且f(－x)=f(x)（f(－x)=－f(x)），那么函数f(x)就叫做偶函数(奇函数) 本节我们利用这些知识研究一类新的函数． 导入新知 学习新知 (1)如果卢老师以1元/kg的价格购买了某种蔬菜t千克，那么他需要支付 的钱数P=t元，这里P是t的函数； (2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数； (3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3，这里V是b的函数； (4)如果正方形广场的面积为S，那么广场的边长 ，这里c是S的函数； (5)如果某人t秒内汽车前进了1km，那么他的平均速度 km/s，这里 V是t的函数； 先看几个实例： 学习新知 上述问题中涉及的函数，都是形如y=xα的函数． （1）都具有幂的形式； （2）均是以幂的底为自变量； （3）幂的指数都是常数； （4）自变量前的系数为1． 观察（1）~（5）中的函数解析式，它们有什么共同特征？ 幂函数的概念 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求幂函数的值、由幂函数的单调性求参数 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 根据函数是幂函数求参数值、由幂函数的单调性求参数 学习新知 函数 图像 R R 在R 上单调递增 奇函数 R [0，+∞） 在(-∞,0]上单调递减，在[0,+∞）单调递增 偶函数 R R 在R 上单调递增 奇函数 定义域 值域 单调性 奇偶性 定点 [0，+∞） [0，+∞） 在[0，+∞）上单调递增 非奇非偶函数 (-∞,0)∪(0,+∞) (-∞,0)∪(0,+∞) 在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递减 奇函数 （1，1） 幂函数的图像特征及性质 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 幂函数图象的判断及应用 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 幂函数图象的判断及应用 学习新知 幂函数的图像特征及性质                     （1）图像都过点（1，1)； （2）图像一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限； 奇函数的图像在第一和第三象限； 偶函数的图像在第一和第二象限； 非奇非偶函数的图像在第一象限； 注：α>0时函数图像经过原点，α≤0时函数图像不经过原点． （3）当α<0时，函数在(0，+∞)单调递减； 当α>0时，函数在(0，+∞)单调递增． （4）函数的图像在第一象限以(1，1）为支点，成跷跷板，左高右低，左低右高； （5）当x>1时，函数图像从上往下，α逐渐减小． 总结新知 [拓展]　幂函数的图象与性质 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1，1)． (2)如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增． 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当α＝1时，幂函数的解析式为y＝x； 当0<α<1时，幂函数的图象上凸． (3)如果α＜0，那么幂函数在原点处无意义，其图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右侧趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴． (4)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求幂函数的解析式 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 函数奇偶性的定义与判断、求幂函数的解析式 总结新知 2.常见幂函数的图象和性质 幂函数 定义域 R R {x|x≠0} 值域 R [0,+∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 R上递增 (-∞,0]递减 (0,+∞)递增 (-∞,0)和(0,+∞)递减 图象 公共点 —— [0,+∞) R R [0,+∞) 奇函数 非奇非偶 (1,1) (0,0) R上递增 [0,+∞)递增 02 幂函数的图象 与性质 3.3 幂函数 应用新知 1 幂函数的概念 一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数. 思考： （1）你学过的函数中哪些是幂函数？ （2）一次函数、二次函数都是幂函数吗？ 应用新知 分别 画出五个简单幂函数的图象： y=x2 x y o y=x y=x3 x y o x y o x y o x y o 应用新知 在同一坐标系下画出五个简单幂函数的图象： 应用新知 观察函数图象，将你发现的结论写在下表内： 定义域 值 域 奇偶性 单调性 定 点 R R R R R [0 , + ∞) [0 , + ∞) [0 , + ∞) 非奇非偶 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 增函数 增函数 增函数 (0 , +∞) (- ∞ , 0) 减 减 过定点（1，1） (0 , +∞) 减 增 (- ∞ , 0) 应用新知 通过图3.3-1与表3.3-1，我们得到： 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 待定系数法、利用给定函数模型解决实际问题 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 根据函数是幂函数求参数值 学习新知 学习新知 学习新知 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 幂函数图象的判断及应用、判断一般幂函数的单调性 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 幂函数的奇偶性的应用、由幂函数的单调性求参数 03 题型强化训练 3.3 幂函数 能力提升 题型一 幂函数的概念 能力提升 题型二：幂函数的图象及应用 能力提升 题型二：幂函数的图象及应用 能力提升 题型三：利用幂函数的单调性比较大小 能力提升 题型三：利用幂函数的单调性比较大小 能力提升 题型三：利用幂函数的单调性比较大小 能力提升 题型三：利用幂函数的单调性比较大小 能力提升 题型三：利用幂函数的单调性比较大小 直接法 当幂指数相同时，可直接利用幂函数的单调性来比较 转化法 当幂指数不同时，可以先转化为相同的幂指数，再利用单调性来比较大小 中间量法 当底数不同且幂指数也不同时，不能运用单调性比较大小，可选取适当的中间值，从而达到比较大小的目的 能力提升 题型三：利用幂函数的单调性比较大小 分类 比较对象 方法 指数相同，底数不同 底数相同，指数不同 利用不等式性质 底数、指数都不同 能力提升 题型四：根据单调性求参数值(或范围) 能力提升 题型四：根据单调性求参数值(或范围) 能力提升 题型五：幂函数性质的综合应用 能力提升 题型五：幂函数性质的综合应用 04 小结及随堂练习 3.3 幂函数 课堂小结1 课堂小结2 幂函数的概念： 一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 【2】 的底数为自变量;   【1】 的系数为1;   【3】 的指数为常数．   只有同时满足这三个条件的函数，才是幂函数． 幂函数的重要性质： （1）图像都过点（1，1)； （2）图像一定会出现在第一象限， 一定不会出现在第四象限； （3）当α<0时，函数在第一象限单调递减； 当α>0时，函数在第一象限单调递增． 课堂小结3 函数 图像 定义域 R R R [0，+∞） (-∞，0)∪(0，+∞) 值域 R [0，+∞） R [0，+∞） (-∞，0)∪(0，+∞) 单调性 在R 上单调递增 在(-∞,0]上单调递减，在[0,+∞）单调递增 在R 上单调递增 在[0,+∞）上单调递增 在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递减 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 公共点 （1，1） 五个常见幂函数的图象和性质 作业 作业： (1)整理课件题型； (2)课本P91 的练习1、2、3题和习题3.3的第1题. 3.3 幂函数 练习（第91页） 练习（第91页） 练习（第91页） 练习（第91页） 练习（第91页） 习题3.3（第91页） 2．在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率v（单位：cm3/s）与管道半径r（单位：cm）的四次方成正比． （1）写出气体流量速率v关于管道半径r的函数解析式； （2）若气体在半径为3 cm的管道中，流量速率为400 cm3/s，求该气体通过半径为r的管道时，其流量速率v的表达式； （3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5 cm，计算该气体的流量速率（精确到1 cm3/s）． 习题3.3（第91页） 利用函数解析式列出表格 x … 1 2 … y … 1 4 4 1 … 习题3.3（第91页） 人教A版2019必修第一册 THANKS 感谢您的聆听 【练习1】函数 是幂函数，且当 时， 是增函数，试确定 的值． 【解析】由幂函数的定义，得 ，解得 或 . 当 时， 在 上是增函数； 当 时， 在 上是减函数； 故m＝3. 【练习2】已知幂函数 在 上单调递减，则 . 【解析】由题意可得 为幂函数，则 ，解得 或 . 当 时， 为增函数，不符合题意； 当 时， 在 单调递减，符合题意. 故答案为： . 【练习3】函数 的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【解析】由幂函数性质知： 的定义域为 ， 且在第一象限内单调递减， ABC错误，D正确.故选：D. 【练习4】右图的曲线是幂函数 在第一象限内的图象，已知n分别取 ， ，2四个值，相应的曲线 对应的n依次为（    ）   A． ， ，1，2 B．2，1， ， C． ， ，2， D．2， ， ， 【解析】函数 在第一象限内单调递减，对应的图象为 ； 对应的图象为一条过原点的直线，对应的图象为 ； 对应的图象为抛物线，对应的图象应为 ； 在第一象限内的图象是 ；所以与曲线 对应的n依次为2，1， ， . 故选：B 【练习5】已知幂函数 的图象过点 ，则下列关于 的说法正确的是（    ） A． 是奇函数 B． 是偶函数 C． 的定义域为 D． 在 上单调递增 【解析】因为函数 为幂函数，设 ，则 ，解得 ， 所以， ，所以，函数 的定义域为 ， 函数 为非奇非偶函数，且该函数在 上单调递增，ABC都错，D对. 故选：D. 【练习6】（多选题）已知幂函数 的图象经过点 ，则下列命题正确的有（    ） A．函数 为偶函数 B．函数 的定义域为 C．函数 的值域为 D． 在其定义域上单调递增 【解析】设 ，由 的图象经过点 ，得 ，解得 ，所以 . 选项A， 的定义域为 ，不关于原点对称，所以 不具有奇偶性，A错误； 选项B，根据偶次方要的被开方数非负得 的定义域为 ，B正确； 选项C，由 在 上是增函数，所以函数 的值域为 ，C正确； 选项D，由 在 上是增函数，D正确.故选：BCD. 【练习7】若幂函数 的图象经过点 ，则幂函数 在定义域上是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数 【解析】因 是幂函数，设 ，而其图象过点 ， 即 ，解得 ，于是得 ，且 定义域为R， 显然 是R上增函数，C正确； ，则 为R上奇函数．A正确． 故选：AC 【练习8】已知点 在幂函数 的图像上，则 （   ） A． B． C． D． 【解析】由于函数 为幂函数，则 ，解得 ，则 ， 由已知条件可得 ，得 ，因此， . 故选：A. 【变式】已知函数是幂函数. (1)求实数的值,并求出的解析式; (2)证明在上是增函数. (1)思路 利用幂函数的定义. 解 因为函数是幂函数,所以,因此,所以. (2)思路 利用单调性得定义证明. 证法1 设,则. 因为,所以,不全为0,不妨设, 则.因此,即. 故在上是增函数. 证法2 设,则. 因为,所以. (1)若,因为,所以. (2)若,则,即. 综上,.即.故在上是增函数. 注意点：幂函数的系数为1,自变量为,注意函数不是幂函数; 解决第(2)小题的关键是证明, 证法1利用配方法; 证法2利用分类讨论思想.还有一种证法:不妨设, 将视为关于的函数,由二次项系数为正数,判别式恒小于0,所以. 【练习9】（多选）下列结论正确的是（　　） A．幂函数的图象不可能在第四象限内 B．当 时，幂函数 的图象是一条直线 C．当 时，幂函数 是增函数 D．当 时，幂函数在第一象限内的函数值随 增大而减小 【解析】对于A，在幂函数 中，当 时， ，因此幂函数的图象不可能在第四象限，A正确；对于B，当 时，幂函数为 ，其中 ，其图象是去掉点 的一条直线，B错误； 对于C，当 时，幂函数为 ，它在 上为减函数， 上为增函数，C错误； 对于D，当 时，幂函数 在第一象限内的函数值随 增大而减小，D正确.故选：AD 【练习10】已知 ，若幂函数 的图像关于原点对称，且在 上是严格减函数；则 取值的集合是 ． 【解析】因为 ， 幂函数 的图像关于原点对称， 且在 上单调递减，所以α是奇数， 且 ，所以 ． 故答案为： . 【练习1】若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝________． 【解析】因为f(x)是幂函数，所以m2－4m－4＝1， 即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1. 反思感悟　幂函数的判断及应用 (1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足： ①指数为常数，②底数为自变量x，③自变量x前的系数为1. 形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5，…形式的函数都不是幂函数． (2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y＝xα(α为常数)这一形式． 【练习2】如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象， 已知n取±2，±eq \f(1,2)四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为(　　) A．－2，－eq \f(1,2)，eq \f(1,2)，2 B．2，eq \f(1,2)，－eq \f(1,2)，－2 C．－eq \f(1,2)，－2,2，eq \f(1,2) D．2，eq \f(1,2)，－2，－eq \f(1,2) 【解析】根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象， 当n>0时，n越大，y＝xn递增速度越快，故C1的n＝2，C2的n＝eq \f(1,2)； 当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝－eq \f(1,2)，曲线C4的n＝－2. 反思感悟　(1)解决与幂函数有关的综合性问题的方法 首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α是常数)，由于α的取值不同， 所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用． (2)幂函数图象的画法 ①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在 第一象限内的图象． ②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性 确定幂函数f(x)在其他象限内的图象． 【练习3】已知幂函数f(x)＝ 的图象过点(4,2)． ①求f(x)的解析式； ②判断函数的单调性，并进行证明； ③若f(a＋1)>f(2a－3)，求实数a的取值范围． 【解析】　①因为f(x)＝ 为幂函数，所以m2－2m＋1＝1，∴m＝2或m＝0. 当m＝2时，f(x)＝ ，图象过点(4,2)； 当m＝0时，f(x)＝ ，图象不过点(4,2)，舍去． 综上，f(x)＝ . 【解析】②函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数． 设x1，x2∈[0，＋∞)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝eq \r(x1)－eq \r(x2)＝eq \f(x1－x2,\r(x1)＋\r(x2))， 因为0≤x1<x2，eq \f(x1－x2,\r(x1)＋\r(x2))<0， 即f(x1)－f(x2)<0，所以f(x1)<f(x2)．所以函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数． 【练习3】已知幂函数f(x)＝ 的图象过点(4,2)． ①求f(x)的解析式； ②判断函数的单调性，并进行证明； ③若f(a＋1)>f(2a－3)，求实数a的取值范围． 【练习3】已知幂函数f(x)＝ 的图象过点(4,2)． ①求f(x)的解析式； ②判断函数的单调性，并进行证明； ③若f(a＋1)>f(2a－3)，求实数a的取值范围． 【解析】　③函数f(x)在[0，＋∞)上为增函数， 由f(a＋1)>f(2a－3)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＋1>2a－3，,2a－3≥0，))得eq \f(3,2)≤a<4. 综上，a的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，4)). 反思感悟　(1)比较幂值大小的两种基本方法 (2)解决幂函数的综合问题时应注意 掌握并熟悉幂函数的图象和单调性，会根据待定系数法求幂函数的解析式， 并结合幂函数的定义域来判断幂函数的单调性和奇偶性． 【练习4】已知幂函数f(x)＝x9－3m(m∈N＋)的图象关于原点对称， 且在R上函数值随x的增大而增大． ①求f(x)的解析式； ②求满足f(a＋1)＋f(3a－4)<0的a的取值范围． 【解析】①由题可知，函数在R上单调递增， ∴9－3m>0，解得m<3.又m∈N＋，∴m＝1，2. 又函数图象关于原点对称，∴9－3m为奇数，故m＝2.∴f(x)＝x3. ②∵f(a＋1)＋f(3a－4)<0，∴f(a＋1)<－f(3a－4)． ∵f(x)为奇函数，∴f(a＋1)<f(4－3a)．又函数在R上单调递增， ∴a＋1<4－3a，∴a<eq \f(3,4).∴a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,4))). 【感悟提升】 1．比较幂值大小的方法 比较幂值的大小，关键是构造适当的函数，若指数相同，底数不同，则考虑构造幂函数， 然后根据所构造的幂函数的性质如单调性、奇偶性等来解决问题． 2．利用幂函数解不等式的步骤 (1)确定可以利用的幂函数； (2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量的大小关系； (3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用． 【练习2】已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数， 且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示． (1)请补充完整函数y＝f(x)的图象； (2)根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间； (3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合． 【练习5】若(a＋1)3<(1－2a)3，则实数a的取值范围为________． 【解析】因为函数y＝x3的定义域为R，且在R上单调递增， 所以a＋1<1－2a，解得a<0. 【感悟提升】 1．比较幂值大小的方法 比较幂值的大小，关键是构造适当的函数，若指数相同，底数不同，则考虑构造幂函数， 然后根据所构造的幂函数的性质如单调性、奇偶性等来解决问题． 2．利用幂函数解不等式的步骤 (1)确定可以利用的幂函数； (2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量的大小关系； (3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用． $$