专题08 圆（5年汇编）（福建专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦福建中考圆专题，汇编2022-2026年5年真题及1年模拟题，覆盖切线性质、圆内接多边形及综合问题，突出考情针对性与梯度设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|真题4题/模拟17题|切线性质、圆周角定理、垂径定理|融入刘徽割圆术等传统文化情境，高频考查切线+平行线模型| |解答题|真题5题/模拟15题|圆内接四边形、相似三角形、解直角三角形|分层设问，如2026年真题三小问从角度推导到线段比值计算，区分度高|

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题08圆 5年真题1年模拟 中考品题透析园 考点分类 福建考情(2022-2026) 命题规律 大多以选择题形式考查。命题素材包含切线模 型、弧中点、割线、古代数学文化（割圆术） 等。核心围绕切线性质、圆周角定理、垂径定 2026福建中考 理、孤弦圆心角关系展开， 高频考点：切线垂 考点01切线的性 2025福建中考 质定理与圆内接多 直过切点半径、弧中点等分弧对应相等圆周 边形 2024福建中考 角、直径所对圆周角为直角。整体难度偏低， 2023福建中考 侧重角度简单推导与基础计算；近四年常融入 传统文化情境，切线+平行线组合模型出现频 次很高。 2026福建中考 固定作为几何综合压轴大题，分层多小问梯度 2025福建中考 设问。常以圆内接四边形、直径、切线、平行 圆的综合问题 2024福建中考 线为基础载体。 核心围绕圆周角定理、切线性 2023福建中考 四点共圆、相似三角形、平行四边形判 1/134 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 定、弧长计算综合考查：第(1)（②）小间以角度 推导、平行/相似基础证明为主，第（③）小问 结合线段比例、三角函数、解直角三角形求解 2022福建中考 线段比值、周长。试题综合性强，擅长嵌套多 种几何模型：近五年稳定考查圆与四边形融 合，侧重等量代换、构造相似，区分度高，对 逻辑推理能力要求较高。 五年真题分类园 品 考点01切线的性质定理与圆内接多边形 1.(2026福建中考真题)如图，AB是⊙0的直径，BC是⊙O的切线，AC交⊙O于点D.若 AD=CD,则tanA的值是() A B 2 A.2 B.1 c.2 D.2 【答案】B 【分析】连接BD,根据切线的性质得出∠ABC=9O°，再由直角三角形斜边中线的性质确定 AD=BD=CD,利用圆周角定理得出∠ADB=90°，得出∠A=∠ABD=45°，再由正切函数即可求解 【详解】解：连接BD,如图所示： 2/134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A 0 B :BC是O0的切线， .∠ABC=90°， AD=CD, 点D为AC的中点， .AD=BD=CD :AB是⊙O的直径， .∠ADB=90°， .∠A=∠ABD=45°， ∴.tanA=l」 2. (2025福建中考真题)如图，PA与⊙0相切于点A,PO的延长线交⊙0于点C.AB‖PC,且交 ⊙0 ∠P=30° 于点B.若 则<BCp 的大小为() A B A.30° B.45° C.60° D.75° 【答案】C 【分析】本题考查切线的性质，等边三角形的判定和性质，连接OA,OB,切线得到OA⊥AP,求出 ∠P0A=90°-30°=60°，平行，得到∠P0A=∠0AB=60°，进而得到△A0B为等边三角形，推出△B0C为 等边三角形，即可得出结果 【详解】连接OA,OB,则：OA=OB=OC, 3/134 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A B :PA与⊙0相切于点A, .OA⊥AP, ∠P=30°， .∠P0A=90°-30°=60°， ..AB II PC, .∠POA=∠0AB=60°， ∴.△AOB为等边三角形， .∠A0B=60°， .∠BOC=180°-∠POA-∠AOB=60°， ∴，△BOC为等边三角形， .∠BCP=60°， 故选C, 3.(2024福建中考真题)如图，己知点A,B在⊙0上，∠A0B=72°，直线MN与⊙0相切，切点为C, 且C为MB 的中点，则∠4CM 等于() B M N A.18° B.30° C.36° D.72° 【答案】A 4/134 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB 【分析】本题考查了切线的性质，三角形内角和以及等腰三角形的性质，根据C为的中点，三角形内 角和可求出∠0CA=)×180°-36)=72°，再根据切线的性质即可求解. 【详解】：∠408=72°，C为B的中点， ∴.∠A0C=36° .OA=OC .∠0CA=-×(180°-36)=72 ,直线MN与OO相切， ∴.∠0CM=90° ∴.∠ACM=∠OCM-∠OCA=18° 故选：A 4.(2023福建中考真题)我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利 用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少.割之又割，以至于不可割， 则与圆周合体，而无所失矣”.“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为 3.1416.如图，⊙0的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙0的面积，可得π的 35 估计值为2，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为() B.2V2 C.3 D.2V5 【答案】C 【分析】根据圆内接正多边形的性质可得∠AOB=30°，根据30度的作对的直角边是斜边的一半可得 5/134 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BC=2,根据三角形的面积公式即可求得正十二边形的面积，即可求解。 【详解】解：圆的内接正十二边形的面积可以看成12个全等的等腰三角形组成，故等腰三角形的顶角为 30°，设圆的半径为1，如图为其中一个等腰三角形OAB,过点B作BC⊥OA交OA于点于点C, B :∠AOB=30°， .BC=1OB=1 2￥ 2 1 11 则5,048=2x1x 24, 故正十二边形的面积为12S.oB=12× =3 4 圆的面积为π×1×1=3。 用圆内接正十二边形面积近似估计⊙O的面积可得π=3， 故选：C 【点睛】本题考查了圆内接正多边形的性质，30度的作对的直角边是斜边的一半，三角形的面积公式，圆 的面积公式等，正确求出正十二边形的面积是解题的关键. 考点02圆的综合问题 1.(2026福建中考真题)如图，四边形ABCD内接于⊙0，E是DC延长线上的一点，EB的延长线 交OO于点F,AB=BD,∠CBE=∠ABD=60° 6/134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B (1)求∠E的度数： (②)求证：四边形AFEC是平行四边形： CG 2 BD 3)设CF交BD于点G,且FG3,求4C的值. 【答案】(1)60° (2)证明：∠ACD=∠ABD=60°， ∴.∠ACD=∠E .AC∥EF. ,四边形AFBD是⊙O的内接四边形， .∠AFB+∠ADB=180° :△ABD是等边三角形， .∠ADB=60°， .∴.∠AFB=120° ∴.∠AFB+∠E=180° .AF∥CE ∴.四边形AFEC是平行四边形. 万 3)3 【分析】(1)先判定△ABD是等边三角形，得到∠BAD=∠BDA=60°，利用圆的内接四边形的性质，证 明∠BCE=∠BAD=60°，最后利用三角形内角和定理解答即可： (2)先利用∠ACD=∠E判定AC‖EF,利用圆的内接四边形的性质求得∠AFB=120°，证明AF‖CE； (3)过点C作CH⊥BE,垂足为H,连接DF,设CD=a,先判定△BCE是等边三角形，证明 △CFE≌aBDE(1MS）,得到EF=EBD,再证明aDEF是等边三角形，证明BCIDF,ACGDFG, 7/134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 △BCEAFDE,得到BE=2a,EF=3a,接着利用勾股定理表示出CH,CF,，利用平行四边形的性质表示 出AC,进一步解答即可。 【详解】(1)解：AB=BD,∠ABD=60°， ∴△ABD是等边三角形 .∠BAD=∠BDA=60°. ',四边形ABCD是⊙O的内接四边形， .∠BAD+∠BCD=180° 又：∠BCE+∠BCD=180°， .∠BCE=∠BAD=60° ∠CBE=60°， .∠E=180°-∠CBE-∠BCE=60° (2)略 (3)解：过点C作CH⊥BE,垂足为H,连接DF,设CD=a, A B E:∠E=∠CBE=LBCE=60° .△BCE是等边三角形. ∴.BE=CE 又：∠CFB=∠CDB,∠E=∠E, ∴.△CFE≌△BDE(AAS) ∴.EF=ED .BF CD=a. ∠E=60°， ∴△DEF是等边三角形 ∴.∠FDE=∠BCE=60° ∴.BC∥DF ∴，△BCG∽△DFG 8/134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BC CG 2 DFFG3· BC//DF, ∴.△BCE∽△FDE」 BE BC 2 FEFD3· ∴.BE=2a,EF=3a. ,四边形AFEC是平行四边形， ∴.AC=EF=3a :△BCE是等边三角形，CH⊥BE, .BH=-BE =a 在R△BCH中，n∠CBE=C=5. BH ..CH =3BH =3a :FH=BF+BH=2a」 :.CF=JFH2+CH=(2a)+(a)=Va :△CFE≌△BDE, ..BD=CF=7a BD Va AC 3a 3. 2.(2025福建中考真题)如图，四边形ABCD内接于⊙0，AD,BC的延长线相交于点E,AC,BD相 交于点F.G是AB上一点，GD交AC于点H,且AB=AC,BG=DG 9/134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G H O● D B (I)求证：∠ABC=∠DBE+∠E; (2)求证：AH2=HF·HC: B)若an∠MBC=V5,AD-2DE,CD=6 求△4GH的周长. 【答案】(I) 证明：：AB=AC, .∠ABC=∠ACB. AB=AB ,∠ACB=∠ADB, ∴.∠ABC=∠ADB ∠ADB=∠DBE+∠E, ∴.∠ABC=∠DBE+∠E ⊙ H O● D B 2) 证明：·AD=AD ∴∠ABD=∠ACD .BG=DG ∴.∠BDG=∠ABD=∠ACD, 又：∠DHF=∠CHD 10/134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .△HDF∽△HCD, HF HD HDHC· ..HD2=HF.HC. 由(I)知，∠ABC=∠DBE+∠E, 又：∠ABC=LDBE+∠ABD. ∴.∠ABD=∠E, ∴.LBDG=∠E ∠ADB=∠ADG+∠BDG=∠DBC+∠E, ∴.∠ADG=∠DBC .CD=CD ∴.∠DAC=∠DBC, .∠ADG=∠DAC, .AH=DH, ∴AH2=HF.HC ⊙3v6 【分析】(1)利用1B=AC得∠ABC=∠ACB ∠ACB=∠ADB 得 AB 结合同弧A所对圆周角 再根据三角形 外角性质∠ADB=∠DBE+∠E,完成证明. (2)先证△HDF~aHCD得HD=HF,HC,再通过角的等量代换证∠ADG=∠DAC,推出AH=DH,从 而得AH=HF.HC (3)利用(2)结论将△AGH周长转化为AB,通过相似三角形△ACD~△AEC及三角函数、勾股定理求出 3V6 AB的长，即△1GH周长为 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：由(2)知，AH=DH, ,'.△AGH的周长为AG+GH+AH=AG+GH+DH=AG+DG=AG+BG=AB 设DE=m,则AD=2DE=2m,AE=AD+DE=3m 11/134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G O. D B 由(2)可知，∠ACD=∠E 又∠CAD=∠EAC, .△ACDP△AEC, AC AD CD AE AC EC· AC2=AD·AE=6m2, .AC=6m 又'CD=V6 6m-6 3m EC, ∴.EC=3 过点C作CP⊥AE,垂足为P,则∠CPD=LCPE=90° 四边形ABCD是圆内接四边形， .∠ADC+∠ABC=180°， 又：∠ADC+∠CDP=180°， .∠CDP=∠ABC, ∴.tan∠CDP=tan∠ABC=√5 :在Rt△DCP中，PD PC=5,即PC=5PD: ..CD=PD2+PC2=6PD .V6PD=6 PD=1, 12/134 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .PE=DE-DP=m-1. 在Rt△CPE中，PE2+PC2=CE2, (m-12+(N5=32 解得m=3,或m=-1(舍去). ..AB=AC=36 ∴△AGH v6 的周长为 【点晴】本题考查圆的性质、等腰三角形、相似三角形、解直角三角形等知识，通过角与边的转化、相似 三角形判定与性质解题，关键是利用圆的性质和三角形知识进行边角关系推导。 3.(2024福建中考真题)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,以AB为直径的⊙0交BC于点D, AE1OC,垂足为 的延长线交D E,BE 于点F OE I)求AE的值： (②)求证：△AEB∽△BEC; (3)求证：AD与EF互相平分. 1 【答案】(1)2 (2) 过点B作BM‖AE,交EO延长线于点M. 13/134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D ⊙ ·.∠BAE=∠ABM,∠AEO=∠BMO=90° AO=BO .△AOE≌△BOM, ∴.AE=BM,OE=OM ÷0E-1 AE2· ∴.BM=2OE=EM. .∠MEB=∠MBE=45°， .∠AEB=∠AEO+∠MEB=135°，∠BEC=180°-∠MEB=135°， .∠AEB=∠BEC :AB=AC,∠BAC=90° .∠ABC=45°， ∠ABM=∠CBE, ∴.∠BAE=∠CBE, .△AEBP△BEC. 3) 如图，连接DE,DF D 是 的直径， .AB ⊙0 ,∠ADB=∠AFB=90°，AB=2AO 14/134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB=AC,∠BAC=90° ∴.BC=2BD,∠DAB=45 由(2)知，△AEBABEC, AE AB 2A0 AO ,∠EAO=∠EBD BE BC 2BD BD ∴.△AOE∽△BDE .∠BED=∠AEO=90° ∴.∠DEF=90° .∠AFB=∠DEF, .AF DE 由(2)知，∠AEB=135°， .∠AEF=180°-∠AEB=45° ∠DFB=∠DAB=45°， .∠DFB=∠AEF, AE∥FD, .四边形AEDF是平行四边形， ∴，AD与EF互相平分 【分折】（少先证得4C=240:再在R4OC中，m∠40C=C AO =2.在Rt△A0E中， tan∠AOC=AE 4E=2,再证得结果： OE,可得OE= (2)过点B作BM‖AE,交EO延长线于点M,先证明△AOE≌△BOM,可得AE=BM,OE=OM,再证 得∠BAE=∠CBE,再由相似三角形的判定可得结论： AE AB 2AO AO (3)③如图，连接DE,DF,由(2)△AEB-BEC,可得BEBC2BD8D∠EA0=∠EBD,从而得 出△AOE∽aBDE,得出∠BED=∠AEO=9O°，得出∠AFB=∠DEF,再由平行线判定得出AFI‖DE, AE∥FD,从而得出四边形AEDF是平行四边形，最后由平行四边形的性质可得结果. 【详解】(1)：AB=AC,且AB是⊙O的直径， ∴.AC=2AO 15/134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠BAC=90°， .在RtsAOC中，tan∠AOC=4C =2 O AE⊥OC, :在Rt△AOE中，an∠A0C= OE AE=2 OE OE 1 AE2: (2)略 (3)略 【点睛】本小题考查等腰三角形及直角三角形的判定与性质、锐角三角函数、全等三角形的判定与性质、 相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、圆的基本性质等基础知识， 考查推理能力、几何直观、运算能力、创新意识等，熟练掌握相关图形的性质定理是关键， 4.(2023福建中考真题)如图，已知△ABC内接于⊙O,CO的延长线交AB于点D,交⊙0于点E,交 ⊙O的切线AF于点F,且AF∥BC. (I)求证：AO∥BE: (2)求证：AO平分∠BAC 【答案】1) 证明：AF是⊙0的切线， AF⊥OA,即∠OAF=90°. :CE是O0的直径， :.∠CBE=90° ∴.∠OAF=∠CBE=90° 16/134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :AFI‖BC ∴.∠BAF=∠ABC, ∴∠OAF-∠BAF=∠CBE-∠ABC,即∠OAB=∠ABE, ∴.AO‖BE (2) 解： :∠ABE与∠ACE莉 AE “都是 所对的圆周角， E D C ,·.∠ABE=∠ACE .OA=OC ∠ACE=∠OAC, ∴，∠ABE=∠OAC 由(1)知∠OAB=∠ABE, .∠OAB=∠OAC, ∴AO平分∠BAC. 【分析】(1)由切线的性质可得∠OAF=90°，由圆周角定理可得∠CBE=90°，即∠OAF=∠CBE=90° 再根据平行线的性质可得∠BAF=∠ABC,则根据角的和差可得∠OAB=∠ABE,最后根据平行线的判定 定理即可解答： (2)由圆周角定理可得∠ABE=∠ACE,再由等腰三角形的性质可得∠ACE=∠OAC,进而得到 ∠ABE=∠OAC,再结合∠OAB=∠ABE得到∠OAB=∠OAC即可证明结论. 【详解】(1)略 (2)略 【点晴】本题主要考查角平分线、平行线的判定与性质、圆周角定理、切线的性质等知识点，灵活运用相 关性质定理是解答本题的关键. 5.(2022福建中考真题)如图，△ABC内接于⊙O,AD∥BC交⊙O于点D,DF∥AB交BC于点E,交 ⊙O于点F,连接AF,CF」 17/134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D 0 (I)求证：AC=AF； ②若⊙0的半径为3，∠C1=30°，求4C的长（结果保留）. 【答案】) 证明：：AD∥BC,DF∥AB, ∴四边形ABED为平行四边形， ∴.∠B=∠D, .∠AFC=∠B,∠ACF=∠D, .∠AFC=∠ACF, .AC=AF, π ②)2 【分析】(1)根据已知条件可证明四边形ABED是平行四边形，由平行四边形的性质可得∠B=∠D,等 量代换可得∠AFC=∠ACF,即可得出答案： (2)连接A0,CO,由(1)中结论可计算出∠AFC的度数，根据圆周角定理可计算出∠AOC的度数，再 根据弧长计算公式计算即可得出答案， 【详解】(1)略 (2)解：连接A0,C0,如图， D 18/134 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由(I)得∠AFC=∠ACF, :∠AFC=180,30°=750 2 .∠A0C=2∠AFC=150°， AC的长1=150ax3=5z 1802. 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，圆的性质与弧长公式，考 查化归与转化思想，推理能力，几何直观等数学素养。 一 年模拟练测园 1. (2026福建泉州模拟预测)如图，AC是⊙0的切线，B为切点，连接OA,OC.若∠A=30°， AB=25,则01的长度是《） B.2V3 D.4 【答案】D 【分析】根据切线的性质得到OB⊥AC,解直角三角形求出OA的长即可 【详解】解：连接OB, B :AC是⊙O的切线，B为切点， .OB⊥AB :∠A=30°AB=2V5 19/134 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..O4=_ AB C0s30° =4 2.(2026福建漳州模拟预测)如图，AB是⊙0的弦，PB与⊙O相切于点B,圆心O在线段PA上.已 知∠P=50°，则∠PAB的大小为() B 0 A.50° B.40° C.25° D.20° 【答案】D 【分析】连接OB,由题意易得∠OBP=90°，然后可得∠POB=40°，进而根据圆周角定理即可求解， 【详解】解：连接OB,如图所示： 0 :PB与⊙O相切于点B, .∠OBP=90°， ,∠P=50°， .∠P0B=40°， :∠PAB=)∠P0B=20 3. (2026福建泉州二模)如图1是以AB为直径的半圆形纸片，半径C0⊥AB,AB=4a. 若沿半径 oc ,OAC、OB OA'C' 剪开，并将扇形心沿向右平移至扇形 的位置（蜘图2所示），设OC与BC的交点D, ∠OCD=60°，则线段A'O的长为() 20/134 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C 图1 图2 23a a A.3 B.3 c.(2-v3a D.(5-1a 【答案】C 【分析】连接OD,证明△OCD为等边三角形，易得∠DOB=30°，由平移的性质得OC1IOC', 0H=0A=OB:证明∠O0D=90,求出0D-0D=0,进而求出OB=2-5)a,即可求解 【详解】解：连接OD, 4 :AB=4a,半径C0⊥AB, 1 04-0C-OB-OD-4B-20, 又，∠0CD=60°， .△OCD为等边三角形， .∠C0D=60°， .∠C0B=90°， .∠D0B=30°， 由平移的性质得OC1/OC',OA=OA=OB, .∠00D=90°， 21/134 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :.00=V0D2-0D2=V3a 0B=0B-0'0=(2-V3)a ,OA'=OB,即A0+O0'=0B+O0', :40=0B=(2-V3)a 4.(2026福建宁德二模)如图，半圆的直径是4，图中阴影部分的面积是() A.2π-4 B.4π-4 C.8π-8 D.8π-4 【答案】A 【分析】把不规则的图形分割成规则的图形，利用扇形的面积公式和正方形的面积公式求解即可. 【详解】解：如下图所示，点O为半圆圆心， 由题意可知：AB=4, A0=B0=EO=2, :点E、F分别为两个小半圆的圆心， ..CE=DF=OE=OF=CG=DG=1, :S影=S半题4OB-Sm形ABc-S第形FD-S半园DcC-4(S正方形EG0-S形CB现） ss-号4ej-cof-2ui-4oe-oj】 x2-w-2×x-4-） =--】 =2π-元-4+π =2π-4 22/134 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E G D 5.(2026福建南平·二模)如图，PA、PB是⊙0的切线，A、B为切点，BC为⊙0直径，∠P=40°且 BC=18AB ,求的长() A.3元 B.5π C.7π D.9π 【答案】C 【分析】连接OA，根据切线的性质可得PAO=∠PB0=90°，利用四边形PBOA内角和为360°求出 ∠A0B=140°，再利用弧长公式计算即可. 【详解】解：连接OA, B :PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点， .∠PA0=∠PB0=90°， .∠P=40°， ∴.∠AOB=360°-∠P-∠PA0-∠PB0=140°， BC=18,即OB=OC=9, 140×π×9 AB的长为180 =7π 6.(2026福建三明二模)如图，8是⊙°的直径，C、D是0O上异于1、8的两点，且C=D 23/134 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 若∠ACD= ∠BOD,则∠A的度数为《） D B A.22.5° B.25 C.30° D.45° 【答案】A 【分析】先利用等弧转化∠BOD与∠A的关系，结合题干条件把∠ACD用∠A表示，再根据圆周角定理得 到∠AOD与∠A的关系式，最后利用∠AOD+∠BOD=180°求解即可. ·BC=BD 【详解】解： .∠BOD=2∠A. 3 LACD-ZBOD. 3 .∠ACD=×2∠A=3∠A 1 :∠ACD=2∠A0D, ∴.∠AOD=2∠ACD=6∠A, :AB是⊙O的直径，∠AOD+∠BOD=180°， .6∠A+2∠A=180°， ∴∠A=22.5° 7.(2026福建福州：模拟预测)小明捡到一个量角器碎片，按如图的方式测量∠B的度数，他让点B落在 量角器圆弧上，并将角的两边与量角器圆弧的交点分别记为A,C,若点A,C对应的刻度分别为54°、 136°，则∠B的度数为(） B 的600d01.6G 如八动6志方× 24/134 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.130° B.139° C.140° D.141° 【答案】B 【分析】如图，连接OA,OC,DA,DC,设⊙O的直径为EF,根据角的和差关系求出∠AOC的度数，根据圆 周角定理求出∠ADC的度数，再根据圆内接四边形的性质，求出∠B的度数即可， 【详解】解：连接OA,OC,DA,DC,设⊙O的直径为EF,如图， B D ∠AOE=54°，∠E0C=136°， .∠A0C=∠E0C-∠A0E=136°-54°=82°， &∠ADC=)∠A0C=410 2 .∠ABC+∠ADC=180°， ∴.∠ABC=180°-∠ADC=180°-41°=139° 8.(2026福建漳州模拟预测)如图， D0的直径1B=8,点C是B的中点， ⊙0. ∠BA 的平分线1D交 ⊙0 ⊙0 AC,AB BC,OD 于点D.过点D作的切线分别交 的延长线于点E,F,连接 ·下列结论中错误 的是() B A. ∠E=90° B.BF=4V2-4 25/134 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.DE=22 D.S.40D=82 【答案】D 【分析】连接C0,证明AC∥OD,得到∠E=∠ODF=90°，故A选项正确：求出OF=4N2, 0D=DF=4,得到BF=0F-0B=45-4,故B选顶正确：求出EF=25+4,得到P DE=2V 2,故C 选项正确：过点D作DH⊥AB于点H,DH=22,得到S.om=2O1:DH=45,故D选项错误， 【详解】解：连接CO, B :点C是MB的中点，O0的直径1B=8, ⊙0 :AC=BC,∠A0C=∠B0C=90° A∠CAB=3∠B0C=45°， 2 :∠BAC的平分线AD交⊙O于点D. ∴.∠CAD=∠DAB=22.5°， ..OA=OD ∴.∠BAD=∠ODA=22.5°， ∠CAD=∠ODA=22.5°. .AC∥OD, :EF是OO的切线， ∴.OD⊥EF,即∠ODF=90°， :AC∥OD. :.∠E=∠ODF=90°， 26/134 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 故A选项正确： :∠DOB=2∠DAB=45°， 在RtAODF中，∠DOF=45°，OD=4, :OF=、OD c0s450=4V2 OD=DF=4' ..BF=OF-OB=42-4 故B选项正确： 在RtAAEF中，∠EAF=45°，∠E=90°， ∴，△AEF是等腰直角三角形， ·F=AB+BF=8+4V2-4=4+4N2 :B5-(4+49-2+4 :DE=EF-DF=22+4-4=2N2 故C选项正确： 过点D作DH⊥AB于点H, 在Rt△ODH中，∠DOH=45°，OD=4 :DH=0Dsin45°=25 .S.40D -04.DH= ×4×22=4W2. 故D选项错误。 9.(2026福建福州模拟预测)如图，AB是⊙0的直径，点C,D在⊙0上，∠CAB=40°，则∠D= 27/134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.30° B.40° C.50° D.60° 【答案】C 【分析】根据AB是⊙0的直径得出∠ACB=90°，根据直角三角形两锐角互余得出∠CBA=50°，根据圆周 角定理即可得出答案 【详解】解：：AB是⊙O的直径，点C,D在⊙O上， .∠ACB=90° .∠CAB=40°， ∴.∠CBA=90°-∠CAB=50° :∠D与∠CB都是1C 所对的圆周角， ∴.∠D=∠CBA=50° 10.(2026福建漳州模拟预测)如图，四边形ABCD内接于⊙0，其中AB为直径.若∠BAC=25°，则 ∠ADC的度数为() B A.105° B.110° C.115 D.120° 【答案】C 【分析】根据圆周角定理和圆内接四边形的对角互补，进行求解即可， 【详解】解：，四边形ABCD内接于⊙O,AB为直径， .∠ACB=90°，∠ADC+∠B=180°， .∠BAC=25°. .∠ABC=90°-25°=65°， .∠ADC=180°-65°=1150 11.(2026福建宁德·一模)如图，AB是半圆O的直径，现将一块含30°的直角三角板如图放置，30°角 的顶点C落在半圆上，一条直角边经过点A,斜边交半圆O于点D.则∠AOD等于() 28/134 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A B A,30° B 50° C.60° D.70° 【答案】C 【分析】根据圆周角定理可得∠AOD=2∠C,即可求解. 【详解】解：：∠C=30°、D=D .∠AOD=2∠C=60° 12.(2026福建漳州模拟预测)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙0的直径，过点C的切线DC 交AB的延长线于点E.若∠ACD=62°，则LE的度数是() D B E O A.52 B.48° C.44° D.34° 【答案】D 【分析】连接OC,根据切线的性质得到∠OCD=∠OCE=90°，根据圆周角定理求出∠COE,根据直角三 角形的性质计算得到答案. 【详解】解：连接OC, D 为 的切线， B .CD⊙O ∴.∠OCD=∠OCE=90° 29/134 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠ACD=62°， .∠ACO=∠OCD-∠ACD=28°， .A0=C0 :∠AC0=∠CA0=28°， .∠COE-2∠CA0=56°」 ∠E=90°-56°=34° 13.(2026福建泉州二模)如图，⊙0的弦AC、BD的延长线相交于点P,AC=BD,若∠OPB=20°， 则∠BOC的度数是() D A.100 B.120° C.130° D.140° 【答案】D 【分析】首先作OM⊥AC于M,作ON⊥BD于N,利用“等弦对等弦心距”得出OM=ON,进而判 定OP平分∠APB并求出∠APB的度数，随后在四边形OMPN中利用内角和算出∠MON,最 后通过证明RtAOMCS≌Rt△ONB实现角度转化，从而求得∠BOC的度数. 【详解】如图，作OM⊥AC于M,作ON⊥BD于N, A D B AC=BD ∴.OM=ON ∴.OP平分∠APB .∠APB=2∠OPB=40° ∴.∠MON=360°-∠OMP-∠ONP-∠APB .∠M0N=360°-90°-90°-40° ∴.∠MON=140° 30/134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :在Rt△OMC与Rt△ONB中 OM=ON OC=OB .RtAOMC≌RtAONB(HL) ∴.∠MOC=∠NOB ∴.∠NOB+∠CON=∠MOC+∠CON ∴.∠BOC=∠MON=140° 14.(2026福建漳州模拟预测)如图，菱形ABCD的顶点A,B在⊙0上，对角线BD与⊙0相交于点 M,若⊙0的半径为6，∠DBC=20°，则扇形AOM的面积为() 2π 4π A. 3 B 3 C.2π D.4π 【答案】D 【分析】根据菱形的性质得出AD‖BC及AB=AD,从而求出∠ABD的度数，再利用圆周角定理求出圆 心角∠AOM的度数，最后利用扇形面积公式求解. 【详解】解：四边形ABCD是菱形， .AD∥BC,AB=AD, ∴.∠ADB=∠DBC=20°，∠ABD=∠ADB=20°， 点A,B,M在⊙O上， ∴.∠AOM=2∠ABM=2∠ABD=40°， :⊙0的半径为6， .S扇形4OM= 40π.62 =4π 360 15.(2026福建泉州二模)如图，⊙0是△ABC的外接圆，∠04C=23°，则∠B的大小为() 31/134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.46° B.60° C.67° D.77° 【答案】C 【分析】连接OC求出∠AOC的度数，根据圆周角定理求解即可； 【详解】连接OC, A ∴.OA=OC ∠0AC=23°， ∴.∠0CA=23° .∠A0C=180°-23°-23°=134°， ∠B=∠A0C=，×134°=67% 16.(2026福建泉州·三模)如图，⊙0与正方形ABCD的两边AB,AD相切，且DE与⊙0相切于点E. 若⊙0的半径为5，且AB=11,则DE的长度为()· D B 1 A.5 B.6 C.√30 D.2 【答案】B 【分析】连接OE,OF,OG,根据题意得到DE⊥OE,OG⊥BC,OF⊥AD,DF=DE,证明四边形 32/134 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AGOF 0G=0F⊙0 AGOF AF=0G=5 为矩形，再根据 的半径为5，得到四边形 为正方形，求出 ,即 可得到答案。 【详解】解：连接OE,OF,OG, ⊙0 ABCD DE.⊙O 与正方形 的两边 AB AD 相切，且与相切于点E, ∴.DE⊥OE,OG⊥BC,OF⊥AD,DF=DE :正方形ABCD,且AB=11, ∴.∠A=90°，AB=AD=11 .∠A=∠AG0=∠AF0=90°， 四边形AGOF为矩形， .OG=OF ⊙0 的半径为5， ∴.四边形AGOF为正方形， ..AF=0G=5. ∴.DE=DF=11-5=6 D B 17.(2026江苏苏州一模)如图，AB是⊙O的直径，点O为圆心，点C在AB延长线上，CD是⊙O的 切线，切点为点D,若∠C=40°，则∠DAC的度数为() D A.30 B.25 C.40° D.50° 【答案】B 33/134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】先根据切线的性质得到∠ODC=9O°，则利用互余计算出∠COD=50°，然后根据圆周角定理求 解 【详解】解：连接OD D 与圆相切于点， .CD D .OD⊥CD, ∠0DC=90°， :∠C=40°， :∠C0D=90°-40°=50°， ∠DAC= ∠COD=25° 故选：B 18.(2026福建厦门一模)如图，在△ABC中，∠C=40°，AB=6,以AB为直径的半圆0交AC于点 BC D,与 相切于点B,则D, 的长为() A D B 5π A π 0π 6 B.3 c.3 D.5π 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理、切线的性质、等腰三角形的性质、外角的性质、弧长计算等知识 nπr 点，解题关键是利用外角性质求出∠BOD,再利用弧长公式I= 180即可. 【详解】如图，连接OD, D 01 半圆0与 相切于点B, B C BC 34/134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠ABC=90°， .∠A=180°-90°-40°=50°， .OA=OD .∠A=∠ODA=50°， ∠BOD是△OAD的外角， ∴.∠BOD=∠A+∠ODA=100° :AB=6且为直径， .OB=3 .BD=nr=100zx3 5 π 180 1803° 19.(2026浙江温州一模)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，AC=4,BD为AC边上的 高，以点B为圆心， D长为半径画圆弧分别交边4B,BC于点丑，R,则F的长为《) BD 3 A.4 B.2π C. D. 【答案】B 【分析】根据30 BC=2,AB=2V3 BD=3 直角三角形的性质求出 再利用等面积法求出 利用弧长公式 进行计算即可. 【详解】解：∠ABC=90°，∠A=30°，AC=4, :BC=4C=2 2 :AB=AC2-BC2=4-2=23 ∠C=60°， :BD为AC边上的高线， 35/134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 . -AC.BD D=3 即 BE=BD=BF=√ EF=nπr 90×π×V3V3 π 180 180 2 20.(2026福建泉州·一模)某校在社会实践活动中，小明同学用一个直径为30cm的定滑轮带动重物上升. 如图，滑轮上一点A绕点O逆时针旋转90°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 () o A.6.5πcm B.7.5πcm C.9πcm D.15πcm 【答案】B 【分析】利用弧长公式算出重物上升的高度即可. 30. 90x(2π 【详解】解：由题意得，1= 180 =7.5π(cm）, 即重物上升了7.5πcm. 21.(2026福建泉州模拟预测)如图，点A,B,D在⊙0上，CD垂直平分AB,交AB于点C.若 AB=CD=4⊙0 ,则的半径为() D 36/134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.2 J B.2 C.2 D.3 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键. 连接O4,根据垂径定理可得CDB1C-)AB、 OC=4-OA,在RtAOC中，根据勾股定理列出方 程，解方程即可 【详解】解：连接OA,如图， D 垂直平分 B CD AB 1 AC= .CD⊥ABN B=)×4=2、0C=CD-0D=4-0D, 2 .OA=OD .0C=4-0A, 在△AOC中，∠AC0=90°，由勾股定理得：OA=OC2+AC2, 即0A=(4-0A}+2 解得OA 2 :©0的半径为2： 2.(2026福建泉州模拟预测等边△1BC中，BC=45,点尸、点0分别是4B、4C上的动点，且 AP=CO ⊙0⊙0 过、P、Q三点作⊙，则半径的最小值为 37/134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0 【答案】2 【分析1连接OP,O0,P0,过点0作OH1P0,由盟意易 ∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=BC=4V5 op-ro 则有 0PO=∠00P=30,PH=0H=5P0然后可得3 2 要使⊙0的半径为最小，即OP的值 为最小，则需满足P2的值为最小，过点P作OE1B,设40=，则有C0=4C-40=45-x=4P, 进而问题可求解。 P,O0,P9.0OH⊥P9 【详解】解：连接 ,过点作 ,如图所示： B :△ABC是等边三角形， :∠A=∠B=∠C=609,AB=AC=BC=4N3 .∠P00=2∠A=120° ..PO=00. &20P0=200P=30PH=0H-号Pe, 38/134 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 PH=Op.cos30= OP 2 要使⊙0的半径为最小，即OP的值为最小，则需满足P的值为最小， 过点P作0E11B,设40=，则有C0=4C-40=45-x=P, ,AE=4②cos605x,E②=A⊙：sim60°=)3x .PE-AP-AE=4-3x 2 0=0epe-w5-=k-3wjB :3-2520 P02=3x-25+12≥12. 当=25时，P0有最小值2，即P0=25】 -PQ=2 ∴.OP的最小值 OP=V 3 即⊙0半径的最小值为2. 23.(2026福建福州：模拟预测)如图，正七边形ABCDEFG,连接对角线AE,BG交于点H,则∠I的 度数为 G 39/134 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 540° 【答案】7 ABCDEFG 的外接圆O0,证明4GF=EPG得出∠G1E=∠AEF,再证明GF∥4E ⊙0 【分析】作正七边形 求出∠GAE= 360° 7,然后根据∠1=∠GAE+∠4GB求解即可. 【详解】解：如图，作正七边形ABCDEFG的外接圆⊙O, G D ,正七边形ABCDEFG, 4B=4G=GF=F,∠BAG=∠4GF=∠F=亿-2k180_90 7 7 180°9000 ∴.∠ABG=∠AGB= 。7=180° 2 =7，AG=EF AG+FG=EF+FG AGF=EFG ∴.∠GAE=∠AEF, .∠AGF+∠AEF=180°， ∴.∠AGF+∠GAE=180°， .GF∥AE, :∠GAE=1800_900°-3600 7 7 :21=∠GAE+∠AGB=360,180°540° 7 77 24.2026·福建宁德·二模)茶叶生产是闽东乡村振兴的支柱产业之一.如图是圆形展示茶饼的正面及其 固定支架的截面图，凹槽ABCD是矩形.茶饼正立且紧靠支架于A,D两点，恰好与BC边相切于点E, 若∠AEB=20°，则圆心角∠AOE= 40/134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】40 【分析】由圆的切线的性质得出∠OEB=90°，由角的和差关系得出∠OEA=∠OEB-∠AEB=70°，由等边 对等角以及三角形内角和定理即可求出∠AOE. 【详解】解：茶饼正立且紧靠支架于A,D两点，恰好与BC边相切于点E, ∠0EB=90°， ∠AEB=20°， ∴∠OEA=∠OEB-∠AEB=70°， OA=OE」 .∠OAE=∠OEA=70°， ·∠AOE=180°-∠OAE-∠OEA=40° 25.(2026福建厦门三模)如图，四边形ABCD中，AB=AC,∠ADB=90°，过A,B,D三点的圆交 EC 边BC于点E.若∠BAC=2∠ACD,∠BAD=∠BDC,则AB的值为 B 【答案】3 【分析】连接4EED:由题意可得∠AB=DB=909,则有ZCAE=)ZBAC,C=2CE,然后可得 ∠DCE=∠AEB=90°=∠BDA,由圆内接四边形的性质可知∠BAD=∠DEC,则有△DEC∽ABDC,进而 可得DC2=CE·BC,最后根据三角函数可进行求解. 【详解】解：连接AE,ED,如图所示： 41/134 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :AB=AB∠ADB=900 ∴.∠AEB=∠ADB=90°， ∴.∠AEC=90°，即AE⊥BC, .AB=AC, CAE-BC.BC-2CE .∠BAC=2∠ACD. .∠EAC=∠ACD. .AE∥CD, .∠DCE=∠AEB=90°=∠BDA, ,点A、B、E、D四点共圆， ∴.∠BAD+∠BED=180°， .∠DEC+∠BED=180°， ∴.∠BAD=∠DEC, .∠BAD=∠BDC, ..LDEC=ZBDC, .△DEC∽ABDC, DC EC BCDC,即DC2=CEBC 设CE=x,则有BC=2x, DCD DC=2x DE=CE+DC=x sim∠DEC=DC=Y6=sim∠BAD=sin∠BDa DE 3 42/134 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .BD=. BC BD in∠BDC =16x.AB=- =3x in∠BAD EC x1 .AB3x3· 26.(2026福建莆田·模拟预测)如图，某款“不倒翁”的主视图是圆弧和两线组成的轴对称图形，倒至 最歪位置时，点A的对应是点A',点P的对应是点P',若⊙0半径为3cm,SM=5cm,A'T=8cm,那么 原来与地面接触点P和现在与地面的接触点Q之间的距离是 cm 5cm A 8cm .O 【答案】π 【分析】如图：连接OP,O0,O0并延长交ArT于C,延长PO至不倒翁最高点A,连接SA,则四边形 CTPO,O'OPO,SCOA CT=0'0=OP=3cm AP=13cm O'A'=10cm 是矩形，进而得到 ∠Q0'0=∠AC0'=90°AC=5cm ∠A'O'C=30° ∠QO'P'=60° 利用特殊角的三角函数求得 ,进而得到 最后求得OP 的长度即可解答。 【详解】解：如图：连接OP,O2,O0并延长交A'T于C,延长P0至不倒翁最高点A,连接SA,则四边形 CTPO,O'OPO,SCOA 是矩形， 43/134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 5cmi 8cm +0 .CT=O'0=OP=3cm,AP=ST=SM'+A'T=13cm,∠00'0=∠AC0=90°， .'A'C=A'T-CT=5cm. ,倒至最歪位置时，点A的对应是点A',点P的对应是点P', .A'P'=AP=13cm .OA'=A'P'-O'p'=13-3=10cm, 在R△4C0中，si血∠AoC=C=点-1 0A102,即∠40C=30°， .∠OO'P'=∠A'OC=30°， ∴.∠Q0'P'=∠00'0-∠00'p'=60° :原来与地面接触点P和现在与地面的接触点°之间的距离是P 的长度， :0P=60x3 180° =π，即原来与地面接触点p和现在与地面的接触点Q之间的距离是πcm: 27.(2026福建厦门模拟预测)如图，边长为2的正六边形ABCDEF的中心为O,则该正六边形的边心 距为 【答案】 【分析】如图：连接OB,过O作OH⊥AB于H,易得△AOB是等边三角形，然后根据等边三角形的性质 以及勾股定理求解即可. 44/134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】解：如图：连接OB,过O作OH1AB于H, H B :点O是正六边形ABCDEF的中心，且正六边形的边长为2， ∠AOB= 360° =60° ..OA=OB=2 6 :,△AOB是等边三角形， ∴.OA=OB=AB=2, ,OH⊥AB, AH=14B-1, 2 :OH=VO-=5,即该正六边形的边心距为5 28 .(2026福建泉州模拟预测)如图， Rt△ABC中，己知 C=90°∠A=30°BC=V3 ，尺规作图 痕迹如图所示，再以点A为圆心，AD长为半径作弧，交AB于点E,则图中阴影部分的面积为 【答案】3π 【分析】利用三角函数求出BD的长，由作图得AD=BD,由扇形面积公式即可求解. 【详解】解：∠C=90°，∠A=30°， .∠ABC=90°-30°=60°， 由作图知BD平分∠ABC, ·∠DBC=∠ABD= 1 ∠ABC=30° 45/134 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BC 在RtADBC中， BC=V5,则BD= c0s300=2, :∠ABD=∠A=30°， .'AD=BD=2, 30π×22 1 :阴影部分面积为3603 =一兀 29 .(2026福建厦门三模)如图，圆形铁圈的直径4B=60cm，一根两端带有铁环的硬质滑杆套在该铁 圈上（铁环大小忽略不计），滑杆的长度与铁圈的半径相等.先将滑杆的左端套在A处，再将整根滑杆沿 着铁圈按逆时针方向移动，使得滑杆的右端移动到点B处，在此过程中滑杆的中点P移动的路径长为 cm 10W3元 【答案】 【分析】点P为定长滑杆的中点，滑杆两端始终在圆上运动，由滑杆长度等于圆的半径可知弦长恒为 30 cm 根据垂径定理和勾股定理，点P到圆心O的距离恒为V30-1S=155cm,故点P的轨迹是以0 15/3 cm 120° 为圆心、 为半径的圆弧.通过等边三角形性质求得圆弧所对圆心角为0，再用弧长公式计算路 径长 【详解】解：设圆形铁圈的圆心为O,半径为R, :直径AB=60cm, .R=30cm, ,滑杆长度与铁圈半径相等， 30 cm 滑杆作为圆的弦，弦长为 连接OA,OP,设滑杆初始位置为AC,其中C为右端点， 46/134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D .OA=OC=AC=30cm ∴.△OAC是等边三角形， .∠A0C=60°， :P为AC中点， .OP⊥AC,OP平分∠AOC, :∠A0P=1∠40C=30 在Rt△oPA中，OP=VO-Ap=302-15-155(em） 即点P移动的路径是以O为圆心 15Bcm为半径的圆弧， 当滑杆右端移动到点B时，设此时滑杆左端为D,中点为P′， 同理可得△ODB是等边三角形，∠D0B=60°，OP'平分∠DOB, ∴.∠BOP'=30°. :滑杆沿逆时针方向移动，且A,O,B在同一直线上，点P,P在直径AB的同侧， ∴.点P转过的圆心角∠POP=180°-∠AOP-∠BOP'=180°-30°-30°=120°. 120--155=103m(cm ·.点P移动的路径长为180 30.(2026福建厦门三模)如图，AB为O0的直径，点C在O0上，过点C作⊙0的切线与AB的延长 装交于点D老00的学径为，C-”，则D的度数为— 47/134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】45° 【分析】连接OC,设∠BOC=n°，利用弧长公式可得∠BOC=45°，又由切线的性质得∠OCD=90°，进 而根据直角三角形的性质即可求解 【详解】解：连接OC,设∠BOC=n°， O :8C=4 1 nπr1 1804r, 解得n=45, ∠B0C=45°， :CD是⊙O的切线， ∴.OC⊥CD .∠0CD=90°， ∴.∠D=90°-∠B0C=45° 3引，(2026招建龙岩二模)如图，4是O0的直径，BC=BD=DW,连接CD交4B于点P,CG与 OO相切于点C,交AB的延长线于点G,连接MB并延长，交CD于点E,交CG于点N,连接AC,若 tan/G=3 BN ,则AC 48/134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B E 5V5 【答案】48 【分析】根据 C=BD=DM,OG⊥BD,OD1MW,根据切线的性质，可得CG1OC,利用直角三角 形中，角的等量关系，可得∠ODF=∠ABM=∠NBG=∠CGF,根据解直角三角形，先求出OG,得到 cos∠G=CG、4 ,勾股定理的应用，求出4C,根据an∠G-C二-2-40 OF 3 OG5,再根据tan∠OCF= CF FG4 FG 利用线段的等量关系，求出BG:根据三角形的三线合一，求出B,根据os∠WBG=专时39 BH 5BNBN'求 出BN,即可 【详解】解：过点N作NH⊥AG于点H,连接OC,OD, N BH G E M .BC=BD=DM .OG⊥BD,OD⊥MN, :CG⊥OC,CG与⊙0相切， .∠OCD+∠GCF=90°，∠GCF+∠CG0=90°， ∴.∠OCF=∠CGF, .OC=OD, .∠OCD=∠ODC, 49/134 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠OCD=∠ODC=∠CGF, OD⊥MB. ∴.∠ODF+∠MED=90°，∠BEF+∠ABM=90°， :∠MED=∠BEF, .∠ODF=∠ABM, ,∠ABM=∠NBG. ∴.∠ODF=∠ABM=∠NBG=∠CGF, ∴.WB=NG .△BNG是等腰三角形： .BH=HG. tan/G=3 4, tan∠G= 0C3 GC 4' 设0C=3k,CG=4k. :0G=v0c2+CG2=5k cos∠G=CG4 0G5, :∠G=∠OCF, tan∠Ocp=OF_3 CF 4 设OF=3a,CF=4a, .0C=5a, ..OC=OA=OD=5a. .AF=OA+OF=8a,BF=2a, :.AC=VAF2+CF2=V(8a}+(4a}=45a ÷tan/G=CF_3-4a FG4FG· ..FG=16 3 a 50/134 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 BG=FG-FB- 1 30-2a 30, :BH=GH=号BG= 0, os2G-手 ,∴.cos∠NBG= 4BH-3 5 BN BN' 解得：BW=2 20, 25 :BN2055 AC 45a 48 32.(2026福建莆田模拟预测)如图，在矩形纸盒ABCD中，恰好能放进两个外切且均以r为半径的圆 ⊙O,AD,AB, 形纸片，己知与 B相切.o0,与C,c 相切，其中1B=9AD=8 则”的值为 B 【答案】2.5 O,O2OE⊥BC,O3F⊥AB E.F EO,FO AD,CD M,N 【分析】分别过 作 垂足分别为，分别延长 于点， 连 0,0,设 E,O,F 交点为G,易证△0 0GO 0G=9-2r,0,G=8-2r 是直角三角形，求出 ,利用勾股 定理建立方程求解即可 O,O2OE⊥BC,O2F⊥AB E,F EO,FO2 AD,CD 【详解】解：分别 作 ，垂足分别为，分别延长 交 于点 M,N 002n0E,0F G ，连接，设交点为， 51/134 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M D g、 B OM=ON=r,00=2r 由题意得 ,∠B=∠BFG=∠BEG=90°， 、ABI EM,BCIFN, :O0与4B相切，00与CB相切， :BE=FG=八，BF=EG=r(平行线间距离处处相等)， 同理EM=AB=9,FN=BC=8」 0G=9-2r,0,G=8-2r :ABIEM,BCFN,AB⊥BC, 0G⊥0，G∠0G02=90° ,即 0G+0,G=00,即9-2ry+8-2r=(2ry .42-68r+145=0, .r=2.5 33.(2026福建福州二模)如图，三角形ABC内接于⊙O,D为⊙O上一点，且AD‖BC,D0∥AC,若 ∠ABC=36°，则∠BAC的度数是一· D B 【答案】81° 52/134 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】连接OA,OC,圆周角定理，求出∠AOC的度数，等边对等角，求出∠OAC,平行线的性质，结 合等边对等角，结合角的和差关系进行求解即可 【详解】解：连接OA,OC, 则OA=OC=OD,∠AOC=2∠ABC=72° 20c=∠0c4=080-240c)=54 ADI BC,DO∥AC, :∠A0D=∠OAC=54°，∠DAB=∠ABC=36. .OA=OD. <01D=∠0D1=5080-∠40D)=63. ∴.∠OAB=∠OAD-∠BAD=27°， ∴.∠BAC=∠OAB+∠OAC=81° 34.(2026福建漳州一模)在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,M是AB的中点，点P在AD上运动.将 △APM沿PM翻折得到△EPM,连接CE,则CE的最小值为 【答案】 2W10-2,-2+2W10 【分析】如图，连接AE,BE,CM,由折叠的性质易证AM=BM=ME,推出点E在以点M为圆心，AB 为直径的圆上运动，当M,E,C三点共线时，CE有最小值，利用勾股定理求出MC,即可解答. 【详解】解：如图，连接AE,BE,CM, 53/134 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由折叠的性质得AM=ME, :M是AB的中点， .AM =BM ∴.AM=BM=ME, ∴.点E在以点M为圆心，AB为直径的圆上运动， 当M,E,C三点共线时，CE有最小值， :AB=4,BC=6,四边形ABCD是矩形， :.BM=2,∠MBC=90° MC=BC2+BM=210 CE 2V10-2 的最小值为 35.(2026福建厦门·一模)古代工匠确定圆形器具的圆心时，如图通常把角尺的直角顶点放在圆周上， 即可找出该圆形器具的一条直径，进而找出圆心，这种方法的数学依据是 【答案】90°的圆周角所对的弦是直径 【分析】本题考查了圆周角定理的应用，根据90°的圆周角所对的弦是直径解答即可. 【详解】解：这种方法的数学依据是90°的圆周角所对的弦是直径. 故答案为：90°的圆周角所对的弦是直径， 36.(2026福建龙岩模拟预测)如图，AB是⊙0的直径，以AB为边长作正方形ABCD,连结BD交⊙O 于点E:以C为圆心，CB为半径作弧BPD交OO于点P,连结并延长BPDP分别交AD、OO于点 FG,下列结论：①BE=DE;②AF>DF;③∠DPF=45°；④OG∥AD,⑤PB=PG,其中错误的 结论有一（填正确答案的序号）， 54/134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E B 【答案】②⑤ 【分析】连结并延长CP交AD于H,连结OP.OC.AE;由于弧BPD是以C为圆心、CB为半径，所以 CB=CP,而OB、OP都是O0的半径，即可证得△BOC≌aPOC,由此可证得CP⊥OP,即CH与O0相 切于点P,然后根据这个条件来判断各选项是否正确. 【详解】解：连结并延长CP交AD于H,连结OP、OC、AE, 以C为圆心，CB为半径作弧BPD交OO于点P, ..CB CP,OB OP,OC=OC ∴.ABOC≌aPOC(SSS) ∴.∠CPO=∠OBC ~四边形ABCD是正方形， .∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，AB=BC=CD=AD,∠ABD=∠DBC=∠ADB=∠BDC=45° .∠CP0=∠OCB=90°CH,⊙0 ,即“与相切于点P. ①：BD交⊙O于E,AB为⊙O的直径， AE⊥BD :.△ABD为等腰Rt△ABD, .EB=ED(等腰三角形三线合一)· ∴.①BE=DE正确： ②CB=CP,OB=OP, ∴.OC⊥BP .∠ABF+∠BOC=90° .∠BC0+∠BOC=90° ∴.∠ABF+∠BCO=90° 55/134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AB=BC,∠BAD=∠ABC=90° .AABF≌aBCO(SSS) .AF=BO 1 BO-2AB.AB=AD. AF=1 :AF DF. ∴②AF>DF错误： ③证法一：在等腰△CDP和△BCP中，CB=CP=CD, ∴.∠CPD=∠CDP,∠BPC=∠CBP,∠DPF=18O°-∠BPD ∴.∠BPD=∠CPD+∠BPC=∠CDP+∠CBP ~四边形APCD中，∠BPD+∠CDP+∠CBP+∠BCD=360°， ∠BPD=2360°-∠BCD)=135°，∠DPF=45. ∴③∠DPF=45°正确： A B ④证法一：由③得∠BPG=∠DPF=45° :在O0中，∠BOG=2LBPG=90°， .OG⊥AB AD⊥AB, ∴.OG∥AD ∴④OG∥AD正确. ④证法二：由①得OP1D0,则∠OP0=90° 56/134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ~连结并延长BP、DP分别交AD、OO于点F、G, ∴.CD=CP,∠CPD=∠HPG ..∠CDP=∠CPD=∠HPG :'∠ADG=90°-∠CDP,∠OPG=90°-∠HPG. ∴.∠ADG=∠OPG OP=OG .LOPG=∠G, ∴.∠ADG=∠G,即OG∥AD ④OG∥AD正确： ③证法二：由④得OG∥AD,则OG⊥AB于点O,即∠BOG=90° .∠DPF=∠BPG=∠BOG=45° 2 ∴③∠DPF=45°正确： ⑤设⑤PB=PG成立， ..OP=OP,OG=OB ∴.△POG≌aPOB(SSS) ∴.∠GPO=∠BPO ·由①得OP⊥CH, ∴，LGPH=∠BPC,即∠GPH=∠DPC=∠BPC. ·在等腰△CDP和△BCP中，CB=CP=CD, .∠DCP=∠BPC=45° ·以C为圆心，CB为半径作弧BPD交⊙O于点P, ·∠DCP<LBPC,与∠DCP=∠BPC矛盾， 假设不成立 ∴⑤PB=PG错误， 综上所述，错误的结论有②⑤. 故答案为：②⑤. 【点睛】此题考查的知识点有：正方形的性质，圆的直径性质，线段垂直平分线的判断，多边形的内角和 定理，圆周角定理，平行线的判定，等腰三角形、全等三角形、圆的切线的判定和性质等知识的综合应用， 能够判断出CH是⊙O的切线是解决此题的关键，用反证法解题是难点，难度较大. 57/134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 37.(2026福建厦门·二模)如图是某高速公路在转向处设计的一段圆曲线（即圆弧），机动车转弯时从 曲线起点A行驶至终点B,过点A,B的两条切线相交于点C,机动车在从点A到点B行驶过程中转角为， 若这段圆弧的半径 1=V5m,a=60°，则图中危险区（阴影部分）的面积为 B 转 弯 C 弯 车 道 道 【答案】V5- 【分析】根据圆的切线性质，得∠OAC=∠OBC=90°，得∠0AC+∠OBC=180°，得 乙A0B+∠4CB=180,得∠40B=a=60,由切线长性质，得∠A0C=∠B0C=∠40B=30,符 4C-0C,可得4C=1由AOHC2.OBC,得5=Sa0-S0w-=5- 2 【详解】解：连接OC, OA、OB为⊙0的切线， ∴.AC⊥OABC⊥OB ∴.∠OAC=∠OBC=90°， .∠0AC+∠OBC=180°， .∠AOB+∠ACB=180°， ∠ACB+∠a=180°， ∴.∠AOB=a=60°， ÷∠40C=∠Boc= 2∠40B=30 c-0c 2 ..042+AC2=OC2,0A=3 AC=1, 58/134 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由轴对称知，△OAC≌aOBC, 2 360 2, 故答案为： 3、π 2· 【点睛】本题考查了圆的切线，熟练掌握圆的切线性质，切线长性质，四边形性质，含30度的直角三角 形性质，勾股定理，三角形面积公式，扇形面积公式，是解题的关键， 38.(2026福建莆田·三模)仙游古典家具制作技艺，简称为“仙作”，入选国家级非物质文化遗产名录， “仙作”家具集国画艺术，雕刻艺术与家具制作技艺的巧妙融合，款式典雅，结构严谨.一种“仙作”花 窗的花瓣由六条等弧连接而成，所对应的弦构成一个正六边形，如图所示.设正六边形的中心为点O, AB 所在圆的圆心C恰好是△1B0的外心.若1B=25 则花窗的面积（实线所围区域的面积）为 12V3+8元 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与圆、解直角三角形、等边三角形的判定与性质、扇形面积公式，连接OC 并延长交4B于M,求出△1BO 是等边三角形，得到 OA=OB=AB=2V3 结合题意可得 M⊥AB ∠C4B=∠CBA=30,求出S-3-5,再结合花窗的面积（实线所国区域的面积）为 59/134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 S大道0o6+6S形计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵话运用是解此题的关键。 【详解】解：如图：连接OC并延长交AB于M, B ,六边形ADEFGB是正六边形，点O是中心， .∠A0B=360°÷6=60°，OA=0B, ·.△ABO是等边三角形， :OA=OB=AB=25∠A0B=∠BA0=∠AB0=60 所在圆的圆心C恰好是△1B0。 的外心， .CA=CB=CO. ∴.OM垂直平分AB, :OM1AB,∠CA0=∠COA=∠COB=∠CB0=30°，AM=BM=V5.OM=VA02-AM2=3 :∠CAB=∠CBA=60°-30°=30°， ∴.CM=AM·tan30°=1，AC=2CM=2,∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=120°， 55w=5a08-5a-120x2x-×2W5x1=4-5, 3602 3 ∴.花窗的面积（实线所围区域的面积）为 amem+6Sw=6x25x3+6告-5-sa+125 2 8π+12√5 故答案为： 39.(2026福建福州·三模)如图1的螺丝钉由头部（直六棱柱）和螺纹（圆柱）组合而成，其俯视图如 图2所示.在“测量螺丝钉半径”的综合与实践活动中，小吴想出了一种测量方法：将刻度尺紧靠螺纹放 置，经过点A且交CD于点P,量得PC长为2毫米，并测得正六边形ABCDEF的边长为8毫米，则螺纹的 直径为毫米 60/134 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 螺纹直径 螺纹 头部 图1 图2 245245 【答案】7/7 【分析】连接AC,过点B作BM⊥AC于点M,设正六边形的中心为O,连接AD,由题意可知，A、 O、D共线，过点O作ON L AP于点N,延长AP,作DH⊥AH于点H,根据正六边形的图形性质，可 得AB=BC=CD、∠ABC=∠BCD=120°，推得∠BAC=∠BCA=30°，利用特殊角的三角函数值求得 AM=1B:cos30=4W5mm、4C=2MM=8N3mm,利用勾股定理求得4P=AC+CP=14mm,证得 AP AC AO NO △ACP△DHP,得DPDH,求得DH的值，通过ON∥HD证得△ANO∽△AHD:得ADHD,即 1 可求解N0=2HD的值. 【详解】解：如图，连接AC,过点B作BM⊥AC于点M,设正六边形的中心为O,连接AD,由题意可 知，A、O、D共线，过点O作ON⊥AP于点N,延长AP,作DH⊥AH于点H, A 六边形 是正六边形， D ABCDEF ∴.AB=BC=CD=8mm' ∠ABC=∠BCD=(6-2)x180° =120°， 6 BM⊥AC, ∠ABM=∠CBM-∠ABc=60, ∠BMA=∠BMC=90°， ∴∠BAC=∠BCA=30°， 61/134 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在Rt△ABM中， CosZBAM cos30=AM3 AB 2 4M=1B-cos30=8x5-4w5m 2 则4AC=2AM=8V3mm, :在Rta4Cp中，AP=VAC2+Cp=V85+22=14mm, .PC=2mm, .PD=CD-PC=6mm, DH⊥AH, .∠H=∠ACP=90°. ∠APC=∠DPH, .△ACP∽△DHP, AP AC .DP DH, 14_8V3 DH=85x624v5 ∴.6DH,解得： 147 m ON⊥AP, ∴.∠AN0=∠H=90°， .ON∥HD .△ANO∽△AHD. AO NO .ADHD· O是AD中点， A0 1 NO .AD2-HD _124V3_125 2x7 7mm 24V5 所以螺纹的直径为7n 62/134 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 24v5 故答案为： 7· 【点睛】本题主要考查了正多边形的性质，等腰三角形的性质，特殊角的三角函数值，勾股定理，相似三 角形的判定与性质，平行线的判定与性质，理解题意、作出适合的辅助线是解题关键， 40.(2026福建泉州·二模)在等腰△ABC中，∠A=120°，AB=4,点O是△ABC的角平分线BD上的一点， 半径为1的OO经过点B,将OO沿BD方向平移，当O0与△ABC的边相切时，O0平移的距离是 1209 【答案】6+v2-1或26-2-1 或 【分析】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，勾股定理，等边对等角和三角形内角和定理，过点 B作BH1CA交CA延长线于H,则∠4BC=30,∠BMH=60°，解直角三角形可得 H=2V 5证明 BH ∠BDH=∠C+∠CBD=45,则可求出BD= =26,再分当00与4C相切时，当o0与AB相 in∠BDH 切时，两种情况讨论求解即可. 【详解】解：如图所示，过点B作BH⊥CA交CA延长线于H, ,等腰△ABC中，∠BAC=120,AB=4, A∠ABC=∠C=180°-∠BAC=309,∠BAH=180°-120°=600 2 :4H=AB:cos∠BAH=2,BH=4B.sin∠BAH=2N5 :BD平分∠ABC, ·<CBD= F2<CBA=15° ∴.∠BDH=∠C+∠CBD=45°， 63/134 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ..BD= BH in∠BD =26: 如图1所示，当⊙0与AC相切时，设切点为G,连接OG,则∠OGD=90°，OG=1, ..OD= OG =2 in∠ODG OB=BD-OD=2√6-√2 ∴此时的平移距离为 6-V2-1 D B 图1 如图2所示，当⊙O与AB相切时，设切点为S,连接OS,在AB上取一点R使得BR=OR,连接OR, ∴.∠RB0=∠ROB=15°， :.∠ORS=∠RBO+∠ROB=30°， OR=20S=2,RS=30S=3 :BS=2+V5 :B0=VBS2+0S2=V6+V2 V6+√2-1 ∴，此时的平移距离为 64/134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 H 图2 综上所述， O0与△1BC的边相切时， 00平移的距离是6+v2-1或26-2-1. 故答案为： 6+5-1或26-5-1 41.(2026福建厦门二模)《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆 术，如图，在0O中，M是的中点，N上于点N“会网术”给丽 ⊙0 的弧长1的近似计算公式： I=AB+M OA.当OA=5,s∠A0B=4 5时，则AB的弧长1的近似值为 B 9-25,-2V5+9 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，解直角三角形，勾股定理，过点A作AH⊥OB于H,连接OM, Rt△AOH 先解 求出H=4,则利用勾股定理得到OH=3,进一步利用勾股定理求出 B=25 ,由垂径 定理的论理推出0，NM三点共线，则有4W-方4B=5,由勾股定理得到ON-O--25, 65/134 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 MN =OM-ON=5-25 则 ,据此利用所给公式计算求解即可. 【详解】解：如图所示，过点A作AH⊥OB于H,连接OM, 在Rt△AOH中，∠AH0=90°， sin∠AOB=AH-4 OA5￥OA=5: AH=4, :OH=VOAP-AΠ=3 ∴.BH=OB-OH=OA-OH=2, 4B-VAH+BH=25 -M是1B 的中点， ∴OM⊥AB, .MN⊥AB ∴.O、NM三点共线， 4w=4B=5, .ON =JOAP -AN=2/5 :MN=0M-ON=5-2V5 3-+-w56-25g-2w5. 故答案为： 9-25 42.(2026福建泉州模拟预测)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O是BC边上一点，以点O为圆心， 66/134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 OB的长为半径的圆交AB于点D,且过点D作⊙O的切线交AC于点E. D B ()尺规作图：试确定点E的位置；（保留作图痕迹，不写作法） 2)在(1)的条件下，若1B-AC=2BC=2W5 求证：△MDE是等边三角形。 【答案】(I)解：作图如下： 9 (2)证明：AB-AC=2, ..AB=AC+2. ∠C=90°， .AC2+BC2=AB2 即4C2+25j=(4C+2. AC=2, .tan4 BC=5, A ∴.∠A=60°， .∠B=30° OB=OD .∠BDO=∠B=30° :∠FDA=∠BD0=30°， :OF⊥DE, 67/134 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠FDE=90°， .∠ADE=∠FDE-∠FDA=90°-30°=60°， ∴∠A=∠ADE=60° ∴△ADE是等边三角形 【分析】(1)按照过一点作已知直线的垂线的方法作图即可： (2)由已知条件及勾股定理可求得AC,由三角函数可求得∠A=60°，进而得∠B=30°，由等腰三角形的 性质得∠FDA=30°，由切线的性质及等边三角形的判定即可完成证明. 【详解】(I)解：连接OD并延长到F,以D为圆心，任意长为半径画弧交射线OF于两点，再作以这两 点为端点的线段的垂直平分线交AC于点E,则点E为所确定的点.作图略： (2)略 43.(2026福建漳州模拟预测)如图，⊙0是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙0 于点D,连接BD、CD,过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P. (I)求证：PD是⊙O的切线； AB BD (2)求证：DCCP: (3)当AB=12,AC=8时，求DP的长. 【答案】1)证明：如图，连接OD, D :BC是⊙O的直径， ∴.∠BAC=90°， :AD平分∠BAC, 68/134 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠BAC=2∠BAD, .BD=BD .∠BOD=2∠BAD ∴.∠BOD=∠BAC=90°， .DP∥BC, .∠ODP=∠BOD=90°， .PD⊥OD, :OD是⊙0半径， ∴.PD是OO的切线： (2)证明：，DP∥BC, .∠ACB=∠P, :B= ∴.∠ACB=∠ADB, ∠ADB=∠P, ',四边形ABDC是圆内接四边形， .∠ABD+∠ACD=180°， ,∠ACD+∠DCP=180°， ∠ABD=∠DCP, .△ABD∽△DCP AB BD DCCP· 10W13 3)3 【分析】(1)先得出∠BAC=2∠BAD,进而得出∠BOD=∠BAC=90°，得出PD⊥OD即可得出结论； (2)先说明∠ADB=∠P,再推出∠DCP=∠ABD,即可得出结论： AB BD (3)在Rt△4BC中，求出BC=43,在RtABCD中，求出BD=CD=226,由(2)知，DC=CP, 可求出CP=DC~BD26 AB=3,过点C作CE1DP于点E,在Rt△CDE中，求出DE=CE=CD·sin45°=2VI3, 69/134 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在Rt△CEP中，求出 EP=CP:CE:=413 3,然后根据DP=DE+EP求解即可. 【详解】(1)略： (2)略： (3)解：，BC是OO的直径， ∴.∠BAC=∠BDC=90°， 在Rt△ABC中，BC=√AB+AC=4VB】 :AD平分∠BAC, .∠BAD=∠CAD. .BD-CD .BD=CD, BD=CD=BC-si45=43x=226 在RtABCD中， 2 AB BD 由(2)知，DCCP gC2=DC·BD2N26×2N2626 AB 123, 过点C作CE⊥DP于点E, D ..OB=OC. ∴.∠BD0=∠CD0=45°， .∠ODP=90°， .∠CDE=45°， 70/134 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DE=CE=CD.sin45°=226×Y5=215 在Rt△CDE中， 2 在R1△CEP中，EP=VCp2-CE_4 3, DP=DE+EP=233103 33 4.(2026福建厦门二模)己知：如图，四边形1BCD内接于O0,MB为O0的直径， BC=CD,弦 CE⊥AB于点F,交BD于点G. H D 备用图 (1)求证：∠HDC+∠FCB=90°： (2)延长AD,EC相交于点H. ①求证：FC2=FG·FH; BF C△MBD ②若BC(,若C,m表示AABD的周长，求AC的值.请用含1的式子表示 【答案】(I)证明：，四边形ABCD内接于⊙O, .∠ABC+∠ADC=180°， ,∠HDC+∠ADC=180°， .∠HDC=∠ABC, .CE⊥AB, .∠BFC=90°， .∠FCB+∠FBC=90°， 71/134 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠HDC+∠FCB=90°： )①证明：：AB为⊙0的直径， ∴.∠ACB=∠ADB=90°， 、∠GDH=180°-∠ADB=90°， :CE⊥AB .∠BFG=∠AFH=90°， '∠H+∠HGD=90°，∠GBF+∠BGF=90°，∠BGF=∠HGD, ∴.∠H=∠GBF, ∴.△BGF△HFA, FG BF .AFFH’ .FG·FH=BF·AF :∠ACF+∠BCF=∠BCF+∠CBF=90°， ∴.∠ACF=∠CBF, :∠AFC=∠BFC=90°， ∴.△BFCOACFA, BF CF ·CFAF .BF·AF=CF2, .FC2=FG·FH; @2(1-r+ 【分析】(1)由圆内接四边形的性质可得∠ABC+∠ADC=180°，再结合∠HDC+∠ADC=180°，得出 ∠HDC=∠ABC,由题意可得LBFC=90°，则∠FCB+∠FBC=90°，由此即可得证； (2)①由圆周角定理可得∠ACB=∠ADB=90°，证明△BGF∽aHFA,得出FG·FH=BF·AF,再证明 △BFCC∽△CFA BF·AF=CF2 ,得出 即可得证：②由垂径定理并结合圆周角定理可得 1 ∠CBD=∠BCE=∠BAC=∠CAD,由正切的定义，设BC=1,则1B=,BF=1,由勾股定理可得 72/134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AC=- CM L ED W 2 CM:AB-30-2 1-2 表示 出Cm=B+0+D=+2-F,-2x,则S=1+2-F±0-2 AC 设 V1-t2 ∠BCF=∠BAC=∠CAD=a,求出a<45°，即∠BCF<45°，从而可得 in∠BCF< 2,结合题意可得 0s1<2 2,即1-2>0，再结合二次根式的性质化简即可得出结果 【详解】(1)略 (2)①略： ② CE⊥ABAB⊙O 解： 为的直径， :∠BFG=∠AFH=90°.BC=BE∠ACB=∠ADB=90° ..BC=CD BC=CD=BE CD=BC ∴.∠CBD=∠BCE=∠BAC=∠CAD, BF :BC t, ·sin∠BCF=B =t, BC :sin∠BAC=BC t, AB 1 设BC=1,则AB= t·BF=t: 73/134 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AC-A-BC--F t. 作CM⊥BD于M,则BD=2BM, H D M B 0 E ·sin∠CBD=CM =t BC ..CM=t, BM =BC2-CM=- BD=2BM=21- .AD=AB2-BD2 1-2r2 C+D2) C.ABD= +2+-2r t 1+2W-7+-2r2 :.AC 1-2 v1-t2 设∠BCF=∠BAC=∠CAD=&,则∠CAD+∠CAB+∠ABD=9O°， .2a+∠ABD=90°， ∴.a<45°，即∠BCF<45°， ,sin∠BcF< 2, 74/134 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴结合题意可 0st< 2, .1-22>0, 1+21-7+1-22月 AC V1-2 -1+2W-2+1-2 V1-2 21-2+11-2) V1-2 21-F-F+） 1-2 =21-+ 【点睛】在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等：直径所对的圆周角为直角：相似三角形的对应 边成比例. 45.(2026福建泉州二模)如图1，BC为0的直径，D是C的中点，4C与BD交于点E E G B B MO B 图1 图2 图3 (I)若∠ABD=20°，求∠ACB的度数： (2)点F是⊙O上的动点（不与点A、C重合），CF交BD于点G,FA沿FC折叠后得到线段FM. ①如图2，当点M落在BC上时，求证：DG=DE·DB; ②如图3，当MF⊥AB于H时，连结OA、OM,若OA=a,OM=b,用含a、b的式子表示AF的长， 75/134 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 并说明理由， 【答案】(1)50° (2)①如图，连接 D G E ·B DC 由折叠性质得∠ACF=∠MCF .∠BAC=90°， ∴.∠ABC+∠ACB=90°， :∠ABD=∠CBD :2G8C+∠G8=2ABc+∠4C8)=45. .∠DGC=∠GBC+∠GCB=45°， ,BC为⊙O的直径， ∴.∠BDC=90°， :.△DGC为等腰直角三角形， ..DG=DC, AD=AD .∠ACD=∠ABD, .∠ACD=∠DBC, 又，∠BDC=∠BDC, .△DCE-△DBC, DE DC ·DCDB· 即DC=DE·DB DG2=DE·DB 76/134 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②4F=V+ab,理由： 如图，连接AM交FC于点K, D E B M 由折叠性质得∠CFA=∠CFM,AM⊥FC MF⊥AB 六.∠MHA=∠MHB=∠BAC=90° .AC∥FM .∴，∠ACF=∠CFM ∴.∠ACF=∠CFA ..IF-Ac .AF=AC 又，OA为半径， 由垂径定理的推论得：OA⊥FC,KC=KF 又：AM⊥FC, .A、O、M三点共线 .AM=A0+OM=a+b K=K-4M-生9 2 ∴K0=A0-AK=a-b 2 在RtACOK中，由勾股定理得：KC2+KO2=CO 即Kc2=a2_(a-b _=KF2 4 在Rt△AKF中，由勾股定理得：AF2=AK2+FK2 77/134 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4 _=a"+ab .AF=Va+ab 【分析】(1)由圆周角定理以及直角三角形两锐角互余即可求解； (2)①如图，连接DC,通过证明△DCE~△DBC解决问题；②连接AM交FC于点K,先由垂径定理 以及折叠的性质证明A、O、M三点共线，然后用a,b的代数式表示AM,KO,再对Rt△COK和Rt△AKF 运用勾股定理求解即可： 【详解】(1)解：：BC为O0的直径， ∴.∠BAC=90° D是4C的中点， .∠ABD=∠CBD, .∠ABD=20°， .∠ABC=2∠ABD=40°， ∠ACB=90°-∠ABC=50°： (2)略 46.(2026福建宁德二模)如图，AB是⊙0的直径，点C在⊙0上运动（不与A,B重合），将△40C 折，得到△DOC,点F是D的中点，连接D B E E 图1 图2 (I)如图1，若∠CAB=15°，求证：AD=OA: 78/134 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)证明：不论点C如何运动，∠CAE的大小不变；（以图2为例证明） )如图2，当点E在B下方，an∠BAE- 4,4D=4时，求O0的直径. 【答案】I)证明：，OA=OC, D E 图1 ∴.∠AC0=∠CAB=15° 由翻折得，∠DC0=∠ACO=15°， ∴.∠ACD=30° ∴.∠AOD=2∠ACD=60°， ..OA=OD, ∴△OAD是等边三角形， .AD=OA (2)证明：设∠CAB=a, 由(1)得∠ACD=2a, 由翻折得AC=DC, ∠CAD=∠CDA-180°-，4D=90-& 2 ∠BAD=∠CAD-∠CAB=90°-2a. :点B是D的中点， 1 ∠BME=2∠BMD=45-a. ∴.∠CAE=∠CAB+∠BAE=45° 68 3)⊙0的直径为15 【分析】(1)由OA=OC得∠AC0=∠CAB=15°，由翻折得，∠DC0=∠AC0=15°，得∠ACD=30°，由 79/134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 圆周角定理得∠AOD=2∠ACD=60°，由OA=OD可证明△OAD是等边三角形，从而可证明结论： (2)设∠CAB=a,得∠ACD=2a,由翻折得AC=DC,得∠CAD=∠CDA=90°-a,求出 ∠BAD=90°-2a 由点B是BD的中点可得∠BME=45°-“，从而可得出 CAE=45° 故可得结论： (3).延长BE,AD相交于点F,连接DE,设BE=x,解Rt△ABE,求得AE=4x,根据勾股定理得 D27 AB=7x,根据ASA证明△ABF≌AAEB,得出DE=EF=X:证明*FDEFBA,.求出FD=7X, 417 x=- 根据FD+AD=AF求出”15，从而可求出AB. 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：如图2，延长BE,AD相交于点F,连接DE。 B E 图2 设BE=x, ,AB是⊙O的直径， ∴.∠AEB=90° ∴、∠AEF=180°-∠AEB=90° 在Rt△ABE中，tan∠BAE=BE=1 AE 4 ..AE=4x. 由勾股定理得1B=VAE+BE=V7x 80/134 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :点E是 BD 的中点， ∴.∠EAF=∠EAB,BE=DE. AE=AE, :△MEF≌aAEB(ASA)） :EF=BE=x,∠ABE=∠F,AF=AB=VI7x ∴.DE=EF=x. .∠EDF=∠F=∠ABE. :∠F=∠F, ∴.△FDE∽AFBA, FD FE ∴.FBFA FD x 2x17x· FD=27 FD+AD=AF. :7+4=7 2V17 x= 417 解得15. 1B=7x=6 5 68 即⊙0的直径为15. 47,(2026福建厦门三模)如图1，点B是线段MB和BC的公共点，点0是BC所在圆的圆心，若 OB⊥AB 则称线段1B和BC 在点B平滑连接.生活中，为了兼顾美观与安全，公园步道的转弯处常设 计为线段和弧的平滑连接.某公园步道的一部分如图2所示，线段AB,BC,线段CD,DE,线段EF在 81/134 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点B,C,D,E处依次平滑连接 ABIIEF BC=DE BC 30 己知 AB=EF=120米，CD=60米. 所在圆的半径为米，所对的圆心角为 90° 请完成下列问题： A B B D 图1 图2 (1)求图2中公园步道的总长度： (2)现对公园进行改造：在直线4F AF 右侧新建步道 BA和EF,并在公园中间区域设立一处公共服 ，连 和 务空间（记为点R),满足点R到A,B,E,F四个点的距离相等. ①尺规作图：求作护，使得线段BA,AF,线段FE分别在点4，下处依次平滑连接：（要求：不写作 法，保留作图痕迹) ②在点R处增设户外WFi装置，通常情况下WiFi信号可接收的范围可以近似看成一个半径为110米的圆. F上 MF=72 Wiri 已知点M位于 米，请判断点M处能否接收到信号，并说明理由.（参考数据： V2≈1.414√5≈1.732) 【答案】()公园步道的总长度为 300+30m)米 2)①如图所示，AF即为所求 B ②点M处不能接收到WFi信号，理由如下： 如图所示，连接AE、BF,交点为R,过点R作RH⊥EF于点H,过点M作M0⊥RH于点O,交AF于 82/134 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 点P, B 、R G M AB/EF,AB=EF, ∴四边形ABEF是平行四边形， 由题意可得，AF与AB是平滑连接， .AB⊥AF, ∴.四边形ABEF是矩形， ∴AR=BR=ER=FR,且RH⊥EF, ∴.H为EF中点， 六RHIAF, :M在AF上，且AF为直径， .∠AMF=90°， :RHIIAF, .MP⊥AF, ∴.∠FPM=∠AMF=90°，且∠AFM=∠PFM, ∴.△AFM∽△MFP, AF FM .FMPF· 由题意可得， AF=60+30+30=120,MF=72, 12072 .72PF 解得PF=216 5 83/134 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在aPFw中，PM-72- 2162 288 5 :RHIAF,MQ⊥RH, .MQIlHF “四边形QHFP是平行四边形，且LAFE=90°， 四边形QHFP是矩形， &P0=Hr=)EF=60,QH=PF=216 5 ÷0=M-0m--01-0-2-ew=0*PM=60:2. 55 在RtAROM中， RM=RO2+OM2 84)2 588 + =84V2≈118.8>110 5 5 ∴，点M处不能接收到WFi信号. 【分析】(I)总长度为AB、弧BC、CD、弧DE、EF的长度和，因为BC一=DE一，所以先利用弧 长公式计算单段弧长，再将各段长度相加： (2)①连接AF,作AF的垂直平分线，与AF的交点即为AF的圆心，再以该交点为圆心、交点到A的 距离为半径画弧即可： ②首先确定点R是A、B、E、F四点的外接圆圆心，通过作作垂线构造相似的直角三角形，利用对应变 成比例得到相应线段，将RM放在一个直角三角形中，利用勾股定理计算长度，和110比较大小. 【详解】(4解：BC=DE,且8C 所在圆的半径为30米，所对的圆心角为90°， 30 90° “BC的弧长360×2x×30=15m米， AB=EF=120米，CD=60米， 公园步道的总长度1B+CD+EF+BC+DE=120+60+120+15x+15x=30+30x(米)， 300+30π 答：公园步道的总长度为 )米 (2)①略 ②略 84/134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 48.(2026福建泉州模拟预测)已知在△ABC中，A0⊥BC于点O,⊙0经过A、C两点并交AB于点 E E E B 备用图 (I)当点E为AB中点，求∠EOA的度数： (②)若AC=2,求AE·AB的值； 6)若BE=V5,S边形uEc=4 求BC 【答案】(1)60° (2)4 V26 【分析】(I)根据直角三角形的性质得出EA=EB=EO,结合圆中半径处处相等证明△AOE为等边三角 形，即可解答： (2)如图，连接EC,证明△ACE∽△ABC,即可解答： (3)作OD⊥AB于点D,根据垂径定理得出ED=DA,设ED=DA=n,OD=m,则AE=2n, 4B=2n+2:402=m+,根据c=5m+及.m=nm++)=4,得a+m=8,则 n+m=250,证明4D0408:得出40=AD-1B即n--2n@:由02求出m-号5 2在RIDOR甲根据勾股定理家甜O,OC励 【详解】(1)解：AO⊥BC, ∠A0B=90°， 又，点E为AB中点， .EA=EB=EO, 85/134 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在⊙0中，OA=OE, ..OA=OE=AE, ∴△AOE为等边三角形， ∴.∠EOA=60° (2)解：如图，连接EC, E 由题可得A0⊥OC,OA=OC, :△A0C为等腰直角三角形，∠4C0=450,∠ABC= ∠40C=45°， 2 :∠EAC=∠CAB,∠AEC=∠ACB, .△ACEP△ABC, 、AEAC AC AB. 即AE·AB=AC2=22=4 (3)解：作OD1AB于点D, D E B ·.OE=OA :ED=DA, 设BD=DA=n,OD=m AE=2nAB=2n+√2 则 ,A02=AD2+0D2=m2+n2, 86/134 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 整理得m+m)}'=8 ∴n+m=2V2 ①(n+m>0 , :∠DAO=∠OAB,∠ADO=∠AOB, ∴.△ADO∽△AOB. AD AO AO AB ..A02=AD.AB 即n+m=n(2m+2) m-n-Vin @ 由0这解得：烟号5，-手 :00-g5,40=E=a-5 :BD=n+V2=?2 5 在RtaDOB中， Bo-Do-oc ∴.BC=B0+OC=V26 49.(2026福建福州三模)如图1，⊙0是等边△ABC的外接圆，AB=12,点P是⊙0外一点，AP分别 交BC、OO于点D、E,连接BP,且PB2=PAPE. G E E P p 图1 图2 图3 87/134 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求证：BP是OO的切线： 95 ②)如图2，点F是AC上的动点，点G在⊙0内，∠FDG=60,且SArG 2· ()当DC=3 5,且DrC=45 S,DG的值： 时，求 (ⅱ)如图3，当AP过点O时，求BG的最小值， 【答案】(I)证明：如图，过点B作直径BH,连接AH、BE, .PB2=PA.PE PB PE PA-PB, 又：∠BPE=∠APB, .△PBE∽△PAB, ∠PBE=∠PAB, :BH是⊙O的直径， .∠BAH=90°， ∴.∠BAP+∠EAH=90°， ,∠PBE=∠PAB,∠EBH=∠EAH, .∠PBE+∠EBH=90°， .∠HBP=90°， ,HB⊥BP 又：BH是⊙O的直径， BP是⊙O的切线。 @12-35i)59-6 【分析】(I)过点B作直径BH,连接AH、BE,由等式变形证△PBE∽△PAB,得到等角，根据直径所 88/134 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 对圆周角为直角，等量代换推出半径与BP垂直，证得切线： (2)(i)在△DFC中解直角三角形求出DF,套用夹角面积公式算出DG,通过角度换算得到 ∠BDG=45°，求出△BDG的高，结合BD长度直接计算面积：(ii)过点D作DO⊥AC,垂足为Q,连接 GO ODD0,,DG·DF=18 ∠DG0=90° G DO ,先算出 、 ,结合 证三角形相似，推出 ,确定点在以为直径 的圆上，利用定点到圆心距离减半径，求出BG最小值. 【详解】(1)略 (2)(i)解：如图，分别过点D、G作DM⊥AC、GN⊥BD,垂足分别为M、N 在等边 中， △ABC∠C=60°DC=3V3 DM=DC-sim60°=9 , ∠DFC=45°， DF=2DM=9 2 95 :∠FDG=60°， 且SADFG= 2， ∴aFGD中DG边上的高为DF,sin60°， ÷DG-DFsin60° 9√3 2， DG·DF=18, .DG=22, :∠CDF=180°-∠DFC-∠C=75°， ∴.∠BDG=180°-∠CDF-∠FDG=45°， ∴.GN=DG·sin45°=2， :BC=AB=12, 89/134 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :BD=BC-CD=12-33 .S6wG -BD-GN-12-3 2 (i)解：如图，过点D作D0上AC,垂足为Q,连接GO, D 过点， AB=AC OB=OC AP ∠CAD=)∠CAB=30°，CD=Bc=6, ∴.∠ADQ=90°-∠CAD=60°AD=6N3 .0D=2√3D9=CD.sin60°=3W3 ∴.OD.D0=18 .DG.DF=18, DG·DF=OD,DQ DG DO DO DF, :∠FDG=60°， ∴.∠GDO=∠GDF-∠ODF=∠ADQ-∠ODF=∠ODF ∴.△GDO∽△ODF ∴.∠DG0=∠DQF=90° ∴点G在以DO为直径的圆上， 取OD的中点I,连接BI、GI, :G1=D1=D0=5,BD=CD=6, B1=VBD2+D2=√39 90/134 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴BG≥BI-GI=V39-√5 ∴.BG 39-V5 的最小值为 50.(2026福建厦门模拟预测)如图1，AB为半圆O的直径，AB=4,点C为半圆O上一点（不与A, B重合)，连接OC,点A关于OC的对称点为点D,连接OD D 0 图1 图2 备用图 (I)如图2，当∠AOC=60°时，连接BD,求∠ABD的度数： (2)过点A作半圆O的切线I,延长OC交切线I于点E,点F为OE中点，连接AF, ①当n∠AOC=2时，延长AF至点N,使得FN=FE,连接DN,求DN的长： ②当O°<∠AOC<60°时，延长AF交半圆O于点P(P与D不重合)，直线DP分别交切线I,射线OC于 点G,点M,探究DG与DP的数量关系. 【答案】(1)60° Q)0Dw=35 5:②当0°<∠A0C<45°时， DG=2-1DP 2 :当45°<∠A0C<60°时， DG-2+1DP 2 【分析】(1)利用点A和点D关于OC对称的性质，得到两个相等的角∠AOC=∠COD,进而求出 ∠BOD的度数，结合OD=OB,得∠COD=∠AOC=60°，得到∠ABD的度数： 2①连接D交C0于点K,连接ON,EV,在R1△10E ，求出4E=】OE=V5 FN-FE-OF-AF-5 ,AN=2AF=V5.得四边形AONE为矩形.证明OC为AD的垂直平分线，可 k=2 AD=45 证明∠ADN=∠OKA=90°，Rt△AOK中，求出 5, ,Rt△AND中，由勾股定理得 91/134 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 Dw=35 5. ②连接BD,当0°<∠A0C<45°时，点P在点D右侧，当45°<∠A0C<60°时，点P在点D左侧，两种情 况讨论：当0°<∠AOC<45°时，点P在点D右侧，证明四边形OBDM为平行四边形，设DP=m, AO FO 1 OEEP=4E=a明A4 OFAPME得pF即2品，PM=a 22a ME=FM-EF=m.证明A OEAEG得积-品，求月G=2-0n,当 45°<∠40C<60时，点P在点D左侧，同理可得DG=2+DP 2 【详解】(1)解：连接AD, :AB为半圆O的直径，点A关于OC对称点为点D,∠AOC=60°， .OC为AD的垂直平分线， ∴.OA=OD 点D在半圆O上 .∠C0D=∠AOC=60°， ∴.∠AOD=∠AOC+∠COD=120°， 、∠ABD三)∠AOD=600 (2)解：，1与半圆O相切于点A, .∠EA0=90° :AB为半圆O直径，AB=4, ∴.OA=OB=r=2. F为Rt△AOE斜边OE中点， FE=OF=AF=OE 2 92/134 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠FAO=∠FOA=x ①连接AD交CO于点K,连接ON,EN, D 在Rt△AOE中，an∠A0C=E-1 AE=1 OE=5 FN-FE-OF-AF- 2,AN=2AF=5 ∴四边形AONE为平行四边形， 又AW=OE, ∴.四边形AONE为矩形. ,点A关于OC对称点为点D, .OC为AD的垂直平分线， ·∠0K4=900, K=DK=号AD 又：FN=AF, .FK∥DN, .∠ADN=∠OKA=90°. RIAAOK中，tan∠AOK=4K=1 OK20A=2, K36 5, :D 5. Rt△AWD中，∠ADN=90°， 93/134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AD2+DN2=AN2, DN=35 5. ②连接BD, E M P 刀 G C B P与D不重合， ∠A0C≠45°. :点D在半圆O上，∠AOC=∠COD=x, ∠AOD=2x' ∠ABD=∠AOD=x, 2 ∴.∠ABD=∠AOC=x, .BD∥OC. (I)当0°<∠AOC<45°时，点P在点D右侧，如图， M B .∠AOD=2x, .LAPD-AOD- ∴.∠APD=∠FAO=x. .AB∥PM. 又BD∥OC, ∴.四边形OBDM为平行四边形，∠PMF=∠FOA=x, ∴.DM=OB=2 设DP=m,OF=EF=AF=a, 94/134 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .PM PD+DM =m+2 :∠FAO=∠APD,∠FOA=∠PMF, ∴.△AOF∽△PMF AO FO 2. a ·PMFM,即m+2FM, 1 FM-aam ÷ME=FM-EF=2am :∠FOA=∠PMF,∠OEA=∠MEG, .△OEA△MEG 22a ..40_E 'GMEM ,即GM 2am. ..DG=DM-GM=2- 1 m DG=P (Ⅱ)当45°<∠A0C<60°时，点P在点D左侧， E D M D .∠APD=180°-∠B=180°-x, ∴.∠PAB+∠APD=180°， .AB∥PD. ∴.四边形OBDM为平行四边形，∠PMF=∠FOA=x, .DM=OB=2」 95/134 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设DP=m,OF=EF=AF=a, .PM DM-PD=2-m. .∠FAO=∠FPM,∠AFO=∠PFM, ∴.△AOF∽△PMF AO FO 2 a ·PMFM,即2-mFM: 1 FM=a-zam, ME-EF-FM -7am. 1 .∠PMF=∠EMG ∴.∠FOA=∠EMG,∠OEA=∠OEA, :.△OEA△MEG, 22a :A0、E0 ,即GM -am, GM EM 1 GM-2m, 1 DG=DM+GM=2+m, .DG-2+DP 51.(2026福建莆田模拟预测)如图，等腰三角形ABC内接于OO,AB=AC,点C关于AB的对称点为 D,连接AD交⊙O于点E. A E 0 D D C B 图1 图2 (I)求证：BD为⊙O的切线： 2如图1，连接OD,若 DO⊥AC ,求证： AE=V2BD 96/134 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B)如图2，若AE=BD,求Cos∠ABC的值， 【答案】(I)证明：连接OB,取BC的中点N,连接AW, .'AB=AC .∠BAN=∠CAN,AN⊥BC AN BC 直线是线段的垂直平分线， ∠ABN=∠ACN, A 是三边垂直平分线的交点， .0 ∴O在AN上， ∴.∠BAO=∠CAO,AO=BO .∠BAO+∠ABN=90°， 根据对称性质，得∠ABD=∠ABN, .∠ABD+∠ABO=∠ABN+∠ABO=∠ABN+∠BAO=90°， BD为⊙O的切线。 (2)证明：连接OA,OB,OC,OE,DC. 根据折叠的性质，得AD=AC, .AB=AC, ∴.AD=AC=AB, .∴.∠ADB=∠ABD=∠ABC=∠ACB 设DO L AC于点M,根据垂径定理，得AM=MC, 故直线DM是线段AC的垂直平分线， .AD=CD ∴.AD=CD=AC ,aADC是等边三角形， ∴.∠ADC=∠ACD=∠DAC=60°， 根据题意，得AB⊥CD,DO⊥AC, 97/134 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DB-ZC4B-DAC3 LDMCDDC ∴.∠BOC=2∠BAC=60°， ∠AD8=∠iBD=∠HBC=∠4CB=180-,B4C_180-,D1B-75. 2 ..OB=OC ,△OBC是等边三角形，∠DBC=∠ABD+∠ABC=150°， ∠0BC=L0CB=60°， ..OB=OC=BC, 根据折叠的性质，得BD=BC, ..OB=OC=BC=BD=OA=OE. ∠BDC=∠BCD-180,150-15. 2 .∠ODB=∠ODC+∠BDC=45°， .∠OBD=90° ∠D0B=45°， ∴∠DOB=∠ODB, ..OB=DB, ..DO=OB2+BD2=2DB 根据题意，得∠AB0=∠AC0=75°-60°-15°， ..0A=OB=OC. ∠ABO=∠BAO=∠ACO=∠CAO=15° .∠EAO=∠DAB+∠BAO=45°， :OA=OE, ,∠AE0=45° LA0E=90°， E .AE=OE2+04=20A 98/134 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AE=√2BD 5-1 3)4 【分析】(1)连接OB,取BC的中点N,连接AN,根据等腰三角形的性质，对称性质，切线的判定证 明即可； (2)连接OA,OB,OC,，OE,DC,设D0⊥AC于点M,故直线DM是线段AC的垂直平分线，证明△ADC 是等边三角形，△OBC是等边三角形，再根据对称性质，等腰直角三角形的性质，利用勾股定理证明即可 (3)取BC的中点K,连接AK,连接BE,证明△BDEP△ADB,设AE=BE=BD=BC=x,得到 DE2+xDE-x2=0. AB=5+ -11 2“，根据余弦函数的定义计算即可. 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：取BC的中点K,连接AK, AB=AC, ∴.∠BAK=∠CAK,AK⊥BC AK BC ,直线 是线段的垂直平分线， 是三边垂直平分线的交点， O在AK上， 根据对称性质，得BD=BC, .AE=BD, .AE=BD=BC, 连接BE, .∠BAC=∠ABE 99/134 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 根据对称性质，得∠BAC=∠BAD, .∠BAD=∠ABE, .AE =BE, .AE=BE BD=BC, .∠BDE=∠BED, :四边形AEBC是⊙O的内接四边形， .∠ACB=∠BED. .AC=AB」 ∴.∠ACB=∠ABC, ∴.∠BED=∠ABC, 根据对称性质，得∠ABD=∠ABC, ∠BED=∠ABD, ·∠BDE=∠ADB, .△BDED△ADB, BD DE :.AD DB' 设AE=BE=BD=BC=x, x DE x+DEx' 整理，得DE2+xDE-x2=0 解得DE=生-1(-士5 2 2 故DE=S 2tDE=5- 一x 2,不符合要求，舍去， ADAE+DE52x+x=5+1、 2 .AB = V5+1 2 100/134函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题08圆 5年真题1年模拟答案版 五年真题分类园 考点01切线的性质定理与圆内接多边形 1.B 2.C 3.A 4.c 考点02圆的综合问题 1.【答案】(1)60° (2)证明：：∠ACD=∠ABD=60°， ∴.∠ACD=∠E AC∥EF. ,四边形AFBD是⊙O的内接四边形， .∠AFB+∠ADB=180° :△ABD是等边三角形， .∠ADB=60°， .∴.∠AFB=120° ∴.∠AFB+∠E=180° ∴.AF∥CE ∴.四边形AFEC是平行四边形. √万 3)3 【分析】(1)先判定△ABD是等边三角形，得到∠BAD=∠BDA=60°，利用圆的内接四边形的性质，证 明∠BCE=∠BAD=60°，最后利用三角形内角和定理解答即可： 1/72 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)先利用LACD=∠E判定AC‖EF,利用圆的内接四边形的性质求得∠AFB=120°，证明AFCE: (3)过点C作CH⊥BE,垂足为H,连接DF,设CD=a,先判定△BCE是等边三角形，证明 ACFE2BDE(MS),得到EF=ED,再证明ADEF是等边三角形，证明BCDF,△BCGDFG。 △BCE∽aFDE,得到BE=2a,EF=3a,接着利用勾股定理表示出CH,CF,利用平行四边形的性质表示 出AC,进一步解答即可. 【详解】(1)解：AB=BD,∠ABD=60°， ∴.△ABD是等边三角形. ∴，∠BAD=∠BDA=60° ,四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴.∠BAD+∠BCD=180° 又∠BCE+∠BCD=180°， .∠BCE=∠BAD=60°. ∠CBE=60°， ∴.∠E=180°-∠CBE-∠BCE=60° (2)略 (3)解：过点C作CH⊥BE,垂足为H,连接DF,设CD=a. B E·∠E=∠CBE=∠BCE=60° ∴.△BCE是等边三角形 ∴.BE=CE 又∠CFB=∠CDB,∠E=∠E, ∴.ACFE≌△BDE(AAS) ∴EF=ED :BF=CD=a 2/72 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠E=60°， ,ADEF是等边三角形， .∠FDE=∠BCE=60°. ∴.BC∥DF ∴.△BCG∽△DFG BC CG2 DFFG3· BC∥DF, △BCEn△FDE. BE BC 2 FEFD3· .BE=2a,EF =3a. ',四边形AFEC是平行四边形， .AC=EF =3a :△BCE是等边三角形，CH⊥BE, 六M站0 在R△BCH中，a∠CBE-C-5. BH ∴.CH=V3BH=V3a FH=BF+BH 2a. .CF=JFH2+CH2=(2a)+(a)=a :△CFE≌△BDE. :BD=CF=7a BD a AC 3a 3. 2.【答案】(1) 证明：，AB=AC, ,∠ABC=∠ACB 3/72 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .AB=AB ∴.∠ACB=∠ADB」 ,∠ABC=∠ADB ·∠ADB=∠DBE+∠E, ∴.∠ABC=∠DBE+∠E G D B E (2) AD=AD 证明： ·∠ABD=∠ACD .BG=DG ∴.∠BDG=∠ABD=∠ACD 又：∠DHF=∠CHD」 .△HDF∽△HCD, HF HD HD HC .HD2=HF.HC. 由(1)知，∠ABC=∠DBE+∠E, 又'∠ABC=∠DBE+∠ABD, ∴.∠ABD=∠E, ∴.∠BDG=∠E '∠ADB=∠ADG+∠BDG=∠DBC+∠E, .∠ADG=∠DBC ..CD=CD ∴.∠DAC=∠DBC, 4/72 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠ADG=LDAC, .AH DH, :AH2=HF.HC. 66 【分析】(L)利用MB=AC每∠ABC=∠ACB 结合同弧B所对圆周角 ACB=∠ADB 得 再根据三角形 外角性质∠ADB=∠DBE+∠E,完成证明. (2)先证△HDF~aHCD得HD=HF·HC,再通过角的等量代换证∠ADG=∠DAC,推出AH=DH,从 而得AH=HF·HC (3)利用(2)结论将△AGH周长转化为AB,通过相似三角形△ACD~△AEC及三角函数、勾股定理求出 AB的长，即△1GH v6 长为 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：由(2)知，AH=DH, ∴△AGH的周长为AG+GH+AH=AG+GH+DH=AG+DG=AG+BG=AB. 设DE=m,则AD=2DE=2m,AE=AD+DE=3m. G H 由(2)可知，∠ACD=∠E 又∠CAD=∠EAC, AACD△AEC, AC AD CD AE AC EC· AC2=AD·AE=6m2, :AC=6m 5/72 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又CD=6 6m-6 3m EC, ..EC=3 过点C作CP⊥AE,垂足为P,则∠CPD=∠CPE=90°. ·四边形ABCD是圆内接四边形， .∠ADC+∠ABC=180°， 又：∠ADC+∠CDP=180°， .∠CDP=∠ABC, .tan∠CDP=tan∠ABC=√5 :.在Rt△DCP中，PD =5,即PC=5PD: :.CD=VPD2+PC2=√6PD √6PD=6 .PD=1, .PE=DE-DP=m-1 在Rt△CPE中，PE2+PC2=CE2, (m-12+(N5=32 解得m=3,或m=-1(舍去). ..AB=AC=36 ∴.△AGH √6 的周长为 【点晴】本题考查圆的性质、等腰三角形、相似三角形、解直角三角形等知识，通过角与边的转化、相似 三角形判定与性质解题，关键是利用圆的性质和三角形知识进行边角关系推导. 3.【答案】（①）2 2) 6/72 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 过点B作BMI‖AE,交EO延长线于点M. D M .∠BAE=∠ABM,∠AEO=∠BMO=90° AO=BO, ∴.△AOE≌△BOM, .AE BM.OE =OM .0E_1 AE 2 .BM=20E EM, .∠MEB=∠MBE=45°， ∴.∠AEB=∠AEO+∠MEB=135°，∠BEC=180°-∠MEB=135°. ∴.∠AEB=∠BEC AB=AC,∠BAC=90°， .∠ABC=45°， .∠ABM=∠CBE, .∠BAE=∠CBE, .△AEB∽△BEC, 3) 如图，连接DE,DF 7/72 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 是 的直径， B .:AB⊙O ∴.∠ADB=∠AFB=90°，AB=2AO AB=AC,∠BAC=90° ∴.BC=2BD,∠DAB=45° 由(2)知，△AEBP△BEC, AE AB 2A0 AO BE BC2BD BD ,∠EAO=∠EBD ∴.△AOEn△BDE, ∴.∠BED=∠AEO=90° .∠DEF=90° ∴.∠AFB=∠DEF, ∴.AF DE 由(2)知，∠AEB=135°， .∠AEF=180°-∠AEB=45° ∠DFB=∠DAB=45°， ∠DFB=∠AEF, AE∥FD, ∴四边形AEDF是平行四边形， .AD与EF互相平分. 【分析】C少先证得4C=240:再在Ru40OC中，am∠A0C= A0 =2.在Rt△AOE中， tan∠AOC=AE AE O正，可得O正=2，再证得结果： (2)过点B作BMI‖AE,交EO延长线于点M,先证明△AOE≌△BOM,可得AE=BM,OE=OM,再证 得∠BAE=∠CBE,再由相似三角形的判定可得结论； 8/72 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AE AB 2AO AO (3)如图，连接DE,DF,由(2)AAEB∽ABEC,可得BEBC2BDBD ∠EAO=∠EBD,从而得 出△AOE∽aBDE,得出∠BED=∠AEO=9O°，得出∠AFB=∠DEF,再由平行线判定得出AFI‖DE AE∥FD,从而得出四边形AEDF是平行四边形，最后由平行四边形的性质可得结果. 【详解】(1)：AB=AC,且AB是⊙0的直径， .AC=240 ∠BAC=90°， 2 :在Ra4Oc中，an∠A0C=4C :AE⊥OC, :在Rt△4OB中，an∠A0C=AE OE· AE OE 2 OE 1 AE 2 (2)略 (3)略 【点睛】本小题考查等腰三角形及直角三角形的判定与性质、锐角三角函数、全等三角形的判定与性质、 相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、圆的基本性质等基础知识， 考查推理能力、几何直观、运算能力、创新意识等，熟练掌握相关图形的性质定理是关键. 4.【答案】(1) 证明：AF是⊙O的切线， ∴.AF⊥OA,即∠OAF=90° :CE是OO的直径， ∴.∠CBE=90° 、.∠OAF=∠CBE=90° AF‖BC ,∠BAF=∠ABC, 9/72 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠OAF-∠BAF=∠CBE-∠ABC,即∠OAB=∠ABE, .AOll BE (2) 解：∠ABE与AC 都是E 所对的圆周角， B .∴.∠ABE=∠ACE 0A=0C, .∠ACE=∠OAC, .∠ABE=∠OAC 由(1)知∠OAB=∠ABE. ∴.∠OAB=∠OAC, ∴AO平分∠BAC. 【分析】(1)由切线的性质可得∠OAF=90°，由圆周角定理可得∠CBE=90°，即∠OAF=∠CBE=90° 再根据平行线的性质可得∠BAF=∠ABC,则根据角的和差可得∠OAB=∠ABE,最后根据平行线的判定 定理即可解答： (2)由圆周角定理可得∠ABE=∠ACE,再由等腰三角形的性质可得∠ACE=∠OAC,进而得到 ∠ABE=∠OAC,再结合∠OAB=∠ABE得到∠OAB=∠OAC即可证明结论. 【详解】(1)略 (2)略 【点睛】本题主要考查角平分线、平行线的判定与性质、圆周角定理、切线的性质等知识点，灵活运用相 关性质定理是解答本题的关键， 5.【答案】(1) 证明：AD∥BC,DF∥AB, ∴.四边形ABED为平行四边形， ∴.∠B=∠D, ,∠AFC=∠B,∠ACF=∠D, 10172 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :LAFC=∠ACF, .AC=AF, 5π Q)2 【分析】(I)根据已知条件可证明四边形ABED是平行四边形，由平行四边形的性质可得∠B=∠D,等 量代换可得∠AFC=∠ACF,即可得出答案： (2)连接A0,C0,由(1)中结论可计算出∠AFC的度数，根据圆周角定理可计算出∠AOC的度数，再 根据弧长计算公式计算即可得出答案， 【详解】(1)略 (2)解：连接A0,C0,如图， A B 由(I)得∠AFC=∠ACF, ∠AFC=1809,30°=75° :.∠A0C=2∠AFC=150° ·4C的长1=150ax3-5红 180 2. 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，圆的性质与弧长公式，考 查化归与转化思想，推理能力，几何直观等数学素养 一 年模拟练测园 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 0 D y C y ⊙ D C C 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 C D D D C B B B B B 题号 21 11/72 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 答案C 22.2 . 540° 24.40 25. 26.π 23⑤ 28 29.10W3元 30.45° 55 31.48 32.2.5 33.81° 2V10-2,-2+210 35.90°的圆周角所对的弦是直径 36.②⑤ 37.5月 38.12v5+8x 245245 39.77 40.V6+2-1或26-2-1 12172 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 9-25,-25+9 42.(1)解：作图如下： (2)证明：AB-AC=2, ..AB=AC+2. ∠C=90°， .AC2+BC2 AB2 即4C2+(25=(4C+2. AC=2, .tan4 BC=3 A ∴.∠A=60°， ∴.∠B=30° OB=OD .·.∠BDO=∠B=30° .∠FDA=∠BDO=30°， :OF⊥DE. .∠FDE=90°， .∠ADE=∠FDE-∠FDA=90°-30°=60°， ∠A=∠ADE=60°， △ADE是等边三角形 【分析】(1)按照过一点作已知直线的垂线的方法作图即可： (2)由已知条件及勾股定理可求得AC,由三角函数可求得∠A=60°，进而得∠B=30°，由等腰三角形的 性质得∠FDA=30°，由切线的性质及等边三角形的判定即可完成证明. 13172 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(1)解：连接OD并延长到F,以D为圆心，任意长为半径画弧交射线OF于两点，再作以这两 点为端点的线段的垂直平分线交AC于点E,则点E为所确定的点，作图略： (2)略 43.(1)证明：如图，连接OD, .BC是⊙O的直径， .∠BAC=90°， ,AD平分∠BAC, .∠BAC=2∠BAD, BD=BD .∠BOD=2∠BAD .∠BOD=∠BAC=90°， .DP∥BC, ∴.∠ODP=∠BOD=90°， .PD⊥OD, :OD是⊙0半径， .PD是⊙O的切线： (2)证明：，DP∥BC, .∠ACB=∠P, 4B=AB ∴.∠ACB=∠ADB, .∠ADB=∠P, ,四边形ABDC是圆内接四边形， .∠ABD+∠ACD=180°， .∠ACD+∠DCP=180°， 14172 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠ABD=∠DCP, ∴.△ABDP△DCP AB BD .DCCP· 10W13 3)3 【分析】(1)先得出∠BAC=2∠BAD,进而得出∠BOD=∠BAC=90°，得出PD⊥OD即可得出结论： (2)先说明∠ADB=∠P,再推出∠DCP=∠ABD,即可得出结论； AB BD (3)在Rt△ABC中，求出BC=4N3,在RtABCD中，求出BD=CD=2√26，由(2)知，DC=CP, 可求出CP=DC8D26 AB=3,过点C作CE1DP于点E,在Rt△CDE中，求出DE=CE=CD:sin45°=23， 在Rt△CEP中，求出 EP=CP2 -CE7 =413 3, 然后根据DP=DE+EP求解即可. 【详解】(1)略： (2)略： 3)解：：BC是O0的直径，， ∠BAC=∠BDC=90°， 在Rt△ABC中， BC=AB2+AC2=413 :AD平分∠BAC, .∠BAD=∠CAD. BD=CD .BD=CD, BD=CD=BC.sin45=43x=226 在RtABCD中， AB BD 由(2)知，DCCP, 15172 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CP=0Ca0.225×2v2626 AB 12 -3, 过点C作CE⊥DP于点E, 】 ..OB=OC. .∠BD0=∠CD0=45°， .∠ODP=90°， .∠CDE=45°， 在RtACDE中， DE-CE-CD-sin45-226x2=23 2 在Rt△CEP中， EP=CP2 -CE=413 3, DP=DE+EP=21343103 33 44.(1)证明：四边形ABCD内接于⊙0， .∠ABC+∠ADC=180°， .∠HDC+∠ADC=180°， .∠HDC=∠ABC, .CE⊥AB, ∴.∠BFC=90° .∠FCB+∠FBC=90°， .∠HDC+∠FCB=90°； (2)①证明：，AB为O0的直径， .∠ACB=∠ADB=90°， 16172 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠GDH=180°-∠ADB=90°， CE⊥AB .∠BFG=∠AFH=90°， :∠H+∠HGD=90°，∠GBF+∠BGF=90°，∠BGF=∠HGD, .∠H=∠GBF, .△BGF∽△HFA, FG BF :.AF FH .FGFH=BF·AF, :∠ACF+∠BCF=∠BCF+∠CBF=90°， .∠ACF=∠CBF, .∠AFC=∠BFC=90°， ∴.△BFC∽△CFA, BF CF CF AF' .BF.AF=CF2, :.FC2=FG.FH @2(-+j 【分析】(1)由圆内接四边形的性质可得∠ABC+∠ADC=180°，再结合∠HDC+∠ADC=180°，得出 ∠HDC=∠ABC,由题意可得∠BFC=90°，则∠FCB+∠FBC=90°，由此即可得证； (2)①由圆周角定理可得∠ACB=∠ADB=90°，证明△BGF∽aHFA,得出FG·FH=BF·AF,再证明 BFCACFA,得出 F·AF=CF2 即可得证：②由垂径定理并结合圆周角定理可得 ∠CBD=∠BCE=∠B4C=∠C4D,由正切的定文，设BC=I,则B t,BF=1,由勾股定理可得 AC=-2 tD于B0:NCN-求02AD- 表示 17172 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 出Cm=4B+BD+D=+2-F+-2】 1+21-F+V1-2r2)月 设 AC V1-t2 ∠BCF=∠BAC=∠CAD=a,求出a<45°，即∠BCF<45°，从而可得 sin 28CF< 2,结合题意可得 0<t< 2,即1-2>0，再结合二次根式的性质化简即可得出结果 【详解】(1)略 (2)①略： 解：CE⊥ABAB©0 ② 为的直径， :∠BFG=∠AFH=90°，BC=BE∠ACB=∠ADB=90 .BC=CD BC=CD-BE CD=BC .∠CBD=∠BCE=∠BAC=∠CAD. BF BC=, :sin∠BCF=BF :sin∠BAC=BC =1 AB 设BC=1则AB= t,BF=t' .AC=AB-BC7- t, 作CM⊥BD于M,则BD=2BM, 18172 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 H D B F E :sin∠CBD=CM」 BC t, ..CM=t, BM =BC2-CM=1- BD=2BM=2V1- .AD=AB2-BD2 V0-2r2月 C.-B+D-2) C.ABD =1 +2+-2 t 1+21-7+V-2r2 :.AC v1-2 v1-t2 设∠BCF=∠BAC=∠CAD=a,则∠CAD+∠CAB+∠ABD=90°， ∴.2a+∠ABD=90°， ∴.a<45°，即∠BCF<45°， sin∠BCF<V2 , 结合题意可 0st< 2, .1-22>0, 19172 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1+2-2+1-2r2 AC 1- 1+2tW1-t2+1-2t2 V1-t 21-r+1-2） 1-2 21-r(1-f+t 1-2 =2-F+ 【点睛】在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角为直角；相似三角形的对应 边成比例. 45.(1)50 (2)①如图，连接 D 0 B MO DC 由折叠性质得∠ACF=∠MCF .∠BAC=90°， .∠ABC+∠ACB=90°， :∠ABD=∠CBD GBC+ZGCB-(ARCLACB)-4 .∠DGC=∠GBC+∠GCB=45°， ,BC为⊙0的直径， .∠BDC=90° 20172 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :.△DGC为等腰直角三角形， .DG=DC, AD=AD ∠ACD=∠ABD. .∠ACD=∠DBC, 又：∠BDC=∠BDC, ∴.△DCE-△DBC, DE DC :DC DB 即DC2=DE·DB .DG2=DE.DB ②1F=va2+ab 理由： 如图，连接AM交FC于点K, G E B M 由折叠性质得∠CFA=∠CFM,AM⊥FC ,MF⊥AB .∴∠MHA=∠MHB=∠BAC=90° ∴.AC∥FM ∴.∠ACF=∠CFM .∠ACF=∠CFA AF=AC ∴.AF=AC 又OA为半径， 21172 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由垂径定理的推论得：OA⊥FC,KC=KF 又.AM⊥FC, .A、O、M三点共线 .AM=AO+OM=a+b MK=AK=IAM=a+b 2 2 ..KO=A0-AK=a-b 2 在RtACOK中，由勾股定理得：KC2+KO=CO 即Kc2=a2-(a-b) -KF 4 在Rt△AKF中，由勾股定理得：AF2=AK2+FK AF-(abo-(-bY-o-a 4 4 ..AF=Va+ab 【分析】(1)由圆周角定理以及直角三角形两锐角互余即可求解； (2)①如图，连接DC,通过证明△DCE一△DBC解决问题；②连接AM交FC于点K，先由垂径定理 以及折叠的性质证明A、O、M三点共线，然后用a,b的代数式表示AM,KO,再对Rt△COK和Rt△AKF 运用勾股定理求解即可. 【详解】(1)解：：BC为⊙0的直径， ∴.∠BAC=90°， :D是4C的中点， ∴.∠ABD=∠CBD, .∠ABD=20° .∠ABC=2∠ABD=40°， .∠ACB=90°-∠ABC=50°； (2)略 22172 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 46.1)证明：：0A=0C, B D 图1 .∠ACO=∠CAB=15°」 由翻折得，∠DC0=∠ACO=15°， .∠ACD=30° .∠AOD=2∠ACD=60°， OA=OD ∴△OAD是等边三角形， .AD=OA」 (2)证明：设∠CAB=a, 由(1)得∠ACD=2a, 由翻折得AC=DC, :∠CAD=∠CDA-180-,4CD-90°-a. 2 .∠BAD=∠CAD-∠CAB=90°-2a. BD :点E是DP的中点， :∠BAE=)∠BMD=450-& .∠CAE=∠CAB+∠BAE=45° 68 3)⊙0的直径为15 【分析】(1)由OA=OC得∠AC0=∠CAB=15°，由翻折得，∠DC0=∠AC0=15°，得∠ACD=30°，由 圆周角定理得∠AOD=2LACD=60°，由OA=OD可证明△OAD是等边三角形，从而可证明结论： (2)设∠CAB=&,得∠ACD=2a,由翻折得AC=DC,得∠CAD=∠CDA=90°-a,求出 23172 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠BMD=90°-20，由点E是BD的中点可得 ∠BAE=45°-a,从而可得出 CAE=45° ,故可得结论： (3)·延长BE,AD相交于点F,连接DE,设BE=x,解Rt△ABE,求得AE=4x,根据勾股定理得 D=27 AB=V7x,根据ASA证明△AEF≌△AEB,得出DE=EF=x;证明△FDEAFBA,求出 4v17 根据FD+AD=AF求出15，从而可求出AB. 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：如图2，延长BE,AD相交于点F,连接DE. D 图2 设BE=x, :AB是OO的直径， .∠AEB=90° .∠AEF=180°-∠AEB=90°， 在Rt△ABE中，tan∠BAE=BE=1 AE 4' ..AE=4x 由勾股定理得1B=VAE2+BE=V7x :点五是D的中点， .∠EAF=∠EAB,BE=DE. 24172 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AE=AE, △AEF≌△AEB(ASA) :EF=BE=x,∠ABE=∠FAF=AB=V7x .DE=EF=x ∴.∠EDF=∠F=∠ABE. .∠F=∠F, ∴.△FDEP△FBA. FD FE ·FBFA· FD x .2x17x :D=27 17x .FD+AD=AF, 2√17 x+4=V17x .17 417 解得=15 .4B=17x=68 5· 68 即⊙0的直径为15. 300+30π) 47.(1)公园步道的总长度为 米 (2)①如图所示， AF即为所求 25172 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B C◆ D F ②点M处不能接收到WiFi信号，理由如下： 如图所示，连接AE、BF,交点为R,过点R作RH LEF于点H,过点M作M0⊥RH于点O,交AF于 点P, B R G oh. M AB//EF,AB=EF, .四边形ABEF是平行四边形， 由题意可得，AF与AB是平滑连接， .AB⊥AF, ∴四边形ABEF是矩形， .AR=BR=ER=FR,且RH⊥EF, H为EF中点， RHIIAF, RH= :M在AF上，且AF为直径， ∠AMF=90°， .RHIIAF, MP⊥AF, .∠FPM=∠AMF=90°，且∠AFM=∠PFM, .△AFM∽aMFP AF FM ∴FMPF' 由题意可得， 26172 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AF=60+30+30=120,MF=72, 12072 .72PF 解得PF=216 5 288 在APFM中， 5 5 .RHIAF,MQ⊥RH. .MOIlHF ∴四边形QHFP是平行四边形，且LAFE=90°， 四边形QHFP是矩形， 20=r=F=60,2H=r216 , :g=M-Qh-号4r-Qh=-60-2g.QM=Pe+M=60 288588 55 在RtAROM中， RM=RO2+OM2 84)2 588 =84V2≈118.8>110 5 ∴.点M处不能接收到WiFi信号. 【分析】(I)总长度为AB、弧BC、CD、弧DE、EF的长度和，因为BC一=DE一，所以先利用弧 长公式计算单段弧长，再将各段长度相加： (2)①连接AF,作AF的垂直平分线，与AF的交点即为AF的圆心，再以该交点为圆心、交点到A的 距离为半径画弧即可； ②首先确定点R是A、B、E、F四点的外接圆圆心，通过作作垂线构造相似的直角三角形，利用对应变 成比例得到相应线段，将RM放在一个直角三角形中，利用勾股定理计算长度，和110比较大小 30 90° 【详解】(1)解： BC=DE BC ，且 所在圆的半径为米，所对的圆心角为 90° ∴BC的弧长=360° ×2m×30=15π米， :AB=EF=120米，CD=60米， 27172 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :公园步道的总长度AB+CD+EF+BC+DE=120+60+120+15+15=300+30x(米)， 答：公园步道的总长度为 00+30)米. (2)①略 ②略 48.(1)60° (2)4 V26 【分析】(I)根据直角三角形的性质得出EA=EB=EO,结合圆中半径处处相等证明△AOE为等边三角 形，即可解答； (2)如图，连接EC,证明△ACEAABC,即可解答； (3)作OD⊥AB于点D,根据垂径定理得出ED=DA,设ED=DA=n,OD=m,则AE=2n, B=2n+2,4O=m+根据5m=5e+5e=nm+号公+m)=4,得a+m=8,则 n+m=25①.正明。D0a40,得出40=4D:AB:即m-=2n②.由0g求出mg5, n2.在ADOB中，根据股定理求出B,OC,即可解容 【详解】(1)解：AO⊥BC, ∠AOB=90°， 又，点E为AB中点， .'EA=EB=EO, 在⊙0中，OA=OE, ∴.OA=OE=AE, ∴.△AOE为等边三角形， ∴.∠EOA=60° (2)解：如图，连接EC, 28172 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 E C B 由题可得A0⊥OC,OA=OC, a40c为等腰直角三角形，乙4C0=45,∠4BC=40C=45, :∠EAC=∠CAB,∠AEC=∠ACB, △ACE∽△ABC, :AE、AC ACAB· 即AE·AB=AC2=22=4」 (3)解：作OD⊥AB于点D, F D E B .OE=OA :ED=DA, 设D-01=”,0=网，测E=2n8-n+5 .A02=AD2+0D2=m2+n2, 1 S四边形ABOC=S。AOE+S。4Oc= 2nm+40=nm+松+m)=4, 2 整理得n+m}=8 .n+m=2W2 ①(n+m>0、 ), .∠DAO=∠OAB,∠ADO=∠AOB, .△ADO∽△AOB. 29172 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :D40 AOAB· .AO2=AD.AB. 即n+m2=n(2n+2)】 :m-m=2n@ 由①②解得：m 62,n 4 :D0=名2，AD=D6=n= 2 5 5 :BD=n+V2=95 B0=VD02+DB2=, 在RtADOB中， g+学-.00=r+m-子6】 ..BC=BO+OC=26 49.(I)证明：如图，过点B作直径BH,连接AH、BE, H 0 B D E .PB2=PA-PE ÷PBPE PA PB, 又：∠BPE=∠APB, ∴.△PBE∽△PAB, .∠PBE=∠PAB, :BH是⊙O的直径， .∠BAH=90°， 30172 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.∠BAP+∠EAH=90°. ,∠PBE=∠PAB,∠EBH=∠EAH, ∠PBE+∠EBH=90°， .∠HBP=90°， .HB⊥BP, 又：BH是OO的直径， .BP是OO的切线. ②)12-3w5,i39-5 【分析】(1)过点B作直径BH,连接AH、BE,由等式变形证△PBE∽△PAB,得到等角，根据直径所 对圆周角为直角，等量代换推出半径与BP垂直，证得切线； (2)(i)在△DFC中解直角三角形求出DF,套用夹角面积公式算出DG,通过角度换算得到 ∠BDG=45°，求出△BDG的高，结合BD长度直接计算面积；(ii)过点D作DO1AC,垂足为Q,连接 GO 0D、D0,结合DG-DF=18 ∠DG0=90° G DO ，先算出、 证三角形相似，推出 确定点在以为直径 的圆上，利用定点到圆心距离减半径，求出BG最小值， 【详解】(1)略 (2)(i)解：如图，分别过点D、G作DM⊥AC、GN⊥BD,垂足分别为M、N, D 在等边 中， E △ABC∠C=60° DC=3V3 ·DM=DC-sin600= 2, :∠DFC=45°， .DF=V2DM-9 2， 31172 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 95 ∠FDG=60°，且SArG= 2, ∴△FGD中DG边上的高为DF·sin60°， 95 )DG:DF-sin60°= 2, DG·DF=18, DG=22, :∠CDF=180°-LDFC-∠C=75, .∠BDG=180°-∠CDF-∠FDG=45°， .GW=DG.sin45°=2， .BC=AB=12, :BD=BC-CD=12-33 Sa%=56D-GN=12-3V5 2 (i)解：如图，过点D作D0⊥AC,垂足为P,连接G0, B 过点， E .AB=AC OB=OC AP O 2CD-3C1B=30,cm-c=6, .∠ADQ=90°-∠CAD=60°AD=6N3 ..OD=23 DO=CD.sin60=3V3 .OD·DQ=18 'DG·DF=18, :.DG.DF =OD.DO, 32172 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DG DO DO DF, :∠FDG=60° ∴.∠GDO=∠GDF-∠ODF=∠ADQ-∠ODF=∠QDF」 .△GDO∽△ODF, ∴.∠DGO=∠DQF=90° ∴.点G在以DO为直径的圆上， 取OD的中点I,连接BI、GI, GI=DI-1DO- 9,BD=CD=6, ..BI=BD2+D12=39 ∴BG2BI-G1=V39-√5 ∴BG 39-5 的最小值为 50.(1)60° 2)0Dw=35 5;②当0°<∠A0C<45°时， DG=2-1DP 2 ；当45°<∠A0C<60°时， DG-2+1DP 【分析】(1)利用点A和点D关于OC对称的性质，得到两个相等的角∠AOC=∠COD,进而求出 LBOD的度数，结合OD=OB,得∠COD=∠AOC=60°，得到∠ABD的度数： (2)①连接1D交C0 于点天注接OW,E,在R△405，末1Ee1055 在 FN-FE-OF-AF- 2,AN-2AF=V5.得四边形AONE为矩形.证明OC为AD的垂直平分线，可 AD-45 证明∠ADN=∠OKA=90°，Rt△AOK中，求出 4k=25 5, 5.Rt△AWD中，由勾股定理得 Dw=35 5 33172 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ②连接BD,当0°<∠A0C<45°时，点P在点D右侧，当45°<∠A0C<60°时，点P在点D左侧，两种情 况讨论：当0°<∠AOC<45°时，点P在点D右侧，证明四边形OBDM为平行四边形，设DP=m, AO FO 2a 1 OF=EF=AF=a,证明△AOF∽△PMF得PMM,即m+2FM,FM=a+m, 2 22a ME=FBM-EF=支m,证 △OEA∽△MBG· 9品，6Mm,求得0c=2-0P.当 GM EM 2 45°<∠A0C<60时，点P在点D左侧，同理可得DG=2+)DP】 2 【详解】(1)解：连接AD, C :AB为半圆O的直径，点A关于OC对称点为点D,∠AOC=60°， :.OC为AD的垂直平分线， ..OA=OD 点D在半圆O上. .∠COD=∠A0C=60°， ∴.∠A0D=∠A0C+∠COD=120°， :∠ABD-;∠A0D=60e (2)解：，1与半圆O相切于点A, .∠EA0=90° :AB为半圆O直径，AB=4, .OA=OB=r=2」 :F为Rt△AOE斜边OE中点， .FE=OF=AF =OE ∴.∠FAO=∠FOA=x」 ①连接AD交CO于点K,连接ON,EN, 34172 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在Rt△AOE中， tan∠AoC=AE_1 A02: :.AE=10E=V5 FN-FE-OF-AF-5 ,AN=2AF=5 ∴四边形AONE为平行四边形， 又AN=OE .四边形AONE为矩形. :点A关于OC对称点为点D, .OC为AD的垂直平分线， ·∠0K4=90°， AK=DK=1 又，FN=AF, FK∥DN, .∠ADN=∠OKA=90° RiAOK中，tan∠AOK=K-1 OK2·OA=2, :K26 5, :046 5. Rt△AND中，∠ADN=90°， .AD2+DN2=AN2, 35172 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :DW=35 5. ②连接BD, E AMP D G A P与D不重合， .∠A0C≠45°. :点D在半圆O上，∠AOC=∠COD=x, ∴·∠AOD=2x' ∠ABD=∠A0D=x, 2 .∠ABD=∠AOC=x, .BD∥OC. (I)当0°<∠AOC<45°时，点P在点D右侧，如图， M--- D E A .∠AOD=2x, R.∠APD=∠AOD=D .∠APD=∠FAO=x. .AB∥PM. 又BD∥OC, ∴.四边形OBDM为平行四边形，∠PMF=∠FOA=x, .DM=OB=2」 设DP=m,OF=EF=AF=a, .PM PD+DM=m+2. 36172 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠FAO=∠APD,∠FOA=∠PMF, .△AOF∽△PMF AO FO 2 a PMFM,即m+2FM, 1 FM-a+zam, .ME=FM-EF =10 am ,∠FOA=∠PMF,∠OEA=∠MEG. .△OEA∽△MEG. 22a .40EO 即GM1 GM EM 1 GM=。m 2 :DG=DM-GM=2-1n m, :.DG=2-IDP 2 (Ⅱ)当45°<∠A0C<60°时，点P在点D左侧， E ☑ D B :∠APD=180°-∠B=180°-x, .∠PAB+∠APD=180°. .AB∥PD ∴.四边形OBDM为平行四边形，∠PMF=∠FOA=x, .DM =OB=2. 设DP=m,OF=EF=AF=a, 37172 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :'PM DM-PD=2-m :∠FAO=∠FPM,∠AFO=∠PFM, .△AOF∽△PMF AO FO 2 a ∴PMFM,即2-mFM, 0 1 :FM=a- :.ME=EF-FM -7am 1 :∠PMF=∠EMG ∴.∠FOA=∠EMG,∠OEA=∠OEA, .△OEAn△MEG, 22a :A0-E0 即GM1 GM EM 1 GM-m, 1 .DG=DM+GM=2+ DG=2+DP 51,()证明：连接OB,取BC的中点N,连接AW, .AB=AC. .∠BAN=∠CAN,AN⊥BC AN BC ,直线是线段的垂直平分线， ∠ABN=∠ACN, A 是三边垂直平分线的交点， B 0 ∴O在AN上， 38172 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠BAO=∠CAO,AO=BO ∴.∠BAO+∠ABN=90°」 根据对称性质，得∠ABD=∠ABN, .∠ABD+∠ABO=∠ABN+∠ABO=∠ABN+∠BAO=90°， .BD为⊙O的切线。 (2)证明：连接OA,OB,OC,OE,DC. 根据折叠的性质，得AD=AC, AB=AC, .AD=AC=AB」 ∴，∠ADB=∠ABD=∠ABC=∠ACB 设DO⊥AC于点M,根据垂径定理，得AM=MC, 故直线DM是线段AC的垂直平分线， :AD=CD, .AD=CD=AC, aADC是等边三角形， .∠ADC=∠ACD=∠DAC=60° 根据题意，得AB⊥CD,DO⊥AC, ∴∠DAB=∠CAB=)∠DAC=30,∠ADM=∠CDM=∠ADC=30 2 ∠B0C=2∠BAC=60,∠ADB=∠ABD=∠ABC=乙ACB-180°，∠B1C_180P-,∠D1B-75 2 2 ..OB=OC, △OBC是等边三角形，∠DBC=∠ABD+∠ABC=I50°， ∴.∠OBC=∠OCB=60° ·OB=OC=BC, 根据折叠的性质，得BD=BC, ..OB=OC=BC=BD=OA=OE ∠BDc=∠BCD-180°，150=15. 2 .∠ODB=∠ODC+∠BDC=45°」 39172 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 L0BD=90°， .∠D0B=45°， ∴.∠DOB=∠ODB. ..OB=DB, .DO=√OB2+BD2=√2DB 根据题意，得∠AB0=∠AC0=75°-60°=15°， .OA=OB=OC. ∠ABO=∠BAO=∠ACO=∠CAO=15° .∠EAO=∠DAB+∠BAO=45°， OA=OE, .∠AE0=45°」 ∠AOE=90°， .AE=VOE2+OA2=√20A ·AE=V2BD 5-1 3)4 【分析】(I)连接OB,取BC的中点N,连接AN,根据等腰三角形的性质，对称性质，切线的判定证 明即可； (2)连接OA,OB,OC,OE,DC,设D0⊥AC于点M,故直线DM是线段AC的垂直平分线，证明△ADC 是等边三角形，△OBC是等边三角形，再根据对称性质，等腰直角三角形的性质，利用勾股定理证明即可. (3)取BC的中点K,连接AK,连接BE,证明△BDE∽△ADB,设AE=BE=BD=BC=x,得到 DE+0E-r=0,AB=5 2,根据余弦函数的定义计算即可. 40172 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：取BC的中点K,连接AK, .AB=AC. ∴.∠BAK=∠CAK,AK⊥BC ，直线水 BC “是线段的垂直平分线， 是三边垂直平分线的交点， K C .…0 O在AK上， :.BK=BC 根据对称性质，得BD=BC, AE=BD, :AE=BD=BC, 连接BE, ∴.∠BAC=∠ABE 根据对称性质，得∠BAC=∠BAD, .∠BAD=∠ABE, :AE =BE, .AE=BE=BD=BC, ∴，∠BDE=∠BED :四边形AEBC是⊙O的内接四边形， ∴.∠ACB=∠BED. AC=AB .∠ACB=∠ABC .∠BED=∠ABC, 根据对称性质，得∠ABD=∠ABC, ,∠BED=∠ABD, 41172 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠BDE=∠ADB, .△BDEP△ADB, BD DE :AD DB 设AE=BE=BD=BC=x, xDE x+DEx’ 整理，得DE2+xDE-x2=0 解狗D6y生5 2 2 5—x军—之— 2,不符合要求，舍去， .AD-AE+DE-5-x5x 2 2, AB=5+ -x 2 1 2 1 Cos∠ABC=BK= 1V5-1 ABV5+1V5+14· 2 52.(1)证明： BC=BC .∠BAC=∠BDC, ,AC是⊙0的直径， .∠ABC=∠ADC=90°， 即∠BAC+∠ACB=90°， :.∠BDC+∠ACB=90°， .∠DCE=90°-∠ACB, 42172 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠DCE+∠ACB=90°， .∠DCE=∠BDC=∠BAC, .∠BEC=∠DCE+∠BDC=2∠BAC: (2)证明：，∠DBC=2∠CAB, .∠APD=∠CAB+∠ABP =∠CAB+90°-∠DBC =∠CAB+90°-2∠CAB =90°-∠CAB .∠ADP=∠ADC-∠BDC =90°-∠CAB, ∴.∠ADP=∠APD, .AD=AP: (3)4 【分析】(1)由同弧所对的圆周角相等及三角形外角的性质即可证明： (2)证明∠ADP=∠APD即可； 3)由题点得∠BAC=∠EGF,FG=0EF,设∠BMC=a,则2EGF=∠BDC=∠DCE=a,作 GN11C于点N在1上取点M使得∠CMC=∠4PD,则易得△GMEFP GM=10 ,由比例式得 FM=V1OEP,在BIGMN中，由am∠GMC==3,求得MN,GN,过C作COL BD于点O,过B 作BH⊥PC于点H,设CH=a,则PC=2a,则可表示出BH,求出BC.BP.CO.BE及tan2a的值， 在Rt△AGN中由三角函数关系求得AW、AM,进而得AP=4+6a,再由AB=3BC,求得AB、AC,利用 AF+FP+PC=AC建立方程求出a的值，即可求得PC的长. 【详解】(1)略： (2)略： (3)解：：AB=3BC,EG=3EF, AB_EG=3、 ∴.BCEF 43172 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ÷tan∠BAC=tan∠EGF-EF-l EG3 :.∠BAC=∠EGF,FG=VEG+EF2=VOEF 设∠BAC=a,则∠EGF=∠BDC=∠DCE=a, 如图3，作GN⊥AC于点N,在AF上取点M,使得∠GMC=∠APD, ,∠GFE+∠GFM=∠APD+∠PEF,∠APD=∠ADP=∠ACB, .∠GFM=∠PEF, .△FGM∽△EFP, .GM=FG=10=FM .FP EF EP GM=10FP=10 FM=10EP :tan∠GMC=tan∠APD=tan∠GfE=GE=3. EF 在R△GMN中，m∠GC=八-3. MN 即GN=3MN. 由勾股定理得： (3MN)+MW2=GM2=10 解得MN=l, .GN=3, 过C作CQ⊥BD于点Q,过B作BH⊥PC于点H, .∠ADP=∠APD=∠BPC=∠ACB, .'BC=BP, :CH=PH=)PC,∠CBH=∠DBC :∠DBC=2∠CAB,由(1)有∠BEC=2∠CAB, .∠DBC=∠BEC=2a, HZDBC=a,B( .BE=2BO 44172 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设CH=a,则PC=2a, ,…tana= CH 1 BH 3 .BH=3a,BP=BC=CH2+BH=10a S.wcr-3BP.CQ-1PC.BH, 2 :c03i0 5, Be-Bc-Co:_4/10a 5, :加0c=m2a-0-},6=2B0-8 5, EP=BE-BP=30a 5, FM-JOEP-6a .∠DAC=∠DBC=2a, 在RtGAN中，an2a=GN-3 AN4· AN=GN=4,AM=AN-MN=32 .AP=AM+FM+FP=4+6a. ·1B=3BC=3V10a 4AC=VB+BC=10a ..AP+PC=AC, ∴.4+6a+2a=10a, 解得a=2, .PC=2a=4 45172 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 图3 53.1)40° (2)①证明：设∠AB0=a&, :BO平分∠ABC .∠ABO=∠OBC=a, .∠EBC=2a, .OB=OA, .∠BAO=∠ABO=C, :CE⊥AB. .∠AFE=90°-a=∠DFC,∠BCE=90°-2a, ∠BCD=∠BAD=a., ∴.∠DCF=∠BCD+∠BCE=a+90°-2a=90°-a, .∠DCF=∠DFC: ②DG的最小值为1 【分析】(1)根据圆周角定理以及直角三角形的性质求解即可： (2)①设∠ABO=a,则LEBC=2a,证明∠DFC=∠DCF=90°-a即可：②证明△BOG∽aCDG,得 BO OG DC=DG,设0G=x'DG=y,则OF=x+1,DC=DF=y+2x+1,B0=D0=x+y,代入比例式得 x+y y中2x+1少，整理得，2=2x2+x,求得x之2，根据二次函数的性质得2=1从而得出y的最小值为 1,即DG的最小值为1 【详解】(I)解：AD为直径， .∠ACD=90°， ,∠DAC=50°， 46172 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠ADC=90°-∠DAC=40°： (2)②解：由①得，∠DCF=∠DFC .DF=CD. :∠BAD=∠ABO=∠OBC,∠BAD=∠BCD, .∠OBC=∠BCD, .OB∥CD .△BOGACDG, BO OG DC DG OG=x,DG=y,OF=x+1,DC=DF=y+2x+1,BO=DO=x+y, x+y x “y+2x+1y 121 整理得少=2+x=2x+-8, .FG=2x+1≥2， 1 ≥ 2， “2>0,对称轴为直线x=} 4, 当 二2，y随着x的增大而减小， 1 “当x=2时，yn=1, 又y>0, .y的最小值为1，即DG的最小值为1. 54.(1)45° (2)证明：①：EF2=OE·CE, EF CE .OE EF ,∠OEF=∠CEF, 47172 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .△EOF∽△EFC, .∠EOF=∠EFC, ∴∠COF=∠EFD」 :∠BAC=∠ACD+∠CEF,∠EFD=∠ACD+∠CEF, ∴.∠BAC=∠EFD ∴.∠COF=∠BAC 9 ②⊙0的半径为5 【分析】（证明∠ADC=90°，结合B是1C的中点，进一步可得答案； (2)①证明△EOFAEFC,可得∠COF=∠EFD,证明LBAC=∠EFD,进一步可得∠COF=∠BAC. ②如图，过E作K1CD于K,结合os4CD-C2=C乐 AC6CE,设CD=5m,CK=5n'DK=a,则 7 25m AC=6m'CE=6n,证明ACOF∽aCDE,可得：a=5”,求解”=32，进一步结合勾股定理与相似三 角形可得答案 【详解】(1)解：，AC为⊙0的直径， .∠ADC=90°， B是C的中点。 :∠ADB=∠BDC=∠ADC=45 2 (2)证明：①略 ②如图，过E作EK⊥CD于K, :AC为⊙0的直径， ∴.∠ABC=∠ADC=90°， 5 COS∠ABD= 6,∠ABD=∠ACD, .cos∠ACD=CD=5_CK AC 6 CE ∴.设CD=5m,CK=5n,DK=a,则AC=6m,CE=6n,CO=AO=3m, 48172 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B C 由①得：∠BAC=∠EFD=∠EDF=∠COF, ∴EF=ED, .FK=DK =a, .CF=5n-a, .LOCF=∠DCE, .△COFACDE, C℉C03m_3 CE CD 5m 5' 5n-a_3 .6n5' 7 解得：a=5”, 7 K=CD=CK+DK=5n45 32n=5m 5 ..n= 25m 32· 32-16.4B=6m7m2m :CE=6n=6×25m_75m 1616, :EK⊥CD ,EK=CE2-CK7=in DE=√EK2+Dk2三m2+52=18n=18x25w4 一X -m= =53216, .∠BAC=∠BDC,∠AEB=∠CED, ∴△AEBADEC, 49172 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 21 AB AE167 .CD DE 45 15, -m 16 AB 7 .5m15' :48=7 m, AB+AC=5, 7 3m+6m=5 3 解得：m 5, 18 AC=6m= 5 ·o0的半径为5 【点睛】压轴问关键是参数的使用，利用相似三角形的性质确定参数之间的关系是解题的突破口· 55.(1)证明见详解 (2)证明见详解 6)D的长为+店 【分析】(1)先通过圆周角定理和等边对等角可得∠ADC=∠ABC=45°，结合同弧和等弧所对的圆周角 相等，可得∠ADC=∠DAH=45°，进而证明即可； (②)连接40,0H,0D,通过证明△10H≌aD0H(SS),即可证明点O在∠AHD的平分线上， (3)连接 0,D0,设410与BC的交点为G,利 AH2+DH2+CH2+0H2=AD2+CO2=32 ,得到 4H+CH+DH+0r=4C+D0=32,再由（的结论可得4C=D0-=16 证明 RtAAHCS≌RtADHO(HL ,得出CH=H ,进而求出圆的直径和CD的长度，利用圆周角定理，结合己知 条件得出sin∠GCH=GH_1 CG4,设GH=a,CG=4a,利用勾股定理列出方程求出a的值，从而得出最终结 50172 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 果 【详解】(1)证明：：⊙O是△ABC的外接圆，BC为直径，AB=AC, .∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°， .∠ADC=∠ABC=45°， 40-AC+OC=OD+0C-CD AC-OD :.∠ADC=∠DAH=45°， .∠AHD=90° .∠CHQ-∠AHD=90° (2)解：如图，连接A0,OH,OD, :∠ADC=∠DAH=45°， ∴.AH=HD 在△AOH和△DOH中， AO=OD OH=OH AH=DH' △AOH≌△DOH(SSS) ∴.∠AHO=∠DHO」 ∴.点O在∠AHD的平分线上. (3)解：如图，连接CQ,DO,设AQ与BC的交点为G, 51172 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 G A0⊥CDAD2+Cg2=32 AH2+DH2+CH2+OH2=AD2+CO2=32 +C+DOHACD:-32 由(1)知， AC=DO .4C=D0.即4C=D0=l6, 在RteAHC和R△DHO中， (AH=DH AC=DO, RtA AHCS≌Rt△DHQ(HL) :.CH=HO, :AB=AC,∠BAC=90°， .AC2=AB2=16, .BC=VAB+AC2=4 BD=BD ∴.∠BAD=∠BCD ·.sin∠BAD=sin/BCD=J 4, 在RtABDC BD=sin/BCD.BC= 中， 52172 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 CD=BC2-BD =30 在Rt△CGH中，∠CHG=90°， sin∠GcH=GH-1 CG-4, 设GH=a,CG=4a, :CH=VCG?-GH =15a DH=CD-CH-0-a .AH=DH, 在Rt△AHC中，AH2+CH2=AC2, (3o-5aj+(i5a}=16 2√30 解得：4 230, 230(舍去)， :4H=DM=30-i5a=v30-V5×yE3）- 2+V30 230 2, AD=VAH+DH=1+5 56.a)22 ②)证明：延长EM至点F,使得MF=ME,连接AF,DF,CF,如下图， E M DA 53172 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ,将AM绕点M逆时针旋转90°至EM, .AM=EM,∠AME=90° .∠AEM=∠EAM=45,AM L EF, 又MF=ME, .AM是EF的垂直平分线， .AE=AF, .∠AEM=∠AFM=45°， ∴△EAF为等腰直角三角形，∠EAF=90°， .∠BAC=90°， .∠EAB=∠FAC, 在△EAB和△FAC中， AE=AF ∠EAB=FAC AB=AC △EAB≌△FAC(SAS) .FC=EB,∠AFC=∠AEB=45°+∠BEM, 在△EMB和△FMD中， MB=MD ∠BME=∠DMF EM=FM △EMB≌△FMD(SAS) :.FD=EB=FC,∠BEM=∠MFD=∠AFE-∠DFA=45°-∠DFA, ∴.∠DFA=45°-∠MFD. ∴∠CFD=∠DFA+∠AFC=45°-∠MFD+45°+∠BEM=90°， ∴.△DFC为等腰直角三角形，∠DFC=90°， ,CD=√2FC=√2BE 6)55 【分析】(I)首先利用三角函数解得BD=2AD,在Rt△ABD中由勾股定理解得AD,BD的长度，然后 54172 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由1M=VAD2+DM 求解即可； (2)延长EM至点F,使得MF=ME,连接AF,DF,CF,证明△EAF为等腰直角三角形，进一步证明 △EAB≌△FAC,△EMB≌△FMD,结合全等三角形的性质证明△DFC为等腰直角三角形，进一步证明结 论即可： (3)过点B作BO∥AC,过点C作CO⊥B0于点Q,易得四边形ABC为正方形，以点Q为圆心，QC 为半径画圆，当点D在劣酒BC上时，此时∠BDC=135°，且点D在以Q为圆心， QC 为半径的圆的劣弧 BC BO OM,OD BO 上运动；取”的中点O,连接 ，点M的轨迹为以的中点O为圆心， OB 为半径的一段弧， 当且仅当A,O,M三点共线时，AM取得最小值；过点M作MH⊥AB于点H,过点D作DK⊥AB于点K, 结合三角函数和勾股定理计算AM,HM的值，证明△BMH∽aBDK,结合相似三角形的性质可得 DK =2HM=25-2 结合翻折的性质即正方形的性质证明△BPO≌aBPG, BO=BG=5 进而可得 ,可 AG=5 求得 然后根据三角形面积公式求解即可. 【详解】1)解，：∠ADB=90:am∠4BD- 2, ·an∠ABD=D、1 BD 2 .BD =2AD, 4B=AC=25 .AB=AD2+BD2=AD2+(2AD}=5AD2=(25)=20 ∴.AD=4,解得AD=2(负值舍去)， ∴.BD=2AD=4, ,点M为线段BD的中点， :DM=)BD=2, 2 55172 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AM-VAD+DM-2 (2)略 (3)如图，过点B作B0∥AC,过点C作CQ⊥BO于点Q, B 则∠BQC=∠QCA=∠BAC=90° 四边形ABQC为矩形， 又AB=AC, ∴.四边形ABQC为正方形， BO=OC=AB=AC=25 OC BC 以点Q为圆心， 为半径画圆，当点D在劣弧 上时， t时∠B0c=660-∠B0c)=13s. oc BC ∴点D在以Q为圆心， 为半径的圆的劣弧心上运动， 如上图所示， B的中点O,连接 M,OD ,则0D=c=25 ,点M为BD上的中点， .OM为△BOD的中位线， 56172 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :.oM-0D=5, :.点M的轨迹为以BQ的中点O为圆心，OB为半径的一段弧， 当且仅当A,O,M三点共线时，AM取得最小值， 如下图所示，过点M作MH⊥AB于点H,过点D作DK⊥AB于点K, P B 此时tan∠BAM=OB_=2f 1 ABAB .OB=0M=V5,AB=25 .OA=VAB2+OB=5 :1M=0A-OM=5-5 在RaAN中，am∠AM-W-t/BAM HA 2'HM2+HA2=AM2, .'HA=2HM, :HM2+(2M=5-5, M=5-1 .MH⊥AB,DK⊥AB .MH II DK, ∴.△BMH△BDK, MH BM 1 ·DK=BD2' 57172 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :DK=2HM=2W5-2 ,将△BNP沿BN翻折至△ABC所在平面内得到△BNP',直线NP'与AB交于点G, :.BP=BP',∠BPO=∠BP'G,∠PBN=∠P'BN. 又：四边形ABQC为正方形， .∠QBN=∠ABN=45o :∠PBN-∠QBN=∠P'BN-∠ABN,即∠PBO=∠P'BG, △BPO≌△BP'G(ASA) BO=BG=5 :4G=AB-BG=25-5=5 ÷Sc4G-DK=2x5x5-2=5-5】 【点睛】熟练掌握相关知识，正确地作出辅助线，得到点M的轨迹是解题的关键， 57.(1) 证明：OC=OB .∠OCB=∠B. :AB是OO的直径， ∠ACB=90°， .∠CAB+∠B=90°， :AM是⊙O的切线， ,∠DAB=90°， .∠DAC+∠CAB=90°， .∠B=∠DAC, .∠DAC=∠OCB: (2)∠B=30° 8m240-号 【分析】(1)由OC=OB,可得∠OCB=∠B,又根据切线的性质及圆周角定理可得∠B=∠DAC,进而 得到LDAC=∠OCB: 58172 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)设LB=a,利用相似三角形的判定得到△ACD∽aBOC,继而可得∠CDA+∠DOA=90°，求解即可： (3)通过论证△ACD∽aBOC,△EAC∽aABC可得AD=AB=2OA,进而计算an∠AD0的值即可. 【详解】(1)略 (2)解：设∠B=a, 由(I)得∠DAC=∠OCB=∠B=a, :AC、AD OBBC· ∴.△ACD∽△BOC, ∴.∠CDA=∠OCB=a. ∴.∠DOA=∠B+∠OCB=2a 由(1)得∠DAB=90°， ∴.∠CDA+∠DOA=90°， .a+2a=90°， .a=30°， 即∠B=30°； (3)解：由(1)得∠DAC=∠OCB, ∠DCE=∠OCB .∠DAC=∠DCE 又∠ADC=∠CDE, ,△DAC∽△DCE, CD EC AD AC 由(1)得∠EAC=∠B, ∠ECA=∠ACB=90°， △EAC∽△ABC, EC AE ACAB· CD AE ADAB· CD=AE, .AD=AB=20A. 59172 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ian∠AD0=OA_1 AD2· 58.1) 证明：延长AC到点M,如图 0 D E :AE是∠BAC的平分线，F是AE延长线上一点， 点F到AB,AC所在直线的距离相等， .∠ACF+∠BCF=180°，∠ACF+∠MCF=180°， .∠BCF=∠MCF, ∴点F到BC,AC所在直线的距离相等， “点F到三边AB,BC,AC所在直线的距离相等： (2) 证明：过点F,作FN⊥AB的延长线于点N,如图 60172 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0 B D E .∠N=90°， ,AE是∠BAC的平分线， .∠EAB=∠EAC. :脏=G :AE是⊙O的直径， .∠ABE=90°，AE⊥BC, 又：点F到三边AB,BC,AC所在直线的距离相等； .FN=DF,∠ABE=∠N=90°， .∠BAE=∠NAF, ,△BAEr△NAF, BE AE NF AF' BE AE 即DFAF, DF BE .AF AE 3) 解：AB+AC=2BC,理由如下： 如图，连接BE、CE,过点F作FM⊥AB的延长线于点M,作FP⊥BC于点P,作FN⊥AC的延长线于 点N, 61172 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0 B E CN M 由I)可知，FM=FP=FN,∠FMB=∠FPB=∠FPC=∠FNC=90°， .BF=BF,FC=FC, ∴.Rt△FMB≌Rt△FPB(HL),Rt△FPC≌Rt△FNC(HL), ∴.∠MBF=∠PBF,∠PCF=∠NCF, :∠BAE=∠CAE,∠BAE=∠BCE,∠CAE=∠CBE, .·.∠BAE=∠CAE=∠BCE=∠CBE ∠MBF=∠BAE+∠BFA,∠PBF=∠CBE+∠EBF, ∴.∠BFA=∠EBF, .BE=EF. BE=CE .CE=EF,即BE=CE=EF, :∠BED=∠AEB,∠CED=∠AEC,∠BAE=∠CAE=∠BCE=∠CBE, △BED∽AAEB,△CEDP△AEC, BE BD CD CE AE AB AC AE, BD=EF=1 CD=EF=1 即AB2EF2,AC2EF2, .AB=2BD.AC=2CD. ..AB+AC=2(BD+CD)=2BC 【分析】(1)延长AC到点M,先推导出点F到AB,AC所在直线的距离相等，∠BCF=∠MCF,得到点 62172 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 F到BC,AC所在直线的距离相等，即可解答； (2)过点R,作FN LAB。 BE=C 的延长线于点N,先推导出 E,得到∠ABE=90°，AE⊥BC,FN=DF BE AE BE AE DF BE 继而推导出BAEP6NAF,得到NF=AF,则DF=AF,即可推导出AF=AE: (3)连接BE、CE,过点F作FMLAB的延长线于点M,作FP⊥BC于点P,作FN⊥AC的延长线于点 N,推导出RtFMB≌Rt△FPB(HL),RtAFPCS≌RtFNC(HL),继而推导出∠BFA=∠EBF,得到 BE BD CD CE BE=CE=EF,证明出BED6AEB'△CED∽AAEC,得到AEAB,AC=AE,推导出AB=2BD: AC=2CD,则 AB+AC=2(BD+CD)=2BC 【详解】(1)略 (2)略 (3)略 59.(1) 证明：：点O,P关于CF对称， .CF⊥QP: 又CF∥BD, .OP⊥BD: (2)22.5 V2-1 3)2 【分析】(1)因为点O,P关于CF对称，所以CF⊥QP;又因为CF∥BD,所以根据平行线的传递性， 可推出OP⊥BD, (2)连接CP,OD,延长DP⊥AB并交于点M,延长OP交BD于点N,可先利用AAS全等判定方法证 明△COH≌aOBN,则有HO=NB,进而得到PO=DB,同理可证得△OPM≌aDBM,则有 MO=DM，可得到△OMD是等腰直角三角形，∠DOM=45°，最后可根据 ∠DAO+∠ADO=2∠DAO=∠DOB,得到∠BAD的度数. 63172 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 DP (3)设半圆O的半径为R,则AB=2R,要找AB的最小值，即找DP的最小值：将AOBD绕点O逆时针 旋转90°得到△OCD,连接OD,CD',以OD,OD'为邻边作正方形ODQD'.可证得DP=CO,所以当 O、C、Q共线时可求出CQ的最小值，最终可获解. 【详解】(1)略 (2)解：如图，连接CP,OD,延长DP⊥AB并交于点M,延长OP交BD于点N, C E B 由(I)知OP⊥BD,CF⊥OP, .∠ONB=∠CHO=90° :.∠COH+∠NOB=∠NBO+∠NOB=90°. .∠COH=∠NBO. 又CO=OB ACOH≌AOBN(AAS) .HO=NB .OP⊥BD,DO=OB .2HO=2NB,即PO=DB, 同理可证 OPM≌ADBM(AAS) ..MO=DM 又.DM⊥OB. :.△OMD是等腰直角三角形， .∠D0M=45°， .AO=DO. .∠DAO=∠AD0 .∠DAO+∠ADO=2∠DAO=∠DOB, 64172 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠BAD= 1 ∠D0B=22.5° 2 (3)解：设半圆O的半径为R, 如图，将aOBD绕点O逆时针旋转90°得到△OCD',连接OD,CD',以OD,OD'为邻边作正方形ODQD' D D M B D'在O0上，OD'=OD=R,∠DOD=90°，且CD'=BD,CD'⊥BD. .OP=BD,OP⊥BD, .OPI‖CD'且OP=CD ∴.四边形OD'CP是平行四边形. ,正方形ODOD', ,OD=OD'=DQ=QD'=RO0=√2R∠D00=45° ,且 在平行四边形OD'CP中，CP‖OD'且CP=OD'=R. 在正方形ODQD'中，DOI‖OD且D0=OD'=R. CP∥DgCP=Dg 且 .四边形CQDP是平行四边形， .DP=CQ」 √2R .在以为圆心、 为半径的圆弧上运动， 当O,C,0共线且C在0,0之间，此时C=O0-0C=v2R-R=(V2-)R ÷DP的最小值为5-)R,而AB=2R, DP (N2-1R2-1 ·AB的最小值为2R 2 60.1) 证明：如图1，连接EQ, 65172 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 O. T 图1 .∠A0E=∠C00=90° :.∠AOE+∠D00=∠COQ+∠DO0. .∠AOQ=∠EOC. .OA=OE,00=0C ,△AOQ≌△EOC(SAS) .40=EC :0=C :A0-0=Ec-o :6-c0 :.∠AQE=∠CE0. :.OT=ET, ..AO-OT EC-ET .AT=CT; 2) 证明：如图2，连接OS, 2 S 图2 66172 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A不=EO :不+S2=0+S宠 :AB=0 ∠A0E=∠S00=90° .∠C00+∠S00=180°， 点COS三点共线， .CS是⊙0的直径， .∠CWS=90° CW⊥SW: 60m04=2-5,mf的K为25 【分折】小连接E0,先证明△10Q2,B0C(4S),所以4Q=C,则0=C,所以正=0，由园 周角定理得∠AQE=∠CE0,然后通过等角对等边得QT=ET,再通过线段的和与差即可求证： (2)连接05，由不=D,则否+死=0+死，所y正=0，得∠C00+∠S00=180 则点 C、O、S三点共线，所以CS是⊙O的直径，故有∠CWS=90°，从而得CW⊥SW; (3)①先证明点C01=点共线，1C是O0的直径，设M=a,则CM=20.CE=V5a 进而求出 AE-CE=a,AM=AE-ME=(3-1)a BM=2AM=(23-2)a BE-BM-ME-(23-3)a 证明△MEF≌CE8(4S4)得EF=EB=(25-0,然后根据正切定义求解即可； ②如图3-1，设OE与CM交于点L,连接AL,BL,过K作KP⊥AC于点P,则LCPK=∠BLC=90°， 点COA三点共线，得AM=LM,如图3-2，取BM中点X,连接LX,证明△MLX是等边三角形， 所以MX=M=LX=Bx,证明△OCH≌aDCK(S4),又∠HCF=∠FDH=30°，则点C、D、R、H四，点 共圆，设OP-,则OK=2x,则PK=5x,CK=6x,通过勾服定理可得GF=V2FH=2x,由 67172 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ScSm=(S.a+S.au)(S,m+5.am）=S.ax-Scm,然后f代入求出=5，则GF=25 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：①：当O卫与0E重合时，则∠A0E+∠C00=180° 点COA三点共线， .AC是⊙0的直径， ∴.∠AEC=90° :∠CMB=60°、 .∠MCE=30°， 设ME=a,则CM=2a,CE=V5a :∠AOE=∠COE=90°，AO=E0=C0, .∠CAE=∠OEA=∠ACE=∠OEC=45°， AE=CE=a AM=AE-ME=(3-1)a :BM=2AM=(25-20 .BE-BM-ME-(213-3)a DEDE, .∠EAF=∠BAE, :AE=CE,∠AEC=∠CEB=90 ,△AEF≌ACEB(ASA) .EF=EB=(25-1a 6an∠DAE-EF2W5-3a=2-3 ②如图3-1，设OE与CM交于点L,连接AL,BL,过K作KP⊥AC于点P,则∠CPK=90°， 68172 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D G E(⊙B 图3-1 当00与0E重合时，则∠40E+∠C00=180°， ∴.点C、OA三点共线， .AC是⊙O的直径，OE垂直平分AC, .∠ADC=∠AEC=90°，AL=CL. ∴.∠ACL=∠LAC, .∠AOE=∠COQ=90°，OA=OE=0C. ∴.∠CAE=∠AEO=∠ACE=∠OEC=45°， :∠CMB=∠CAE+∠ACM=60°，∠CMB+∠MCE=90°， .∠ACL=∠LAC=15°， ∴.∠LAM=∠CAE-∠CAL=45°-15°=30°， .∠CME=∠LAM+∠ALM=60°， .∠LAM=∠ALM=30°. .AM=LM, 如图3-2，取BM中点X,连接LX, 图3-2 .BM =2MX=2BX, .2AM=BM, ∴MX=ML, 69172 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠CMB=60°， .△MLX是等边三角形， ∴.MX=ML=LX=BX, 点B、M、L在以X为圆心，BM为直径的圆上， .∠BLM=90°=∠BLC, .∠MBL=∠LAB=30°， .AL=BL=CL “△CBL是等腰直角三角形， .∠LBC=∠LCB=45°， .∠BCE=∠LCB-∠MCE=45°-30°=15°=∠BAD=∠ACM, .∠CAD=∠CAE-∠BAD=45°-15°=30°， ∴∠ACD=60°， ..OC=OD .aOCD是等边三角形， .OC=CD=OD,∠COD=∠CDO=60°， △OCH≌aDCK(ASA) .CH=CK, ,∠CPK=90° .∠PCK=∠PKC=45°， .PK=CP. .∠HCF=∠FDH=30°， ∴点CD、F、H四点共圆， M B E(O) 图3-3 70172 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠ADC+∠CHF-180°， .∠CHF=∠GHF=90°， :∠CME=∠BAD+∠AGM=60°， ∴.∠AGM=45°， .∠FGH=∠AGM=45°， .∠FGH=∠HGF=45°， GH=FH, :∠OCD=60°，∠OPK=90°. .∠OKP=30°， 2.OP-TOK 设OP=x,则OK=2x, PK=VOK2-OP2=(2x)x=3x PC=PK=x CK=PC+PK-x)+)=6x CK=CH=6x 在RtACHF中，∠FCH=30°， :FH=CF,即cF=2H .CH2+FH2=CF2, )+FH-(2FH) FH=Vx GF-FH=2x S.com-S.k=(S.com+S.c)-(Smx+S.c)=S.cok-S.cm3- .OCx PK-CHFH-3- 71172 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (PC+OP)xPK-CHx3- 5x+小水5x-26x2x=3-5 (3-V3)x2=6-23 解得：术三V2 (负值已舍去)， GF=22 的长为22 .:G 72172 专题08 圆 5年真题1年模拟 考点分类 福建考情（2022-2026） 命题规律 考点01切线的性质定理与圆内接多边形 2026 福建中考 2025 福建中考 2024 福建中考 2023 福建中考 大多以选择题形式考查。命题素材包含切线模型、弧中点、割线、古代数学文化（割圆术）等。核心围绕切线性质、圆周角定理、垂径定理、弧弦圆心角关系展开，高频考点：切线垂直过切点半径、弧中点等分弧对应相等圆周角、直径所对圆周角为直角。整体难度偏低，侧重角度简单推导与基础计算；近四年常融入传统文化情境，切线 + 平行线组合模型出现频次很高。 圆的综合问题 2026 福建中考 2025 福建中考 2024 福建中考 2023 福建中考 2022 福建中考 固定作为几何综合压轴大题，分层多小问梯度设问。常以圆内接四边形、直径、切线、平行线为基础载体。核心围绕圆周角定理、切线性质、四点共圆、相似三角形、平行四边形判定、弧长计算综合考查；第 (1)(2) 小问以角度推导、平行 / 相似基础证明为主，第 (3) 小问结合线段比例、三角函数、解直角三角形求解线段比值、周长。试题综合性强，擅长嵌套多种几何模型；近五年稳定考查圆与四边形融合，侧重等量代换、构造相似，区分度高，对逻辑推理能力要求较高。 考点01 切线的性质定理与圆内接多边形 1．（2026·福建·中考真题）如图， 是 的直径， 是 的切线， 交 于点D．若，则的值是（     ） A． B． C． D． 2．（2025·福建·中考真题）如图，与相切于点A，的延长线交于点C．，且交于点B．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·福建·中考真题）如图，已知点在上，，直线与相切，切点为，且为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（2023·福建·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得的估计值为（　　） A． B． C．3 D． 考点02 圆的综合问题 1．（2026·福建·中考真题）如图，四边形 内接于， 是延长线上的一点，的延长线交于点，，． (1)求的度数； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)设交 于点，且，求的值． 2．（2025·福建·中考真题）如图，四边形ABCD内接于，AD，BC的延长线相交于点E，AC，BD相交于点F．G是AB上一点，GD交AC于点H，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的周长． 3．（2024·福建·中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点，，垂足为的延长线交于点． (1)求的值； (2)求证：； (3)求证：与互相平分． 4．（2023·福建·中考真题）如图，已知内接于的延长线交于点，交于点，交的切线于点，且． (1)求证：； (2)求证：平分． 5．（2022·福建·中考真题）如图，内接于⊙O，交⊙O于点D，交于点E，交⊙O于点F，连接． (1)求证：； (2)若⊙O的半径为3，，求的长（结果保留π）． 1．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，是的切线，为切点，连接，．若，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，是的弦，与相切于点B，圆心O在线段上．已知，则的大小为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·福建泉州·二模）如图1是以为直径的半圆形纸片，半径，． 若沿半径剪开，并将扇形沿向右平移至扇形的位置（如图2所示），设与的交点D，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·福建宁德·二模）如图，半圆的直径是，图中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·福建南平·二模）如图，是的切线，A、B为切点，为直径，且，求的长（     ） A． B． C． D． 6．（2026·福建三明·二模）如图，是⊙的直径，、是⊙上异于、的两点，且，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．（2026·福建福州·模拟预测）小明捡到一个量角器碎片，按如图的方式测量的度数，他让点落在量角器圆弧上，并将角的两边与量角器圆弧的交点分别记为，．若点，对应的刻度分别为、，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，的直径，点 C 是的中点，的平分线交于点 D．过点 D 作的切线分别交的延长线于点 E，F，连接．下列结论中错误的是（     ） A． B． C． D． 9．（2026·福建福州·模拟预测）如图，是的直径，点，在上，，则（     ） A． B． C． D． 10．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，四边形内接于，其中 为直径．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 11．（2026·福建宁德·一模）如图，是半圆的直径，现将一块含的直角三角板如图放置，角的顶点落在半圆上，一条直角边经过点，斜边交半圆于点．则等于（   ） A． B． C． D． 12．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，⊙O 是的外接圆，是的直径，过点 C 的切线交的延长线于点 E．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 13．（2026·福建泉州·二模）如图，的弦、的延长线相交于点，，若，则的度数是（） A． B． C． D． 14．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，菱形的顶点A，B在上，对角线与相交于点M，若的半径为6，，则扇形的面积为（） A． B． C． D． 15．（2026·福建泉州·二模）如图，是的外接圆，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 16．（2026·福建泉州·三模）如图，与正方形的两边，相切，且与相切于点E．若的半径为5，且，则的长度为（    ）． A．5 B．6 C． D． 17．（2026·江苏苏州·一模）如图，是的直径，点为圆心，点在延长线上，是的切线，切点为点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 18．（2026·福建厦门·一模）如图，在中，，，以为直径的半圆O交于点D，与相切于点B，则的长为（   ） A． B． C． D．5π 19．（2026·浙江温州·一模）如图,在中，，，，为边上的高，以点B为圆心，长为半径画圆弧分别交边，于点E，F，则的长为（   ） A． B． C． D． 20．（2026·福建泉州·一模）某校在社会实践活动中，小明同学用一个直径为30cm的定滑轮带动重物上升．如图，滑轮上一点A绕点O逆时针旋转90°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（   ） A． B． C． D． 21．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，点，，在上，垂直平分，交于点．若，则的半径为（    ） A． B．2 C． D．3 22．（2026·福建泉州·模拟预测）等边中，，点P、点Q分别是、上的动点，且，过、P、Q三点作，则半径的最小值为________． 23．（2026·福建福州·模拟预测）如图，正七边形，连接对角线，交于点，则的度数为________． 24．（2026·福建宁德·二模）茶叶生产是闽东乡村振兴的支柱产业之一．如图是圆形展示茶饼的正面及其固定支架的截面图，凹槽是矩形．茶饼正立且紧靠支架于，两点，恰好与边相切于点，若，则圆心角________． 25．（2026·福建厦门·三模）如图，四边形中，，，过A，B，D三点的圆交边于点E．若，，则的值为_________． 26．（2026·福建莆田·模拟预测）如图，某款“不倒翁”的主视图是圆弧和两线组成的轴对称图形，倒至最歪位置时，点的对应是点，点的对应是点，若半径为，，，那么原来与地面接触点和现在与地面的接触点之间的距离是________． 27．（2026·福建厦门·模拟预测）如图，边长为2的正六边形的中心为，则该正六边形的边心距为______． 28．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，在中，已知，，，尺规作图痕迹如图所示，再以点为圆心，长为半径作弧，交于点，则图中阴影部分的面积为_____． 29．（2026·福建厦门·三模）如图，圆形铁圈的直径，一根两端带有铁环的硬质滑杆套在该铁圈上（铁环大小忽略不计），滑杆的长度与铁圈的半径相等．先将滑杆的左端套在处，再将整根滑杆沿着铁圈按逆时针方向移动，使得滑杆的右端移动到点处，在此过程中滑杆的中点移动的路径长为________． 30．（2026·福建厦门·三模）如图，为的直径，点在上，过点作的切线与的延长线交于点．若的半径为， ，则的度数为______． 31．（2026·福建龙岩·二模）如图，是的直径，，连接交于点，与相切于点，交的延长线于点，连接并延长，交于点，交于点，连接，若，则_________． 32．（2026·福建莆田·模拟预测）如图，在矩形纸盒中，恰好能放进两个外切且均以r为半径的圆形纸片，已知与相切，与相切，其中， 则r的值为_______． 33．（2026·福建福州·二模）如图，三角形ABC内接于⊙O，D为⊙O上一点，且，，若，则的度数是______． 34．（2026·福建漳州·一模）在矩形中，是的中点，点在上运动．将沿翻折得到，连接，则的最小值为___________． 35．（2026·福建厦门·一模）古代工匠确定圆形器具的圆心时，如图通常把角尺的直角顶点放在圆周上，即可找出该圆形器具的一条直径，进而找出圆心，这种方法的数学依据是________． 36．（2026·福建龙岩·模拟预测）如图，是的直径，以为边长作正方形，连结交于点；以为圆心，为半径作弧交于点，连结并延长分别交、于点，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中错误的结论有______（填正确答案的序号）． 37．（2026·福建厦门·二模）如图是某高速公路在转向处设计的一段圆曲线（即圆弧），机动车转弯时从曲线起点A行驶至终点B，过点A，B的两条切线相交于点C，机动车在从点A到点B行驶过程中转角为．若这段圆弧的半径，，则图中危险区（阴影部分）的面积为______． 38．（2026·福建莆田·三模）仙游古典家具制作技艺，简称为“仙作”，入选国家级非物质文化遗产名录，“仙作”家具集国画艺术，雕刻艺术与家具制作技艺的巧妙融合，款式典雅，结构严谨．一种“仙作”花窗的花瓣由六条等弧连接而成，所对应的弦构成一个正六边形，如图所示．设正六边形的中心为点，所在圆的圆心恰好是的外心．若，则花窗的面积（实线所围区域的面积）为_______． 39．（2026·福建福州·三模）如图1的螺丝钉由头部（直六棱柱）和螺纹（圆柱）组合而成，其俯视图如图2所示．在“测量螺丝钉半径”的综合与实践活动中，小吴想出了一种测量方法：将刻度尺紧靠螺纹放置，经过点且交于点，量得长为毫米，并测得正六边形的边长为毫米，则螺纹的直径为______毫米． 40．（2026·福建泉州·二模）在等腰中，，点O是的角平分线上的一点，半径为1的经过点B，将沿方向平移，当与的边相切时，平移的距离是___________． 41．（2026·福建厦门·二模）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，在中，M是的中点，于点N．“会圆术”给出的弧长l的近似计算公式：．当，时，则的弧长l的近似值为________． 42．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，在中，，是边上一点，以点为圆心，的长为半径的圆交于点，且过点作的切线交于点． (1)尺规作图：试确定点的位置；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，，求证：是等边三角形． 43．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接、，过点作的平行线与的延长线相交于点． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)当，时，求的长． 44．（2026·福建厦门·二模）已知：如图，四边形内接于，为的直径，，弦于点F，交BD于点G． (1)求证：； (2)延长，相交于点H． ①求证：； ②若，若表示的周长，求的值．请用含t的式子表示． 45．（2026·福建泉州·二模）如图1，为的直径，是的中点，与交于点． (1)若，求的度数； (2)点是上的动点（不与点、重合），交于点，沿折叠后得到线段． ①如图2，当点落在上时，求证：； ②如图3，当于时，连结、，若，，用含、的式子表示的长，并说明理由． 46．（2026·福建宁德·二模）如图，是的直径，点在上运动（不与，重合），将沿翻折，得到，点是的中点，连接． (1)如图1，若，求证：； (2)证明：不论点如何运动，的大小不变；（以图2为例证明） (3)如图2，当点在下方，，时，求的直径 47．（2026·福建厦门·三模）如图1，点B是线段和的公共点，点O是 所在圆的圆心，若，则称线段和 在点B平滑连接．生活中，为了兼顾美观与安全，公园步道的转弯处常设计为线段和弧的平滑连接．某公园步道的一部分如图2所示，线段，，线段，，线段在点 B，C，D，E处依次平滑连接． 已知， 米，米．， 所在圆的半径为米，所对的圆心角为． 请完成下列问题： (1)求图2中公园步道的总长度； (2)现对公园进行改造：在直线右侧新建步道，连接和，并在公园中间区域设立一处公共服务空间（记为点R），满足点R到A，B，E，F四个点的距离相等． ① 尺规作图：求作，使得线段，，线段分别在点A，F处依次平滑连接；（要求：不写作法，保留作图痕迹） ② 在点 R 处增设户外装置，通常情况下信号可接收的范围可以近似看成一个半径为米的圆．已知点 M位于 上，米，请判断点M处能否接收到信号，并说明理由．（参考数据： 48．（2026·福建泉州·模拟预测）已知在中，于点O，经过A、C两点并交于点E． (1)当点E为中点，求的度数； (2)若，求的值； (3)若，，求． 49．（2026·福建福州·三模）如图，是等边的外接圆，，点是外一点，分别交、于点、，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)如图，点是上的动点，点在内，，且． （）当，且时，求的值； （）如图，当过点时，求的最小值． 50．（2026·福建厦门·模拟预测）如图1，为半圆的直径，，点为半圆上一点（不与，重合），连接，点关于的对称点为点，连接． (1)如图2，当时，连接，求的度数； (2)过点作半圆的切线，延长交切线于点，点为中点，连接， ①当时，延长至点，使得，连接，求的长； ②当时，延长交半圆于点（与不重合），直线分别交切线，射线于点，点，探究与的数量关系． 51．（2026·福建莆田·模拟预测）如图，等腰三角形内接于，点关于的对称点为，连接交于点． (1)求证：为的切线； (2)如图1，连接，若，求证：； (3)如图2，若，求的值． 52．（2026·福建泉州·模拟预测）已知：四边形是内接四边形，是的直径，、相交于点，点在上，．     (1)如图，求证：； (2)如图，若，求证：； (3)如图，在（2）的条件下，，点在上，交于点，，，求的长． 53．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，内接于，作直径交边于点，平分，连接， (1)若，求的度数． (2)如图，作于点，交于点． ①求证： ②若，且，求的最小值． 54．（2026·福建厦门·三模）四边形内接于，为的直径，与相交于点E． (1)如图1，若B是的中点，求的度数； (2)如图2，点F在边上，且满足，当时， ①证明： ； ②若；．求的半径． 55．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，已知是的外接圆，为直径，，D，Q为上位于点A异侧的动点，且，连接，交于点H，连接，． (1)求证：； (2)求证：点O在的平分线上； (3)若，且，求的长． 56．（2026·福建泉州·三模）在中，，，点在的内部，连接，，点为线段的中点，连接． (1)如图，若，，求的长； (2)如图，将绕点逆时针旋转至，连接，，求证：； (3)如图，延长交于点，点为延长线上一点，连接，将沿翻折至所在平面内得到，直线与交于点，连接．若，当最小时，请直接写出的面积． 57．（2026·福建宁德·一模）如图，是的直径，射线与相切于点是射线上一点，交于点，射线交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若，求的值． 58．（2026·福建莆田·二模）如图1，内接于的平分线与和分别交于点D和E，F是延长线上一点，连接，且． (1)求证：点F到三边所在直线的距离相等； (2)若经过点O，连接，如图2，求证：； (3)若，请用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 59．（2026·福建福州·二模）如图，是半圆O的直径，C为的中点，D为上一点，交于点E，交于点F，交于点G．点O，P关于对称，交于点H，连接． (1)求证：； (2)当时，求的度数； (3)求的最小值． 60．（2026·福建泉州·模拟预测）已知中，，连接交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，在上取一点，使，连接并延长，交圆于点，连接，求证：； (3)如图3，当与重合时，连接并延长，在延长线上取一点，连接交圆于点，连接，交于点，在边上有一点，连接，且满足：交于点，交于点，连接， ①求的值； ②当时，直接写出的长． 试卷第1页，共3页 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $