3.3 探索与表达规律（分层作业练题型）数学新教材鲁教版五四制六年级上册

**基本信息** 聚焦规律探索，通过基础巩固、规律归纳、综合应用三层设计，覆盖运算、图形、数列等规律类型，培养抽象能力与推理意识，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一规律识别（如数列周期、图形计数）|选用模拟题和期中题，以选择填空为主，直接应用规律（如第1题平方和个位数、第8题绳子段数规律）| |提升层|规律归纳与简单应用（如定义新运算、杨辉三角）|设置解答题前两问，引导学生抽象规律（如第5题首位末位平方差、第7题多项式乘法规律）| |综合层|跨情境综合探究（如几何操作、实际问题）|通过项目式学习（第19题）和操作题（第20题叠积木），发展模型意识与创新意识|

3.3 探索与表达规律 题型一、运算规律探究 1．（2025·浙江·模拟预测）从到连续自然数的平方和的个位数是（     ） A．0 B．3 C．4 D．9 2．（24-25七年级下·山东济南·期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”就是其中一例，如图所示为这个“三角形”的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．请用此规律解决如下问题：若今天是星期三，经过天后是星期几？（    ） 1 1  1 1  2  1 1  3  3  1 1  4  6  4  1 ……  …… A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五 3．（24-25七年级下·重庆·自主招生）一本书的页码是连续的自然数，1，2，3，……，当将这些页码加起来的时候，某个页码被加了两次，得到不正确的结果1360，则这个被加了两次的页码是 ． 4．（2025·四川资阳·模拟预测）已知；若、b均为整数)，则 ． 5．（2025·山东日照·三模）对于正整数n，定义，其中表示n的首位数字、末位数字的平方差的绝对值．例如：．规定（k为正整数），例如，．按此定义，则 ． 6．（24-25七年级下·河南郑州·期末）观察下列等式： ①； ②； ③； ④； … (1)请根据你发现的规律，猜想等式⑥________________； (2)探究规律：用含n的式子表示你发现的一般规律，并说明理由； (3)用你发现的规律计算． 7．（24-25七年级下·广东揭阳·期中）观察下列各式 (1)根据以上规律，则______； (2)你能否由此归纳出一般规律______； (3)根据以上规律求的结果． 题型二、利用图形规律计算 8．（福建省漳州市2024-2025学年七年级下学期期末教学质量检测数学试卷（北师大版））如图，将一根绳子折成三段，然后按如图所示方式剪开，绳子的段数与剪的刀数有如下关系： 剪的刀数/刀 1 2 3 4 5 6 绳子的段数/段 4 7 10 13 16 19 当剪8刀时，绳子的段数是（    ） A．22 B．24 C．25 D．28 9．（河南省平顶山市2024---2025学年下学期七年级数学期末试题卷）如图，点在射线上，且，以为圆心，以长为半径画半圆弧交射线于点；再以为圆心，以长为半径画半圆弧交射线于点；再以为圆心，以长为半径画半圆弧交射线于点，依此类推，以为圆心，以长为半径所画半圆弧的长为（　　） A． B． C． D． 10．（24-25六年级上·山东烟台·期中）如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半．部分③是部分②面积的一半，依次类推． (1)阴影部分的面积是多少？ (2)受（1）的启发___________； (3)类比（2）求出的值． 11．（2025·安徽合肥·三模）有一张菱形纸片，其一个内角为60°，取菱形纸片的四边和短对角线的中点，按“8”字形顺次连接各点，形成两个小三角形，这两个小三角形组成的图形简称“沙漏形”，如图（1），将“沙漏形”挖去，对剩下纸片中的菱形纸片重复上述操作，得到如图（2）所示的图形…… 设图（n）中的“沙漏形”的个数为（n为正整数）．观察以上图形，解答下列问题： (1)填空： ， （用含n的式子表示）： (2)当n的值为多少时，的值开始大于2025． 12．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）某餐厅中1张餐桌可坐6人，有以下两种摆放方式： (1)对于方式一，4张桌子拼在一起可坐_________人 (2)方式一，n张桌子拼在一起可坐_________ 人（用含n的代数式表示） 方式二，n张桌子拼在一起可坐_________人（用含n的代数式表示）． (3)一天中午，该餐厅来了98位顾客共同就餐，但餐厅中只有25张这样的长方形桌子可用，若你是这家餐厅的经理，你打算选择哪种方式来摆餐桌呢？ 13．（2025·安徽芜湖·模拟预测）将一张等边三角形纸片分成四个大小、形状一样的等边三角形（如图所示），记为第1次操作，然后将其中右下角的等边三角形又按同样的方法分成四部分，记为第2次操作．若每次都把右下角的等边三角形按此方法分成四部分，如此循环进行下去． (1)若操作4次，则总共能得到_____个等边三角形． (2)若原等边三角形的边长为1，设表示第次操作得到的最小的等边三角形的边长，如，． ①______（用含的式子表示）； ②计算______． (3)运用（2）的结论，计算的值． 14．（24-25六年级上·山东烟台·期中）仔细观察分析下列图形和式子，完成下面的问题．将一些边长为1的小正方形按如图方式拼图： 图①中边长为1小正方形的个数：； 图②中边长为1小正方形的个数：； 图③中边长为1小正方形的个数：； ．．．．．． (1)类比上例，写出第四个等式___________； (2)类比上例，计算：； (3)根据你所发现归纳的规律计算的值； (4)在图②的大正方形网格中包含___________个正方形，在的大正方形网格中包含___________个正方形． 题型三、图形规律探究中的操作问题 15．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，弹性小球从点 D出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时，落脚点为 I ，第 2次碰到矩形的边时落脚点为 ， …… ；第 2024次落脚点为 ． 16．（2025·江苏宿迁·一模）如图，点从数0的位置出发，每次运动一个单位长度，运动一次到达数1的位置，运动二次到达数2的位置，运动三次到达数3的位置依此规律运动下去，点从0运动6次到达的位置，点从0运动21次到达的位置点、、在同一条直线上，则点从0运动 次到达的位置． 17．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，在中，，，，点、在直线上，将绕点顺时针旋转到位置（1），得到点，点在直线上；将位置（1）的三角形绕点顺时针旋转到位置（2），得到点，点在直线上；将位置（2）的三角形绕点顺时针旋转到位置（3），得到点，点在直线上，……按照此规律继续旋转，第2025次旋转得到点，则 ． 18．（2025·山东青岛·二模）我们定义：在矩形中，每次沿长边的垂直平分线对折（即保持短边长度不变，长边变为原来的一半），得到一个新矩形，称为一次操作．若新矩形不是正方形，继续操作，直到得到正方形为止，操作的次数称为该矩形的“折叠阶数”． 例如：邻边长为8和2的矩形，第一次对折后为4和2的矩形（非正方形）第二次对折后为2和2的正方形，故折叠阶数为2． (1)阶数计算：矩形邻边长为12和3，其折叠阶数为_______； (2)逆推边长：若一个矩形的折叠阶数为3，且最终得到的正方形边长为5，原矩形的邻边长分别为_______，_______； (3)代数关系：设矩形邻边长为a和b（），最终能够折成正方形，若其折叠阶数为n，则a=_____（用含b和n的式子表示a）． 19．（2025·安徽宿州·三模）项目式学习：探究图式之间的内在联系 【项目任务】观察下列图形，思考图形中点的排列规律，抽象出数学等式，探究点的总个数． 【项目探究过程】下列是三位同学采用了不同方法进行探究，请你完善他们的探究过程． (1)明明同学将这些点分为两类，一类是实心点构造了正方形点阵，一类是空心点构造了正方形点阵，这样图1的点总数可表示为，图2的点总数可表示为，图3的点总数可表示为，图4的点总数可表示为，…，图的点总数可表示为________； (2)欣欣同学用虚线将这些点进行连接，图1的点可以表示为，图2的点可以表示为，图3的点可以表示为，图4的点可以表示为，…，欣欣思考这种连接方式下，图中最长虚线上共有________个点，她结合明明的探究，猜想两种方法利用图建立的等式：________，由此获得从1开始，连续个奇数的和，即________；        (3)慧慧同学在欣欣同学方法的启发下利用这些点构造“回”字图形，结合明明同学的探究，由图1得，由图2得，由图3得，…，由图得________．     20．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）叠积木是童年时常见的一种益智游戏，能够锻炼我们的手眼协调能力和耐力，如图1，若干块长、宽、高分别对应相同且材质均匀、质量相等的积木，将它们叠起来，我们称这是一个长方体积木组合．显然，一个长方体积木组合可以看作几个长方体积木组合叠在一起，比如图2中的组合可以看作是上面三块长方体积木组合叠在一起的组合叠在下面两块积木的组合之上．对于这样的长方体积木组合，我们进一步给出以下预备知识： 1．一个长方体积木组合的重心的水平位置偏移其最下长方体积木重心的水平距离，等于组合中各个长方体积木重心偏移最下方长方体积木重心的水平距离的平均数． 2．一个长方体积木组合的重心的高度等于组合中各个长方体积木重心高度的平均数． 3．两个长方体积木组合叠在一起组成一个新的组合，当上方组合的重心在水平方向上超过下方组合的边缘，就会倒下． 探究问题： (1)取5块长度为10厘米的相同积木，四边对齐叠放． ①如图1，沿平行于积木长边的方向推动最上面的积木（即积木①）而不触碰其它积木，在不倾倒的前提下，如图2，积木①可延伸的最远长度是________厘米． ②如图2，保持积木②和积木①的相对位置不变，按图2中手指方向推动积木①②的组合，那么积木①②组合的最远延伸长度是________厘米． ③在第（2）小题的基础上，保持积木①、②、③的相对位置不变，按图3中手指方向推动积木①②③的组合，求积木①②③的组合的最远延伸长度． (2)如果取n块长度为10厘米的相同积木，按照上述的堆叠方式，设上方的块积木的组合可以延伸的最大长度为y厘米，用含n的代数式表示y． 题型四、图形数量探究 21．（重庆市巫山县2024-2025学年八年级下学期期末数学试题）观察图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第22个图形中所有点的个数为（    ） A．528 B．529 C．530 D．531 22．（重庆市秀山县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题）下列图形都是由同样大小的“围棋子”按一定的规律组成，其中第①个图形有1颗“围棋子”，第②个图形一共有6颗“围棋子”，第③个图形一共有16颗“围棋子”，…，则第⑧个图形中“围棋子”的颗数为（   ） A．91 B．106 C．121 D．141 23．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性，则应选择（　　） A． B． C． D． 24．（2025七年级下·全国·专题练习）【观察思考】 【规律发现】则第个图案中“”的个数可表示为（   ） A． B． C． D． 25．（24-25七年级下·重庆江津·期末）少数民族服饰以其精美的花纹和艳丽的色彩越来越受到设计师们的喜爱．某民族服饰的花边均是由基础图形进行若干次平移后组成的有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，第3个图案由10个基础图形组成，……，如图，按此规律排列下去，第2025个图案中的基础图形个数为（   ） A．6070 B．6073 C．6076 D．6079 26．（24-25七年级下·重庆·期末）如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中有4个圆，第2个图形中有8个圆，第3个图形中有14个圆，第4个图形中有22个圆······，按此规律排列下去，第8个图形中圆的个数是（  ） A．51 B．66 C．74 D．78 27．（24-25七年级下·吉林长春·期中）力旺实验中学校园里的一条小路使用正六边形、正方形、正三角形三种地砖按如图方式铺设．若这条小路共用了33块正六边形地砖，则正方形地砖的数量为（　　） A．166块 B．164块 C．165块 D．160块 28．（2025·陕西·中考真题）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为 ． 29．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图各图是晋商大院窗格图案的一部分，其中“〇”代表窗纸上所贴的剪纸． (1)第1个图中所贴剪纸“〇”的个数为5，第2个图中所贴剪纸“〇”的个数为(　　)，第3个图中所贴剪纸“〇”的个数为(　　) (2)用含有字母的式子表示第n个图中所贴剪纸“〇”的个数是(　　)，当时，所贴剪纸“〇”的个数是(　　) 30．（2025·安徽芜湖·三模）【观察思考】 如图某公园围栏是由圆形构成的图案，每个圆形的边上都有“”或“第个图案中“”有个，“”有个；第个图案中“”有个，“”有个；第个图案中“”有个，“”有个；第个图案中“”有个，“”有个． 【规律发现】 （1）请求出第个图案中“”有______个，“”有______个；（用含的式子表示） 【规律应用】 （2）现有个“”，按此规律制作围栏，要求“”剩余最少，需要购买多少个“”？ 题型一、数列规律探究 31．（24-25九年级下·云南·期中）下列单项式按一定规律排列：…，其中第个单项式为（   ） A． B． C． D． 32．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，在各个手指间标记字母、、、．请你按图中箭头所指方向（即的方式）从开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当字母第200次出现时，恰好数到的数是( ) 33．（2025·陕西西安·模拟预测）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释展开式各项系数之间的关系，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”的规律，的展开式中第二项的系数为3，那么的展开式中第三项的系数为 ． 34．（24-25七年级下·广东深圳·期中）我国古代数学的许多创新和发明都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”． 根据“杨辉三角”请计算的展开式中第三项的系数为（    ） A．210 B．171 C．191 D．190 35．（24-25七年级下·安徽·期中）根据，，， 的规律，则的个位数字是（   ） A．3 B．5 C．7 D．1 36．（2025·广东广州·二模）观察图中数字的排列规律．按照此规律继续排列，若数字2025出现在第m列第n行的位置，则m和n的值分别是（    ） 第1列 第2列 第3列 第4列 … 第1行 1 2 9 10 … 第2行 4 3 8 11 … 第3行 5 6 7 12 … 第4行 16 15 14 13 … 第5行 17 … … … … A．1，45 B．45，1 C．44，2 D．2，44 37．（24-25七年级下·广东东莞·期中）如下图数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成解答．若用表示一个数在数表中的位置，如9的位置是，则168的位置是 ． 38．（24-25七年级上·湖南湘西·期中）正整数按如下图的规律排列，请写出第6行，第6列的数字是 ；第n行，第n列的数字是 ．(用含n的代数式表示)． 39．（24-25七年级下·天津南开·期中）如图，将正整数按以下规律排列： 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 … 第一行 1 4 5 16 17 … 第二行 2 3 6 15 … … 第三行 9 8 7 14 … … 第四行 10 11 12 13 … … 第五行 … 表中数1在第一行第一列，与有序数对对应，2在第二行第一列，与有序数对对应，数9与对应，数10与对应，…，根据这一规律，数对应的有序数对为 ． 40．（2025·山东枣庄·三模）将连续的正整数排成如图所示的数表，记为数表中第行第列位置的数字，如，，，若，则 ， ．    41．（2025·广东清远·二模）将连续的奇数1，3，5，7，……排成如图所示的数表． (1)十字形框中的五个数之和是______，设中间数为a，请用含a的代数式表示十字形框中的五个数之和是______． (2)若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？若有，请说明理由，若没有，也说明理由． (3)十字形框中的五个数之和能等于2022吗？能等于2025吗？并说明理由． 题型二、数字规律探究 42．（24-25七年级下·湖南永州·期中）已知，，，，计算的结果的个位数字是 ． 43．（2025·安徽滁州·三模）观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ． (2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的式子表示），并证明． 解：根据已知等式可知，第5个等式: ， 故答案为：； 解：第n个等式: 44．（2025·海南·模拟预测）综合与实践 古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，…，这样的数称为“三角形数”，第个“三角形数”可表示为：，某数学兴趣小组对“三角形数”进行了研究，活动过程如下： 【规律发现】 数学兴趣小组发现，每相邻两个“三角形数”的和有如下规律： 第1个等式： 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 【问题解决】 任务一：第5个等式为_____； 任务二：写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明； 任务三：数学兴趣小组还发现，，…，即任意一个“三角形数”乘8再加1都是一个完全平方数，请你对发现的该结论加以证明． 题型三、周期规律探究 45．（2025·云南·模拟预测）观察下列等式：，，，，，，根据其中的规律，可得的和的个位数字是（    ） A． B． C． D． 46．（24-25七年级下·四川成都·期中）在数字探索游戏中，小明将数组，，进行了一系列操作后得到新的数组， 操作如下： 用相邻两个数中左边的数减去右边的数，所得之差放在两数之间 得到一个新的数组，即 ，，，，，这称为第次操作继续操作下去会得到不同的新的数组．当小明操作第次后又得到一个新的数组，则该数组之和为 ． 47．（24-25七年级下·江西萍乡·期末）如图所示是“奋进小组”设计的一个运算程序，若第一次输入的数是256，则第2025次输出的结果是（   ） A．1 B．4 C．16 D．64 48．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）已知为实数，规定运算：，，，，…，．按上述规定，当时，的值等于（   ） A． B． C． D．0 49．（2025·湖南岳阳·二模）已知且，我们定义，记为；，记为；；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；；则的值为（　　） A． B． C． D． 50．（2025七年级下·全国·专题练习）如下表，从左到右在每个小格中都填入一个整数，使任意三个相邻格子所填整数之和都相等，则第2025个格子中的整数是 ． 2 a b c 6 b … 51．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，把周长为个单位长度的圆放到数轴（单位长度为）上，三点将圆三等将点与数轴上表示的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，则对应点可能为（　　） A． B． C． D．以上答案均错误 52．（24-25八年级下·重庆长寿·期末）有一列数，将这列数的每个数求其相反数得到，再分别求与1的和的倒数，得到，称为一次操作，记为，第二次操作是将再进行上述操作，得到；第三次将重复上述操作，得到…以此类推，下列说法中：①；②；③，正确的有（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 53．（24-25八年级下·重庆黔江·期末）已知整式，其中均为整数，为正整数，n为自然数，且满足．则下列说法： ①当时，满足条件的整式M中有1个单项式； ②不存在任何一个n，使得满足条件的整式M是二次三项式； ③满足条件的整式M共有14个． 其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 54．（24-25九年级下·北京·阶段练习）“阿凡提巧取七环”的故事是这样的：一个地主非常自负和刻薄，经常出难题借以克扣长工的工钱．有一回，他用纯银打了个七连环作为工钱，请人做工七天，要求打工者只能断开其中的一环，干几天就取几个银环，不能多取，也不能少取．很多打工者因为不能完成这个任务，而没能拿到工钱．聪明的阿凡提先将第三环断开，第一天取走断开的那一环；第二天，阿凡提还给地主断开的那一环，拿走两连环；第三天，阿凡提再拿走断开的那一环；第四天，用前三天拿走的三个环去换四连环；第五天再拿走断开的那一环；第六天，还给断开的那一环，拿走两连环；第七天再取走断开的那一个环，正好是七环．如图所示： 断开前： 断开后： 如果老板有一个23连环，同样要求干几天取几个环，你能像阿凡提那样只断开其中的两个环，在23天的工作时间内每天都能顺利拿到工钱吗？如果能，请说出需要断开第 号和第 号环． 55．（24-25七年级下·重庆荣昌·期末）一个三位自然数，其各位数字互不相等且均不为0，百位数字比个位数字大1，我们称这个三位自然数为“小尾数”，记．比如493，各位数字互不相等且均不为0，百位数字4比个位数字3大1，所以493是“小尾数”，．当“小尾数”m取最小值时， ，若一个“小尾数”m，使恰为13的倍数，则满足题意的最大“小尾数”是 ． 56．（2025·山东临沂·二模）三个不完全相同的有理数，记为，进行如下操作：将其中最大的数减去2，另两个数分别加上1，得到对应的三个新数，第一次操作的结果记为，若有两个相等的最大数，则取最后面的最大数减2，另两个数分别加1；将按上述方式再做一次操作，得到第二次操作的结果；以此类推，当时，则，则 ． 57．（2025·安徽蚌埠·三模）将一个边长为1的等边三角形（如图1）的每一边三等分，以居中那条线段为底边向外作等边三角形，并去掉所作的等边三角形的一条边，得到一个六角星（如图2），称为第一次分形．接着对每个等边三角形凸出的部分继续上述过程，即在每条边三等分后的中段向外画等边三角形，得到一个新的图形（如图3），称为第二次分形．反复进行这一过程，就会得到一个“雪花”样子的曲线．它是由瑞典人科赫于1904年提出的，这种曲线叫科赫曲线或雪花曲线． (1)每一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是前一个“雪花曲线”边数的 倍；每一次分形后，三角形的边长都变为原来的 ； (2)第n次分形后所得图形的边数是多少？周长为多少？写出过程．（用含n的代数式表示） 58．（2025七年级下·全国·专题练习）已知平面上有n（n为大于或等于2的正整数）个点．，，，…，，从第1个点．开始沿直线滑动到另一个点，且同时满足以下三个条件：①每次滑动的距离都尽可能最大；②n次滑动将每个点全部到达一次；③滑动n次后必须回到第1个点．我们称此滑动为“完美运动”，且称所有点为“完美运动”的滑动点，记完成n个点的“完美运动”的路程之和为． Ⅰ．如图①，滑动点是边长为a的等边三角形的三个顶点，此时（　　） Ⅱ．如图②，滑动点是边长为a、对角线（线段）长为b的正方形四个顶点，此时（　　） Ⅲ．现有n个点恰好在同一直线上，相邻两点间距离都为1． （1）如图③，当时，直线上的点分别为点． 为了完成“完美运动”，滑动的步骤给出如图④的两种方法： 方法一：，方法二：． a．其中正确的方法为（　　） A．方法一    B．方法二    C．方法一和方法二 b．此时（　　） （2）当n分别取4，5时，对应的（　　），（　　） （3）若直线上有n个点，且对应的，（　　） 59．（24-25八年级下·重庆巴南·期末）规定：一个四位正整数的各个数位上的数字均不为0且互不相同，并满足百位数字比千位数字大3，十位数字是个位数字的2倍，则称这个四位数为“三心二意数”．若将的千位数字与百位数字组成的两位数记为，将的十位数字与个位数字组成的两位数记为，例如：当时，为69，为21．记，若一个“三心二意数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为．当为整数时，则 ；且为完全平方数，则满足条件的正整数为 ． 60．（2025·安徽淮南·二模）已知图1中有1个等边三角形，记作；分别连接这个等边三角形三边中点得到图2，有5个等边三角形，记作；再分别连接图2中间的小等边三角形三边中点得到图3，有9个等边三角形，记作；…….按照此规律解答下列问题： (1)图4中有_______个等边三角形，记作_________； (2)图中有_______个等边三角形，记作_________；（结果用含的代数式表示，不用说理） (3)在求的值时，可令，则，∴，∴，按此方法计算；（结果用含的代数式表示） 61．（2024·安徽马鞍山·三模）【观察思考】如图，是由同样大小的小正方形按一定规律组成的图形，其中图①中有3个小正方形，图②中有8个小正方形，图③中有15个小正方形，图④中有24个小正方形，… 【规律发现】依此规律，完成以下问题： （1）图⑤中共有小正方形的个数为______； （2）图中共有小正方形的个数为______． 【规律应用】（3）已知一物体从静止开始沿一个方向移动，每隔一段时间测量一次它移动的距离，测量得到的数据依次为3米、8米、15米、24米、…，如果物体按照这样的移动规律，在第（为正整数）次测量时移动的距离比第（）次测量时移动的距离多（）米，那么该物体在第（）次测量时移动了多少米？ 62．（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图1，四个底面形状、大小都相同且材质相同、均匀的长方体积木对齐叠放，从上至下编号依次为①、②、③、④，积木②、③、④的高度相同，都是积木①高度的2倍．设长方形积木的初始边缘所在直线为． 【预备知识】 1．两个长方体积木组合叠在一起组成一个新的组合，当上方组合的重心在水平方向上超过下方组合的边缘时，就会倒下． 2．一个长方体积木组合的重心偏移的水平距离，等于组合中各个长方体积木重心偏移的水平距离分别乘其各自的质量，再把它们相加所得的和除以长方体积木组合的总质量所得的结果． 3．积木的质量比等于它们的高度比． 假设每块积木长为，在不倾倒的前提下按照要求推动积木． (1)如图2，推动积木①至最远， ①积木①的最远延伸长度为________； ②此时积木①②组合的重心偏移的距离为________．（结果用含的代数表示）（提示：请结合预备知识解决） (2)在（1）的基础上，保持积木①②组合的相对位置不变，先按图3中食指所指的方向推动积木①②组合至最远，再继续推动积木③，求积木①②③组合的最远延伸长度． 63．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）对于一个各个数位上的数字均不为零的三位正整数，如果它的百位数字、十位数字、个位数字是由依次减少相同的非零数字组成，则称这个三位数为“递减数”，记为，把这个“递减数”的百位数字与个位数字交换位置后，得到一个新的三位数，记为，例如交换后为123，即，规定，如． (1)求，的值． (2)若一个三位“递减数”的百位数字、十位数字、个位数字分别为、、，其中且为整数，求证：． (3)若是百位数字为9的数，是个位数字为1的数，且满足，记，求的最大值． 64．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）数学中的逻辑推理主要包括归纳推理、类比推理和演绎推理．小明尝试探索能被8整除的整数的规律． 观察： ，，； ，，； ，，； ，，． 猜想： （1）请你判断3265160__________被8整除（填“能”或“不能”）； （2）由上述规律，我们发现：判断一个大于1000的整数能否被8整除，只需要看这个数的后__________位数能否被8整除．请说说你的判断方法． 应用： （3）如果一个整数能被25整除，那么这个整数的特征是__________． （4）某宾馆的一间客房的房间号是一个四位数，已知：①这个数能被8整除；②十位数字比个位数字大2；③百位数字是十位数字的一半；④千位数字是最小的正整数．这个房间号是多少？说说你的理由． 65．（2025·四川资阳·模拟预测）《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题． （规律探索） (1)如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则，如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉—半，则____； 同种操作，如图3，_____； 如图4，________； ……若同种地操作n次，则_________． 于是归纳得到：_________． (2)阅读材料：求的值． 解：设①， 将①×2得：②， 由②-①得：，即． 即 根据上述材料，试求出的表达式，写出推导过程． 66．（24-25七年级下·上海杨浦·期末）综合实践 （一）问题情境  田径比赛中，在进行400米比赛时，运动员的起跑点并不处在同一条直线上，为什么这样呢？如果比赛的起点和终点同在一条直线上，显然，对内侧跑道上的运动员较为有利．原因是内侧跑道的一周长较短，因此，为了公平比赛，在外侧跑道的运动员的起跑点必须前移．如图1是某学校新建操场示意图，每条跑道由两条平行直道和两个半径相等的半圆形弯道组成，直道长度为米，第一分道（跑道）的弯道直径为米，每条跑道宽米，共有8条跑道．如图2，径赛规则规定，第一分道（跑道）周长的测量线是距离内突沿的外沿米处，其余各条分道的周长测量线是距离里侧分道线的外沿0.20米处．在进行400米跑步时，第一分道（跑道）的起跑点和终点在同一位置，且规定第一分道（跑道）的起跑点在直道和弯道的交接处点A． （二）数据计算  下表中是综合实践活动小组用列表方式呈现的相关数据：（单位：米） （三）问题解决  请根据综合实践活动经历及体会，解答下列问题（π取，结果保留两位小数）． 道次 两条弯道总长 两条直道总长 第一分道（跑道） 第二分道（跑道） 第三分道（跑道） … …… …… (1)第一分道的弯道总长为________米，第八分道总长为________米； (2)如图1，该学校在操场举行400米比赛，如果第一分道的起跑点设在点A处，第六分道的起跑点设在点A左侧弯道前方点E处，那么第六分道的起跑点比第一分道的起跑点前移________米，________度． 67．（2025·安徽阜阳·三模）在数学探究课上，老师带着大家-起探究（n为正整数）的结果，如图1，2，3所示． (1)通过观察，得出的结果为_________． (2)在接下来的探究中，小明提出了探究（n为正整数）的结果的方案，如图4，5，6所示． 由图5可以写出，由图6可以写出． ①推算_________． ②根据以上结果，求解的值． 68．（2025·广东珠海·三模）定义：如果一个正整数n能表示为两个正整数的平方差，那么称正整数n为“智慧数”，即：若正整数（a，b为正整数，且），则称正整数n为“智慧数”．例如：，是“智慧数”． 探究问题： 探究1：“智慧数”一定是什么数？ 假设n是“智慧数”，则至少存在一组正整数a、b，使（a，b为正整数，且）． 可分为情况1：a、b均为奇数，或均为偶数；情况2：a、b为一奇数、一偶数这两种情况讨论． 讨论结果为：“智慧数”是奇数或4的倍数． 探究2：所有奇数和4的倍数都一定是“智慧数”吗？ 我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论． 先列举几组数值较小，容易验证的“智慧数”（①～⑧），因为“智慧数”不是奇数就是4的倍数，所以我们把这些“智慧数”分成两类． 所以我们把这些“智慧数”分成两类， 表一 情况1：是奇数 分析 结论 ① 3是“智慧数” ② 5是“智慧数” ③ 7是“智慧数” ④ 9是“智慧数” … … … 表二 情况2：n是4的倍数 分析 结论 ⑤ 8是“智慧数” ⑥ 12是“智慧数” ⑦ 16是“智慧数” ⑧ 20是“智慧数” … … … 情况1：n是奇数 观察①②③④中n、a、b的值，容易发现，每个算式中，n均是奇数且a、b的值均为连续的正整数． 猜想：所有奇数都是“智慧数” 验证：设，（且k为整数） ∵． ∴是“智慧数”． 又∵， ∴，即表示所有奇数（1除外） ∴所有奇数（1除外）都是“智慧数”． 应用： （1）请直接填空：∵， ∴11是“智慧数”． 情况2：n是4的倍数 观察⑤⑥⑦⑧中n、a、b的值，容易发现，每个算式中，n均是4的倍数，且a与b的差都为2． 猜想：所有4的倍数都是“智慧数” （2）请仿照情况1证明以上猜想． 应用： （3）请直接填空：∵， ∴24是“智慧数”． 实际应用： （4）若一个直角三角形纸片三边的长度都是整数厘米，己知一条直角边长是，则这个直角三角形纸片的周长是 ． 试卷第2页，共73页 26 / 26 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3 探索与表达规律 题型一、运算规律探究 1．（2025·浙江·模拟预测）从到连续自然数的平方和的个位数是（     ） A．0 B．3 C．4 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律探究；计算连续自然数平方和的个位数，只需关注每个数平方后的个位数之和的个位． 【详解】解：每个数的平方个位数仅由其个位数字决定．的平方个位依次为，，，，，，，，，，每个数的平方个位数之和为，个位为． 个数包含个完整周期（个数），余下个数为、、，其个位分别为、、． 个周期的个位和为，个位为． 余下数的平方个位为，个位为． 总和的个位为． 故选：C． 2．（24-25七年级下·山东济南·期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”就是其中一例，如图所示为这个“三角形”的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．请用此规律解决如下问题：若今天是星期三，经过天后是星期几？（    ） 1 1  1 1  2  1 1  3  3  1 1  4  6  4  1 ……  …… A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及数学常识，能将2025改写为及熟知展开式的特征是解题的关键．将2025改写为，再根据展开式的特征即可解决问题． 【详解】解：由题知，． 因为展开式中出了除了最后一项，其余项都是2023的倍数，且2023能被7整数， 所以余1， 所以若今天是星期三，经过天后是星期四． 故选：C． 3．（24-25七年级下·重庆·自主招生）一本书的页码是连续的自然数，1，2，3，……，当将这些页码加起来的时候，某个页码被加了两次，得到不正确的结果1360，则这个被加了两次的页码是 ． 【答案】34 【分析】本题主要考查了连续自然数相加的规律，根据此公式进行计算得到答案即可； 【详解】解：设这本书共有页， ， ∴， ∵， ∴取， ∴被加了两次的页码为：， 故答案为：34 4．（2025·四川资阳·模拟预测）已知；若、b均为整数)，则 ． 【答案】109 【分析】本题考查了数字类规律探索，找到规律是解题的关键； 根据前几个等式可以得到规律：，进而求解． 【详解】解：因为， ， ， ……， 所以第n个等式为：， 所以若、b均为整数)，则， 所以； 故答案为：109． 5．（2025·山东日照·三模）对于正整数n，定义，其中表示n的首位数字、末位数字的平方差的绝对值．例如：．规定（k为正整数），例如，．按此定义，则 ． 【答案】45 【分析】本题考查有理数的乘方；能准确理解定义，多计算一些数字，进而确定循环规律是解题关键． 分别计算、、、、、，发现规律为每5次是一组循环即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， ， ， ， ， ∴可知每5次是一组循环， ∵， ∴， 故答案为：45． 6．（24-25七年级下·河南郑州·期末）观察下列等式： ①； ②； ③； ④； … (1)请根据你发现的规律，猜想等式⑥________________； (2)探究规律：用含n的式子表示你发现的一般规律，并说明理由； (3)用你发现的规律计算． 【答案】(1)49， (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的等式，探索出等式的一般规律，并能灵活应用规律进行计算是解题的关键． （1）通过观察所给的等式，直接写出即可； （2）通过观察所给的等式，总结出一般规律即可； （3）将每个小括号进行通分为，再根据（2）的规律，将所求的式子变形为，再求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：49，． （2）解：∵①， ②， ③， ④， …… ∴． （3）解：原式 ． 7．（24-25七年级下·广东揭阳·期中）观察下列各式 (1)根据以上规律，则______； (2)你能否由此归纳出一般规律______； (3)根据以上规律求的结果． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平方差公式以及规律型问题，弄清题意、发现数字的变化规律是解答本题的关键． （1）仿照已知等式写出答案即可； （2）先归纳总结出规律，然后按规律解答即可； （3）先利用得出规律的变形，然后利用规律解答即可． 【详解】（1）解：观察题中已有等式规律，可得出： ， ， ， ， ， ∴原式=． 故答案为：． （2）通过观察总结可知：当前面的多项式最高次数为n时，得数的x次数应该为n+1， ． 故答案为：． （3）原式 ． 题型二、利用图形规律计算 8．（福建省漳州市2024-2025学年七年级下学期期末教学质量检测数学试卷（北师大版））如图，将一根绳子折成三段，然后按如图所示方式剪开，绳子的段数与剪的刀数有如下关系： 剪的刀数/刀 1 2 3 4 5 6 绳子的段数/段 4 7 10 13 16 19 当剪8刀时，绳子的段数是（    ） A．22 B．24 C．25 D．28 【答案】C 【分析】本题考查了规律型-图形变化类，列代数式，正确找到规律是解题的关键．根据剪法，可得出剪（为正整数）刀时，绳子变成段，代入，可求出剪刀时绳子的段数． 【详解】解：观察表格，可得出：每剪刀，绳子的段数增加段， ∴剪（为正整数）刀时，绳子变成段． 当时，（段）； 故选：C． 9．（河南省平顶山市2024---2025学年下学期七年级数学期末试题卷）如图，点在射线上，且，以为圆心，以长为半径画半圆弧交射线于点；再以为圆心，以长为半径画半圆弧交射线于点；再以为圆心，以长为半径画半圆弧交射线于点，依此类推，以为圆心，以长为半径所画半圆弧的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，观察可知，n是大于2的正整数，据此规律可得，再根据半圆周长计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ， ， ……， 以此类推可得，，n是大于2的正整数， ∴， ∴以为圆心，以长为半径所画半圆弧的长为， 故选：B． 10．（24-25六年级上·山东烟台·期中）如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半．部分③是部分②面积的一半，依次类推． (1)阴影部分的面积是多少？ (2)受（1）的启发___________； (3)类比（2）求出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了图形规律的探索，有理数的运算． （1）根据题意先表示出①至⑥的面积，再总结规律即可作答； （2）结合（1）的规律，即可作答； （3）结合（1）的规律，即可作答. 【详解】（1）解：①的面积为， ②的面积为， ③的面积为， ④的面积为， ⑤的面积为， ⑥的面积为， 阴影面积与⑥的面积相等，即为； （2）解：仿照题意，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推． 数形结合，可得：， 故答案为：； （3）解：仿照题意，将一张边长为1的正方形纸片分割成2024个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推． 数形结合，可得：． 11．（2025·安徽合肥·三模）有一张菱形纸片，其一个内角为60°，取菱形纸片的四边和短对角线的中点，按“8”字形顺次连接各点，形成两个小三角形，这两个小三角形组成的图形简称“沙漏形”，如图（1），将“沙漏形”挖去，对剩下纸片中的菱形纸片重复上述操作，得到如图（2）所示的图形…… 设图（n）中的“沙漏形”的个数为（n为正整数）．观察以上图形，解答下列问题： (1)填空： ， （用含n的式子表示）： (2)当n的值为多少时，的值开始大于2025． 【答案】(1)31， (2) 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，同底数幂乘法的逆运算，正确找到规律是解题的关键． （1）先观察图形找到规律即可求出答案； （2）根据（1）可得，然后代入式子中进行求解即可． 【详解】（1）解：第一个图形有1个“沙漏型”， 第二个图形有 个“沙漏型”， 第三个图形有 个“沙漏型”，…．． 由此可得到规律，第n个图形有个 图形，即 ∴， 故答案为：31；； （2）解：∵ ∴ ∴ 则当成立，. ∴ 12．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）某餐厅中1张餐桌可坐6人，有以下两种摆放方式： (1)对于方式一，4张桌子拼在一起可坐_________人 (2)方式一，n张桌子拼在一起可坐_________ 人（用含n的代数式表示） 方式二，n张桌子拼在一起可坐_________人（用含n的代数式表示）． (3)一天中午，该餐厅来了98位顾客共同就餐，但餐厅中只有25张这样的长方形桌子可用，若你是这家餐厅的经理，你打算选择哪种方式来摆餐桌呢？ 【答案】(1)12 (2)； (3)选用第一种摆放方式 【分析】本题考查了图形的变化规律，整式的加减计算，列代数式，代数式求值，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，利用规律解决问题． （1）根据第一张桌子是6人，后边多一张桌子多4人，求解即可． （2）仔细观察图形并找到规律求解即可． （3）分别代入时和时两种情况求得数值即可． 【详解】（1）解：第一种中，只有一张桌子是6人，后边多一张桌子多4人，4张桌子可以坐人； （2）解：方式一：n张桌子时是； 方式二：n张桌子可以坐； （3）解：第一种，当时，， 第二种，当时，． 所以，选用第一种摆放方式． 13．（2025·安徽芜湖·模拟预测）将一张等边三角形纸片分成四个大小、形状一样的等边三角形（如图所示），记为第1次操作，然后将其中右下角的等边三角形又按同样的方法分成四部分，记为第2次操作．若每次都把右下角的等边三角形按此方法分成四部分，如此循环进行下去． (1)若操作4次，则总共能得到_____个等边三角形． (2)若原等边三角形的边长为1，设表示第次操作得到的最小的等边三角形的边长，如，． ①______（用含的式子表示）； ②计算______． (3)运用（2）的结论，计算的值． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题z主要考查图形变化的规律、数字变化规律等知识点，能根据所给图形发现三角形的个数及边长的变化规律是解题的关键． （1）观察发现：每操作一次，等边三角形的个数增加4，据此进行作答即可； （2）①依次求出等边三角形的边长，根据发现的规律即可解答；②运用①中的结论进行解答即可； （3）先提取，然后运用（2）的结论进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知： 操作1次，共得到的等边三角形个数为：； 操作2次，共得到的等边三角形个数为：； 操作3次，共得到的等边三角形个数为：； 操作4次，共得到的等边三角形个数为：； 故答案为：． （2）解：①∵原等边三角形的边长为1， ∴操作1次所得的小等边三角形的边长为：； ∴操作2次所得的小等边三角形的边长为：； ∴操作3次所得的小等边三角形的边长为：； …， ∴第n次所剪出的小等边三角形的边长为：，即， 故答案为：； ②由①题可知： ； 令①， 则②， 得： ， 即． 故答案为：． （3）解： 14．（24-25六年级上·山东烟台·期中）仔细观察分析下列图形和式子，完成下面的问题．将一些边长为1的小正方形按如图方式拼图： 图①中边长为1小正方形的个数：； 图②中边长为1小正方形的个数：； 图③中边长为1小正方形的个数：； ．．．．．． (1)类比上例，写出第四个等式___________； (2)类比上例，计算：； (3)根据你所发现归纳的规律计算的值； (4)在图②的大正方形网格中包含___________个正方形，在的大正方形网格中包含___________个正方形． 【答案】(1) (2)2500 (3)1500 (4)14，91 【分析】本题考查数字类、图形类规律探究，找到变化规律并灵活运用是解答的关键． （1）仿照例子直接写出等式即可； （2）根据所给几个等式，发现规律，进而求解即可； （3）把变形为，然后利用（2）中规律求解即可； （4）根据图①、②、③中正方形个数发现规律为：在的大正方形网格中包含个正方形，然后把代入计算即可． 【详解】（1）解：观察前几个等式的左右变化，得：， 故答案为：； （2）解：根据题意，得， ∴ （3）解： ； （4）解：在图①即的大正方形网格中包含个正方形； 在图②即的大正方形网格中包含个正方形； 在图③即的大正方形网格中包含个正方形； …… ∴在的大正方形网格中包含个正方形， ∴当时，在图的大正方形网格中包含个正方形， 故答案为为：14，91． 题型三、图形规律探究中的操作问题 15．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，弹性小球从点 D出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时，落脚点为 I ，第 2次碰到矩形的边时落脚点为 ， …… ；第 2024次落脚点为 ． 【答案】D 【分析】本题考查了规律探索问题，根据题意画出弹性小球的轨迹图，找到一般规律即可求解． 【详解】解：如图所示： 弹性小球经过次反弹后回到出发点， ∵， ∴弹性小球第次落脚点为图中的点， 故答案为： 16．（2025·江苏宿迁·一模）如图，点从数0的位置出发，每次运动一个单位长度，运动一次到达数1的位置，运动二次到达数2的位置，运动三次到达数3的位置依此规律运动下去，点从0运动6次到达的位置，点从0运动21次到达的位置点、、在同一条直线上，则点从0运动 次到达的位置． 【答案】465 【分析】本题考查图形中的规律探究．由题意得：从点从0跳动个单位长度，到达，跳动个单位长度，到达，可以得出，跳动次数为从1开始连续正整数的和，且最后一个加数为，进而得到答案即可． 【详解】解：由题意得：从点从0跳动个单位长度，到达， 跳动个单位长度，到达， 由此可得：跳动次数为从1开始连续的正整数的和，最后一个加数为， ， 点从跳到跳动了：， 故答案为：465． 17．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，在中，，，，点、在直线上，将绕点顺时针旋转到位置（1），得到点，点在直线上；将位置（1）的三角形绕点顺时针旋转到位置（2），得到点，点在直线上；将位置（2）的三角形绕点顺时针旋转到位置（3），得到点，点在直线上，……按照此规律继续旋转，第2025次旋转得到点，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，以及图形的规律问题．根据题意可知，旋转三次为一组，得到的长度即可． 【详解】解：由题意得，将绕着点顺时针转到位置①，得到点，此时， 将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，得到点， 此时， 将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，得到点， 此时， 根据题意可知，旋转三次为一组， 又， ， 故答案为：． 18．（2025·山东青岛·二模）我们定义：在矩形中，每次沿长边的垂直平分线对折（即保持短边长度不变，长边变为原来的一半），得到一个新矩形，称为一次操作．若新矩形不是正方形，继续操作，直到得到正方形为止，操作的次数称为该矩形的“折叠阶数”． 例如：邻边长为8和2的矩形，第一次对折后为4和2的矩形（非正方形）第二次对折后为2和2的正方形，故折叠阶数为2． (1)阶数计算：矩形邻边长为12和3，其折叠阶数为_______； (2)逆推边长：若一个矩形的折叠阶数为3，且最终得到的正方形边长为5，原矩形的邻边长分别为_______，_______； (3)代数关系：设矩形邻边长为a和b（），最终能够折成正方形，若其折叠阶数为n，则a=_____（用含b和n的式子表示a）． 【答案】(1)2 (2)40，5 (3) 【分析】本题主要考查了学习类比能力，数形结合的数学思想，有理数的运算，列代数式等知识点，解题的关键是理解题意进行列式求解． （1）根据题意列出算式进行求解即可； （2）根据题意列出算式进行求解即可； （3）根据题意找出规律列出代数式即可． 【详解】（1）解：，， 此时，矩形的长和宽相等，图形为正方形， 所以，折叠阶数为2； （2）解：根据题意得， ， 所以，圆矩形的邻边长为40,5； （3）解：根据题意得， ． 19．（2025·安徽宿州·三模）项目式学习：探究图式之间的内在联系 【项目任务】观察下列图形，思考图形中点的排列规律，抽象出数学等式，探究点的总个数． 【项目探究过程】下列是三位同学采用了不同方法进行探究，请你完善他们的探究过程． (1)明明同学将这些点分为两类，一类是实心点构造了正方形点阵，一类是空心点构造了正方形点阵，这样图1的点总数可表示为，图2的点总数可表示为，图3的点总数可表示为，图4的点总数可表示为，…，图的点总数可表示为________； (2)欣欣同学用虚线将这些点进行连接，图1的点可以表示为，图2的点可以表示为，图3的点可以表示为，图4的点可以表示为，…，欣欣思考这种连接方式下，图中最长虚线上共有________个点，她结合明明的探究，猜想两种方法利用图建立的等式：________，由此获得从1开始，连续个奇数的和，即________；        (3)慧慧同学在欣欣同学方法的启发下利用这些点构造“回”字图形，结合明明同学的探究，由图1得，由图2得，由图3得，…，由图得________．     【答案】(1) (2)；； (3) 【分析】本题考查图形类规律探究，根据题干抽象概括出相应的规律，是解题的关键： （1）根据给出的表示方法，作答即可； （2）观察可知，图1中最长虚线上共有3个点，图2中最长虚线上共有5个点，图3中最长虚线上共有7个点，进而得到图中最长虚线上共有个点，结合（1）中的规律，得到图建立的等式，再根据等式求出的值即可； （3）根据已有等式，得到相应的规律即可． 【详解】（1）由图可知：图的点总数可表示为； 故答案为：； （2）由图可知，图1中最长虚线上共有3个点，图2中最长虚线上共有5个点，图3中最长虚线上共有7个点， 故图中最长虚线上共有个点； 由（1）可知：； ∴； （3）由图1得，由图2得，由图3得，…， ∴由图得． 20．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）叠积木是童年时常见的一种益智游戏，能够锻炼我们的手眼协调能力和耐力，如图1，若干块长、宽、高分别对应相同且材质均匀、质量相等的积木，将它们叠起来，我们称这是一个长方体积木组合．显然，一个长方体积木组合可以看作几个长方体积木组合叠在一起，比如图2中的组合可以看作是上面三块长方体积木组合叠在一起的组合叠在下面两块积木的组合之上．对于这样的长方体积木组合，我们进一步给出以下预备知识： 1．一个长方体积木组合的重心的水平位置偏移其最下长方体积木重心的水平距离，等于组合中各个长方体积木重心偏移最下方长方体积木重心的水平距离的平均数． 2．一个长方体积木组合的重心的高度等于组合中各个长方体积木重心高度的平均数． 3．两个长方体积木组合叠在一起组成一个新的组合，当上方组合的重心在水平方向上超过下方组合的边缘，就会倒下． 探究问题： (1)取5块长度为10厘米的相同积木，四边对齐叠放． ①如图1，沿平行于积木长边的方向推动最上面的积木（即积木①）而不触碰其它积木，在不倾倒的前提下，如图2，积木①可延伸的最远长度是________厘米． ②如图2，保持积木②和积木①的相对位置不变，按图2中手指方向推动积木①②的组合，那么积木①②组合的最远延伸长度是________厘米． ③在第（2）小题的基础上，保持积木①、②、③的相对位置不变，按图3中手指方向推动积木①②③的组合，求积木①②③的组合的最远延伸长度． (2)如果取n块长度为10厘米的相同积木，按照上述的堆叠方式，设上方的块积木的组合可以延伸的最大长度为y厘米，用含n的代数式表示y． 【答案】(1)①5；②7.5；③ (2) 【分析】本题考查了图形类规律探究，列代数式，理解预备知识的说明是解答本题的关键． （1）根据预备知识1列式计算即可； （2）由（1）中的计算发现规律求解即可． 【详解】（1）设积木的长厘米， ①设积木①的重心偏离积木②的重心的距离为，则厘米， 故答案为：5； ②设积木②的重心偏离积木③的重心的距离为， 则， ∴厘米， ∴积木①②组合的最远延伸长度是厘米， 故答案为：7.5； ③设积木③的重心偏离积木④的重心的距离为， 则， ∴厘米， ∴积木①②③组合的最远延伸长度是厘米 （2）解：由（1）可知： ． 题型四、图形数量探究 21．（重庆市巫山县2024-2025学年八年级下学期期末数学试题）观察图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第22个图形中所有点的个数为（    ） A．528 B．529 C．530 D．531 【答案】B 【分析】本题考查了图形类的规律探索，观察前面三个图形可知图n的点的个数为个，据此规律求解即可． 【详解】解：图1有个点， 图2有个点， 图3有个点， ……， 图n有个点， ∴第22个图形中所有点的个数为个点， 故选：B． 22．（重庆市秀山县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题）下列图形都是由同样大小的“围棋子”按一定的规律组成，其中第①个图形有1颗“围棋子”，第②个图形一共有6颗“围棋子”，第③个图形一共有16颗“围棋子”，…，则第⑧个图形中“围棋子”的颗数为（   ） A．91 B．106 C．121 D．141 【答案】D 【分析】本题考查了规律型中图形的变化类，根据图形中棋子数目的变化找出变化规律是解题的关键．本题的图从②个图开始可以看作是由图①的一个棋子为中心依次向外以五边形的形式向外扩张，棋子依次是的整数倍关系．所以第⑧个图形中棋子的颗数也就容易计算了． 【详解】解：∵第①个图形中棋子的个数为： 第②个图形中棋子的个数为： 第③个图形中棋子的个数为： … ∴第个图形中棋子的个数为： 则第⑧个图形中棋子的颗数为： 故选：D． 23．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性，则应选择（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形规律，根据根据阴影三角形的位置的变化以及小圆圈内的横杆的变化，进行作答即可． 【详解】解：阴影三角形的位置的变化：顺时针旋转，小圆圈内的横杆是逆时针旋转， ∴得出问号处为 故选：D 24．（2025七年级下·全国·专题练习）【观察思考】 【规律发现】则第个图案中“”的个数可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形变化规律的探究，解题关键是找到各图形中“”的个数的变化规律．由已知图形得出“”的个数是从1到序数连续整数的和，据此可得答案． 【详解】解：第一个图形有1个“”， 第二个图形有个“”， 第三个图形有个“”， ， 第个图形有个“”， 故选：B． 25．（24-25七年级下·重庆江津·期末）少数民族服饰以其精美的花纹和艳丽的色彩越来越受到设计师们的喜爱．某民族服饰的花边均是由基础图形进行若干次平移后组成的有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，第3个图案由10个基础图形组成，……，如图，按此规律排列下去，第2025个图案中的基础图形个数为（   ） A．6070 B．6073 C．6076 D．6079 【答案】C 【分析】本题考查了图形类规律探索，根据图形找出已知规律是解题关键．观察图形发现第个图案由个基础图形组成，即可求解． 【详解】解：由图形可知，第1个图案由4个基础图形组成，， 第2个图案由7个基础图形组成，， 第3个图案由10个基础图形组成，， …… 观察发现，第个图案由个基础图形组成， 第2025个图案中的基础图形个数为， 故选：C． 26．（24-25七年级下·重庆·期末）如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中有4个圆，第2个图形中有8个圆，第3个图形中有14个圆，第4个图形中有22个圆······，按此规律排列下去，第8个图形中圆的个数是（  ） A．51 B．66 C．74 D．78 【答案】C 【分析】本题考查图形的变换规律；根据图形得出第个图形中圆的个数是是解决本题的关键． 根据图形的排列规律得到：除去上面的2个圆，其余下面圆的个数等于图形的序号与序号数多1数的积，进行解答即可． 【详解】解：因为第1个图形中一共有个圆， 第2个图形中一共有个圆， 第3个图形中一共有个圆， 第4个图形中一共有个圆； 可得第个图形中圆的个数是个； 所以第8个图形中圆的个数个． 故选：C． 27．（24-25七年级下·吉林长春·期中）力旺实验中学校园里的一条小路使用正六边形、正方形、正三角形三种地砖按如图方式铺设．若这条小路共用了33块正六边形地砖，则正方形地砖的数量为（　　） A．166块 B．164块 C．165块 D．160块 【答案】A 【分析】本题考查平面镶嵌（密铺），根据所给图形，发现六边形及正方形地砖与图案之间的关系即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 每增加一个图案，则六边形地砖的块数增加1，且第一个图案中所含六边形的个数为1， 又因为这条小路共用去33块六边形地砖， 所以这条小路由33个图案组成． 因为每增加一个图案，正方形地砖的块数增加5，且第一个图案中所含的正方形个数为6， 所以33个图案中所含正方形的个数为块， 故选：A． 28．（2025·陕西·中考真题）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则第10个图案需要用矩形的个数为 ． 【答案】21 【分析】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律．根据第1个图案中矩形的个数：；第2个图案中矩形的个数：；第3个图案中矩形的个数：；…第n个图案中矩形的个数：，算出第10个图案中矩形个数即可． 【详解】解：∵第1个图案中矩形的个数：； 第2个图案中矩形的个数：； 第3个图案中矩形的个数：； … 第n个图案中矩形的个数：， ∴则第10个图案中矩形的个数为：， 故答案为：21． 29．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图各图是晋商大院窗格图案的一部分，其中“〇”代表窗纸上所贴的剪纸． (1)第1个图中所贴剪纸“〇”的个数为5，第2个图中所贴剪纸“〇”的个数为(　　)，第3个图中所贴剪纸“〇”的个数为(　　) (2)用含有字母的式子表示第n个图中所贴剪纸“〇”的个数是(　　)，当时，所贴剪纸“〇”的个数是(　　) 【答案】(1)8，11 (2)，80 【分析】该题考查了图形规律，找到图形规律是解题的关键． （1）从图中可以数出第2、3个图中所贴剪纸“〇”的个数． （2）观察图形可知，第1、2、3个图中“〇”的个数分别为5、8、11；发现：每增加一个窗格，“〇”的个数增加3个，据此得出规律，并用含字母的式子表示规律，然后把代入式子中，计算出得数． 【详解】（1）解：第1个图中所贴剪纸“〇”的个数为5，第2个图中所贴剪纸“〇”的个数为，第3个图中所贴剪纸“〇”的个数为， 故答案为：，． （2）解：观察图形可知： 第1个图中“〇”的个数为5，； 第2个图中“〇”的个数为8，； 第3个图中“〇”的个数为11，； …… 发现规律：第n个图中“〇”有个． 当时，， 用含有字母的式子表示第n个图中所贴剪纸“〇”的个数是， 当时，所贴剪纸“〇”的个数是， 故答案为：，80． 30．（2025·安徽芜湖·三模）【观察思考】 如图某公园围栏是由圆形构成的图案，每个圆形的边上都有“”或“第个图案中“”有个，“”有个；第个图案中“”有个，“”有个；第个图案中“”有个，“”有个；第个图案中“”有个，“”有个． 【规律发现】 （1）请求出第个图案中“”有______个，“”有______个；（用含的式子表示） 【规律应用】 （2）现有个“”，按此规律制作围栏，要求“”剩余最少，需要购买多少个“”？ 【答案】（1），，（2）需要购买个“” 【分析】此题考查了图形个数规律题，发现正确的规律是解题的关键． （1）根据题中的规律进行解答即可； （2）利用（1）中的规律即可得到答案． 【详解】（1）由所给图形可知， 第个图案中“”的个数为：，“”的个数为：； 第个图案中“”的个数为：，“”的个数为：； 第个图案中“”的个数为：，“”的个数为：； ， 所以第个图案中“”的个数为个，“”的个数为个． 故答案为：，． （2）由得， ， 所以制作成第个图案“”剩余最少， 此时需要购买的“”的个数为：个， 故需要购买个“”． 题型一、数列规律探究 31．（24-25九年级下·云南·期中）下列单项式按一定规律排列：…，其中第个单项式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的规律．观察给定单项式找出规律即可． 【详解】解：∵第1项正，第2项负，第3项正，…，符号交替变化， ∴第项符号为， ∵指数依次为3，5，7，…， ∴第项指数为， 综上所述，符号部分为，指数部分为，故第个单项式为， 故选：C． 32．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，在各个手指间标记字母、、、．请你按图中箭头所指方向（即的方式）从开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当字母第200次出现时，恰好数到的数是( ) 【答案】599 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，由题可知每6个数为1个周期，1个周期中字母出现2次，先用200除以2求出循环的周期数，再乘6，然后再减去最后一个数字即可． 【详解】解：因为，对应的数分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9，…， 所以6个数为1个周期，1个周期中字母出现2次， 因为 所以当字母C第200次出现时，恰好数到的数是599， 故答案为：599． 33．（2025·陕西西安·模拟预测）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释展开式各项系数之间的关系，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”的规律，的展开式中第二项的系数为3，那么的展开式中第三项的系数为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了整式的规律、根据图形中的规律得到的第三项系数为成为解题的关键． 先根据图形中的规律得到的第三项系数为，然后令并代入计算即可． 【详解】解：找规律发现的第三项系数为； 的第三项系数为； …… 的第三项系数为； 当时，有． 所以第三项系数为10． 故答案为：10． 34．（24-25七年级下·广东深圳·期中）我国古代数学的许多创新和发明都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”． 根据“杨辉三角”请计算的展开式中第三项的系数为（    ） A．210 B．171 C．191 D．190 【答案】D 【分析】本题主要考查了图形规律，观察并应用发现的规律是解题的关键． 观察“杨辉三角”中的第三列，发现其规律为连续自然数之和；接着基于此规律，推导出的第三项系数的计算公式；最后，根据公式计算 的第三项系数，并选择正确答案. 【详解】解： 观察“杨辉三角”中的第三列，可以发现规律为连续自然数之和： 的第三项系数为 ； 的第三项系数为 ； 的第三项系数为 ； ...... 的第三项系数为. 故选：D. 35．（24-25七年级下·安徽·期中）根据，，， 的规律，则的个位数字是（   ） A．3 B．5 C．7 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查数字规律，根据所给式子得出规律，令，，求出，得出个位数的规律即可解答． 【详解】解：由题意知：， ， ， 所以，， 令，，则有： ， 因为以2为底的乘方的运算结果个位数字按2，4，8，6循环，且余2， 所以的个位数字为4， 则的个位数字为3． 故选：A． 36．（2025·广东广州·二模）观察图中数字的排列规律．按照此规律继续排列，若数字2025出现在第m列第n行的位置，则m和n的值分别是（    ） 第1列 第2列 第3列 第4列 … 第1行 1 2 9 10 … 第2行 4 3 8 11 … 第3行 5 6 7 12 … 第4行 16 15 14 13 … 第5行 17 … … … … A．1，45 B．45，1 C．44，2 D．2，44 【答案】B 【分析】本题是对数字变化规律的考查，观察出奇数列、偶数行的数的变化规律是解题的关键． 由表格得：第奇数列的第一行的数为所在列数的平方，然后向下每一行递减一个数至与列数相同的行止，第偶数行的第一列的数是所在行数的平方，然后向右每一列递减1至与行数相同的列止，因为，根据此规律即可得到，，即可得到答案． 【详解】解：由表格得，第一行的第1、3、5列的数分别为1、9、25，为所在列数的平方，然后向下每一行递减1至与列数相同的行止，第一列的第2、4、6行的数分别为4、16、36，为所在行数的平方，然后向右每一列递减1至与行数相同的列止， ， 数字2025出现在第行第列的位置， ， 故选：B． 37．（24-25七年级下·广东东莞·期中）如下图数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成解答．若用表示一个数在数表中的位置，如9的位置是，则168的位置是 ． 【答案】 【分析】本题考查数字类规律探究，根据数表可知第行的最后一个数为，每一行有个数，进而求出168的位置即可． 【详解】解：观察数表可知，每一行的最后一个数为：， 当时，， 当时，， ∵， ∴在第18行，第15个数， ∴168的位置是； 故答案为：． 38．（24-25七年级上·湖南湘西·期中）正整数按如下图的规律排列，请写出第6行，第6列的数字是 ；第n行，第n列的数字是 ．(用含n的代数式表示)． 【答案】 31 【分析】本题考查数字规律探索，用代数式表示规律，代数式的值，仔细观察各行各列数规律，抓住第一列规律，与第一行规律是解题关键． 先找出第一列每一行的规律，再找出第一行每一列规律，观察然后再找出第行，第列是第 1 行，第列与第行，第 1 列两数和的一半，然后求第6行，第6列的数字即可． 【详解】解：第一列各行数为， 第一行各数为， 第 1 行，第列的数字为，第行，第 1 列的数字为， 第行，第列的数字为． ∴第6行，第6列的数字为， 故答案为：． 39．（24-25七年级下·天津南开·期中）如图，将正整数按以下规律排列： 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 … 第一行 1 4 5 16 17 … 第二行 2 3 6 15 … … 第三行 9 8 7 14 … … 第四行 10 11 12 13 … … 第五行 … 表中数1在第一行第一列，与有序数对对应，2在第二行第一列，与有序数对对应，数9与对应，数10与对应，…，根据这一规律，数对应的有序数对为 ． 【答案】 【分析】本题考查了规律型中数字的变换类，解题的关键是找出变换规律“当n为偶数时，第n列第一行数为，第n列第二行数为，第n列第三行数为，…”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据偶数列首位数的变化，找出变化规律是关键． 设第n列第一个数为（n为正整数），观察发现偶数列第一个数变化规律为：当n为偶数时，第n列第一行数为，第n列第二行数为，第n列第三行数为，…再根据，得出399在第20列第二行，即可得出答案． 【详解】解：设第n列第一个数为（n为正整数）， 观察偶数列第一个数：，，，… ∴发现偶数列第一个数变化规律为：当n为偶数时，第n列第一行数为， 第n列第二行数为，第n列第三行数为，… ∵ ∴399在第20列第二行， ∴数对应的有序数对为． 故答案为：． 40．（2025·山东枣庄·三模）将连续的正整数排成如图所示的数表，记为数表中第行第列位置的数字，如，，，若，则 ， ．    【答案】 【分析】本题考查了探究规律—数字类，由图得对于整数，当为奇数时，在第行，第列；整数在行，第列；整数在第行，第列；当为偶数时，在第行，第列；整数在第行，第列；整数在第行，第列；即可求解；找出规律是解题的关键． 【详解】解：由图得 对于整数， 当为奇数时，在第行，第列；整数在行，第列；整数在第行，第列； 当为偶数时，在第行，第列；整数在第行，第列；整数在第行，第列； ， ， 在第行，第列， ，， 故答案为：，． 41．（2025·广东清远·二模）将连续的奇数1，3，5，7，……排成如图所示的数表． (1)十字形框中的五个数之和是______，设中间数为a，请用含a的代数式表示十字形框中的五个数之和是______． (2)若将十字形框上下左右移动，可框住另外五个数，这五个数还有上述的规律吗？若有，请说明理由，若没有，也说明理由． (3)十字形框中的五个数之和能等于2022吗？能等于2025吗？并说明理由． 【答案】(1)75； (2)这五个数的和还是中间那个数的5倍，理由见解析 (3)不能为2022，可以为2025，理由见解析 【分析】本题考查了探索数字的规律，整式的加减计算，解题的关键是能找出所给数据之间的规律． （1）把五个数相加即可得出答案；用含a的式子分别表示出其他四个数，再利用整式的加减计算法则求出这五个数的和即可； （2）令十字框中间数为b，根据题中所给十字框，可写出则其余4个数，将这5个数相加即可得； （3）分别计算出2025和2022除以5的结果，所得的结果只要不在最右边或最左边那一列都符合题意． 【详解】（1）解：， ∴十字框中的五个数之和为75； 解：设中间数为a，则其余的4个数分别为，，，， 由题意，得， 因此十字框中的五个数之和为． （2）解：这五个数的和还是中间那个数的5倍，理由如下： 设移动后中间数为b，则其余的4个数分别为，，，， 由题意，得， 因此这五个数之和还是中间数的5倍． （3）解：不能为2022，可以为2025，理由如下： 由（2）知，十字框中五个数之和总为中间数的5倍， ∵，且个位数字为5的数字都在第三列， ∴中间的那个数字为505，满足题意， ∴十字框中五个数之和能为2025， ∵， ∴十字框中五个数之和不能为2022． 题型二、数字规律探究 42．（24-25七年级下·湖南永州·期中）已知，，，，计算的结果的个位数字是 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查平方差公式，根据将原式变形为得，再判断出的个位数字即可． 【详解】解： ； ∵，个位数字是3； ，个位数字是9； ，个位数字是7； ，个位数字是1； ，个位数字是3； ⋯ 可以发现，3的幂次方的个位数字是以3，9，7，1这4个数依次循环， ∵， ∴的个位数字是1， ∴的个位数字0， 故答案为：0． 43．（2025·安徽滁州·三模）观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式： ． (2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的式子表示），并证明． 【答案】(1)；（2） (2)，见解析 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，列代数式，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律． （1）观察已知等式即可得第5个等式； （2）结合（1）即可得第n个等式，然后通过计算左边等于右边即可证明． 【详解】（1） 解：根据已知等式可知，第5个等式: ， 故答案为：； （2） 解：第n个等式: 证明：左边 右边， 故猜想成立 44．（2025·海南·模拟预测）综合与实践 古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，…，这样的数称为“三角形数”，第个“三角形数”可表示为：，某数学兴趣小组对“三角形数”进行了研究，活动过程如下： 【规律发现】 数学兴趣小组发现，每相邻两个“三角形数”的和有如下规律： 第1个等式： 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 【问题解决】 任务一：第5个等式为_____； 任务二：写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明； 任务三：数学兴趣小组还发现，，…，即任意一个“三角形数”乘8再加1都是一个完全平方数，请你对发现的该结论加以证明． 【答案】任务一： 任务二：，证明见解析 任务三：该结论可表示为：，证明见解析 【分析】本题主要考查整式的混合运算的应用，正确理解“三角形数”的概念是解题的关键． 任务一：根据题意即可写出第5个等式； 任务二：根据题意即可写出第个等式，再进行求解即可； 任务三：根据规律得到等式并化简即可证明． 【详解】解：任务一：； 任务二：，证明如下： 等式左边， 等式右边， 等式左边等式右边， 等式成立； 任务三：根据题意，设任意一个“三角形数”用表示， 则该结论可表示为：，证明如下： 等式左边， 等式右边， 等式左边等式右边， 等式成立， 任意一个“三角形数”乘8再加1都是一个完全平方数． 题型三、周期规律探究 45．（2025·云南·模拟预测）观察下列等式：，，，，，，根据其中的规律，可得的和的个位数字是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了探数字的变化规律，根据运算规律可知个位数分别为：，，，，，，，每个数一组进行循环，因为，所以个位数之和应是，所以它们的和的个位数是． 【详解】解：，，，，，，， 可知个位数分别为：，，，，，，， 每个数一组进行循环， ， ， ， 的和的个位数字是． 故选：D． 46．（24-25七年级下·四川成都·期中）在数字探索游戏中，小明将数组，，进行了一系列操作后得到新的数组， 操作如下： 用相邻两个数中左边的数减去右边的数，所得之差放在两数之间 得到一个新的数组，即 ，，，，，这称为第次操作继续操作下去会得到不同的新的数组．当小明操作第次后又得到一个新的数组，则该数组之和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能通过计算发现所得新数组的和依次增加是解题的关键．根据所给操作方式，依次求出每次操作后所得数组的和，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 第次操作后，所得新数组的和为：； 第次操作后，所得新数组的和为：； 第次操作后，所得新数组的和为：； ， 所以第次操作后，所得新数组的和为． 当时， ， 即第次操作后，所得新数组的和为． 故答案为：． 47．（24-25七年级下·江西萍乡·期末）如图所示是“奋进小组”设计的一个运算程序，若第一次输入的数是256，则第2025次输出的结果是（   ） A．1 B．4 C．16 D．64 【答案】B 【分析】本题考查了运算流程图与代数式求值，数字类规律探索，根据流程图正确计算是解题关键．根据流程图依次计算，根据结果发现从第三次开始，输出的结果按4、1循环出现，即可得到答案． 【详解】解：第一次输入的数是256，输出的数是， 第二次输入的数是64，输出的数是， 第三次输入的数是16，输出的数是， 第四次输入的数是4，输出的数是， 第五次输入的数是1，输出的数是， 第六次输入的数是4，输出的数是， 第七次输入的数是1，输出的数是， …… 观察发现，从第三次开始，输出的结果按4、1循环出现， 第2025次输出的结果是4， 故选：B 48．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）已知为实数，规定运算：，，，，…，．按上述规定，当时，的值等于（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查数式规律问题，根据规定列式计算后总结规律，发现数列每3项为一个周期循环，利用周期性求解即可． 【详解】解：当时， ， ， ， ， ， …… ,     ， ， 故选：C． 49．（2025·湖南岳阳·二模）已知且，我们定义，记为；，记为；；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；；则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律变化问题，根据题意可得，，，每三次变换为一个循环，据此解答即可求解，掌握变化规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， ， ∴， ， ∴， ， ∴每三次变换为一个循环， ∵， ∴， 故选：． 50．（2025七年级下·全国·专题练习）如下表，从左到右在每个小格中都填入一个整数，使任意三个相邻格子所填整数之和都相等，则第2025个格子中的整数是 ． 2 a b c 6 b … 【答案】 【分析】本题考查了数字变化规律，仔细观察排列规律求出a、b、c的值，从而得到其规律是解题的关键．根据三个相邻格子的整数的和相等列式求出a、c的值，再根据第9个数是可得，然后找出格子中的数每3个为一个循环组依次循环，在用2025除以3，根据余数的情况确定与第几个数相同即可得解． 【详解】解：∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等， ∴， 解得， ， 解得， ∴数据从左到右依次为2、6、b、2、6、b， 第9个数与第三个数相同，即， ∴每3个数“2、6、”为一个循环组依次循环， ∵， ∴第2025个格子中的整数与第3个格子中的数相同，为． 故答案为：． 51．（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，把周长为个单位长度的圆放到数轴（单位长度为）上，三点将圆三等将点与数轴上表示的点重合，然后将圆沿着数轴正方向滚动，则对应点可能为（　　） A． B． C． D．以上答案均错误 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上动点的运动，理解图示，找出规律是关键． 根据题意得到点对应的数字为（的整数），点对应的数字为（的整数），点对应的数字为（的整数），由此即可求解． 【详解】解：∵圆的周长为个单位长度，数轴的单位长度为，为圆的三等分点， ∴滚动次后回到点，即每次一循环， ∵起点在的位置， ∴点滚动第一圈是，滚动第二圈是，滚动第三圈是，......，则点对应的数字为（的整数）， 点滚动第一圈是，滚动第二圈是，滚动第三圈是，......，则点对应的数字为（的整数）， 点滚动第一圈是，滚动第二圈是，滚动第三圈是，......，则点对应的数字为（的整数）， ∴，则，不符合题意； ，则，不符合题意； ，则，符合题意； ∴对应点可能为点， 故选：C ． 52．（24-25八年级下·重庆长寿·期末）有一列数，将这列数的每个数求其相反数得到，再分别求与1的和的倒数，得到，称为一次操作，记为，第二次操作是将再进行上述操作，得到；第三次将重复上述操作，得到…以此类推，下列说法中：①；②；③，正确的有（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是求出前面的几个数，发现其存在的规律．根据所给的操作方式，求出前面的数，再分析存在的规律，从而可求解． 【详解】解：第一次操作后数列为．第二次操作时，对每个数取相反数得，加1后为，再取倒数得， 即，，，故①正确． 第三次操作后数列恢复为，形成周期为9项的循环． 计算余，对应第9项，即，故②正确． 每个周期9项的和为： 个周期余2项，总和为，故③正确． 综上，三个说法均正确， 故选D． 53．（24-25八年级下·重庆黔江·期末）已知整式，其中均为整数，为正整数，n为自然数，且满足．则下列说法： ①当时，满足条件的整式M中有1个单项式； ②不存在任何一个n，使得满足条件的整式M是二次三项式； ③满足条件的整式M共有14个． 其中正确的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查整式的分类讨论，结合绝对值和非负整数的性质，分情况讨论各n的可能情况，并验证各说法的正确性即可． 【详解】解：∵整式，且满足 ∴： ⇒ （唯一情况），（单项式）． ： ⇒ ．． ∵为正整数，可能取1、2、3： 时， ⇒ （2种二项式）． 时， ⇒ （2种二项式）． 时， ⇒ （1种单项式）． 共5种，其中仅1个单项式（）． ： ⇒ ．； 为正整数，可能取1或2： 时，其他系数为0 ⇒（1种单项式）． 时，： ，（2种二项式）． ，（2种二项式）． 共5种，无三次项． ： ⇒ ，其他系数为0 ⇒（1种单项式）． ：不满足条件． 验证说法： ①当时，有1个单项式：正确（仅）． ②不存在二次三项式：正确（时，系数绝对值之和为1，无法形成三个非零项）． ③总共有14个整式：错误（实际总数为种）． 综上，正确的说法为①和②，共2个， 故选：C． 54．（24-25九年级下·北京·阶段练习）“阿凡提巧取七环”的故事是这样的：一个地主非常自负和刻薄，经常出难题借以克扣长工的工钱．有一回，他用纯银打了个七连环作为工钱，请人做工七天，要求打工者只能断开其中的一环，干几天就取几个银环，不能多取，也不能少取．很多打工者因为不能完成这个任务，而没能拿到工钱．聪明的阿凡提先将第三环断开，第一天取走断开的那一环；第二天，阿凡提还给地主断开的那一环，拿走两连环；第三天，阿凡提再拿走断开的那一环；第四天，用前三天拿走的三个环去换四连环；第五天再拿走断开的那一环；第六天，还给断开的那一环，拿走两连环；第七天再取走断开的那一个环，正好是七环．如图所示： 断开前： 断开后： 如果老板有一个23连环，同样要求干几天取几个环，你能像阿凡提那样只断开其中的两个环，在23天的工作时间内每天都能顺利拿到工钱吗？如果能，请说出需要断开第 号和第 号环． 【答案】 【分析】本题主要考查了逻辑推理和数字组合的概念，解题的关键在于通过合理断开两个环，将连环拆分成不同数量的小部分，使得这些小部分能够通过组合和交换的方式，满足每天获取对应数量银环的要求．根据题意尝试找出一种合理的拆分方式，然后根据每天的获取规则来验证是否可行即可得解． 【详解】解：断开第环和第环，断开后形成了个(第环断开产生)单环、个单环(第环断开产生)、一个环(环)、一个环(环)、一个环(环)， 每天获取工钱的具体方式如下， 第天，取走个单环(此时手里有个环)， 第天，再取走个单环(此时手里有个环)， 第天，还回个单环，取走一个环(此时手里有个环)， 第天，取走个单环(此时手里有个环)， 第天，再取走个单环(此时手里有个环)， 第天，还回手里的个环，取一个环(此时手里有个环)， 第天，取走个单环(此时手里有个环)， 第天，再取走个单环(此时手里有个环)， 第天，还回手里的个单环，取走一个环(此时手里有个环)， 第天，取走个单环(此时手里有个环)， 第天，再取走个单环(此时手里有个环)， 第天，还回手里的个环，取走一个环(此时手里有个环)， 第天，取走个单环(此时手里有个环)， 第天，再取走个单环(此时手里有个环)， 第天，还回个单环，取走一个环(此时手里有个环)， 第天，取走个单环(此时手里有个环)， 第天，再取走个单环(此时手里有个环)， 第天，还回手里的个单环和一个环，取一个环(此时手里有个环)， 第天，取走个单环(此时手里有个环)， 第天，再取走个单环(此时手里有个环)， 第天，还回个单环，取走一个环(此时手里有个环)， 第天，取走个单环(此时手里有个环)， 第天，再取走个单环(此时手里有个环)， 故答案为：，． 55．（24-25七年级下·重庆荣昌·期末）一个三位自然数，其各位数字互不相等且均不为0，百位数字比个位数字大1，我们称这个三位自然数为“小尾数”，记．比如493，各位数字互不相等且均不为0，百位数字4比个位数字3大1，所以493是“小尾数”，．当“小尾数”m取最小值时， ，若一个“小尾数”m，使恰为13的倍数，则满足题意的最大“小尾数”是 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，解题的关键是理解新定义，熟练掌握数的特点，理解三位数各个数位上数字之间的关系． （1）根据题目所给“小尾数”的定义，即可解答； （2）根据“小尾数”的定义得出，推出，根据恰为13的倍数，得出能被13整除，然后进行分类讨论即可． 【详解】解：∵“小尾数”各位数字互不相同且均不为0，百位数字比个位数字大1， ∴最小的“小尾数”， ∴． 设，则， ∴， ∴ ∵恰为13的倍数， ∴能被13整除， 当，时，此时不能被13整除，不满足题意， 当，，此时不能被13整除，不满足题意， 当，，此时不能被13整除，不满足题意， 当，，此时不能被13整除，不满足题意， 当，，此时不能被13整除，不满足题意， 当，，此时不能被13整除，不满足题意， 当，，此时不能被13整除，不满足题意， 当，，此时不能被13整除，不满足题意， 当，，此时不能被13整除，不满足题意， 当，，此时不能被13整除，不满足题意， 当，，此时不能被13整除，不满足题意， 当，，此时不能被13整除，不满足题意， 当，，此时不能被13整除，不满足题意， 当，，此时不能被13整除，不满足题意， 当，，此时不能被13整除，不满足题意， 当，，此时能被13整除，不满足题意， 此时，， 综上：满足题意的最大“小尾数”为， 故答案为：， 56．（2025·山东临沂·二模）三个不完全相同的有理数，记为，进行如下操作：将其中最大的数减去2，另两个数分别加上1，得到对应的三个新数，第一次操作的结果记为，若有两个相等的最大数，则取最后面的最大数减2，另两个数分别加1；将按上述方式再做一次操作，得到第二次操作的结果；以此类推，当时，则，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了数字类变化规律．根据题意找到规律是解题的关键．找到一般规律即可解决问题．根据依次求出，，，，然后得出一般规律，得出答案即可． 【详解】解：当时， 第一次操作：最大数为1，操作后得到； 第二次操作：最大数为，操作后得到； 第三次操作：最大数为0，操作后得到； 第四次操作：最大数为0，操作后得到； 第五次操作：最大数为，操作后得到； 后续规律：操作进入循环，周期为3， ∵， ∴． 故答案为：． 57．（2025·安徽蚌埠·三模）将一个边长为1的等边三角形（如图1）的每一边三等分，以居中那条线段为底边向外作等边三角形，并去掉所作的等边三角形的一条边，得到一个六角星（如图2），称为第一次分形．接着对每个等边三角形凸出的部分继续上述过程，即在每条边三等分后的中段向外画等边三角形，得到一个新的图形（如图3），称为第二次分形．反复进行这一过程，就会得到一个“雪花”样子的曲线．它是由瑞典人科赫于1904年提出的，这种曲线叫科赫曲线或雪花曲线． (1)每一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是前一个“雪花曲线”边数的 倍；每一次分形后，三角形的边长都变为原来的 ； (2)第n次分形后所得图形的边数是多少？周长为多少？写出过程．（用含n的代数式表示） 【答案】(1)， (2)，，见解析 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据图形找出规律是解题的关键． （1）根据第一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是12，边长为，第二次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是48，边长为，即可得出答案； （2）先根据（1）得出第n次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是，边长为，再求出周长即可． 【详解】（1）解：原等边三角形的边数为3，边长为1， 第一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是12，边长为， 第二次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是48，边长为， ， 每一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是前一个“雪花曲线”边数的4倍，每一次分形后，三角形的边长都变为原来的， 故答案为：4，； （2）解：原等边三角形的边数为3，边长为1， 第一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是12，边长为， 第二次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是48，边长为， ， 每一次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是前一个“雪花曲线”边数的4倍，每一次分形后，三角形的边长都变为原来的， ∴第n次分形后，得到的“雪花曲线”的边数是，边长为， ∴周长为． 58．（2025七年级下·全国·专题练习）已知平面上有n（n为大于或等于2的正整数）个点．，，，…，，从第1个点．开始沿直线滑动到另一个点，且同时满足以下三个条件：①每次滑动的距离都尽可能最大；②n次滑动将每个点全部到达一次；③滑动n次后必须回到第1个点．我们称此滑动为“完美运动”，且称所有点为“完美运动”的滑动点，记完成n个点的“完美运动”的路程之和为． Ⅰ．如图①，滑动点是边长为a的等边三角形的三个顶点，此时（　　） Ⅱ．如图②，滑动点是边长为a、对角线（线段）长为b的正方形四个顶点，此时（　　） Ⅲ．现有n个点恰好在同一直线上，相邻两点间距离都为1． （1）如图③，当时，直线上的点分别为点． 为了完成“完美运动”，滑动的步骤给出如图④的两种方法： 方法一：，方法二：． a．其中正确的方法为（　　） A．方法一    B．方法二    C．方法一和方法二 b．此时（　　） （2）当n分别取4，5时，对应的（　　），（　　） （3）若直线上有n个点，且对应的，（　　） 【答案】Ⅰ．；Ⅱ．；Ⅲ．（1）a．A，b．4；（2）8，12；（3）10 【分析】此题考查了图形规律问题， Ⅰ．根据滑动点是边长为a的等边三角形三个顶点进行判断即可； Ⅱ．根据滑动点是边长为a，对角线长为b的正方形四个顶点进行判断即可； Ⅲ．（1）“完美运动”需要满足以下三个条件：①每次滑动的距离都尽可能最大；②n次滑动将每个点全部到达一次；③滑动n次后必须回到第1个点，①方法一不满足条件②，不对； （2）根据条件：①每次滑动的距离都尽可能最大；②n次滑动将每个点全部到达一次；③滑动n次后必须回到第1个点A1，进行计算即可得出，； （3）如果有n个点，第一次要最大，只能是从第1个点到第n个点，长度是；第2次要最大，只能是从第n个点到第2个，长度是；按照此规律，如果n为偶数，则最后到的点是+1，此点回到第1个点距离为，据此进行计算即可． 【详解】Ⅰ．滑动点是边长为的等边三角形三个顶点时，滑动路线为，； Ⅱ．滑动点是正方形四个顶点时，滑动路线是，． Ⅲ．（1）①方法一不满足条件②，不对，故应选， ②此时． （2）取时，滑动路线应为，． 取时，滑动路线应为，． （3）如果有个点，第一次要最大，只能从第个点到第个点，长度是； 第二次要最大，只能从第个点到第个，长度是，依次类推． 若为偶数，最后到中间的点为，回到第一个点距离为，此时， ． ∴当时， ∴． 59．（24-25八年级下·重庆巴南·期末）规定：一个四位正整数的各个数位上的数字均不为0且互不相同，并满足百位数字比千位数字大3，十位数字是个位数字的2倍，则称这个四位数为“三心二意数”．若将的千位数字与百位数字组成的两位数记为，将的十位数字与个位数字组成的两位数记为，例如：当时，为69，为21．记，若一个“三心二意数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为．当为整数时，则 ；且为完全平方数，则满足条件的正整数为 ． 【答案】 7 5842 【分析】根据百位数字比千位数字大3，十位数字是个位数字的2倍，可得，，所以有，，且、均为整数，所以可得：，根据能被整除的数的个位是或，可知的个位数为或，又因为四位正整数的各个数位上的数字均不为且互不相同，所以可知的个位数为； 把整理可得：，根据能被整除的数的个位数是或，可知的个位数是，又因为的值为、、、，的值为、、、、、，又因为为完全平方数，所以只有当、时满足条件，求出此时的即可． 【详解】解：的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为， ，， 则有，，且、均为整数， ，， ， 为整数， 的个位数为或， 的个位数为或， 或， 四位正整数的各个数位上的数字均不为且互不相同， 的个位数为， ； 解：为完全平方数， 整理得：， 的个位数是或， 的个位数是， 的值为、、、，的值为、、、、、，且a与d不相同 当，时，， 不是完全平方数， 符合题意； 此时，， ； 符合条件的有， 故答案为： ；． 【点睛】本题考查了新定义计算、有理数的运算、列代数式、整式的加减运算、完全平方数，解决本题的关键是百位数字比千位数字大3，十位数字是个位数字的2倍，可得，，列出关于、的代数式． 60．（2025·安徽淮南·二模）已知图1中有1个等边三角形，记作；分别连接这个等边三角形三边中点得到图2，有5个等边三角形，记作；再分别连接图2中间的小等边三角形三边中点得到图3，有9个等边三角形，记作；…….按照此规律解答下列问题： (1)图4中有_______个等边三角形，记作_________； (2)图中有_______个等边三角形，记作_________；（结果用含的代数式表示，不用说理） (3)在求的值时，可令，则，∴，∴，按此方法计算；（结果用含的代数式表示） 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查了图形变化的一般规律问题，整式的乘法，能够通过观察，掌握其内在规律是解题的关键． （1）由第一个图中个三角形，第二个图中个三角形，第三个图中个三角形，每次递增个，即可得出第个图形中有个三角形； （2）根据（1）中的规律即可得出第个图形中有个三角形； （3）根据题意得到，然后整理求解即可． 【详解】（1）解：∵第一个图中个三角形， 第二个图中个三角形， 第三个图中个三角形， 每次递增个； ∴图4中有个三角形，记作； 故答案为：， （2）解：由（1）可得， 图中有个三角形，记作； 故答案为：； （3）解： ； 61．（2024·安徽马鞍山·三模）【观察思考】如图，是由同样大小的小正方形按一定规律组成的图形，其中图①中有3个小正方形，图②中有8个小正方形，图③中有15个小正方形，图④中有24个小正方形，… 【规律发现】依此规律，完成以下问题： （1）图⑤中共有小正方形的个数为______； （2）图中共有小正方形的个数为______． 【规律应用】（3）已知一物体从静止开始沿一个方向移动，每隔一段时间测量一次它移动的距离，测量得到的数据依次为3米、8米、15米、24米、…，如果物体按照这样的移动规律，在第（为正整数）次测量时移动的距离比第（）次测量时移动的距离多（）米，那么该物体在第（）次测量时移动了多少米？ 【答案】（1）35（2）（３）195 【分析】该题是图形类规律题，主要考查了图形规律以及解一元二次方程，解题的关键是根据题意得出图象变化规律． （1）根据图例得出规律即可解答； （2）根据图例得出规律即可解答； （3）由（2）中规律结合题意得出，解答即可求解． 【详解】解：（1）图⑤中共有小正方形的个数为， 故答案为：35； （2）图中共有小正方形的个数为， 故答案为：； （3）根据题意得， 整理得，， 解得或（舍去）， ∴， 所以，该物体在第（）次测量时移动了195米． 62．（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图1，四个底面形状、大小都相同且材质相同、均匀的长方体积木对齐叠放，从上至下编号依次为①、②、③、④，积木②、③、④的高度相同，都是积木①高度的2倍．设长方形积木的初始边缘所在直线为． 【预备知识】 1．两个长方体积木组合叠在一起组成一个新的组合，当上方组合的重心在水平方向上超过下方组合的边缘时，就会倒下． 2．一个长方体积木组合的重心偏移的水平距离，等于组合中各个长方体积木重心偏移的水平距离分别乘其各自的质量，再把它们相加所得的和除以长方体积木组合的总质量所得的结果． 3．积木的质量比等于它们的高度比． 假设每块积木长为，在不倾倒的前提下按照要求推动积木． (1)如图2，推动积木①至最远， ①积木①的最远延伸长度为________； ②此时积木①②组合的重心偏移的距离为________．（结果用含的代数表示）（提示：请结合预备知识解决） (2)在（1）的基础上，保持积木①②组合的相对位置不变，先按图3中食指所指的方向推动积木①②组合至最远，再继续推动积木③，求积木①②③组合的最远延伸长度． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了图形类规律探究，列代数式，理解预备知识的说明是解答本题的关键． （1）①根据预备知识1列式计算即可；②根据预备知识2列式计算即可； （2）由（1）中②的计算发现规律求解即可． 【详解】（1）解：①积木①的重心偏离积木②的重心的距离为； ②设积木①质量为m，则积木②的质量为， 则积木①②组合的重心偏移的距离为， 故答案为：①；②． （2）解：设积木①的质量为，根据题意可得积木②、③、④的质量为． 由（1）可得积木①②的组合的最远推动距离为 ． 根据预备知识2可得将积木①②的组合推至最远时， 积木①②③组合的重心偏移的水平距离 ． 根据预备知识可得积木组合的重心偏移的水平距离为时，积木会倒下． 所以积木③的最远推动距离为． 所以积木①②③组合的延伸长度为． 63．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）对于一个各个数位上的数字均不为零的三位正整数，如果它的百位数字、十位数字、个位数字是由依次减少相同的非零数字组成，则称这个三位数为“递减数”，记为，把这个“递减数”的百位数字与个位数字交换位置后，得到一个新的三位数，记为，例如交换后为123，即，规定，如． (1)求，的值． (2)若一个三位“递减数”的百位数字、十位数字、个位数字分别为、、，其中且为整数，求证：． (3)若是百位数字为9的数，是个位数字为1的数，且满足，记，求的最大值． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)最大值为325 【分析】本题考查了列代数式和整式加减的应用，解答关键要理解每个递减数的各数位数字递减的规律． （1）根据题意列出算式，进行计算，即可求解； （2）根据题意得出，，然后代入进行计算即可； （3）由于、为递减数，需要设出每个数的递减的数值为、，根据题意，列出、的关系，再用、表示即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）证明：， ， ∴ ； （3）解：设、的每个数位上的数字递减数值分别为、， 、为各个数位上的递减数值，递减后的数值不能使各数位上的数字小于1， 、分别取的整数， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ∴， ， ∵， ， ，且为整数， 当时，最大值为325． 64．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）数学中的逻辑推理主要包括归纳推理、类比推理和演绎推理．小明尝试探索能被8整除的整数的规律． 观察： ，，； ，，； ，，； ，，． 猜想： （1）请你判断3265160__________被8整除（填“能”或“不能”）； （2）由上述规律，我们发现：判断一个大于1000的整数能否被8整除，只需要看这个数的后__________位数能否被8整除．请说说你的判断方法． 应用： （3）如果一个整数能被25整除，那么这个整数的特征是__________． （4）某宾馆的一间客房的房间号是一个四位数，已知：①这个数能被8整除；②十位数字比个位数字大2；③百位数字是十位数字的一半；④千位数字是最小的正整数．这个房间号是多少？说说你的理由． 【答案】（1）能；（2）三，见解析；（3）末两位必须是00或25或50或75；（4）1120，理由见解析 【分析】此题考查了整式的加减运算的应用，数字类规律问题，解题的关键是掌握以上知识点． （1）通过计算判断即可； （2）观察题干中的数据总结规律即可，然后根据整除的性质求解即可； （3）同（2）的方法求解即可； （4）根据题意设设这个四位数的百位数字是x，则十位数字是，个位数字是，表示出这个四位数，然后求出，得到或2或3或4，然后分别代入求解判断即可． 【详解】（1） ∴3265160能被8整除； （2）由上述规律，我们发现：判断一个大于1000的整数能否被8整除，只需要看这个数的后三位数能否被8整除； ∵ ∴1000能被8整除 ∴个位，十位，百位都是0的大于1000的数都能被8整除 ∴如果一个大于1000的整数的后三位能被8整除 ∴这个大于1000的整数就能被8整除； （3）∵ ∴100能被25整除 ∴个位，十位都是0的大于100的数都能被25整除 ∴如果一个大于100的整数的末两位能被25整除 ∴这个大于100的整数就能被25整除 ∵，，， ∴如果一个整数能被25整除，那么这个整数的特征是末两位必须是00或25或50或75； （4）这个房间号是1120，理由如下： ∵某宾馆的一间客房的房间号是一个四位数，十位数字比个位数字大2；百位数字是十位数字的一半； ∴设这个四位数的百位数字是x，则十位数字是，个位数字是 ∵千位数字是最小的正整数1 ∴这个四位数可以表示为 ∵这个数能被8整除 ∴能被8整除 根据题意得，， ∴解得 ∵x是正整数 ∴或2或3或4 当时，，能被8整除，符合题意． ∴当时，，不能被8整除，不符合题意； 当时，，不能被8整除，不符合题意； 当时，，不能被8整除，不符合题意； ∴，， ∴这个房间号是1120． 65．（2025·四川资阳·模拟预测）《庄子·天下》：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．我国智慧的古代人在两千多年前就有了数学极限思想，今天我们运用此数学思想研究下列问题． （规律探索） (1)如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则，如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉—半，则____； 同种操作，如图3，_____； 如图4，________； ……若同种地操作n次，则_________． 于是归纳得到：_________． (2)阅读材料：求的值． 解：设①， 将①×2得：②， 由②-①得：，即． 即 根据上述材料，试求出的表达式，写出推导过程． 【答案】(1)，，，， (2)，过程见解析 【分析】本题考查了规律探究和乘方的应用，正确理解题意是关键； （1）根据题意提供的方法找到规律解答即可； （2）仿照题目中给的方法解答即可. 【详解】（1）解：如图1所示的是边长为1的正方形，将它剪掉一半，则， 如图2，在图1的基础上，将阴影部分再裁剪掉—半，则； 同种操作，如图3，； 如图4，； ……， 若同种地操作n次，则． 于是归纳得到：； 故答案为：，，，，； （2）解：设①， 则②， ，得， 即. 66．（24-25七年级下·上海杨浦·期末）综合实践 （一）问题情境  田径比赛中，在进行400米比赛时，运动员的起跑点并不处在同一条直线上，为什么这样呢？如果比赛的起点和终点同在一条直线上，显然，对内侧跑道上的运动员较为有利．原因是内侧跑道的一周长较短，因此，为了公平比赛，在外侧跑道的运动员的起跑点必须前移．如图1是某学校新建操场示意图，每条跑道由两条平行直道和两个半径相等的半圆形弯道组成，直道长度为米，第一分道（跑道）的弯道直径为米，每条跑道宽米，共有8条跑道．如图2，径赛规则规定，第一分道（跑道）周长的测量线是距离内突沿的外沿米处，其余各条分道的周长测量线是距离里侧分道线的外沿0.20米处．在进行400米跑步时，第一分道（跑道）的起跑点和终点在同一位置，且规定第一分道（跑道）的起跑点在直道和弯道的交接处点A． （二）数据计算  下表中是综合实践活动小组用列表方式呈现的相关数据：（单位：米） （三）问题解决  请根据综合实践活动经历及体会，解答下列问题（π取，结果保留两位小数）． 道次 两条弯道总长 两条直道总长 第一分道（跑道） 第二分道（跑道） 第三分道（跑道） … …… …… (1)第一分道的弯道总长为________米，第八分道总长为________米； (2)如图1，该学校在操场举行400米比赛，如果第一分道的起跑点设在点A处，第六分道的起跑点设在点A左侧弯道前方点E处，那么第六分道的起跑点比第一分道的起跑点前移________米，________度． 【答案】(1)； (2)； 【分析】本题考查了整式的实际应用，规律探索，圆的弧长公式等知识点，合理分析提议获取相关信息是解题的关键． （1）根据题中所给的数据规律解答即可； （2）求出第六道的周长，即可得出第六分道的起跑点比第一分道的起跑点前移了多少米，再利用弧长公式运算角度即可． 【详解】（1）解：第一分道的弯道总长为：； 第八分道总长为：； 故答案为：； （2）解：第六分道总长为：， ∴第六分道的起跑点比第一分道的起跑点前移：； 射的度数为，此时第六道的半径为：， ∴，即， 解得：； 故答案为：；． 67．（2025·安徽阜阳·三模）在数学探究课上，老师带着大家-起探究（n为正整数）的结果，如图1，2，3所示． (1)通过观察，得出的结果为_________． (2)在接下来的探究中，小明提出了探究（n为正整数）的结果的方案，如图4，5，6所示． 由图5可以写出，由图6可以写出． ①推算_________． ②根据以上结果，求解的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）观察图象可得连续的正整数之和等于最大的数乘以最大的数加1后除以2，据此规律求解即可； （2）①观察图象可知，连续的正整数的立方和等于这些正整数的和的平方，据此规律求解即可；②根据前面总结的规律计算求解即可． 【详解】（1）解：由图1可得， 由图2可得， 由图3可得， ……， 以此类推可得，； （2）解：①由图4可知，， 由图5可知， 由图6可知，， ……， 以此类推可得，； ② ． 68．（2025·广东珠海·三模）定义：如果一个正整数n能表示为两个正整数的平方差，那么称正整数n为“智慧数”，即：若正整数（a，b为正整数，且），则称正整数n为“智慧数”．例如：，是“智慧数”． 探究问题： 探究1：“智慧数”一定是什么数？ 假设n是“智慧数”，则至少存在一组正整数a、b，使（a，b为正整数，且）． 可分为情况1：a、b均为奇数，或均为偶数；情况2：a、b为一奇数、一偶数这两种情况讨论． 讨论结果为：“智慧数”是奇数或4的倍数． 探究2：所有奇数和4的倍数都一定是“智慧数”吗？ 我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论． 先列举几组数值较小，容易验证的“智慧数”（①～⑧），因为“智慧数”不是奇数就是4的倍数，所以我们把这些“智慧数”分成两类． 所以我们把这些“智慧数”分成两类， 表一 情况1：是奇数 分析 结论 ① 3是“智慧数” ② 5是“智慧数” ③ 7是“智慧数” ④ 9是“智慧数” … … … 表二 情况2：n是4的倍数 分析 结论 ⑤ 8是“智慧数” ⑥ 12是“智慧数” ⑦ 16是“智慧数” ⑧ 20是“智慧数” … … … 情况1：n是奇数 观察①②③④中n、a、b的值，容易发现，每个算式中，n均是奇数且a、b的值均为连续的正整数． 猜想：所有奇数都是“智慧数” 验证：设，（且k为整数） ∵． ∴是“智慧数”． 又∵， ∴，即表示所有奇数（1除外） ∴所有奇数（1除外）都是“智慧数”． 应用： （1）请直接填空：∵， ∴11是“智慧数”． 情况2：n是4的倍数 观察⑤⑥⑦⑧中n、a、b的值，容易发现，每个算式中，n均是4的倍数，且a与b的差都为2． 猜想：所有4的倍数都是“智慧数” （2）请仿照情况1证明以上猜想． 应用： （3）请直接填空：∵， ∴24是“智慧数”． 实际应用： （4）若一个直角三角形纸片三边的长度都是整数厘米，己知一条直角边长是，则这个直角三角形纸片的周长是 ． 【答案】（1）6，5；（2）见解析；（3）7，5；（4）24或40 【分析】本题主要考查了整数问题的综合运用，解题的关键是根据题意找出规律，从而得出答案，根据“智慧数”的定义和规律即可解答． （1）根据定义进行解答即可； （2）证明，即表示所有4的倍数（4除外），即可得到结论； （3）根据定义进行解答即可； （4）根据即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴11是“智慧数”， 故答案为：； （2）验证：设（，且k为整数） ∵ ∴是“智慧数” 又∵ ∴，即表示所有4的倍数（4除外） ∴所有4的倍数（4除外）都是“智慧数” （3）∵， ∴24“智慧数”， 故答案为：； （4）， 这个直角三角形纸片的周长是或 故答案为：24或40 试卷第2页，共73页 1 / 70 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $