4.3 多边形和圆的初步认识（八大题型）2026-2027学年北师大版数学七年级上册

**基本信息** 以多边形与圆的概念为起点，通过分层题型构建从概念辨析到性质应用的逻辑体系，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |多边形基础|题型一（3题）|概念辨析与分类，正多边形定义判断|从多边形定义出发，区分边与角的关系，建立正多边形概念| |多边形性质应用|题型二至五（12题）|截角边数变化、网格面积计算、对角线及三角形个数问题|由静态概念到动态变化（截角），再到量化计算（面积、对角线），形成性质应用链| |圆的基础与运算|题型六至八（10题）|圆的概念辨析、周长面积计算、圆心角运算|从圆的基本要素（圆心、半径）到度量计算，再到圆心角与弧的关系，构建圆的知识体系|

4.3 多边形和圆的初步认识 题型一 多边形的概念与分类 1．下列说法正确的是（　　） A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．每个内角都相等的多边形是正多边形 C．每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 D．长方形一定是正多边形 2．按照某分类标准，可以把下面的四边形分成两类，其中一类是③④，另一类是①②．该分类的标准是______． 3．在平面直角坐标系中，点和点，给出如下定义：对于任意实数，称点为点和点的“倍差点”．已知点． (1)在点，，中，点和点的“1倍差点”是 ； (2)已知横、纵坐标都为整数的点叫做整点．点和点的“倍差点”为点，点在第一、三象限的角平分线上． ①如果点是整点，且，写出三角形内部（不包括边界）整点的坐标； ②如果点和点关于轴对称，点为点和点的“倍差点”．四边形内部（不包含边界）至少有3个整点，至多有7个整点，那么的取值范围是 ． 题型二 多边形截角后的边数问题 4．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ） A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 5．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为______． 6．如图，四边形去掉后，剩下的新图形是几边形？请画出图形．    题型三 网格中多边形面积比较 7．如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 8．如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为________． 9．计算不规则图形的面积时，有时采用“方格法”，具体计算方法如下：假定每个小方格的边长为1，为图形的面积，是边界上的格点数，是内部格点数，则有．请根据此方法计算图中四边形的面积． 题型四 多边形对角线的条数问题 10．已知边数大于3的多边形都有对角线，那么过十一边形的一个顶点的对角线有（　　） A．9条 B．8条 C．7条 D．6条 11．从n边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个n边形分成7个三角形，则这个n边形的对角线条数是________条． 12．如图，从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形． (1)根据以上多边形的边数与分割成的三角形的个数之间的规律，猜测边形可以分割成_______个三角形； (2)若一个多边形按以上方法可分割成120小三角形，求该多边形的边数； (3)求边形的对角线条数． 题型五 对角线分成的三角形个数问题 13．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．如图为七边形的一种三角剖分方法，若在确定连接线段AE的前提下，包含图示方法，七边形的三角剖分方法一共有（   ） A．8种 B．10种 C．12种 D．14种 14．若边形的一个顶点与和它不相邻的其他各顶点相连，可将多边形分成4个三角形，则的值为______． 15．如图所示的多边形分别为正五边形、正六边形、正十边形、正十二边形． (1)在以上各正多边形中分别任选一个顶点作对角线，把各多边形分割为若干个三角形． (2)根据（1）中你的分割结果提出猜想，并说明过正三十边形的一个顶点作对角线，能把正三十边形分割成多少个三角形． (3)在（2）中，当把正三十边形换为任意三十边形时，结论是否还能成立？请说明理由． 题型六 圆的基本概念辨析 16．如图，点为线段上一点，分别以线段、为直径作圆，为圆心，，则长度为（    ）． A．6 B．7 C．8 D． 17．如图，正方形的四个顶点在直径为4的大圆圆周上，四条边与小圆都相切，过圆心，且，则图中阴影部分的面积是________．（结果保留） 18．古时候人们往往会用八卦罗盘来测量建筑的方位．小明自制了一个类似的玩具：以点O为中心，共有内外两圈，均可以绕着点O旋转，外圈有A，B，C，D，E，F，G，H 8个点将圆八等分，内圈仅有J，K两个点，且点A，K，O，J四点共线，连接． (1)求的度数； (2)固定内圈，顺时针转动外圈一周，恰好经过．求外圈只转一周且当与一边垂直时，经过多少时间？ 题型七 圆的周长和面积问题 19．把圆剪拼成长方形（如图），圆的周长比长方形少，长方形的面积是（　　）． A． B． C． D． 20．如图，大圆的半径为5，小圆的半径为3．两个空白部分的面积分别为，则的值为_________．（用含的式子表示）． 21．一个底面是圆形的扫地机器人紧贴一块地毯边缘行进一周．如图，这块地毯的两端是半圆形，中间是长方形，扫地机器人圆形底面的半径是1分米（取3.14）． (1)扫地机器人的底面圆心走过的路线长多少分米？ (2)扫地机器人扫过的面积是多少平方分米？ 题型八 圆心角概念辨析及简单运算 22．如图所示，下列各角是圆内的角，其中圆心角是（    ） A． B． C． D． 23．如图，在中，劣弧的度数为，则圆心角_________. 24．如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3 多边形和圆的初步认识 题型一 多边形的概念与分类 1．下列说法正确的是（　　） A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．每个内角都相等的多边形是正多边形 C．每条边都相等且每个内角都相等的多边形是正多边形 D．长方形一定是正多边形 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的定义，关键是明确正多边形需要同时满足“各边相等”和“各内角相等”两个条件，二者缺一不可． 【详解】解：正多边形的定义为：各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形． 对于选项A，每条边都相等的多边形，内角不一定相等，例如菱形，四条边相等但内角不都相等，不是正多边形，故A错误； 对于选项B，每个内角都相等的多边形，边不一定相等，例如长与宽不相等的长方形，内角均为但边不都相等，不是正多边形，故B错误； 对于选项C，每条边都相等且每个内角都相等的多边形，完全符合正多边形的定义，故C正确； 对于选项D，长方形的长和宽不一定相等，不一定满足“各边相等”的条件，不符合正多边形定义，只有正方形这种特殊长方形才是正多边形，所以长方形不一定是正多边形，故D错误； 故选：C． 2．按照某分类标准，可以把下面的四边形分成两类，其中一类是③④，另一类是①②．该分类的标准是______． 【答案】看图中有无直角 【分析】本题考查了多边形的概念与分类，根据题意，得出③④都是有直角的，①②都是无直角的，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵题干的四边形分成两类，其中一类是③④，另一类是①②， ∴该分类的标准是看图中有无直角， 故答案为：看图中有无直角 3．在平面直角坐标系中，点和点，给出如下定义：对于任意实数，称点为点和点的“倍差点”．已知点． (1)在点，，中，点和点的“1倍差点”是 ； (2)已知横、纵坐标都为整数的点叫做整点．点和点的“倍差点”为点，点在第一、三象限的角平分线上． ①如果点是整点，且，写出三角形内部（不包括边界）整点的坐标； ②如果点和点关于轴对称，点为点和点的“倍差点”．四边形内部（不包含边界）至少有3个整点，至多有7个整点，那么的取值范围是 ． 【答案】(1) (2)① 或；② 或 【分析】（1）根据点坐标的规律计算方法即可求解； （2）根据点坐标的计算方法表示出点的坐标，①根据第一、三象限角平分的性质，图形结合分析即可求解；②分别表示出点的坐标，可得点是点关于轴对称的点，根据四边形的性质，图形结合分析即可求解． 【详解】（1）解：已知点和点，称点为点和点的“倍差点”， ∵，点和点的“1倍差点”， ∴点的横坐标为：，纵坐标为：， ∴是点和点的“1倍差点”， 故选：； （2）解：已知横、纵坐标都为整数的点叫做整点．点和点的“倍差点”为点，且， ∴， ∵点在第一、三象限的角平分线上， ∴， ∴，即， ∴， ①点是整点，且， ∴， ∴， 如图所示， 三角形内部（不包括边界）整点的坐标有：或； ②点和点关于轴对称，且 ∴， ∵点为点和点的“倍差点”， ∴，即， ∵， ∴点与点关于轴对称， 当四边形内部（不包含边界）至少有3个整点时，如图所示， 即四边形，四边形之间， ∴， 解得，； 四边形内部（不包含边界）至多有7个整点时，如图所示， 即四边形内部， ∴， 解得，， 综上所述，的取值范围是： 或． 题型二 多边形截角后的边数问题 4．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ） A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的知识，一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条．根据一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，依此即可解决问题． 【详解】解：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条， 则多边形的边数是4或5或6， 故选：D． 5．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为______． 【答案】4、5或6 【分析】本题考查截一个多边形，一个多边形截去一个角后，边数可能增加一条、不变或减少一条；当新多边形为五边形时，原多边形边数可能为4、5或6，不可能为3． 【详解】解：设原多边形边数为n；截去一个角后，边数变化有三种情况：①边数增加一条，则新边数为；②边数不变，则新边数为n；③边数减少一条，则新边数为； 已知新多边形为五边形，即新边数为5； 因此，，解得；或；或，解得； 所以原多边形边数可能为4、5或6 6．如图，四边形去掉后，剩下的新图形是几边形？请画出图形．    【答案】三角形或四边形或五边形，图形见解析． 【分析】设线段上一点为（点不与点，点重合），线段上一点为（点不与点，点重合），分三种情况讨论：沿直线切割；沿直线切割；沿直线或切割． 【详解】设线段上一点为（点不与点，点重合），线段上一点为（点不与点，点重合）． ①如图所示，沿直线切割，得到，新图形为三角形．    ②如图所示，沿直线切割，得到五边形，新图形为五边形．    ③如图所示，沿直线或切割，得到四边形或四边形，新图形为四边形．    综上所述，新图形是三角形或四边形或五边形． 题型三 网格中多边形面积比较 7．如图所示的方格（每个小方格面积为1）中阴影部分为两个轴对称型的汉字，图①中汉字面积为，图②中汉字的面积为，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】D 【分析】利用割补法分别求出和的面积，再作差即可． 【详解】解：如图， ， ， ∴． 故选：D． 8．如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为________． 【答案】 【分析】利用大正方形的面积减去四边形周围的小三角形面积即可． 【详解】解：四边形ABCD的面积为： =， 故答案为：． 9．计算不规则图形的面积时，有时采用“方格法”，具体计算方法如下：假定每个小方格的边长为1，为图形的面积，是边界上的格点数，是内部格点数，则有．请根据此方法计算图中四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了用“方格法”来计算四角形的面积，结合图形得出公式中的相关字母的值，则问题不难解答．根据图形分别得出和的值，代入公式计算即可． 【详解】解：由图形可知，， ． 题型四 多边形对角线的条数问题 10．已知边数大于3的多边形都有对角线，那么过十一边形的一个顶点的对角线有（　　） A．9条 B．8条 C．7条 D．6条 【答案】B 【分析】本题考查多边形对角线的条数问题，根据过n边形一个顶点的对角线数量公式：条（n为多边形边数且）进行解答即可． 【详解】解：∵过n边形一个顶点的对角线数量为条（） 又∵该多边形是十一边形，即 ∴过其一个顶点的对角线数量为条 故选：B 11．从n边形的一个顶点出发，连接其余各顶点，可以将这个n边形分成7个三角形，则这个n边形的对角线条数是________条． 【答案】27 【分析】本题主要考查了多边形的定义和性质，解题的关键是掌握相关公式． 根据从n边形一个顶点出发连接其余顶点可分割成个三角形的规律，求出n值，再代入n边形对角线条数公式计算． 【详解】解：由题意，从n边形一个顶点出发分割三角形数为个， 已知分成7个三角形，得， 解得， n边形的对角线条数公式为，代入，得， 故答案为：27． 12．如图，从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形． (1)根据以上多边形的边数与分割成的三角形的个数之间的规律，猜测边形可以分割成_______个三角形； (2)若一个多边形按以上方法可分割成120小三角形，求该多边形的边数； (3)求边形的对角线条数． 【答案】(1) (2)122 (3) 【分析】本题考查了多边形的对角线，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据找到的规律即可解题； （2）由（1）中的结论解题； （3）探究从边形的一个顶点可引出的对角线条数，进而解题． 【详解】（1）解：由图可得，四边形的某个顶点所做的对角线可将该多边形分成个三角形， 五边形的某个顶点所做的对角线可将该多边形分成个三角形， 六边形的某个顶点所做的对角线可将该多边形分成个三角形， ∴边形可以分割成个三角形， 故答案为：； （2）解：由（1）知，， ∴； （3）解：从边形的一个顶点可引出条对角线， ∴对角线的总数为条． 题型五 对角线分成的三角形个数问题 13．把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫做多边形的三角剖分．如图为七边形的一种三角剖分方法，若在确定连接线段AE的前提下，包含图示方法，七边形的三角剖分方法一共有（   ） A．8种 B．10种 C．12种 D．14种 【答案】B 【分析】本题考查图形的分割，根据题意列举即可． 【详解】解：如下图，共有10种， 故选：B． 14．若边形的一个顶点与和它不相邻的其他各顶点相连，可将多边形分成4个三角形，则的值为______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了多边形对角线的问题，经过边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形． 根据“经过边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形”求边数即可． 【详解】解：设多边形有条边， 由题意得， 解得． 故答案为：6． 15．如图所示的多边形分别为正五边形、正六边形、正十边形、正十二边形． (1)在以上各正多边形中分别任选一个顶点作对角线，把各多边形分割为若干个三角形． (2)根据（1）中你的分割结果提出猜想，并说明过正三十边形的一个顶点作对角线，能把正三十边形分割成多少个三角形． (3)在（2）中，当把正三十边形换为任意三十边形时，结论是否还能成立？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)猜想：分割成的三角形个数与多边形边数之间的关系为三角形的个数多边形的边数．正三十边形能分割成28个三角形． (3)结论仍能成立．理由见解析 【分析】（1）依题意画出对角线即可； （2）根据过正五边形、正六边形、正十边形、正十二边形的一个顶点作对角线把多边形分割成三角形的个数总结出规律：过正边形从一个顶点作对角线把正边形分割成个三角形，从而可得过正三十边形的一个顶点作对角线，能把正三十边形分割成三角形的个数； （3）根据过多边形的一个顶点作对角线，把多边形分割成三角形的个数与边的长短，角的大小无关即可得出答案． 【详解】（1）解：分割情况如图所示（答案不唯一）． （2）解：过正五边形一个顶点作对角线把正五边形分割成个三角形，而； 过正六边形一个顶点作对角线把正六边形分割成个三角形，而； 过正十边形一个顶点作对角线把正十边形分割成个三角形，而； 过正十二边形一个顶点作对角线把正十二边形分割成个三角形，而； 根据分割结果猜想：分割成的三角形个数与多边形边数之间的关系为三角形的个数多边形的边数． ∴过正三十边形的一个顶点作对角线把正三十边形分割成个三角形， （3）解：结论仍能成立． 理由：因为分割成的三角形个数只与多边形的边数有关，而与多边形边的长短、角的大小无关． 题型六 圆的基本概念辨析 16．如图，点为线段上一点，分别以线段、为直径作圆，为圆心，，则长度为（    ）． A．6 B．7 C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的基本概念． 直接根据半径等于直径的一半作答即可． 【详解】解：∵分别以线段、为直径作圆，为圆心，， ∴． 故选：C． 17．如图，正方形的四个顶点在直径为4的大圆圆周上，四条边与小圆都相切，过圆心，且，则图中阴影部分的面积是________．（结果保留） 【答案】 【分析】由于圆是中心对称图形，则阴影部分的面积等于大圆的四分之一，利用圆的面积公式即可求解．本题主要考查了圆的对称性，圆的面积公式，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 【详解】解：由于圆是中心对称图形，阴影部分的面积可以移动到一起，等于大圆的四分之一， 故阴影部分的面积为． 故答案为：． 18．古时候人们往往会用八卦罗盘来测量建筑的方位．小明自制了一个类似的玩具：以点O为中心，共有内外两圈，均可以绕着点O旋转，外圈有A，B，C，D，E，F，G，H 8个点将圆八等分，内圈仅有J，K两个点，且点A，K，O，J四点共线，连接． (1)求的度数； (2)固定内圈，顺时针转动外圈一周，恰好经过．求外圈只转一周且当与一边垂直时，经过多少时间？ 【答案】(1) (2)外圈只转一周且当与一边垂直时，经过或或 或． 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，正确地识别图形是解题的关键． （1）由题意得将圆8等分，占其中的3份，然后列式计算即可； （2）分和两种情况，分别根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：将圆8等分，占其中的3份， ∴． （2）解：由题意得，外圈转动速度为：, ①当时，点A在右侧半圆上，时间， 点A在左侧半圆上，时间； ②当时，点D在右侧半圆上，时间； 点D在左侧半圆上，时间． 综上所述，外圈只转一周且当与一边垂直时，经过或或或． 题型七 圆的周长和面积问题 19．把圆剪拼成长方形（如图），圆的周长比长方形少，长方形的面积是（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆、长方形的周长、圆的面积，解决本题的关键是拼成的长方形的周长比圆的周长增加了 2 条半径长． 拼成的长方形的周长比圆的周长增加了2条半径长，从而求出半径长，代入计算即可． 【详解】解：∵圆的周长比长方形少， 半径是（厘米）， 长方形的长是（厘米）， 长方形的面积是（平方厘米）． 故选：C． 20．如图，大圆的半径为5，小圆的半径为3．两个空白部分的面积分别为，则的值为_________．（用含的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了减法的性质，转化的数学思想﹒根据减法的性质可以得到的值为的值，计算即可求解﹒ 【详解】解：因为阴影部分为大圆和小圆的公共部分， 所以﹒ 故答案为：﹒ 21．一个底面是圆形的扫地机器人紧贴一块地毯边缘行进一周．如图，这块地毯的两端是半圆形，中间是长方形，扫地机器人圆形底面的半径是1分米（取3.14）． (1)扫地机器人的底面圆心走过的路线长多少分米？ (2)扫地机器人扫过的面积是多少平方分米？ 【答案】(1)71.4分米； (2)142.8平方分米 【分析】（1）首先求出半径，然后列式求解； （2）用半径为6的圆的面积减去半径为4的圆的面积，然后加上2个长为20分米，宽为2分米的长方形的面积，然后计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：半径为（分米）， （分米）； 答：扫地机器人的底面圆心走过的路线长71.4分米； （2）解： （平方分米）； 答：扫地机器人扫过的面积是142.8平方分米． 题型八 圆心角概念辨析及简单运算 22．如图所示，下列各角是圆内的角，其中圆心角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆心角的定义，根据圆心角的定义，角的两边是两条从圆心出发的射线，它们必须与圆周相交于两点，顶点在圆心的角叫做圆心角，即可求解． 【详解】解：图中是圆心角 故选：A． 23．如图，在中，劣弧的度数为，则圆心角_________. 【答案】 【分析】的度数即为所对圆心角的度数； 【详解】解：的度数即为所对圆心角的度数； ∴ 故答案为： 24．如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】（1）根据条件和，即可求解； （2）根据第（1）问的结论和即可求解． 【详解】（1）解：； ∵，，， ∴ （2）解：∵，，，， ∴， ∴； 1 学科网（北京）股份有限公司 $