精品解析：北京市海淀区教师进修学校附属实验学校2025-2026学年下学期八年级期末数学

2025-2026学年度第二学期期末练习 初二数学 考生须知 1．本卷共6页，包括三个大题，26小题，满分为100分．练习时间90分钟． 2．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效． 3．考试结束后，将答题纸交回． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知一次函数，点，在该函数图象上，且，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 不确定 5. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点E是上的中点，于点D，连接，若，则的长度为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 如图，某游乐园内摩天轮的中心点距地面的高度为，摩天轮按逆时针方向作匀速运动．摩天轮上的一点自最低点点起，经过后，点的高度与的函数图像如图所示，在摩天轮转动的过程中，下列说法正确的是（ ） A. 当时，随的增大而增大 B. 摩天轮的直径为 C. P点离地面最高为 D. P点离地面时，摩天轮运动了 8. 我校为了解八年级学生的体能状况，对甲、乙两个班级学生的一分钟跳绳成绩进行了测试．测试结束后，体育老师绘制了两个班级成绩的箱线图（如图）．根据箱线图提供的信息，关于甲、乙两班学生一分钟跳绳成绩的统计量，下列说法正确的是（ ） A. 可以准确得出两个班的平均数，且甲班平均数高于乙班 B. 可以准确得出两个班的中位数，且甲班中位数高于乙班 C. 可以准确得出两个班的方差，且甲班方差小于乙班 D. 若每个班有38名学生，则甲班第10名跳绳次数小于乙班第10名跳绳次数 9. 中，为边上点，平分，过点作，与交于点，作，与交于点，连接．现有以下结论： ①； ②当时，四边形是平行四边形； ③当是正三角形时，四边形是菱形； ④保持的长度不变，改变大小，一定可以使得点是中点． 其中正确的有（ ）个 A. B. C. D. 10. 如图，P是正方形的边右侧一点，，为锐角，连，的平分线交于Q点，过点B作交延长线于点E，连接，则以下结论：①；②；③；④若点D为中点，，则四边形的面积为，其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 若二次根式有意义，则的取值范围是_________． 12. 如图所示的网格是正方形网格，点A、B、C、D、E都是网格线交点，则______°． 13. 如图，在矩形中，，点E、F分别是边上的动点，连接，点G为的中点，点H为的中点，连接，则的最大值是______． 14. 某同学本学期体育素质历次测试的成绩（单位：分）如表所示： 测试类别 平时测试 期中测试 期末测试 第1次 第2次 第3次 成绩/分 84 85 86 80 90 如果本学期的总评成绩是将平时测试的平均成绩、期中测试成绩、期末测试成绩按的比例计算，该同学本学期体育素质的总评成绩是___________分． 15. 如图1，在中，，点P从点A出发沿以的速度匀速运动至点B，图2是点P运动时，的长度y（单位：）随时间x（单位：s）变化而变化的函数图象．根据所给信息，点C到的距离是_______． 16. 某商店共有种不同型号的口罩，每种型号的口罩都有红、白、蓝三种颜色，每种型号的红色口罩价格均为每包50元，白色口罩价格均为每包元，蓝色口罩价格均为每包元（，且，均为整数）．甲、乙、丙三家公司各买一包每种型号的口罩，且对于同种型号的口罩，三家公司选择的颜色各不相同．结账时，甲、乙各自花费了1200元，丙花费了1400元． （1）若，，则的值为________； （2）若丙购买的口罩包含三种颜色，则丙用于购买白色和蓝色的口罩最多一共花费________元． 三、解答题（本题共52分，第17题6分，第18题4分，第19-24题，每小题5分，第25题6分，第26题6分），解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在中，D，E分别是、的中点，连接，延长到点F，使得，连接交于点O．求证：． 19. 主题实践： 生活情境 某市在创建全国文明城市期间，在市区大道中间的隔离护栏处加装了花卉盆栽，其平面示意图如图所示，假如每个盆栽的宽度为1.2米，两个盆栽之间的距离为3米（支撑杆宽度忽略不计）． 数学数据 对该隔离护栏的长度进行测量，得到了如表数据： 盆栽个数x 2 3 4 5 6 … 护栏总长y（米） 5.4 a 13.8 18 22.2 … 根据上述的素材，解决以下问题： （1）根据表中数据的规律，表格中a=______； （2）若y为x的一次函数，请求出y与x之间的函数关系式． （3）若（2）中函数的图象上有，两点，求的值． 20. 已知：为锐角三角形，． 求作：菱形． 作法：如图， ①以点A为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N； ②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点E，作射线与交于点O； ③以点O为圆心，以长为半径作弧，与射线交于点D，连接，； 四边形就是所求作的菱形． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）： （2）完成下面的证明： 证明：∵平分， ∴__________． ∵， ∴四边形是平行四边形（ ）（填推理的依据）． ∵， ∴四边形是菱形（ ）（填推理的依据）． 21. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． （1）求的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 22. 如图，在中，交于点O，E是的中点，过点O，E分别作直线的垂线，垂足分别为G，F． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求的长． 23. 从文本生成到语音识别，从绘画到编程，的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革．为了解甲、乙两款软件的使用效果，数学兴趣小组进行了调查统计．数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中随机抽取20名，记录他们对两款软件的评分，对数据整理描述如下： a．信息处理速度得分统计图： b．信息识别准确度得分统计图： c．信息处理速度和信息识别准确度得分统计表： 信息处理速度得分 信息识别准确度得分 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 7 a 乙 b 7 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中 ， ； （2）使用者对该软件评分大于6分视为高分，否则视为低分．甲、乙两款软件的开发公司加大了研发投入．数学兴趣小组邀请之前的20名使用者做第二次调查．经调查：甲款软件的所有使用者对信息识别准确度的评分均提升了1分，乙款软件的低分使用者对信息识别准确度的评分均提升了2分，高分使用者的评分不变．在第二次调查中，甲款软件的信息识别准确度评分数据的平均数和方差分别记为，；乙款软件的信息识别准确度评分数据的平均数和方差分别记为，．则______，______，______，（填“”“”“ ”）． 24. 某芯片公司设计了两个方案用以提升某类芯片的产量和性能．将第批次芯片按方案一和方案二生产、优化后的成品率（合格芯片占比）分别记为和，对于给定的方案，可以认为是的函数．部分数据如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 … 70 78 84 88 90 91 92 93 … 74 81 87 91 95 97 98 … 对于方案二，从第二批次起，每一批次比前一批次增加的成品率逐渐减少或保持不变．对于给定的方案，在平面直角坐标系中描出各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线和，曲线如图所示． （1）当整数的值为________时，按方案一优化后的成品率首次超过； （2）写出表中的值（为整数），并在给出的平面直角坐标系中画出曲线； （3）按方案一和方案二生产、优化每个批次的芯片用时分别是2天和3天，且每批次芯片只按一种方案生产、优化，将成品率不低于的批次称为合格批次． ①根据上述函数关系，该公司最早在第________天（整数）开始生产合格批次的芯片； ②公司采用方案二对此类芯片生产、优化了18天时，接到客户订单，预定20个合格批次的芯片，并要求按一种方案生产，则它接到通知后最快经过________天（整数）完成这个订单． 25. 在正方形中，将边绕点A逆时针旋转得到线段，与延长线相交于点F，过B作交于点G，连接． （1）如图1，求证：； （2）当时，依题意补全图2，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 26. 对于平面直角坐标系xOy中的点P和正方形给出如下定义:若正方形的对角线交于点O，四条边分别和坐标轴平行，我们称该正方形为原点正方形，当原点正方形上存在点Q，满足PQ≤1时，称点P为原点正方形的友好点. (1)当原点正方形边长为4时， ①在点P1(0，0)，P2(-1，1)，P3(3，2)中，原点正方形的友好点是__________； ②点P在直线y=x的图象上，若点P为原点正方形的友好点，求点P横坐标的取值范围； (2)乙次函数y=-x+2的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，若线段AB上存在原点正方形的友好点，直接写出原点正方形边长a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期末练习 初二数学 考生须知 1．本卷共6页，包括三个大题，26小题，满分为100分．练习时间90分钟． 2．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效． 3．考试结束后，将答题纸交回． 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的两个判定条件，即被开方数不含分母、被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐个判断选项即可得到答案. 【详解】解：∵ 满足上述两个条件，∴ A是最简二次根式； ∵ 的被开方数含分母，，被开方数含能开得尽方的因数，，被开方数含分母， ∴ B、C、D都不是最简二次根式. 2. 下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、，，， 不能作为直角三角形三边长，不符合题意； B、，， ，能作为直角三角形三边长，符合题意； C、，，， 不能作为直角三角形三边长，不符合题意； D、，，， 不能作为直角三角形三边长，不符合题意； 3. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的乘除法则和加减运算规则，逐一判断选项即可得到结果. 【详解】解：根据二次根式运算法则：二次根式乘法满足，除法满足，只有同类二次根式才可合并加减. 对各选项逐一判断： 选项A：，A计算正确. 选项B：，B计算错误. 选项C：与不是同类二次根式，不能合并，C计算错误. 选项D：与不是同类二次根式，不能合并，D计算错误. 4. 已知一次函数，点，在该函数图象上，且，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】C 【解析】 【详解】解：对于一次函数 ，一次项系数为 ， 该函数中 随 的增大而减小， ， ． 5. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图象法求二元一次方程组的解，数形结合是解题的关键； 根据方程组变形可得，根据两个一次函数图象交点，即可求出方程组的解． 【详解】方程组的解即为方程组的解， 一次函数与的图象交于点， 方程组的解为， 即方程组的解为， 故选：C． 6. 如图，点E是上的中点，于点D，连接，若，则的长度为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】先在中利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出的长 【详解】解：  在中，     点是上的中点  是斜边上的中线  ． 7. 如图，某游乐园内摩天轮的中心点距地面的高度为，摩天轮按逆时针方向作匀速运动．摩天轮上的一点自最低点点起，经过后，点的高度与的函数图像如图所示，在摩天轮转动的过程中，下列说法正确的是（ ） A. 当时，随的增大而增大 B. 摩天轮的直径为 C. P点离地面最高为 D. P点离地面时，摩天轮运动了 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图像读出点离地面的最大高度，结合中心距地面的高度求出摩天轮的半径和直径，进而判断各选项． 【详解】解：A：结合函数图象分析，当时，随的增大先增大后减小再增大再减小，故该选项不符合题意； B：由图像知，函数的最大值为，即点到地面的最大距离为，，， ∴摩天轮的直径为，故该选项符合题意； C：点到地面的最大距离为，故该选项不符合题意； D：点离地面时，对应的摩天轮运动的时间点有个，故该选项不符合题意． 8. 我校为了解八年级学生的体能状况，对甲、乙两个班级学生的一分钟跳绳成绩进行了测试．测试结束后，体育老师绘制了两个班级成绩的箱线图（如图）．根据箱线图提供的信息，关于甲、乙两班学生一分钟跳绳成绩的统计量，下列说法正确的是（ ） A. 可以准确得出两个班的平均数，且甲班平均数高于乙班 B. 可以准确得出两个班的中位数，且甲班中位数高于乙班 C. 可以准确得出两个班的方差，且甲班方差小于乙班 D. 若每个班有38名学生，则甲班第10名跳绳次数小于乙班第10名跳绳次数 【答案】B 【解析】 【分析】箱线图能直接显示一组数据的最大值、最小值、中位数及上下四分位数，但无法直接显示平均数、方差及具体某个排名的数值． 【详解】解：．箱线图无法直接计算出准确的平均数，只能大致估计，所以“可以准确得出两个班的平均数”这一说法错误，故该选项不符合题意； ．甲班的中位数是165，乙班的中位数是160，甲班中位数高于乙班，该说法正确 ，故该选项符合题意； ．箱线图无法直接计算出准确的方差，只能通过数据的分布范围估计离散程度无法得到确定的方差值，所以该说法错误，故该选项不符合题意； ．若每个班有38名学生，甲班的，说明有 (即)的学生成绩，即第10名的成绩在145以上；乙班的，说明有 (即)的学生成绩，即第10名的成绩在140以上．但无法直接判定甲班第10名成绩一定小于乙班第10名成绩，该说法错误，故该选项不符合题意． 9. 中，为边上点，平分，过点作，与交于点，作，与交于点，连接．现有以下结论： ①； ②当时，四边形是平行四边形； ③当是正三角形时，四边形是菱形； ④保持的长度不变，改变大小，一定可以使得点是中点． 其中正确的有（ ）个 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是掌握相关知识．证明四边形是菱形可判定①，根据菱形的性质证明，根据全等三角形的性质得到是的中点，结合，可判定②根据四边形是菱形，结合等边三角形的性质即可判定③，根据平行四边形、菱形的性质以及等腰三角形的性质可判定④． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形，， 平分， ， ， ， 四边形是菱形， ，故①正确； 当时，， 四边形是菱形， ，， ，， 在和中， ， ， ，即是的中点， ， 是的中位线， ， 四边形是平行四边形，故②正确； 当是正三角形时，， 四边形是菱形， ，， ，, ， 又， 四边形是平行四边形， ， ， 是正三角形， ， 四边形是菱形，故③正确； 当点是中点时，， 四边形是菱形， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 又平分， ，故④错误； 故选：C． 10. 如图，P是正方形的边右侧一点，，为锐角，连，的平分线交于Q点，过点B作交延长线于点E，连接，则以下结论：①；②；③；④若点D为中点，，则四边形的面积为，其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】解：①根据题意可得，则，，设，，，根据，即可判断①；过点C作于点H， 先根据，得出，进而推出，再证明，得出，即可判断②；③连接，证明，得出，，则，根据，，得出，则，最后通过，得出，即可判断③；过点E作于点N，易得，进而得出，根据梯形面积公式，求出四边形的面积即可判断④． 【详解】解：①∵四边形为正方形，， ∴， ∴，， 设， 在中，， 在中，， ∴， 故①正确，符合题意； ②过点C作于点H， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故②正确，符合题意； ③连接， ∵， ∴， ∴， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故③正确，符合题意； ④过点E作于点N， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴点N为中点，则， ∵， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴， ∴四边形的面积， 故④不正确，不符合题意，    综上：正确的有①②③， 故选：A． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确画出辅助线，构造全等三角形． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 若二次根式有意义，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】二次根式有意义，被开方数为非负数，列不等式求解． 【详解】解：根据二次根式的意义，得2x－4≥0， 解得x≥2． 故答案为：x≥2． 【点睛】本题考查二次根式有意义的条件． 12. 如图所示的网格是正方形网格，点A、B、C、D、E都是网格线交点，则______°． 【答案】 【解析】 【分析】连接、，由勾股定理逆定理得到是等腰直角三角形，，再证明，得到，由即可求解． 【详解】解：如图，连接、， 由勾股定理得：，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 13. 如图，在矩形中，，点E、F分别是边上的动点，连接，点G为的中点，点H为的中点，连接，则的最大值是______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，通过三角形中位线定理进行转化是解题的关键．连接，先由勾股定理求得，则，再由三角形中位线定理得到，即可求解的最大值． 【详解】解：连接， ∵矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∵点G为的中点，点H为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当点重合时，取得最大值为5， 故答案为：5． 14. 某同学本学期体育素质历次测试的成绩（单位：分）如表所示： 测试类别 平时测试 期中测试 期末测试 第1次 第2次 第3次 成绩/分 84 85 86 80 90 如果本学期的总评成绩是将平时测试的平均成绩、期中测试成绩、期末测试成绩按的比例计算，该同学本学期体育素质的总评成绩是___________分． 【答案】86 【解析】 【分析】先计算出平时测试的平均成绩，再根据加权平均数的计算方法求解总评成绩即可． 【详解】解： 总成绩(分)． 15. 如图1，在中，，点P从点A出发沿以的速度匀速运动至点B，图2是点P运动时，的长度y（单位：）随时间x（单位：s）变化而变化的函数图象．根据所给信息，点C到的距离是_______． 【答案】##厘米 【解析】 【分析】过点C作于点H，设运动3秒时点P运动到点D，运动5秒时运动到点E，连接，由函数图象得，点C到的距离是线段的长，进而求得，由等腰三角形的性质求得，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点C作于点H， 设运动3秒时点P运动到点D，运动5秒时运动到点E，连接， 由图2知，和时的函数值都为4，即，当时，函数值最小，即点C到的距离为线段的长， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，． 即点C到的距离是． 16. 某商店共有种不同型号的口罩，每种型号的口罩都有红、白、蓝三种颜色，每种型号的红色口罩价格均为每包50元，白色口罩价格均为每包元，蓝色口罩价格均为每包元（，且，均为整数）．甲、乙、丙三家公司各买一包每种型号的口罩，且对于同种型号的口罩，三家公司选择的颜色各不相同．结账时，甲、乙各自花费了1200元，丙花费了1400元． （1）若，，则的值为________； （2）若丙购买的口罩包含三种颜色，则丙用于购买白色和蓝色的口罩最多一共花费________元． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意，三家总花费等于所有口罩的总价，可得核心等式 ，结合的取值范围分析求解，第一问直接代入计算即可，第二问根据丙包含三种颜色的条件，将所求目标转化为找最小的正整数，结合整数性质验证得到最大值． 【详解】解：由题意，每个型号的三种颜色被甲、乙、丙各购买一包，因此所有口罩总售价等于三家总花费，即． （1）将，代入等式得：， 解得． （2）由，且为整数，可得：， ∵是正整数， ∴，即，， 设丙购买红色口罩包，白色口罩包，蓝色口罩包， 由题意得：，且，均为正整数， ∴， ∴要使最大，需取最小的，即， 当时，，即， 将，代入得， 将代入得， ∴， ∵为正整数， ∴须为偶数， ∴须是奇数， ∴，或， ∵， ∴， ∴， 当时，，此时，则，均为正整数，满足条件，此时（元）； ∴丙用于购买白色和蓝色的口罩最多一共花费1350元． 三、解答题（本题共52分，第17题6分，第18题4分，第19-24题，每小题5分，第25题6分，第26题6分），解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先利用平方差公式和完全平方公式展开，再计算加减即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在中，D，E分别是、的中点，连接，延长到点F，使得，连接交于点O．求证：． 【答案】证明：在中，D，E分别是、的中点， 是的中位线， ，， ， ， ， 在和中， ， ， 【解析】 【分析】利用中位线定理得到，，结合已知条件可证明，从而得证． 【详解】略． 19. 主题实践： 生活情境 某市在创建全国文明城市期间，在市区大道中间的隔离护栏处加装了花卉盆栽，其平面示意图如图所示，假如每个盆栽的宽度为1.2米，两个盆栽之间的距离为3米（支撑杆宽度忽略不计）． 数学数据 对该隔离护栏的长度进行测量，得到了如表数据： 盆栽个数x 2 3 4 5 6 … 护栏总长y（米） 5.4 a 13.8 18 22.2 … 根据上述的素材，解决以下问题： （1）根据表中数据的规律，表格中a=______； （2）若y为x的一次函数，请求出y与x之间的函数关系式． （3）若（2）中函数的图象上有，两点，求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，涉及根据规律计算数值、求解一次函数解析式、利用函数解析式计算函数值的差． （1）护栏总长由盆栽总宽度和间隔总长度组成，间隔数比盆栽个数少1，据此计算的值； （2）设一次函数的一般形式，选取表格中两组已知的对应数据代入，通过解方程组求出和的值，即可得到函数关系式； （3）利用函数图象上的点满足函数解析式，分别表示出和，再计算两者的差，或直接利用一次函数的斜率性质求解． 【小问1详解】 解：根据题意，护栏总长=盆栽总宽度+间隔总长度，其中间隔数＝盆栽个数－１， 当时，； 【小问2详解】 解：设与的一次函数关系式为， 将，和，代入解析式， 得：，解得， ∴与的函数关系式为； 【小问3详解】 解：∵点，在函数的图象上， ∴，， ∴． 20. 已知：为锐角三角形，． 求作：菱形． 作法：如图， ①以点A为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N； ②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点E，作射线与交于点O； ③以点O为圆心，以长为半径作弧，与射线交于点D，连接，； 四边形就是所求作的菱形． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）： （2）完成下面的证明： 证明：∵平分， ∴__________． ∵， ∴四边形是平行四边形（ ）（填推理的依据）． ∵， ∴四边形是菱形（ ）（填推理的依据）． 【答案】（1）图见解析 （2）OB，对角线互相平分的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形 【解析】 【分析】（1）根据所给几何语言画出对应的图形即可； （2）先根据等腰三角形的性质得到CO=OB，再根据平行四边形和菱形的判定解答即可. 【小问1详解】 解：如图，菱形ABDC即为所求作； 【小问2详解】 证明：∵，平分， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． ∵， ∴四边形是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）． 故答案为：OB，对角线互相平分的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形. 【点睛】本题考查基本尺规作图-作角平分线、等腰三角形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定，熟练掌握基本尺规作图的方法步骤，熟知平行四边形的判定和菱形的判定是解答的关键. 21. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． （1）求的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1）的值为，的值为 （2）且 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求得的值； （2）分成当，两种情况进行分析即可． 【小问1详解】 解：∵函数的图象过点和， ， 解得，即， ∴的值为，的值为． 【小问2详解】 解：由上可得函数的值既大于函数的值，也大于函数的值， ∵，， ∴和的函数是从左到右为下降的直线， 当时，不等式需对所有成立， 整理得， 要使该不等式对任意大的正数都成立，则的系数必须非负，即， 解得， 结合，得． 当时，将代入和中， 即，， ∵函数的值既大于函数的值，也大于函数的值， ∴将代入时，， 即， 解得：， 综上可得：且． 22. 如图，在中，交于点O，E是的中点，过点O，E分别作直线的垂线，垂足分别为G，F． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形为平行四边形，交于点O， ∴，即为中点， ∵E是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵，即， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）首先证明为的中位线，易得，再证明，可知四边形为平行四边形，然后根据“有一个角为直角的平行四边形为矩形”，即可获得答案； （2）首先根据平行四边形的性质以及勾股定理解得，再证明为等腰直角三角形，易得，进而确定的长度，进一步由三角形中位线的性质确定，由矩形的性质可得，然后由求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的中位线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 23. 从文本生成到语音识别，从绘画到编程，的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革．为了解甲、乙两款软件的使用效果，数学兴趣小组进行了调查统计．数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中随机抽取20名，记录他们对两款软件的评分，对数据整理描述如下： a．信息处理速度得分统计图： b．信息识别准确度得分统计图： c．信息处理速度和信息识别准确度得分统计表： 信息处理速度得分 信息识别准确度得分 平均数 中位数 众数 平均数 方差 甲 7 a 乙 b 7 根据以上信息，解答下列问题： （1）表格中 ， ； （2）使用者对该软件评分大于6分视为高分，否则视为低分．甲、乙两款软件的开发公司加大了研发投入．数学兴趣小组邀请之前的20名使用者做第二次调查．经调查：甲款软件的所有使用者对信息识别准确度的评分均提升了1分，乙款软件的低分使用者对信息识别准确度的评分均提升了2分，高分使用者的评分不变．在第二次调查中，甲款软件的信息识别准确度评分数据的平均数和方差分别记为，；乙款软件的信息识别准确度评分数据的平均数和方差分别记为，．则______，______，______，（填“”“”“ ”）． 【答案】（1）9， （2），， 【解析】 【分析】（1）根据众数的定义以及中位数的定义进行分析，即可作答． （2）结合平均数的定义以及甲所有评分都提升1分，得出，同理得出，故，再根据方差的意义进行分析，即可得出，． 【小问1详解】 解：甲各分数的人数：5分3人，6分4人，7分4人，8分3人，9分5人，10分1人； ∵众数是出现次数最多的得分，且9分出现次数最多（5次）， 因此 依题意，乙共20个数据，中位数是排序后第10、11个数据的平均数， 乙各分数人数：5分1人，6分3人，7分6人，8分4人，9分4人，10分2人， 排序后第10个数据是7分，第11个数据是8分， 因此中位数 【小问2详解】 解：∵甲所有评分都提升1分， 因此； 乙原来平均数为5.6，总分为， 统计得乙共有11个低分（评分），低分各加2分，总增加分为， 因此， 故 ∵一组数据所有数据同时加同一个常数，数据波动不变，方差不变， 因此甲的方差仍为，即； ∵乙只给低分（原较小的数据）提分，数据整体波动变小， 因此方差比原来的小，即． 24. 某芯片公司设计了两个方案用以提升某类芯片的产量和性能．将第批次芯片按方案一和方案二生产、优化后的成品率（合格芯片占比）分别记为和，对于给定的方案，可以认为是的函数．部分数据如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 … 70 78 84 88 90 91 92 93 … 74 81 87 91 95 97 98 … 对于方案二，从第二批次起，每一批次比前一批次增加的成品率逐渐减少或保持不变．对于给定的方案，在平面直角坐标系中描出各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线和，曲线如图所示． （1）当整数的值为________时，按方案一优化后的成品率首次超过； （2）写出表中的值（为整数），并在给出的平面直角坐标系中画出曲线； （3）按方案一和方案二生产、优化每个批次的芯片用时分别是2天和3天，且每批次芯片只按一种方案生产、优化，将成品率不低于的批次称为合格批次． ①根据上述函数关系，该公司最早在第________天（整数）开始生产合格批次的芯片； ②公司采用方案二对此类芯片生产、优化了18天时，接到客户订单，预定20个合格批次的芯片，并要求按一种方案生产，则它接到通知后最快经过________天（整数）完成这个订单． 【答案】（1）4 （2）93，图见解析 （3）①10；②48 【解析】 【分析】（1）直接根据表格中的数据进行作答即可； （2）根据从第二批次起，每一批次比前一批次增加的成品率逐渐减少或保持不变，求出的值，描点，连线画出函数图象即可； （3）①根据按方案一和方案二生产、优化每个批次的芯片用时分别是2天和3天，结合表格数据，求出两个方案最早开始生产合格批次的芯片的天数，比较大小即可；②分别求出两种方案所需天数，比较大小即可. 【小问1详解】 解：由表格可知：当时，；当时，； 故当整数的值为4时，按方案一优化后的成品率首次超过； 【小问2详解】 解：∵对于方案二，从第二批次起，每一批次比前一批次增加的成品率逐渐减少或保持不变， ∴， ∴， 描点，连线，画出函数图象如图： 【小问3详解】 解：①按照方案一，由表格数据可知，当时，， 按照方案二，由表格数据可知，当时，， 又∵按方案一和方案二生产、优化每个批次的芯片用时分别是2天和3天， ∴按照方案一最早在第天（整数）开始生产合格批次的芯片； 按照方案二，最早在第天（整数）开始生产合格批次的芯片； ∵， 故该公司最早在第10天（整数）开始生产合格批次的芯片； ②若选方案一：前4个批次不合格，共需要生产个批次，总用时天； 若选方案二：公司采用方案二对此类芯片生产、优化了18天时，此时，， 已经可以生产合格的批次，故总用时天；  ∵， ∴最快经过天（整数）完成这个订单． 25. 在正方形中，将边绕点A逆时针旋转得到线段，与延长线相交于点F，过B作交于点G，连接． （1）如图1，求证：； （2）当时，依题意补全图2，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明：∵边绕点A逆时针旋转得到线段， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴； （2）补全图2如下：    ，理由如下： 证明：如图，作于，交于，交于，连接. ， ，， ， ， 在和中， ， , , ， 四边形为平行四边形. 又， 四边形为菱形， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， ， ， ，， ， 在和中， , , , 【解析】 【分析】（1），得到，由绕点A逆时针旋转α得到线段，得到，，由正方形性质得到，得到； （2）按照题意补全图形即可，利用三线合一和全等三角形证明四边形为菱形，从而建立平行关系并得平行四边形，将目标线段转化为，再通过菱形的等边与平行线导角，判定为等腰三角形，将进一步转化为，最后利用同角的余角相等及三角形全等得到，由线段和差关系完成等量代换，从而证得． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略. 26. 对于平面直角坐标系xOy中的点P和正方形给出如下定义:若正方形的对角线交于点O，四条边分别和坐标轴平行，我们称该正方形为原点正方形，当原点正方形上存在点Q，满足PQ≤1时，称点P为原点正方形的友好点. (1)当原点正方形边长为4时， ①在点P1(0，0)，P2(-1，1)，P3(3，2)中，原点正方形的友好点是__________； ②点P在直线y=x的图象上，若点P为原点正方形的友好点，求点P横坐标的取值范围； (2)乙次函数y=-x+2的图象分别与x轴，y轴交于点A，B，若线段AB上存在原点正方形的友好点，直接写出原点正方形边长a的取值范围. 【答案】（1）①P2，P3 ，②1≤x≤或≤x≤-1；（2）2-≤a≤6. 【解析】 【分析】（1）由已知结合图象，找到点P所在的区域； （2）分别求出点A与B的坐标，由线段AB的位置，通过做圆确定正方形的位置． 【详解】解：（1）①∵原点正方形边长为4， 当P1（0，0）时，正方形上与P1的最小距离是2，故不存在Q使P1Q≤1； 当P2（-1，1）时，存在Q（-2，1），使P2Q≤1； 当P3（3，2）时，存在Q（2，2），使P3Q≤1； 故答案为P₂、P₃； ②如图所示：阴影部分就是原点正方形友好点P的范围， 由计算可得，点P横坐标的取值范围是： 1≤x≤2+或-2-≤x≤-1； （2）一次函数y=-x+2的图象分别与x轴，y轴交于点A，B， ∴A（0，2），B（2，0）， ∵线段AB上存在原点正方形的友好点， 如图所示： 原点正方形边长a的取值范围2-≤a≤6． 【点睛】本题考查一次函数的性质，新定义；能够将新定义的内容转化为线段，圆，正方形之间的关系，并能准确画出图形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $