1.4相似三角形的判定 第2课时 教学设计 2026--2027学年湘教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦相似三角形判定定理1（两角分别相等的两个三角形相似），通过复习平行判定相似及三角形全等AAS/ASA，类比猜想相似判定条件，搭建从特殊到一般的学习支架。 以“猜想—证明—应用”为主线，构造辅助线证明定理培养逻辑推理，识别共角、双垂直等模型发展几何直观与模型意识，如例2双垂直模型应用。助力学生提升识图与推理能力，为教师提供分层任务与规范教学流程。

1.4相似三角形的判定第2课时教学设计 学科 数学 年级 九 课型 新授课 单元 一 课题 1.4相似三角形的判定第2课时 课时 1 课标要求 依据2022版义务教育数学课程标准,本节课属于图形与几何领域图形的相似主题,要求学生探索并掌握两角分别相等的两个三角形相似的判定定理；经历观察、猜想、证明、应用的几何推理过程,发展逻辑推理、几何直观与数学建模素养；能运用定理快速判定三角形相似,并进行边长、角度计算与简单证明；体会全等与相似的内在联系,感受从特殊到一般、转化与化归思想,提升综合运用相似知识解决几何问题的能力。 教材分析 本节是湘教版九年级上册相似三角形判定的核心课时,承接上一课时“平行判定相似”的预备定理,正式进入判定定理系统学习。教材由全等判定类比引入,通过构造平行线与全等三角形,严谨证明“两角分别相等的两个三角形相似”；搭配直角三角形、垂线型、双垂直型等典型图形,强化定理应用与计算。内容承上启下,既是对前面比例、平行线知识的综合运用,也是相似判定体系中最常用、最基础的定理,为后续边角边、边边边判定及相似综合应用奠定关键基础。 学情分析 九年级学生已掌握相似定义、平行判定相似定理及三角形全等知识,具备初步几何推理与角度推导能力。但学生对“两角相等即可判定相似”的条件简化理解不深,易与全等判定混淆；在复杂图形中难以快速找到两组对应角；对定理的构造证明思路不清晰。学生善于类比学习,适合从全等过渡到相似的探究式教学,需通过模型归纳、图形变式、错题辨析,提升定理理解与应用熟练度。 教学目标 1.掌握两角分别相等的两个三角形相似的判定定理,能准确表述、规范书写并灵活运用。 2.经历定理的猜想、类比、证明与应用过程,构建严谨推理链条,提升逻辑表达与几何直观能力。 3.能识别双垂直、共角、对顶角等常见相似模型,解决简单证明与计算问题。 4.体会全等与相似的关系,感受数学思想方法,增强几何综合解题信心。 教学重点 1.两角分别相等的两个三角形相似定理的理解与直接应用。 2.共角型、双垂直型等相似模型的识别与运用。 教学难点 相似判定定理的构造证明思路与复杂图形中两组对应角的精准寻找。 教学过程 教学步骤 教学主要内容 教师活动 学生活动 设计意图 环节一:依标靠本,独立研学 复习回顾 1.上节课我们学习了哪种相似判定方法？ 2.三角形全等的判定定理中,只和角有关的是哪一个？ 探究问题 类比全等判定,猜想:两个三角形至少需要满足几组角对应相等,就可以判定它们相似？请说明理由。 答案 1.平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形相似。 2.AAS或ASA(两角及其中一角对边、两角及其夹边)。 3.猜想:两组角分别相等即可判定相似；理由:三角形内角和固定,两角相等则第三角必相等,满足相似定义。 回顾平行判定相似与三角形全等判定,引导类比猜想相似的简化条件。 回忆旧知,梳理全等与相似的联系,提出判定猜想。 以旧引新,搭建类比桥梁,降低定理理解难度。 探究活动一:相似三角形的判定定理1 我们在判定两个三角形全等时,一般都不用定义,而是用较少的条件来判定.例如可以采用以下判定方法: ①两角及其夹边分别相等； ②两角分别相等且其中一组等角的对边相等； ③两边及其夹角分别相等； ④三边分别相等. 全等三角形是相似三角形的特例,且相似三角形的对应边可以不相等,因此,这就启发我们去探索,是否可用较少的条件去判定两个三角形相似. 思考: 如图1.4-5,已知,然后作一个,使.这两个三角形相似吗？ 由“平行于三角形一边的直线与其他两边相交,截得的三角形与原三角形相似”可知,若将放到上面,使点A与点A′重合,且边落到边上,则由,可判断边会落到边A′C′上.又∠B′=∠B,则BC∥B′C′,于是可得△ABC∽△A′B′C′. 由此猜测:两角分别相等的两个三角形相似. 下面我们来证明上述猜测成立. 如图1.4-6,在的边上取一点,使. 过点作,交于点. 在与中, 因为, 所以. 又, 于是. 因此. 我们将上述猜测称为相似三角形的判定定理1. 总结归纳: 证明思路:构造平行线→得全等三角形→利用平行判定相似→传递相似关系。 核心结论:两角分别相等的两个三角形相似,条件最简、应用最广。 关键依据:三角形内角和定理保证第三角必相等,满足相似定义。 引导作图观察、构造辅助线证明,规范定理表述与推理过程。 动手操作、合作证明,归纳定理内容并掌握符号语言。 经历猜想—证明—归纳,培养逻辑推理与几何直观素养。 环节二:同伴分享,互助研学 探究活动二:相似三角形的判定定理1的应用 例2如图,在中,.过点D分别作边的垂线,垂足分别为点,与交于点.求证:. 证明:因为, 所以. 因为, 所以, 从而. 又, 所以, 因此(两角分别相等的两个三角形相似). 例3:如图1.4-8,在与中,,.若,求的长. 解:因为, 所以, 从而. 又, 于是. 所以. 方法总结: 1.判定步骤:找两角→证相等→判相似,优先找公共角、对顶角、直角。 2.常见模型:共角型、双垂直型、直角三角形型,快速定位等角。 3.解题流程:先判定相似,再用“对应边成比例”列方程求边长。 4.书写规范:注明“两角分别相等”,明确相似关系与对应顶点。 示范例题书写,引导提炼共角、直角、双垂直等常见相似模型。 规范解题步骤,识别模型并快速找两组等角,运用性质计算。 强化定理应用,提升模型意识与运算求解能力。 环节三:巩固内化,拓展延伸 课堂练习 1.如图,在矩形ABCD中,E,F分别是DC,BC边上的点,且∠AEF=90°,则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 2.如图,在纸片中,.将纸片沿某处剪开,下列四种方式中剪下的阴影三角形与原三角形相似的是( ) 　 A.①② B.②④ C.①③ D.③④ 3.如图,在中,,是边上一点,且,过点作的垂线,交的延长线于点,求证:. 4.如图,在中,高相交于点,图中与相似的三角形共有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.如图,在平行四边形中,是延长线上一点,连接交于点,则图中的相似三角形共有( ) A.0对 B.1对 C.2对 D.3对 6.如图,请补充一个条件:　　,使. 7.如图,在中,于,若,则=　　. 8.如图,在中,,点为边上任意一点,连接,以为邻边作平行四边形,连接,则长度的最小值为　. 9.如图,在中,点在边上,.点在边上,. (1)求证:; (2)若,求的长. 1.C;2.C; 3.证明: , , , , , . 4.C;5.D; 6.(答案不唯一); 7.2;8.; 9.解:(1), . , 又, , . . (2)由(1)已证,根据相似三角形的性质,对应边成比例: ​ 将已知条件代入上式: , 解得:. 巡视课堂迅速掌握学情 当堂小测,用所学知识解决问题,学生代表回答。 学以致用,及时获知学生对所学知识的掌握情况,明确哪些学生需要在课后加强辅导,达到全面提高的目的 课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 知识点: 1.相似判定定理:两角分别相等的两个三角形相似。 2.判定条件:只需两组角对应相等,第三角自动相等。 3.等角来源:公共角、对顶角、直角、平行线的同位角/内错角。 4.常用相似模型:共角模型、双垂直模型、直角三角形相似模型。 5.解题步骤:先找两组相等的角,判定相似,再利用对应边成比例计算。 6.书写要求:必须写出“两角分别相等”的依据,规范相似符号与对应顶点。 教师以提问的形式小结 学生思考自由回答,自我小结 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构,掌握其外在的形式和内在联系,形成知识系列及一定的结构框架。 板书设计 1.4相似三角形的判定(第2课时) 1. 判定定理:两角分别相等⇒两三角形相似 2. 符号语言:∠A=∠A′,∠B=∠B′⇒△ABC∽△A′B′C′ 3. 常用模型:公共角、直角、双垂直 4. 解题步骤:找角→判相似→列比例→求边长 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知,可以帮助学生理解掌握知识,形成完整的知识体系。 课后提升 基础达标: 1.下列各组图形中可能不相似的是(　　) A.各有一个角是45°的两个等腰三角形B.各有一个角是60°的两个等腰三角形 C.各有一个角是105°的两个等腰三角形D.两个等腰直角三角形 2.如图,在中,,与相似的三角形有(　　) A.1个B.2个C.3个D.4个 3.如图,在中,,则下列等式成立的是(　　) A.＝B.＝C.＝D.＝ 4.如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,CD⊥AB于点D,则图中相似三角形共有(　　) A.1对B.2对C.3对D.0对 5.如图所示的三角形中,x＝________. 6.如图,D是△ABC的边AB上一点,连接CD,若AD＝2,BD＝4,∠ACD＝∠B,则AC的长为________. 能力提升: 7.如图,E为矩形ABCD边CD的延长线上一点,BE交AD于点G,AF⊥BE于点F,则图中与△EDG相似的三角形共有(　　) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 8.如图,下列条件中,不能判定△ACD∽△ABC的是(　　) A.∠ADC=∠ACB B.∠B=∠ACDC.∠ACD=∠BCDD.∠BDC=180°-∠ACB 9.如图,在矩形ABCD中,AB＝3,BC＝10,点E在BC边上,DF⊥AE,垂足为F.若DF＝6,则线段EF的长为(　　) A.2B.3C.4D.5 10.如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,CD⊥AB于点D,下列说法中:①AC·BC＝AB·CD；②AC2＝AD·DB；③BC2＝BD·BA；④CD2＝AD·DB. 正确的个数是(　　) A.1B.2C.3D.4 11.如图,E是矩形ABCD的边CB上的一点,AF⊥DE于点F,AB＝3,AD＝2,CE＝1,则DF的长度是________. 12.如图,在△ABC中,AB＝9,AC＝6,点E在AB上,且AE＝3,点F在AC上,连接EF,若△AEF与△ABC相似,则AF＝________. 拓展迁移: 13.如图,在矩形ABCD中,E是BC的中点,DF⊥AE,垂足为F. (1)求证:△ABE∽△DFA； (2)若AB＝6,BC＝4,求DF的长. 14.如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,CD⊥AB,垂足为点D. (1)求证:BC2＝AB·DB； (2)若AD＝6,BD＝4,求CD的长. 答案:1.A;2.B;3.C;4.C;5.;6.;7.C;8.C;9.B;10.C;11.;12.2或4.5; 13.(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠B＝90°,AD∥BC. ∴∠AEB＝∠DAF. ∵DF⊥AE,∴∠DFA＝90°. ∴∠B＝∠DFA, ∴△ABE∽△DFA. (2)解:∵△ABE∽△DFA, ∴＝. ∵BC＝4,E是BC的中点, ∴BE＝BC＝×4＝2. ∴在Rt△ABE中,AE＝＝＝2. 又∵AD＝BC＝4, ∴＝, ∴DF＝. 14.(1)证明:∵CD⊥AB, ∴∠CDB＝90°. ∵∠ACB＝90°, ∴∠ACB＝∠CDB. 又∵∠B＝∠B, ∴△ACB∽△CDB. ∴＝, ∴BC2＝AB·DB. (2)解:∵AD＝6,BD＝4, ∴AB＝AD＋DB＝10. ∴BC2＝AB·DB＝40. 在Rt△CDB中,由勾股定理, 可得CD＝＝＝2. 教学反思 本节课以全等类比引入,紧扣2022新课标聚焦推理素养,通过构造法完成定理证明,强化模型识别与规范解题。教学中注重思路引导、步骤示范与变式训练,帮助学生建立“找角→判相似→用性质”的解题路径。但部分学生对定理证明的辅助线构造理解困难,在复杂图形中易找错对应角,忽略公共角、对顶角等隐含条件。后续应简化证明难点,强化模型归纳；增加错题辨析与图形变式训练,设计分层任务兼顾差异,提升学生快速识图、精准找角与综合应用能力。 学科网（北京）股份有限公司 $