精品解析：湖北武汉市硚口区2025－2026学年下学期期末八年级数学试题

八年级数学 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数，列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，式子的被开方数为， ∴， 解得． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减乘除运算，根据二次根式的运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：A选项，与不是同类二次根式，不能合并，所以选项A错误，不符合题意； B选项，，所以选项B错误，不符合题意； C选项，，计算正确，所以C正确； D选项，，所以选项D错误，不符合题意． 3. 一组数据：2，3，4，5，6，7，则这组数据的第一四分位数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查第一四分位数的计算， 方法一：先确认数据已按顺序排列，再计算第一四分位数的位置，根据四分位数的计算规则得到结果即可； 方法二：先求整组数据的总中位数，因为为偶数，总中位数是第项和第项的平均数，总中位数把整组数据拆分为「中位数左侧的下半部分数据」和「中位数右侧的上半部分数据」，本题的下半部分的数据为：，下半部分数据的中位数为排序后位于中间位置的数，即第二个数． 【详解】方法一：∵数据个数， ∴计算第一四分位数位置得 ， ∵ 不是整数， ∴ 对向上取整得2，即第一四分位数为排序后第2个位置的数，第2个位置的数为3， ∴这组数据的第一四分位数是3； 方法二：∵数据个数为6个，则中位数为第3位和第4位数的平均数，即， ∴第一四分位数的定义就是下半部分数据的中位数，下半部分共3个数据， ∴这组数据的第一四分位数是3． 4. 已知点在一次函数的图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数解析式得到比例系数k的值，利用一次函数的性质判断y随x的变化趋势，比较两点横坐标的大小即可得到与的大小关系． 【详解】解：∵在一次函数中，， ∴随的增大而减小， 又∵点，在该一次函数图象上，且， ∴． 5. 下列各组边长组成的三角形，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题利用勾股定理的逆定理，通过验证两较短边的平方和是否等于最长边的平方，判断三角形是否为直角三角形． 【详解】A选项：， 该三角形是直角三角形，不符合题意； B选项：， 该三角形是直角三角形，不符合题意； C选项：， 该三角形是直角三角形，不符合题意； D选项：，，， 该三角形不是直角三角形，符合题意． 6. 已知一次函数，若，则该函数的图像不经过（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数（k为常数，），当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．当，图象与y轴的正半轴相交，当，图象与y轴的负半轴相交，当，图象经过原点． 根据一次函数图象与系数的关系，时图象上升，时与y轴交于负半轴，由此可判断图象不经过第二象限． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而增大． ∵， ∴图象与y轴的负半轴相交， ∴图象经过一三四象限，不经过第二象限． 故选B． 7. 如图，正方形的对角线，交于点，点又是正方形的一个顶点．若，则阴影部分的面积是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】设与交于点，与交于点，证明，阴影部分面积转化为面积即可． 【详解】解：如图，设与交于点，与交于点， 四边形是正方形， ，，， ． 又， ． )， ， ， ，即正方形边长为， 正方形面积为， ， ，即阴影部分面积为． 8. 如图是《九章算术》中记载的浮箭漏示意图，它是由供水壶和箭壶组成，供水壶匀速供水，通过读取箭尺的读数计算时间．某学校数学实验小组仿制了一套浮箭漏，实验小组通过实验与观察，每2 h记录一次箭尺的读数，部分对应数据如下表． 供水时间（） 0 2 4 6 … 箭尺的读数（） 6 18 30 42 … 当箭尺的读数为时，供水时间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的定义和待定系数法解题． 【详解】解：由表格知，供水时间每增加，箭尺的读数增加，则是关于的一次函数， 设， 则有， 解得， ∴， 当时，， 解得，即供水时间是． 9. 如图，是的角平分线，，垂足为点，点为中点，连接．若，，则的长是（ ） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5 【答案】C 【解析】 【分析】延长、交于点G，证明，得到，，再证明是的中位线，则，再根据求解． 【详解】解：如图，延长、交于点G， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点为中点，点为中点， ∴是的中位线， ∴， ∴． 10. 如图（1），在菱形中，点从点出发，以的速度依次沿着边，，运动、到达点停止运动．设点运动的时间为（单位：）、的面积为（单位：），与之间的关系如图（2）所示，则菱形的较短的对角线的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图2可得点到达点时，，得出，连接交于点，则，根据菱形的性质可得，根据勾股定理可得，根据完全平方公式变形求得，，进而求得的值，即可求解． 【详解】解：根据图2可得点到达点时，， 又∵四边形是菱形， ∴， ∴ 如图，连接交于点，则， 设， ∴ ∴， ∴，即 又∵ ∴ ∵， ∴① ∵ ∴② 联立①②解得： ∴ 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若正比例函数的图象经过第二、第四象限，写出一个符合条件的的值是_______． 【答案】（答案不唯一，任意负数均可） 【解析】 【分析】根据正比例函数的性质，由图象经过第二、四象限可确定的取值范围，在取值范围内任取一个值即可． 【详解】解：正比例函数的图象经过第二、第四象限， ， 符合条件的的值可以为（答案不唯一，任意负数均可）． 12. 如图是中式园林里的八角窗，其形状为正八边形，它的每一个内角大小是_______． 【答案】##135度 【解析】 【分析】由正八边形的外角和为，再根据正八边形的每一个外角都相等求出一个外角，然后根据同一个顶点上的内角和外角互补列式计算即可． 【详解】解：正八边形的每一个外角为， ∴正八边形的每一个内角为． 13. 某商场招聘收银员，对甲、乙两名应试者进行计算机操作、语言表达和商品知识三项测试，他们各项的成绩（百分制）如表所示． 应试者 计算机操作 语言表达 商品知识 甲 70 70 80 乙 60 80 85 若计算机操作、语言表达、商品知识成绩分别占，，，从综合成绩看，应该录取_________．（填“甲”或“乙”） 【答案】甲 【解析】 【分析】根据加权平均数公式分别计算甲、乙的综合成绩，比较两人综合成绩的大小，即可得出应录取的人员． 【详解】解：甲的综合成绩为：， 乙的综合成绩为：， ∵， ∴ 甲的综合成绩更高，应该录取甲． 14. 如图，在中，点在上，，平分，若，则的大小是________，的大小是_______． 【答案】 ①. ##度 ②. ##度 【解析】 【分析】由平行四边形得对边平行，利用内错角转化已知角，根据角平分线和平角关系建立角度方程，最后结合等腰三角形和平行线的性质，通过三角形内角和求解剩余角． 【详解】四边形是平行四边形， ，， , 平分, ， ， ， ， ， ， ， ， ． 15. 如图，点，分别在正方形的边和上，，，，则的长是_______，的长是_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据勾股定理即可求解的长；添加辅助线，延长至点，使得，连接，证明与全等，由此可得，再利用角度的关系得到边的关系，可得的长度，由此可求解的长． 【详解】解：在正方形中，，， ∴， 在中，， 延长至点，使得，连接，如图， 则有， 在中，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 16. 在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小明用描点法画它的图象，列出了如下表格： … 0 1 2 3 … … 2 1 0 1 0 1 2 … 下列五个结论： ①点在该函数图象上； ②该函数图象关于轴对称； ③该函数图象与坐标轴共有3个交点； ④若，则； ⑤关于的方程，不存在整数，使其有两个不相等的实数根． 其中正确的是_____________．（填写序号） 【答案】①②③⑤ 【解析】 【分析】画出函数的图象，结合图象可从函数的增减性、对称性进行判断． 【详解】解：描点，画出函数的图象如图： 根据函数图象： ①将代入得，所以点在该函数图象上，说法正确； ②该函数图象关于轴对称，说法正确； ③该函数图象与坐标轴共有3个交点，说法正确； ④若，根据对称性质可得或，原说法错误； ⑤对于函数，当时，函数和函数的图象只有一个交点，即关于的方程，不存在整数，使其有两个不相等的实数根，说法正确． 综上所述，正确的是①②③⑤． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 已知直线：（）经过点． （1）求直线的解析式； （2）若将直线向下平移2个单位长度，直接写出平移后直线的解析式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入求出k的值，即可得直线的解析式； （2）根据一次函数图象平移规律“左加右减、上加下减”即可得出平移后直线的解析式． 【小问1详解】 解：将代入得， 解得， ∴直线的解析式为 【小问2详解】 解：将直线：向下平移2个单位长度，得到的解析式为：，即． 19. 某校开展“中国传统文化”知识竞赛，比赛成绩分为A，B，C，D四个等级，依次记10分，9分，8分，7分．随机抽取名学生的成绩，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． （1）的值是_______；补全条形统计图； （2）扇形统计图中“C等级”对应的圆心角的大小是_______，比赛成绩的中位数是_______分； （3）若该校共有名学生参加竞赛，请估计成绩不低于9分的学生人数． 【答案】（1）60； （2）；9 （3）估计成绩不低于9分的学生有800人 【解析】 【分析】（1）利用B等级的人数除以对应的百分比即可得到的值，再求出D等级的人数，补全统计图即可； （2）用“C等级”的占比乘以即可得到“C等级”对应的圆心角，根据中位数的定义求出中位数即可； （3）利用该校参加竞赛总人数乘以抽取学生中成绩不低于9分的学生的占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：， D等级人数为（人） 补全图形略 【小问2详解】 解：扇形统计图中“C等级”对应的圆心角为， ∵随机抽取名学生的成绩， ∴比赛成绩的中位数是从小到大排列后第30和第31名学生成绩的平均数，即为（分）； 【小问3详解】 （人） 即估计成绩不低于9分的学生有800人． 20. 如图，的四个内角的平分线分别相交于点，，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）下列三个条件：①；②；③对角线相等．从中选择一个条件_________，使四边形为正方形．（填写条件序号、不需要证明） 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ． 又，分别平分，， ． ， 同理， ． ∴四边形是矩形． （2）①或③（填一个即可） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，根据角平分线的定义以及三角形内角和定理可得，同理得出，，即可证明四边形是矩形； （2）根据邻边相等的矩形是正方形，证明四边形是菱形，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：选择① ∵四边形是平行四边形， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵矩形的各内角的平分线分别相交于点E，F，G，H， ∴， ， ， ， ∴， ∴， 同理， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形为正方形； 选择③对角线相等 ∵四边形是平行四边形，且对角线相等， ∴四边形是矩形，同上可得四边形是菱形， ∵， ∴四边形为正方形． 故答案为：①或③． 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，为上的点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成如下两个画图任务．每个任务的连线不超过六条． （1）在图（1）中，先在上画点，连接，使；再在上画点，连接，使． （2）在图（2）中，先画；再在上画，两点，使，． 【答案】（1） （2） 其他方法： 【解析】 【分析】（1）取点左边两格的格点，则根据垂直平分线的性质得到，即可得到；连接交竖直格线于点，连接并延长交于点，根据垂直平分线的性质得到，则，即可证明得到，即可得到，则，得到，延长交于点即可得到． （2）取点左边格的格点，连接，即可根据和得到；先根据点与点上下距离固定确定中点，连接并延长交于，由得到，，即可证明，得到，再由得到；设与竖直格线交于点，根据点与点左右距离固定确定中点，根据点与点上下距离固定确定中点，则是的中位线，得到，根据的中位线过点，结合过点有且只有一条直线与平行得到是的中位线，即是中点，即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 快递公司为提高快递分拣速度．计划购买甲、乙两种型号的机器人来替代人工分拣物品．收集信息如下： 信息1：甲型机器人单价比乙型机器人多2万元，若购买2台甲型机器人和3台乙型机器人共需19万元． 信息2：该公司购买甲、乙两种型号机器人共10台，且购买的甲型机器人数量不超过乙型机器人数量． 信息3：每台甲型机器人每小时可分拣1000件物品，每台乙型机器人每小时可分拣800件物品，要求这10台机器人每小时分拣物品的总量不少于8500件． 问题解决 （1）求甲、乙两种型号机器人的单价分别为多少万元； （2）设购买甲型机器人（单位：台），购买机器人的总费用为（单位：万元），求与的函数关系式，并求出自变量可取的所有整数值； （3）设计一种购买方案，使购买机器人的总费用最少． 【答案】（1）甲型机器人单价为5万元，乙型机器人单价为3万元 （2）；可取的整数值为3，4，5 （3）当购买甲型机器人3台，乙型机器人7台时，购买的总费用最少 【解析】 【分析】（1）设甲型机器人单价为万元，乙型机器人单价为万元，根据信息1列出二元一次方程组； （2）购买甲型机器人台，则购买乙型机器人台，结合（1）的结论即可用表示出；根据信息2和信息3列出不等式组，解不等式组求出x的取值范围，即可得出自变量可取的所有整数值； （3）结合（2）结论，根据一次函数的性质求的最小值，即可得符合要求的购买方案． 【小问1详解】 解：设甲型机器人单价为万元，乙型机器人单价为万元， 依题意得，， 解得， 答：甲型机器人单价为5万元，乙型机器人单价为3万元； 【小问2详解】 解：购买甲型机器人台，则购买乙型机器人台， 则， 由题意得：， 解得， 可取的整数值为3，4，5； 【小问3详解】 解：在中，，随增大而增大， 当时，总费用最少，此时（台）． 答：当购买甲型机器人3台，乙型机器人7台时，购买的总费用最少． 23. 直线与轴，轴交于，两点，直线与轴，轴交于，两点． （1）直接写出点，，，的坐标； （2）如图（1），点在的延长线上，连接，，． ①若点的横坐标是2，求； ②若，直接写出点的横坐标． （3）如图（2），已知点，分别在第一、第四象限内，直线，交轴于，两点．若，求证：直线过定点，并求该定点的坐标． 【答案】（1），，， （2）①7；②点的横坐标为 （3）证明：设直线解析式为，代入，， 得，解得， ∴直线解析式为， 同理，直线的解析式为， 直线解析式为． ，． ，， ， ， 将代入， 得， 当时，， 故直线经过定点，这个定点坐标为； 【解析】 【分析】（1）当或时，得到直线与轴，轴交点坐标，据此求解即可； （2）①根据计算即可． ②设，则；过作轴交直线于，则，得到，最后根据列方程求解即可； （3）先求出直线解析式为，直线的解析式为，直线解析式为．即可得到，，根据得到，代入直线解析式计算即可； 【小问1详解】 解：∵直线与轴，轴交于，两点， ∴当时，则； 当时，，解得，则； ∵直线与轴，轴交于，两点， ∴当时，则； 当时，，解得，则； 【小问2详解】 解：①∵，，， ，， ∴， ∵点的横坐标是2， ∴， ． ②∵点在的延长线上， ∴设， ∴； 过作轴交直线于，则，， ， ∵， ∴， 解得 即点的横坐标为． 【小问3详解】 略 24. 探索发现 如图（1），在矩形中，点在边的延长线上，连接，作于点，交于点，连接交于点，． （1）求证：； （2）求证：． 迁移拓展 如图（2），在正方形中，点，分别在边，上，过点作于点，，的延长线相交于点，射线交于点，若，，． （3）求的长； （4）直接写出的长． 【答案】（1）证明：， ∴ ， ， ， ∵四边形为矩形， ， ， （2）证明：如图，延长，交于点， ， ， ， ， ， ， ． ∵四边形为矩形， ，，， ，， ， ． （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角可得，设，得出 ， 根据四边形为矩形，由平行线的性质，即可得出，等量代换即可得证； （2）如图，延长，交于点，证明，根据全等三角形的性质即可得证； （3）延长，交于点，证明垂直平分，连接，，，得出为中位线，即可求解； （4）在（3）的条件下，延长交于，证明，可得，，．在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，延长，交于点， 在正方形中，， ， ， ， ， ∵ ∴， ， ， ， 垂直平分， 连接，，， 同理：， ， 为中位线， ， ， ． 【小问4详解】 解：如图，在（3）的条件下，延长交于， 由（3）可得垂直平分， ∴ ∵ ∴， ∵， 又∵ ∴， ，， ，． ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴， 又∵， ∴ 设，， 在中，， ， 解得， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 一组数据：2，3，4，5，6，7，则这组数据的第一四分位数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 已知点在一次函数的图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 下列各组边长组成的三角形，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知一次函数，若，则该函数的图像不经过（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 如图，正方形的对角线，交于点，点又是正方形的一个顶点．若，则阴影部分的面积是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 如图是《九章算术》中记载的浮箭漏示意图，它是由供水壶和箭壶组成，供水壶匀速供水，通过读取箭尺的读数计算时间．某学校数学实验小组仿制了一套浮箭漏，实验小组通过实验与观察，每2 h记录一次箭尺的读数，部分对应数据如下表． 供水时间（） 0 2 4 6 … 箭尺的读数（） 6 18 30 42 … 当箭尺的读数为时，供水时间是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的角平分线，，垂足为点，点为中点，连接．若，，则的长是（ ） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5 10. 如图（1），在菱形中，点从点出发，以的速度依次沿着边，，运动、到达点停止运动．设点运动的时间为（单位：）、的面积为（单位：），与之间的关系如图（2）所示，则菱形的较短的对角线的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若正比例函数的图象经过第二、第四象限，写出一个符合条件的的值是_______． 12. 如图是中式园林里的八角窗，其形状为正八边形，它的每一个内角大小是_______． 13. 某商场招聘收银员，对甲、乙两名应试者进行计算机操作、语言表达和商品知识三项测试，他们各项的成绩（百分制）如表所示． 应试者 计算机操作 语言表达 商品知识 甲 70 70 80 乙 60 80 85 若计算机操作、语言表达、商品知识成绩分别占，，，从综合成绩看，应该录取_________．（填“甲”或“乙”） 14. 如图，在中，点在上，，平分，若，则的大小是________，的大小是_______． 15. 如图，点，分别在正方形的边和上，，，，则的长是_______，的长是_______． 16. 在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小明用描点法画它的图象，列出了如下表格： … 0 1 2 3 … … 2 1 0 1 0 1 2 … 下列五个结论： ①点在该函数图象上； ②该函数图象关于轴对称； ③该函数图象与坐标轴共有3个交点； ④若，则； ⑤关于的方程，不存在整数，使其有两个不相等的实数根． 其中正确的是_____________．（填写序号） 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 已知直线：（）经过点． （1）求直线的解析式； （2）若将直线向下平移2个单位长度，直接写出平移后直线的解析式． 19. 某校开展“中国传统文化”知识竞赛，比赛成绩分为A，B，C，D四个等级，依次记10分，9分，8分，7分．随机抽取名学生的成绩，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图． （1）的值是_______；补全条形统计图； （2）扇形统计图中“C等级”对应的圆心角的大小是_______，比赛成绩的中位数是_______分； （3）若该校共有名学生参加竞赛，请估计成绩不低于9分的学生人数． 20. 如图，的四个内角的平分线分别相交于点，，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）下列三个条件：①；②；③对角线相等．从中选择一个条件_________，使四边形为正方形．（填写条件序号、不需要证明） 21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，为上的点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成如下两个画图任务．每个任务的连线不超过六条． （1）在图（1）中，先在上画点，连接，使；再在上画点，连接，使． （2）在图（2）中，先画；再在上画，两点，使，． 22. 快递公司为提高快递分拣速度．计划购买甲、乙两种型号的机器人来替代人工分拣物品．收集信息如下： 信息1：甲型机器人单价比乙型机器人多2万元，若购买2台甲型机器人和3台乙型机器人共需19万元． 信息2：该公司购买甲、乙两种型号机器人共10台，且购买的甲型机器人数量不超过乙型机器人数量． 信息3：每台甲型机器人每小时可分拣1000件物品，每台乙型机器人每小时可分拣800件物品，要求这10台机器人每小时分拣物品的总量不少于8500件． 问题解决 （1）求甲、乙两种型号机器人的单价分别为多少万元； （2）设购买甲型机器人（单位：台），购买机器人的总费用为（单位：万元），求与的函数关系式，并求出自变量可取的所有整数值； （3）设计一种购买方案，使购买机器人的总费用最少． 23. 直线与轴，轴交于，两点，直线与轴，轴交于，两点． （1）直接写出点，，，的坐标； （2）如图（1），点在的延长线上，连接，，． ①若点的横坐标是2，求； ②若，直接写出点的横坐标． （3）如图（2），已知点，分别在第一、第四象限内，直线，交轴于，两点．若，求证：直线过定点，并求该定点的坐标． 24. 探索发现 如图（1），在矩形中，点在边的延长线上，连接，作于点，交于点，连接交于点，． （1）求证：； （2）求证：． 迁移拓展 如图（2），在正方形中，点，分别在边，上，过点作于点，，的延长线相交于点，射线交于点，若，，． （3）求的长； （4）直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $