福建省福州第一中学2025-2026学年第二学期第四学段模块考试高一数学试卷

福州一中2025—2026学年第二学期第四学段模块考试 高一数学学科试卷 （完卷120分钟 满分150分） 一、单项选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题5分，共40分） 1．（ ） A． B． C． D． 2．一组数据中最大值为，最小值，绘制频率分布直方图，若组距为3，且第一组左端点取151.5，则组数为（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 3．已知为空间中一个平面，m，n为不同的直线，则下列结论正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 4．甲、乙、丙三人各射击一个目标一次，三次射击相互独立，命中率分别为，，，则目标恰好被击中两次的概率为（ ） A． B． C． D． 5．四面体中，平面，，，，则该四面体的外接球体积为（ ） A． B． C． D． 6．一个圆台的轴截面周长为4，则该圆台侧面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 7．签筒中有6支外形完全相同的签，签面上分别写有数字1，2，3，4，5，6．从中不放回地依次随机抽取2支签，先后抽得的数字分别记为x，y．若满足，，，则为锐角三角形的概率为（ ） A． B． C． D． 8．正三棱柱中，，动点P在侧面内，且直线与面所成角的正切值为，则线段扫过的曲面面积为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题（在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分，共18分） 9．三棱锥中，，且，下列结论正确的是（ ） A．平面平面 B．三棱锥的体积为 C．三棱锥外接球半径为 D．二面角的大小为 10．事件A，B发生的概率分别为，，下列说法正确的是（ ） A．事件A与事件B互为对立事件 B．必有 C．若，则 D．若，则事件A与事件B相互独立 11．如图，将一副三角板拼接，并将等腰直角沿向上翻折，得到三棱锥，设，点E，F分别为棱，的中点，则翻折过程中（ ） A．始终有 B．若，则与平面所成角的正切值为 C．G为的中点，平面截三棱锥所得截面面积的最大值为 D．M为线段上的动点，当时，的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．若样本数据，，的方差为4，则，，的方差为________． 13．已知点P是正方体的棱（包括端点）上的一个动点，设异面直线与所成的角为，则的最小值是________． 14．点P，A，B是半径为1的球上任意不同的三点，则的取值范围是________． 四、解答题（本题共5小题，共77分，应写出文字说明，证明过程或演算步骤．注意：本次考试解答题使用空间向量法论证、计算不得分） 15．盒中有4张大小、质地相同的卡片，分别写有数字1，2，3，4． （1）有放回地随机抽取2次，每次抽1张，求两次抽得数字之和大于5的概率； （2）不放回地依次随机抽取2张卡片，判断“两次抽得的数字之和为奇数”与“两次抽得的数字之积为3的倍数”这两个事件是否相互独立，并证明你的结论． 16．如图，四棱锥的底面是平行四边形，点E，F分别是，的中点． （1）求证：平面； （2）设平面与线段交于点Q，作出平面与平面的交线（要求说明做法），并求． 17．某校学生参加数学竞赛，成绩均在区间内．已知选物理、历史方向的学生人数分别为180人、120人．现按选科方向按比例分层抽样，抽取50名学生的答题成绩，并绘制如下样本频率分布直方图． 选科方向 样本平均数 样本方差 物理方向 60 历史方向 59 （1）计算a的值，并用样本估计全体学生成绩的上四分位数（结果精确到整数）； （2）已知所抽取的物理和历史方向学生答题成绩的平均数、方差如上表，且根据频率分布直方图估计出全体学生成绩的方差为148，求表中，． 18．如图，在多面体中，是边长为2的等边三角形，，平面平面，平面，且．点D，E位于平面同侧． （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值； （3）以A为球心，为半径作球，P是上的一动点，求P到平面距离的最大值． 19．在平面中，任意三角形均可作三条互相平行且相邻距离相等的直线，，，使，，2，3．设与线段交于D． （1）直接判断点D在线段上的位置（无需给出理由）； （2）（ⅰ）证明：对任意四面体，都可作四个互相平行、相邻距离相等的平面，，，，使，，2，3，4； （ⅱ）若是正四面体，且满足（ⅰ）的相邻平面间距离均为1，求其体积． 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州一中2025—2026学年第二学期第四学段模块考试答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A C B A D B B B ACD BCD BC 12．16 13． 14． 15．解：（1）设事件A表示“两次抽得的数字之和大于5”， 有放回抽取两次，共有种等可能结果， 和大于5的有，，，，，，共6种，故． （2）设事件B表示“两次抽得的数字之和为奇数”，事件C表示“两次抽得的数字之积为3的倍数”． 不放回依次抽取两次，样本空间共有种等可能结果． 事件B：，，，，，，，，共8种． 事件C：，，，，，，共6种． 事件：需一张为3，另一张为偶数，即，，，，共4种． ，，． 因为，所以事件B与事件C相互独立． 16．解：（1）证明：取M为的中点．因为，，所以，且． 又底面为平行四边形，所以，且． 因为E为的中点，所以．于是，且， 故四边形为平行四边形，从而． 又平面，平面，所以平面． （2）延长，交于点G，连接．因为，所以平面 又，所以平面．同理，平面，且平面， 所以平面平面． 因为E是的中点，且为平行四边形，由平行线性质知C是的中点． 又F是的中点，所以在中，与分别为两条中线， 设，则Q是的重心，故． 17．解：（1），解得 各组频率为：0.04，0.12，0.34，0.28，0.14，0.08， 所以上四分位数落在内． 方法1：在该组内所占比例为．因此上四分位数约为． 方法2：设上四分位数为x，则． 解得．精确到整数，得． （3）物理方向与历史方向人数比为，故总体中两类学生所占比例分别为和． 由直方图估计总体平均数为． 又因为，解得． 由分层方差公式，．解得．， 18．（1）取中点M，连接，． 因为，所以，且． 因为平面，平面平面，平面平面，且， 所以平面．因为平面，所以． 又因为，所以四边形是平行四边形，从而． 因为是等边三角形，且M为的中点，所以． 因为平面，平面平面，平面平面， 所以平面．由，得平面． 又因为平面，所以平面平面． （2）由（1）知平面，平面，设平面平面， 所以．因为，所以； 又因为，所以，所以 因此即为平面与平面所成二面角的平面角． 在中，，，所以． 故平面与平面所成角的余弦值为． （3）由，且平面，平面知平面， 因此，点A与点M到平面的距离相等．过点M作，垂足为H， 由平面，平面，所以，又，所以 又因为，平面，， 所以平面，因此是M到平面的距离． 由（2）知，所以， 在直角三角形中，， 过点A作平面，垂足为K，则．球的半径为． 当点P位于射线上，且时，点P到平面的距离最大． 此时．所以，点P到平面距离的最大值为． 19．解：（1）D是的中点． （2）（ⅰ）取为的中点，为的中点．取M，N为的三等分点， 且，记平面为，平面为． 因为，M分别为，的中点，所以． 又，且，所以． 同理可证． 因为，，且，所以． 再过，分别作平面，，使，． 直线依次交，，，于，M，N，，且． 四个平面互相平行，同一直线截这四个平面所得相邻线段相等． 所以相邻平面间距离相等，，，，即为所求． （ⅱ）方法1：设正四面体的棱长为a．由（ⅰ）中的构造，到平面的距离为1． 考察三棱锥．在正四面体中，，，． 又，所以． 同理，，所以． 在中，， 故，从而． 与在同一平面内，且，， 故．又两三棱锥以为顶点且等高， 所以． 所以． 解得．因此． 方法2：在平面，之间作中心平面，与，等距． 则，到的距离为，，到的距离为．根据（ⅰ）中平面的作法可知， 平面过，上靠近，的四等分点，以及，的中点． 如图所示，将正四面体放到棱长为s的正方体中，则正四面体的棱长为． 取上述特殊点，将平面补成平面， 作平面，此时底面直线，且． 考察底面，过E作，则，， 所以． 由相似关系得，即， 解得，所以． 因此． 学科网（北京）股份有限公司 $