1.3探索三角形全等的条件（分层作业练题型）数学新教材鲁教版五四制七年级上册

**基本信息** 初中数学“探索三角形全等的条件”同步练，以“基础巩固-综合应用-拓展提升”分层设计，覆盖全等判定全流程，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|尺规作图、稳定性、单一判定（SSS/SAS/ASA/AAS）|选择/填空题结合生活情境（如遮阳伞稳定性），强化概念理解| |综合应用|多判定方法选择、作图与证明结合|开放题（选条件证全等）、网格角度计算，提升推理灵活性| |拓展提升|全等模型（K字/一线三等角）、动态问题|探究性问题（如旋转中全等关系），培养模型意识与创新思维|

1.3探索三角形全等的条件 题型一 尺规作图——作三角形 1． 【答案】作图见解析 【分析】先作出定长的边，再在该边的同侧准确作出与已知角相等的角，使两角的另一边相交得到三角形的第三个顶点． 【详解】解：如图，任意作射线，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点，再作，在的同侧作，交射线于点， 则即为所求． 2． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图，掌握运用尺规作角和线段的方法是解题的关键． 先作与相等的，在、上分别截取，确定点A、点C，然后顺次连接即可解答． 【详解】解：如图：即为所求． 3． 【答案】作图和说明见详解 【分析】本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定与性质，在上截取，延长，在的延长线上截取，连接，则即为所求，再根据全等三角形的判定证明即可． 【详解】解：如图所示，在上截取，延长，在的延长线上截取，连接， 在和中， ， ∴， 则即为所求． 4． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查尺规作三角形，熟练掌握尺规作角等于已知角、作线段等于已知线段是解题的关键． 先作， 在射线上截取， 在射线上截取，再连接即可． 【详解】解：如图，三角形即为所求． 5． 【答案】作图见解析 【分析】先作一个角等于已知角，再在角的两边上分别截取对应长度的线段；最后连接端点得到三角形． 【详解】解：如图，即为所求． 【点睛】本题考查了尺规作图，作一个角等于已知角、作一条线段等于已知线段，解题关键是熟练掌握基本尺规作图的操作步骤，准确截取线段长度和作相等的角． 6． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图，掌握尺规作图的基本作图方法是解题的关键． （1）截取，以点C为圆心，a为半径作弧，以A为圆心，c为半径作弧，两弧交点为B； （2）先作，截取，，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，即所求． （2）解：如图2，即所求． 题型二 三角形的稳定性 1．【答案】D 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】C 5．【答案】A 6．【答案】稳定性 7．【答案】①④⑥具有稳定性 题型三 用SSS证明三角形全等 1． 【答案】见解析 【详解】证明：∵， ， ∴， 在和中， ∵ ∴． 2． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了三角形的判定，利用证明三角形全等即可． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 3． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，利用即可证和全等． 【详解】证明：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 4． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据全等三角形判定定理即可证明． 【详解】证明：， ， ， 在和中， ． 5． 【答案】见解析 【分析】本题考查两个三角形全等，掌握三角形全等的判定定理是关键；由是的中点，可得，再结合已知条件用边边边的判定即可证明． 【详解】证明：∵是的中点， ∴， 在与中， ， ∴． 题型四 用AAS或ASA证明三角形全等 1． 【答案】证明见解析 【分析】根据证明两个三角形全等即可． 【详解】证明：∵三点共线，三点共线， ∴与是对顶角， ∴． 在和中， ∴． 2． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余、全等三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．首先证明，，然后利用“”证明与全等即可． 【详解】证明：∵， ∴，； ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 3． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握全等三角形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键． 先证出，再由证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 4． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，平行线的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 根据线段和差得出，再利用平行线的性质，得到，进而利用证明即可． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 又， ∴． 5． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先证明，再利用即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 6． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定．掌握三角形全等的判定定理是解题关键． 根据角度计算，得出，结合题干信息，即可求证． 【详解】证明：∵， ∴， 即． 在和中，， ∴． 题型五 用SAS证明三角形全等 1． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定，关键是根据证明解答． 根据等式的性质得出，进而利用证明解答． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴． 2． 【答案】见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定，先根据，得，结合已知用进行证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 则， ∵， ∴． 3． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的几种判定方法． 由，得到，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 4． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据旋转的性质可得，可证明， 【详解】证明：由已知得，， ， 即， 根据旋转的性质得：， 在与中， ， ． 5． 【答案】证明见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，掌握其判定方法是关键． 根据题意得到，运用边角边即可求证． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在中， ， ∴． 6． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，解决此题的关键是熟练掌握的判定方法；根据等边三角形得到两边相等，根据平行得到两角相等，进而即可解决问题； 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴ 7． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．先证明，然后根据可证． 【详解】解：因为， 所以， 所以． 在和中，， 所以． 题型一 灵活选用判定方法证全等 1． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)①②③（答案不唯一） (3)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握知识点是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定条件，求解即可； （2）根据全等三角形的判定条件，求解即可； （3）先推导出，再根据证明即可． 【详解】（1）解：我准备用我们目前学的全等三角形判定中的判定定理来判断． 故答案为：（答案不唯一）． （2）解：根据判定定理来判断，需要选条件①②③． 故答案为：①②③（答案不唯一）． （3）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴． 2． 【答案】(1)①，②，③，④ (2)，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定、中线的定义， （1）由中线的定义证得，进而证得，得，即可得证； （2）延长，截，连接，延长，截，连接，证得，，得，，，进而证得，得，即可得证． 【详解】（1）解：∵，分别是和的中线， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 故答案为：①，②，③，④． （2）证明：，理由如下： 延长，截，连接，延长，截，连接， ∵，分别是和的中线， ∴，， 在和中， ， ∴， 同理可证，， ∴，，，， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， 又∵，， ∴． 3． 【答案】(1)①②→④，①④→② (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握． （1）根据条件，则只要是由任两个条件推出结论，但必须保证结论的正确性即可，例如，； （2）要证结论的正确性，例如由，则只需证，即可． 【详解】（1）解：假设由为条件，有为公共角，由可得，可得，即结论正确， 若为条件，则由可得，得出，结论正确， 故答案为：，； （2）选 证明：，，， ∴ 选 证明：∵，，； ∴， ∴， 4． 【答案】此图中有对全等三角形，分别是、、，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．根据全等三角形的判定方法求解即可． 【详解】解：此图中有对全等三角形，分别是、、，证明如下： ，， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ； 在和中， ， ． 5． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定定理即可求解． 【详解】解：有三种组合是成立的：或或． 对于，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 对于，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 对于，理由如下： ∵，∴， ∵，， ∴， ∴ 6． 【答案】(1)①③④②；①②④③； (2)见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定．这是一道开放题．四个条件可组合成四个命题，其中有真有假，考生既要会证明真命题，还要会对假命题举反例加以否定，本题既考查了学生的基础知识，又考查了学生的创新能力．给学生提供了充分展示才能的空间，不同层次不同能力的学生可以给出不同的结果． 本题考查的是全等三角形的判定，要根据全等三角形判定条件中的，，，等条件，来判断选择哪些条件可得出三角形全等，得出全等后又可得到什么等量关系． 【详解】（1）解：①③④②，①②④③． （2）示例：选择①②④③． 证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． 7． 【答案】①③、②；见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法（SAS，ASA，AAS，SSS，还有直角三角形的HL）是解题的关键． 本题主要考查了全等三角形的判定与性质．选的补充条件是①③，结论是②，证明即可. 【详解】证明：， ，即 在与中 . 8． 【答案】选择的三个条件是①②③或①③④，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的证明，选择的三个条件是：①②③，或者选择的三个条件是：①③④，根据全等三角形的判定即可得证．熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：选择的三个条件是①②③． 说明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴； 选择的三个条件是①③④． 说明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴． 题型二 综合尺规作图的全等问题 1． 【答案】见解析 【分析】此题考查了尺规作全等三角形，全等三角形的判定定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 方法一：以点C为圆心，为半径画弧，在弧上取点D，连接，以点C为圆心，为半径画弧，以点D为圆心，为半径画弧，两弧交于点E，连接，则即为所求； 方法二：如图所示，延长，在延长线上截取，延长，在延长线上截取，连接，则即为所求； 方法三：以点C为圆心，为半径画弧，以点B为圆心，为半径画弧，两弧交于点D，则即为所求． 【详解】方法一：如图所示， 由作图得，， ， ∴ ∴即为所求； 方法二：如图所示， 由作图得，， 又∵ ∴ ∴即为所求； 方法三：如图所示， 由作图得，， 又∵ ∴ ∴即为所求． 2． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定定理，根据题意画出不同的三角形再进行判断.判定全等三角形的方法有 (， ， ， ， ) 五种判定方法，但不能判定三角形全等． 【详解】解：如图所示，与 不一定全等． 3． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【分析】（1）结合全等三角形的判定与性质，先以点为圆心，的长为半径画弧，再以点为圆心，的长为半径画弧，在的两侧分别交于点，，连接，，，，则和均满足题意． （2）①作线段的垂直平分线，交于点，则点即为所求；②以点为圆心，的长为半径画弧，再以点为圆心，的长为半径画弧，在的下方交于点，连接，，连接交于点，则点即为所求． 【详解】解：（1）如图所示， 和为所求． 在和中， 在和中， ． （2）如图①所示，点即为所求； 如图②所示，点即为所求；． 如图①，根据线段垂直平分线的定义可得点E是的中点； 如图②，∵，，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，即点E是的中点． 【点睛】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 4． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由作图过程得到相应条件，再根据证明即可； （2）根据作图过程可得这种作一个角等于已知角的方法的依据是． 【详解】（1）解：证明：在和中， ， ， ． （2）这种作一个角等于已知角的方法的依据是． 故答案为： 【点睛】本题考查了作图应用与设计作图，全等三角形的判定，解决本题的关键是掌握作一个角等于已知角的方法． 题型三 利用全等图形求网格中的角度之和 1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】 5．【答案】 6．【答案】/90度 7． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形全等的性质的运用：由三角形全等得角相等．认真观察图形，发现并利用全等三角形是正确解决本题的关键． 由图可找出多对全等三角形，对应多对角的和是，再相加即可． 【详解】解：根据全等三角形的性质可知， 与的余角相等，也就是与互余， 同理：与互余．与互余，与互余，与互余，与互余，又， 、、、、、、， ． 题型四 全等三角形的性质与判定综合 1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】C 4． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）由补角的性质得到，由平行得，由即可证明三角形全等； （2）由全等三角形得，，进而求得，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴． ∴． 5． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意，，根据进行判定即可； （2）由（1）可得，得到，证明，即可得到答案． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）证明： 在和中， ， ， ． 6． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，先证明，进而根据证明； （2）根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下， 由题意可得：，，，， 则， 在和中， ， ； （2）， ，， 则两条凳子的高度之和为：． 7． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）由与表示相同的秋千绳，可知； （2）根据垂直，结合角的互余关系可推导； （3）根据“”证明，得到的长为，进而得出即可． 【详解】（1）解：， 理由：∵与表示相同的秋千绳， ∴； （2）证明：∵于点E，于点O，于点D， ∴， ∵， ∴； （3）解：在和中， ， ∴， ∴， ∴的长为， ∴． 8． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等的性质和综合（），全等的性质和综合（）等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）利用证明； （2）利用证明，再得出． 【详解】（1）证明：在与中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 9． 【答案】，，理由见解析 【分析】先证明出，再证明即可得解． 【详解】解：，，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 10． 【答案】(1)见解析 (2)的长度为80 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由，可得，结合，即可得证； （2）由可得，从而可得，即可求解出的长度． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：由（1）可知， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴的长度为80． 11． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用定理证明两三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴． 12． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 先证明得出，再证明即可得出． 【详解】证明：在和中 ， ∴， ∴． 在和中 ， ∴， ∴． 题型一 全等几何模型 1． 【答案】(1)； (2)五边形的面积是． 【分析】（1）根据三角形的面积公式求得的面积，即可求解； （2）连接、，延长到，截取，证明，，根据三角形的面积公式求得的面积，即可得出的面积，进而求得四边形的面积． 【详解】（1）解：由题意可得， ，， 则的面积是：， 即四边形的面积为， 故答案为：； （2）连接、，延长到，截取， 在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， 的面积是：， 的面积是， 四边形的面积是， 五边形的面积是． 2． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三垂直模型，是解题的关键： （1）证明，得到，根据线段的和差关系和等量代换即可得出结论； （2）证明，根据线段的和差关系和等量代换即可得出结果； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，则，进而得，再根据得，由此得，进而依据“”判定和全等得，同理证明和全等得，进而得，然后再根据三角形的面积公式即可得出与之间的数量关系． 【详解】解：（1）； ∵从点，向直线作垂线，垂足分别为，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2），， ， 在中，， ， ， ， 在和中， ， ； ，， ； （3）与之间的数量关系是：，理由如下： 如图3，过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N， ∵是的高，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理证明：， ∴， ∴， ∵的面积为，的面积为， ∴． 3． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)的度数为或 【分析】（1）利用证明，即可得到； （2）延长到，使，连接，证明，得到，，再证明，即可得到； （3）连接并延长到，使，连接，分两种情况：点在边上和点在边延长线上，画出对应的示意图，同理证明，，再根据全等三角形的性质和角之间的关系求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，延长到，使，连接， ∴， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：连接并延长到，使，连接． 当点在边上时， 由题意得，， 同理可证明，， ∴， ∵，， ∴； 当点在边延长线上时， 同理可证明， ∴， 同理可得， 综上，的度数为或． 4． 【答案】（1）② （2）①；②，证明见解析 （3） 【分析】（1）根据题意易得、根据余角的性质得到，进而证得，据此解答即可； （2）①根据角平分线的性质得到，根据余角的性质得到； ②如图，延长交的延长线于点M，得到，进而得到，证得，根据全等三角形的性质得到，进而得到，再证得，根据全等三角形的性质得到，进而得到； （3）过点D作，交的延长线于点G，与交于点H，根据题意得到及 ，进而证得，进而得到，再证得，根据全等三角形的性质得到，进而得到． 【详解】（1）解：高，交于点F， 、 在和中 故答案为：②； （2）①解：，，平分， 、 故答案为：； ②，证明过程如下： 证明：如图，延长交的延长线于点M， 在和中 平分 在和中 ； （3）解：，理由如下： 如图，过点D作，交的延长线于点G，与交于点H， 、 、 ， 在和中 在和中 ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 5． 【答案】【模型呈现】证明见解析；【模型应用】50；【深入探究】63 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，不规则面积的求解，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 【模型呈现】根据角角边的证明方法证明与全等即可得证； 【模型应用】由上一问同理可证，，，由此可求解边的长度，再由五边形的面积为梯形的面积减去四个三角形的面积求解即可； 【深入探究】添加辅助线，构造全等三角形，再证明与全等，由此可得，再根据边长的关系求解边长，代入三角形面积公式求解即可． 【详解】【模型呈现】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； 【模型应用】解：由【模型呈现】可知，，， ∴，，，， ∴， ∴梯形的面积为， ，， ∴五边形面积为； 故答案为：50； 【深入探究】解：过点D作于P，过点E作交的延长线于Q，如图④， 由【模型呈现】可知，，， ∴，，，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：63． 6． 【答案】（1）；（2）成立．理由见解析；（3），或， 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，一元一次方程的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是关键． （1）先根据三角形外角性质，证明，即可证明，可得，，即得答案； （2）同（1）的方法，证明，可得，，即得答案； （3），则，， ①当时，则有，所以，，据此列方程求解即可； ②当时，则有，所以，，据此列方程求解即可． 【详解】解：（1），， ， 而， ， ，， ， ，， ． 故答案为：． （2）成立； 理由：， 而， ， ，， ， ，， ； （3）依题意得，则，， ，， 与全等时，有两种情形： ①当时，则有， ，， 即，， ，； ②当时，则有， ，， ，， ，， 综上所述，当与全等时， ，或，． 7． 【答案】(1)， (2)结论仍然成立，见解析 (3)3或13 (4)当t为1或7时，的面积为． 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的全等的判定与性质，一元一次方程的应用． （1）由证明可得出的数量和位置关系； （2）同（1）方法证明，可得出结论； （3）分两种情况：①当点在上时，②当点在延长线上时，逐个分析求解即可； （4）作于点，利用三角形面积公式求得，再分两种情况：①当点在上时，②当点在延长线上时，逐个分析求解即可． 【详解】（1）解：，． 证明：，， ，， 在与中， ， ， ，， ， ， 故答案为：，； （2）解：成立．理由如下： ∵， ， ， 在和中， ， ， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴，即， ∴； （3）解：①当点在上时，如图， 由（1）可知， ， ； ②当点在延长线上时，如图， 由（2）可知，， ， ， 故答案为：3或13； （4）解：作于点， ∵中，，，， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， 解得， ∵点D从点C出发在直线上速度运动， 设运动时间为， ∴， ①当点在上时，， ∴； ②当点在延长线上时，， ∴； 综上，当t为1或7时，的面积为． 8． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，理解“一线三等角”的全等模型以及该模型的构成条件、证明过程及结论是解题关键． （1）证明，根据全等三角形的判定与性质逐步分析即可解答； （2）过作于，过作于，由（1）结论可得故可推出，同理可得，再证即可证明结论； （3）过作于，交于，过作于，过作于，由（1）结论可得，，进一步可证，再求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：； （2）证明：如图2，过作于，过作于， 由（1）得：， ， 同理得：， ∴， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 点是的中点； （3）解：如图3，过作于，交于，过作于，过作于， ，，， 由（1）得：，， ，，， ∴， ，， ， 在与中， ， ， ，且， ， 即， ， 的值为． 9． 【答案】（1）4；（2）．理由见解析；（3）结论不成立．证明见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）延长到G，使，连接．利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）先证明，由全等三角形的性质得出，．，由全等三角形的性质得出，即，则可得出结论； （3）在上截取，使连接．证明．由全等三角形的性质得出．证明，由全等三角形的性质得出结论． 【详解】解：延长到G，使，连接． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：4； （2）结论，理由如下： 延长到M，使，连接． ， ， 在与中， ， ， ， ， ， 即， 在与中， ， ， ， 即， ； （3）结论不成立，应是． 证明：在上截取，使连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3探索三角形全等的条件 题型一 尺规作图——作三角形 1．（25-26七年级上·陕西榆林·月考）如图，已知的两角分别为，．求作这个三角形，使，，(不写作法，保留作图痕迹)． 【答案】作图见解析 【分析】先作出定长的边，再在该边的同侧准确作出与已知角相等的角，使两角的另一边相交得到三角形的第三个顶点． 【详解】解：如图，任意作射线，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点，再作，在的同侧作，交射线于点， 则即为所求． 2．（25-26七年级上·河南洛阳·期末）用直尺和圆规，按照下面要求作出． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图，掌握运用尺规作角和线段的方法是解题的关键． 先作与相等的，在、上分别截取，确定点A、点C，然后顺次连接即可解答． 【详解】解：如图：即为所求． 3．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，在中，D是上一点，连接，求作（点E在线段上；点F在线段的右侧），使得（保留作图痕迹，不写作法，标明各顶点字母）；并简要说明其中道理． 【答案】作图和说明见详解 【分析】本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定与性质，在上截取，延长，在的延长线上截取，连接，则即为所求，再根据全等三角形的判定证明即可． 【详解】解：如图所示，在上截取，延长，在的延长线上截取，连接， 在和中， ， ∴， 则即为所求． 4．（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，，．利用圆规与无刻度直尺作三角形，使得，且满足．（不写过程和证明，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查尺规作三角形，熟练掌握尺规作角等于已知角、作线段等于已知线段是解题的关键． 先作， 在射线上截取， 在射线上截取，再连接即可． 【详解】解：如图，三角形即为所求． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）用圆规、无刻度直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．如图，已知线段a，c，．求作，使，，． 【答案】作图见解析 【分析】先作一个角等于已知角，再在角的两边上分别截取对应长度的线段；最后连接端点得到三角形． 【详解】解：如图，即为所求． 【点睛】本题考查了尺规作图，作一个角等于已知角、作一条线段等于已知线段，解题关键是熟练掌握基本尺规作图的操作步骤，准确截取线段长度和作相等的角． 6．（25-26八年级上·河北邢台·期中）按下列要求作三角形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）： (1)如图1，已知线段a，b，c，求作，使得，，． (2)如图2，已知和线段d，e，求作，使得，，． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图，掌握尺规作图的基本作图方法是解题的关键． （1）截取，以点C为圆心，a为半径作弧，以A为圆心，c为半径作弧，两弧交点为B； （2）先作，截取，，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，即所求． （2）解：如图2，即所求． 题型二 三角形的稳定性 1．（25-26八年级上·山西朔州·期末）如图，可以看到遮阳伞的结构主体是三角形，这主要是利用了三角形的（   ） A．美观性 B．简洁性 C．耐用性 D．稳定性 【答案】D 【分析】本题考查三角形的稳定性这一核心知识点，关键是明确三角形的数学特性与生活应用的关联．三角形具有稳定性，这是区别于四边形等多边形的重要特性，生活中诸多结构如遮阳伞、建筑支架等采用三角形结构，都是为了利用其稳定性来维持结构的牢固性． 【详解】解：在数学中，三角形具有稳定性，遮阳伞的结构主体设计为三角形，主要是利用了三角形的稳定性来保障结构不易变形； 故选：D． 2．（25-26八年级上·山东烟台·期末）盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常在窗框上斜钉一根木条，这样做的道理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两直线平行，内错角相等 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【分析】本题考查三角形稳定性的实际应用．用木条固定矩形窗框，即是组成三角形，故可用三角形的稳定性解释． 【详解】解：加上木条后，原不稳定的四边形中具有了稳定的三角形，故这种做法根据的是三角形的稳定性． 故选：D． 3．（25-26八年级上·广东珠海·期末）第十五届全国运动会自行车（公路）赛在广东省珠海市举行，这是全运会唯一一项跨越粤港澳三地的标志性赛事．如图，自行车支架一般都会采用的设计．这种设计方法应用的几何原理是（   ） A．两点之间，线段最短 B．三角形具有稳定性 C．三角形两边之和大于第三边 D．垂线段最短 【答案】B 【分析】本题考查三角形的稳定性的应用，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．根据三角形具有稳定性，构造三角形支架比较牢固稳定． 【详解】解：自行车支架一般都会采用的设计， 这种设计方法应用的几何原理是三角形的稳定性， 故选：B． 4．（25-26八年级上·福建福州·期中）安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 【答案】C 【分析】根据三角形具有稳定性即可进行解答． 【详解】根据题意可得，图中的几何原理为：三角形具有稳定性． 5．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，窗户打开后，用窗钩可将其固定，其所运用的几何原理是（   ） A．三角形具有稳定性 B．对顶角相等 C．垂线段最短 D．两点之间，线段最短 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．根据三角形的稳定性即可解决问题． 【详解】解：窗户打开后，用窗钩可将其固定，其所运用的几何原理是三角形的稳定性． 故选：A． 6．（25-26八年级上·湖南株洲·期末）港珠澳大桥全长约为55千米，集桥、岛、隧于一体，是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道，是迄今世界最长的跨海大桥． 如图是港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样做应用的数学原理是三角形具有________． 【答案】稳定性 【详解】解：∵斜拉索桥、索塔、斜拉索、桥面构成了三角形， ∴运用的数学原理是三角形的稳定性． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列图形中哪些具有稳定性？ 【答案】①④⑥具有稳定性 【分析】本题考查了三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性这一特性，判断所给图形是否由三角形构成或可分割成三角形，从而确定哪些图形具有稳定性即可． 【详解】解：图形①：被分割成了多个三角形，具有稳定性； 图形②：是四边形内加一条线段，形成了两个四边形，四边形不具有稳定性，所以整个图形不具有稳定性； 图形③：下方是被分割的四边形，四边形不具有稳定性，所以整个图形不具有稳定性； 图形④：被分割成了多个三角形，具有稳定性； 图形⑤：是两个四边形组成的图形，四边形不具有稳定性，所以整个图形不具有稳定性； 图形⑥：被分割成了多个三角形，具有稳定性， 综上所述，具有稳定性的是①④⑥． 题型三 用SSS证明三角形全等 1．（25-26八年级上·吉林白山·期末）如图，点C、B、E、F在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵， ， ∴， 在和中， ∵ ∴． 2．（25-26九年级上·云南玉溪·期末）如图，点，，，在同一直线上，点和点分别在直线的两侧，且，，．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了三角形的判定，利用证明三角形全等即可． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 3．（25-26八年级上·广东汕尾·月考）如图，．求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，利用即可证和全等． 【详解】证明：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 4．（25-26八年级上·安徽马鞍山·月考）如图，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据全等三角形判定定理即可证明． 【详解】证明：， ， ， 在和中， ． 5．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，已知，，是的中点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查两个三角形全等，掌握三角形全等的判定定理是关键；由是的中点，可得，再结合已知条件用边边边的判定即可证明． 【详解】证明：∵是的中点， ∴， 在与中， ， ∴． 题型四 用AAS或ASA证明三角形全等 1．（25-26八年级上·陕西榆林·月考）如图，在和中，三点共线，三点共线，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据证明两个三角形全等即可． 【详解】证明：∵三点共线，三点共线， ∴与是对顶角， ∴． 在和中， ∴． 2．（25-26八年级上·广东中山·月考）如图，在中，，过点C作，垂足为E，延长至点F，使，过点F作，垂足为D．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余、全等三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．首先证明，，然后利用“”证明与全等即可． 【详解】证明：∵， ∴，； ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 3．（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握全等三角形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键． 先证出，再由证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 4．（25-26八年级上·广东东莞·期末）如图，在和中，点A，C，D，F在同一条直线上，，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，平行线的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 根据线段和差得出，再利用平行线的性质，得到，进而利用证明即可． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 又， ∴． 5．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）已知：如图，与相交于点，与相交于点，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，先证明，再利用即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 6．（2026·云南·模拟预测）如图所示，点在外部，点在边上．交于，若，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定．掌握三角形全等的判定定理是解题关键． 根据角度计算，得出，结合题干信息，即可求证． 【详解】证明：∵， ∴， 即． 在和中，， ∴． 题型五 用SAS证明三角形全等 1．（25-26八年级上·北京·期末）如图，点A，E，B，F在同一直线上，与相交于点G，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定，关键是根据证明解答． 根据等式的性质得出，进而利用证明解答． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴． 2．（25-26八年级下·吉林长春·开学考试）如图，已知，点和点在线段上，与交于点，．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定，先根据，得，结合已知用进行证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 则， ∵， ∴． 3．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，点D、E分别在上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的几种判定方法． 由，得到，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 4．（25-26九年级上·云南文山·期末）如图，在中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据旋转的性质可得，可证明， 【详解】证明：由已知得，， ， 即， 根据旋转的性质得：， 在与中， ， ． 5．（25-26八年级上·云南大理·期末）已知：如图，点在线段上，．求证：． 【答案】证明见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，掌握其判定方法是关键． 根据题意得到，运用边角边即可求证． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在中， ， ∴． 6．（24-25九年级下·陕西西安·期中）如图，是等边三角形，D为延长线上一点，，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，解决此题的关键是熟练掌握的判定方法；根据等边三角形得到两边相等，根据平行得到两角相等，进而即可解决问题； 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴ 7．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，在和中，，，，连接，．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．先证明，然后根据可证． 【详解】解：因为， 所以， 所以． 在和中，， 所以． 题型一 灵活选用判定方法证全等 1．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）如图，点E、F在直线上，现有以下6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥， (1)你准备用我们目前学的全等三角形判定中的________判定定理来判断（注意：边用“S”，角用“A”表示） (2)请用（1）中的判定定理选条件________．（填序号） (3)请你用（1）中的判定（2）中的条件写出证明的证明过程． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)①②③（答案不唯一） (3)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握知识点是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定条件，求解即可； （2）根据全等三角形的判定条件，求解即可； （3）先推导出，再根据证明即可． 【详解】（1）解：我准备用我们目前学的全等三角形判定中的判定定理来判断． 故答案为：（答案不唯一）． （2）解：根据判定定理来判断，需要选条件①②③． 故答案为：①②③（答案不唯一）． （3）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴． 2．（25-26八年级上·江苏南京·月考）图，，分别是和中，边上的中线． (1)若，，．求证：． 证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格． (2)若将（1）中的条件改为“，，”，判断与是否仍然全等，并说明理由． 【答案】(1)①，②，③，④ (2)，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定、中线的定义， （1）由中线的定义证得，进而证得，得，即可得证； （2）延长，截，连接，延长，截，连接，证得，，得，，，进而证得，得，即可得证． 【详解】（1）解：∵，分别是和的中线， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 故答案为：①，②，③，④． （2）证明：，理由如下： 延长，截，连接，延长，截，连接， ∵，分别是和的中线， ∴，， 在和中， ， ∴， 同理可证，， ∴，，，， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， 又∵，， ∴． 3．（24-25八年级上·甘肃酒泉·期中）如图，下面个条件：①；②；③；④．请你以其中两个为已知条件，剩下的两个中的一个为结论，组成一个正确的命题． (1)______（写成的形式，至少写个）； (2)选取其中一个加以证明． 【答案】(1)①②→④，①④→② (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握． （1）根据条件，则只要是由任两个条件推出结论，但必须保证结论的正确性即可，例如，； （2）要证结论的正确性，例如由，则只需证，即可． 【详解】（1）解：假设由为条件，有为公共角，由可得，可得，即结论正确， 若为条件，则由可得，得出，结论正确， 故答案为：，； （2）选 证明：，，， ∴ 选 证明：∵，，； ∴， ∴， 4．（25-26八年级上·安徽芜湖·月考）如图，在四边形中，，．求图中有几对全等三角形？并选其中一对加以证明． 【答案】此图中有对全等三角形，分别是、、，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．根据全等三角形的判定方法求解即可． 【详解】解：此图中有对全等三角形，分别是、、，证明如下： ，， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ； 在和中， ， ． 5．（10-11七年级下·江苏·月考）如图，B，F，C，E在同一直线上，有下列四个条件：①，②，③，④．请你在其中选三个作为已知条件，余下的一个作为结论，写出一个由三个条件能推出结论成立的式子（用序号的形式），并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定定理即可求解． 【详解】解：有三种组合是成立的：或或． 对于，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴； 对于，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 对于，理由如下： ∵，∴， ∵，， ∴， ∴ 6．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知点E，C在线段BF上，有下列条件：①；②；③；④．从中任选三个作为已知条件，余下一个作为结论，则有很多正确的命题，如①③④⇒②等． (1)仿照上面的写法写出所有正确的命题． (2)选择其中一个命题加以证明． 【答案】(1)①③④②；①②④③； (2)见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定．这是一道开放题．四个条件可组合成四个命题，其中有真有假，考生既要会证明真命题，还要会对假命题举反例加以否定，本题既考查了学生的基础知识，又考查了学生的创新能力．给学生提供了充分展示才能的空间，不同层次不同能力的学生可以给出不同的结果． 本题考查的是全等三角形的判定，要根据全等三角形判定条件中的，，，等条件，来判断选择哪些条件可得出三角形全等，得出全等后又可得到什么等量关系． 【详解】（1）解：①③④②，①②④③． （2）示例：选择①②④③． 证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． 7．（23-24八年级上·江苏泰州·月考）如图，已知E，F是线段AB上的两点，，从①，②，③中选择两个作为补充条件，余下的一个作为结论，请写出结论成立的证明过程．你选的补充条件是______，结论是______．（填序号） 证明： 【答案】①③、②；见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法（SAS，ASA，AAS，SSS，还有直角三角形的HL）是解题的关键． 本题主要考查了全等三角形的判定与性质．选的补充条件是①③，结论是②，证明即可. 【详解】证明：， ，即 在与中 . 8．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在和中，点，，，在同一条直线上，有四个条件：①；②；③；④．请选择其中的三个条件，使得，并说明（写出一种情况即可）． 【答案】选择的三个条件是①②③或①③④，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的证明，选择的三个条件是：①②③，或者选择的三个条件是：①③④，根据全等三角形的判定即可得证．熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：选择的三个条件是①②③． 说明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴； 选择的三个条件是①③④． 说明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴． 题型二 综合尺规作图的全等问题 1．（2025八年级上·全国·专题练习）先画一个三边互不相等的，然后再作一个三角形，使所作的三角形和有一个公共的顶点C，且与全等．请以尽可能多的方法作出图形，并说明全等的理由． 【答案】见解析 【分析】此题考查了尺规作全等三角形，全等三角形的判定定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理． 方法一：以点C为圆心，为半径画弧，在弧上取点D，连接，以点C为圆心，为半径画弧，以点D为圆心，为半径画弧，两弧交于点E，连接，则即为所求； 方法二：如图所示，延长，在延长线上截取，延长，在延长线上截取，连接，则即为所求； 方法三：以点C为圆心，为半径画弧，以点B为圆心，为半径画弧，两弧交于点D，则即为所求． 【详解】方法一：如图所示， 由作图得，， ， ∴ ∴即为所求； 方法二：如图所示， 由作图得，， 又∵ ∴ ∴即为所求； 方法三：如图所示， 由作图得，， 又∵ ∴ ∴即为所求． 2．（25-26八年级上·天津河西·月考）如图，方格纸上有一个，请你在方格纸内画出满足条件，，的，并判断与是否一定全等． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定定理，根据题意画出不同的三角形再进行判断.判定全等三角形的方法有 (， ， ， ， ) 五种判定方法，但不能判定三角形全等． 【详解】解：如图所示，与 不一定全等． 3．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）（1）如图，在中，以为一边作，使得，画出所有符合条件的（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）请用两种不同方法作出边上的中点．（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）见解析（2）见解析 【分析】（1）结合全等三角形的判定与性质，先以点为圆心，的长为半径画弧，再以点为圆心，的长为半径画弧，在的两侧分别交于点，，连接，，，，则和均满足题意． （2）①作线段的垂直平分线，交于点，则点即为所求；②以点为圆心，的长为半径画弧，再以点为圆心，的长为半径画弧，在的下方交于点，连接，，连接交于点，则点即为所求． 【详解】解：（1）如图所示， 和为所求． 在和中， 在和中， ． （2）如图①所示，点即为所求； 如图②所示，点即为所求；． 如图①，根据线段垂直平分线的定义可得点E是的中点； 如图②，∵，，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，即点E是的中点． 【点睛】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 4．（20-21七年级下·广东佛山·期中）作一个角等于已知角的方法： 已知： 求作：，使，    作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C、D； （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点； （4）过点画射线，则． 请你根据提供的材料完成下列问题． (1)请你证明． (2)这种作一个角等于已知角的方法的依据是________________________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由作图过程得到相应条件，再根据证明即可； （2）根据作图过程可得这种作一个角等于已知角的方法的依据是． 【详解】（1）解：证明：在和中， ， ， ． （2）这种作一个角等于已知角的方法的依据是． 故答案为： 【点睛】本题考查了作图应用与设计作图，全等三角形的判定，解决本题的关键是掌握作一个角等于已知角的方法． 题型三 利用全等图形求网格中的角度之和 1．（25-26七年级上·四川成都·期末）如图，正方形的网格纸上每个小正方形的边长都为1，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【分析】本题考查了角的大小比较．构造全等三角形，让与两个角的顶点重合，即可解答． 【详解】解：如图，，，， ∴， ∴， ∵在的内部， ∴． 故选：C． 2．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，正方形网格中，利用图形的轴对称设计了一个“蝴蝶”的平面图案，直线是它的对称轴，下列结论中：①；②；③；④．正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角的和差等知识点，根据网格发现全等三角形以及相等的角是解题的关键． 根据网格提供的信息，结合全等三角形的判定与性质、角的和差以及等量代换逐个判断即可． 【详解】解： 由图形可知：，则，即①正确； 由图形可知：，则， ∴，即②正确； 由，但，则与不全等， ∴，故③错误； 由图形可知：，则，即④正确． 综上，正确的有3个． 故选B． 3．（23-24八年级上·福建漳州·期末）如图，是由4个相同的小正方形组成的网格，其中与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意证明，得到，由得到． 【详解】解：如图， ，，， ， ， ， ∴， 故选：B． 4．（24-25七年级下·全国·周测）如图，图形的各个顶点都在的正方形（每个小正方形的边长为1）网格的格点上，则的度数为_____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，由证明三角形全等得出是解题的关键． 通过证明三角形全等得出再根据即可得出答案． 【详解】解：如图所示， 由题意得，在和中， 故答案为：. 5．（25-26八年级上·山东德州·期中）如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形，______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，网格结构，准确识图并判断出全等三角形是解题的关键．先证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，再判断出，然后计算即可得解． 【详解】解：如图所示， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 6．（24-25八年级上·陕西安康·期中）如图，网格中的所有小正方形的边长相同，则____________ 【答案】/90度 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，先证明得出，即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图， 在和中 ， ， ， ， ， 故答案为：． 7．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图所示是一个的正方形，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形全等的性质的运用：由三角形全等得角相等．认真观察图形，发现并利用全等三角形是正确解决本题的关键． 由图可找出多对全等三角形，对应多对角的和是，再相加即可． 【详解】解：根据全等三角形的性质可知， 与的余角相等，也就是与互余， 同理：与互余．与互余，与互余，与互余，与互余，又， 、、、、、、， ． 题型四 全等三角形的性质与判定综合 1．（21-22八年级上·广西梧州·期末）如图，在中，，分别过点B，C作过点A的直线的垂线，，若，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．20 【答案】B 【分析】首先证明，然后再根据定理证明，根据全等三角形的性质可得，，进而得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 2．（25-26八年级下·北京·开学考试）如图，在锐角中，的面积为15，平分，若，分别是上的动点，当的最小值为6时，的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】在上截取，证明，所以，则，当三点共线，且时，的值最小，为长，然后通过三角形面积公式求出长即可． 【详解】解：如图，在上截取， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，的值最小，为长，如图， 即， ∵的面积为15， ∴，即， ∴． 3．（25-26八年级上·广东韶关·月考）如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先利用判定，根据全等三角形对应角相等可得，从而可得，根据三角形内角和定理可以求出，再利用三角形内角和定理可求的度数． 【详解】解：在中，， ， 在和中， ， ， 又， ， ， 在中，． 4．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，为对角线上一点，，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）由补角的性质得到，由平行得，由即可证明三角形全等； （2）由全等三角形得，，进而求得，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴． ∴． 5．（21-22七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在和中，，，P是上任意一点，试说明： (1) (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意，，根据进行判定即可； （2）由（1）可得，得到，证明，即可得到答案． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）证明： 在和中， ， ， ． 6．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两凳子之间(凳子与地面垂直)．已知，， (1)与全等吗？请说明理由． (2)求两条凳子的高度之和． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，先证明，进而根据证明； （2）根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下， 由题意可得：，，，， 则， 在和中， ， ； （2）， ，， 则两条凳子的高度之和为：． 7．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图所示，乐乐在公园荡秋千，开始时乐乐坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直，秋千的转轴O到地面的距离；乐乐在荡秋千的过程中，当她摆动到最高点C时，过点C作于点E，此时点C到的距离；当乐乐从C处摆到B处时，则有，过点B作于点D． (1)请你直接判断与是否相等？ (2)求证：； (3)求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）由与表示相同的秋千绳，可知； （2）根据垂直，结合角的互余关系可推导； （3）根据“”证明，得到的长为，进而得出即可． 【详解】（1）解：， 理由：∵与表示相同的秋千绳， ∴； （2）证明：∵于点E，于点O，于点D， ∴， ∵， ∴； （3）解：在和中， ， ∴， ∴， ∴的长为， ∴． 8．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图，，． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等的性质和综合（），全等的性质和综合（）等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）利用证明； （2）利用证明，再得出． 【详解】（1）证明：在与中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 9．（25-26八年级下·陕西榆林·月考）如图，已知，，E、F是上的两点，且，写出与，与之间的数量关系，并说明你的理由． 【答案】，，理由见解析 【分析】先证明出，再证明即可得解． 【详解】解：，，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 10．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如图，点在直线上（点之间的线段被一块污渍遮住），点在直线的异侧，连接，且，，测得． (1)求证： (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)的长度为80 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由，可得，结合，即可得证； （2）由可得，从而可得，即可求解出的长度． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：由（1）可知， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴的长度为80． 11．（25-26八年级上·浙江湖州·月考）已知． (1)求证：； (2)，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用定理证明两三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴． 12．（25-26八年级上·广东中山·月考）如图，，，与相交于点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 先证明得出，再证明即可得出． 【详解】证明：在和中 ， ∴， ∴． 在和中 ， ∴， ∴． 题型一 全等几何模型 1．（20-21八年级下·辽宁沈阳·期中）阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造手拉手旋转型全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形中，，，若，求四边形的面积． 解：延长线段到，使得，连接，我们可以证明，根据全等三角形的性质得，，则，得，这样，四边形的面积就转化为等腰直角三角形的面积． (1)根据上面的思路，我们可以求得四边形的面积为 ． (2)请你用上面学到的方法完成下题． 如图2，已知，，求五边形的面积． 【答案】(1)； (2)五边形的面积是． 【分析】（1）根据三角形的面积公式求得的面积，即可求解； （2）连接、，延长到，截取，证明，，根据三角形的面积公式求得的面积，即可得出的面积，进而求得四边形的面积． 【详解】（1）解：由题意可得， ，， 则的面积是：， 即四边形的面积为， 故答案为：； （2）连接、，延长到，截取， 在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， 的面积是：， 的面积是， 四边形的面积是， 五边形的面积是． 2．（25-26八年级上·江西赣州·期末）【问题初探】 （1）如图①，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，则，，的数量关系是_____________； 【变式探究】 （2）如图②， 在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．已知，，求的长； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图③所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，设的面积为，的面积为，猜想，的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三垂直模型，是解题的关键： （1）证明，得到，根据线段的和差关系和等量代换即可得出结论； （2）证明，根据线段的和差关系和等量代换即可得出结果； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，则，进而得，再根据得，由此得，进而依据“”判定和全等得，同理证明和全等得，进而得，然后再根据三角形的面积公式即可得出与之间的数量关系． 【详解】解：（1）； ∵从点，向直线作垂线，垂足分别为，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2），， ， 在中，， ， ， ， 在和中， ， ； ，， ； （3）与之间的数量关系是：，理由如下： 如图3，过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N， ∵是的高，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理证明：， ∴， ∴， ∵的面积为，的面积为， ∴． 3．（25-26八年级下·广西南宁·开学考试）【探究实践】某数学兴趣小组准备了一些等腰三角形纸板平放在同一平面上进行探究．比如把等腰三角形的顶角顶点重合在一起，位置摆放可以进行变化．设， ，该数学兴趣小组对与的数量关系展开积极探究，组员们提出了自己的猜想或发现： (1)探究一：如图1，当时，连接、交于点O，小林发现一个结论：．小亚证明了小林发现的结论是对的，请你写出小亚的证明过程； (2)探究二：如图2，连接，得到四边形，点P始终在四边形内部．小海对小美说：点E是边的中点，当时，发现线段与线段存在一定的数量关系，你知道这个数量关系吗？请你帮小美回答这个问题，并说明理由； (3)探究三：如图3，在探究二条件的基础上，小君同学将图3的三角板固定，将另外一个三角板绕点P旋转，设计了一道题：若F为边所在直线上一点，，当E、P、F三点共线时，请直接写出的度数（结果用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)的度数为或 【分析】（1）利用证明，即可得到； （2）延长到，使，连接，证明，得到，，再证明，即可得到； （3）连接并延长到，使，连接，分两种情况：点在边上和点在边延长线上，画出对应的示意图，同理证明，，再根据全等三角形的性质和角之间的关系求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，延长到，使，连接， ∴， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：连接并延长到，使，连接． 当点在边上时， 由题意得，， 同理可证明，， ∴， ∵，， ∴； 当点在边延长线上时， 同理可证明， ∴， 同理可得， 综上，的度数为或． 4．（25-26八年级上·河南开封·期末）（1）【问题初探】在数学社团活动中，李老师给同学们出了这样一道题： 如图1，在中，高，交于点F，且，试说明与有怎样的数量关系． 小明经过思考，说出了他的方法：根据已知条件，易证，从而得出．小明判定的依据可能是_______（填序号）． ①SSS    ②AAS    ③HL    ④SAS （2）【引导发现】李老师看同学们的兴致很高，又出了一道题： 如图2，在中，，，平分，交的延长线于点E． ①填空：的度数为_______； ②判断线段与的数量关系，并写出证明过程． （3）【拓展延伸】如图3，在中，，，点D在线段上，交的延长线于点E，交于点F，且，请直接写出和的数量关系． 【答案】（1）② （2）①；②，证明见解析 （3） 【分析】（1）根据题意易得、根据余角的性质得到，进而证得，据此解答即可； （2）①根据角平分线的性质得到，根据余角的性质得到； ②如图，延长交的延长线于点M，得到，进而得到，证得，根据全等三角形的性质得到，进而得到，再证得，根据全等三角形的性质得到，进而得到； （3）过点D作，交的延长线于点G，与交于点H，根据题意得到及 ，进而证得，进而得到，再证得，根据全等三角形的性质得到，进而得到． 【详解】（1）解：高，交于点F， 、 在和中 故答案为：②； （2）①解：，，平分， 、 故答案为：； ②，证明过程如下： 证明：如图，延长交的延长线于点M， 在和中 平分 在和中 ； （3）解：，理由如下： 如图，过点D作，交的延长线于点G，与交于点H， 、 、 ， 在和中 在和中 ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 5．（25-26八年级上·福建泉州·月考）通过对“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】如图①，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：； 【模型应用】如图②，且，且，若点E、B、D到直线AC的距离分别为6、3、4，则五边形面积为 ； 【深入探究】如图③，，，，连结，，且于点F，与直线交于点G．若，，则的面积为 ． 【答案】【模型呈现】证明见解析；【模型应用】50；【深入探究】63 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，不规则面积的求解，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 【模型呈现】根据角角边的证明方法证明与全等即可得证； 【模型应用】由上一问同理可证，，，由此可求解边的长度，再由五边形的面积为梯形的面积减去四个三角形的面积求解即可； 【深入探究】添加辅助线，构造全等三角形，再证明与全等，由此可得，再根据边长的关系求解边长，代入三角形面积公式求解即可． 【详解】【模型呈现】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； 【模型应用】解：由【模型呈现】可知，，， ∴，，，， ∴， ∴梯形的面积为， ，， ∴五边形面积为； 故答案为：50； 【深入探究】解：过点D作于P，过点E作交的延长线于Q，如图④， 由【模型呈现】可知，，， ∴，，，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：63． 6．（25-26八年级上·广西贵港·期末）实践与探究 已知，在中，，点，，三点都在直线m上，． 【初步感知】（1）如图①，若，则，与的数量关系为______． 【变式探究】（2）如图②，当不垂直于时，（1）中的结论是否成立？请说明理由． 【拓展应用】（3）如图③，将条件中“”改为“”．已知，，点A在线段上以的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段上以的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为．当与全等时，求出相应的t与x的值． 【答案】（1）；（2）成立．理由见解析；（3），或， 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，一元一次方程的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是关键． （1）先根据三角形外角性质，证明，即可证明，可得，，即得答案； （2）同（1）的方法，证明，可得，，即得答案； （3），则，， ①当时，则有，所以，，据此列方程求解即可； ②当时，则有，所以，，据此列方程求解即可． 【详解】解：（1），， ， 而， ， ，， ， ，， ． 故答案为：． （2）成立； 理由：， 而， ， ，， ， ，， ； （3）依题意得，则，， ，， 与全等时，有两种情形： ①当时，则有， ，， 即，， ，； ②当时，则有， ，， ，， ，， 综上所述，当与全等时， ，或，． 7．（25-26八年级上·广东东莞·期末）【综合与实践】数学活动课上，老师带领同学们以等腰三角形为背景，探究动点线段之间的关系．已知在中，，，，点D从点C出发在直线上速度运动，连接，在直线的右侧作，且，连接，设运动时间为． (1)【思考尝试】如图1是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点D在线段上，请直接写出线段与的数量关系与位置关系：______，______． (2)【深入探究】如图2是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点D在线段的延长线上，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由； (3)“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点D运动的过程中，如果，请直接写出线段的长为______； (4)【拓展应用】当t为何值时，的面积为． 【答案】(1)， (2)结论仍然成立，见解析 (3)3或13 (4)当t为1或7时，的面积为． 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的全等的判定与性质，一元一次方程的应用． （1）由证明可得出的数量和位置关系； （2）同（1）方法证明，可得出结论； （3）分两种情况：①当点在上时，②当点在延长线上时，逐个分析求解即可； （4）作于点，利用三角形面积公式求得，再分两种情况：①当点在上时，②当点在延长线上时，逐个分析求解即可． 【详解】（1）解：，． 证明：，， ，， 在与中， ， ， ，， ， ， 故答案为：，； （2）解：成立．理由如下： ∵， ， ， 在和中， ， ， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴，即， ∴； （3）解：①当点在上时，如图， 由（1）可知， ， ； ②当点在延长线上时，如图， 由（2）可知，， ， ， 故答案为：3或13； （4）解：作于点， ∵中，，，， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， 解得， ∵点D从点C出发在直线上速度运动， 设运动时间为， ∴， ①当点在上时，， ∴； ②当点在延长线上时，， ∴； 综上，当t为1或7时，的面积为． 8．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．请直接写出，与的数量关系： ； (2)如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点； (3)如图3，，，，连接，，的面积为，的面积为，，直接写出的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，理解“一线三等角”的全等模型以及该模型的构成条件、证明过程及结论是解题关键． （1）证明，根据全等三角形的判定与性质逐步分析即可解答； （2）过作于，过作于，由（1）结论可得故可推出，同理可得，再证即可证明结论； （3）过作于，交于，过作于，过作于，由（1）结论可得，，进一步可证，再求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：； （2）证明：如图2，过作于，过作于， 由（1）得：， ， 同理得：， ∴， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 点是的中点； （3）解：如图3，过作于，交于，过作于，过作于， ，，， 由（1）得：，， ，，， ∴， ，， ， 在与中， ， ， ，且， ， 即， ， 的值为． 9．（25-26八年级上·广东汕尾·期末）（1）如图1，在四边形中， ，E，F分别是边上的点，且，则的长为______． （2）如图2，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且，请判断之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，在四边形中，，E，F分别是边延长线上的点，且，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）4；（2）．理由见解析；（3）结论不成立．证明见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）延长到G，使，连接．利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）先证明，由全等三角形的性质得出，．，由全等三角形的性质得出，即，则可得出结论； （3）在上截取，使连接．证明．由全等三角形的性质得出．证明，由全等三角形的性质得出结论． 【详解】解：延长到G，使，连接． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：4； （2）结论，理由如下： 延长到M，使，连接． ， ， 在与中， ， ， ， ， ， 即， 在与中， ， ， ， 即， ； （3）结论不成立，应是． 证明：在上截取，使连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3探索三角形全等的条件 题型一 尺规作图——作三角形 1．（25-26七年级上·陕西榆林·月考）如图，已知的两角分别为，．求作这个三角形，使，，(不写作法，保留作图痕迹)． 2．（25-26七年级上·河南洛阳·期末）用直尺和圆规，按照下面要求作出． 3．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，在中，D是上一点，连接，求作（点E在线段上；点F在线段的右侧），使得（保留作图痕迹，不写作法，标明各顶点字母）；并简要说明其中道理． 4．（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，，．利用圆规与无刻度直尺作三角形，使得，且满足．（不写过程和证明，保留作图痕迹） 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）用圆规、无刻度直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．如图，已知线段a，c，．求作，使，，． 6．（25-26八年级上·河北邢台·期中）按下列要求作三角形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）： (1)如图1，已知线段a，b，c，求作，使得，，． (2)如图2，已知和线段d，e，求作，使得，，． 题型二 三角形的稳定性 1．（25-26八年级上·山西朔州·期末）如图，可以看到遮阳伞的结构主体是三角形，这主要是利用了三角形的（   ） A．美观性 B．简洁性 C．耐用性 D．稳定性 2．（25-26八年级上·山东烟台·期末）盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常在窗框上斜钉一根木条，这样做的道理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．两直线平行，内错角相等 D．三角形具有稳定性 3．（25-26八年级上·广东珠海·期末）第十五届全国运动会自行车（公路）赛在广东省珠海市举行，这是全运会唯一一项跨越粤港澳三地的标志性赛事．如图，自行车支架一般都会采用的设计．这种设计方法应用的几何原理是（   ） A．两点之间，线段最短 B．三角形具有稳定性 C．三角形两边之和大于第三边 D．垂线段最短 4．（25-26八年级上·福建福州·期中）安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．三角形的稳定性 D．垂线段最短 5．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，窗户打开后，用窗钩可将其固定，其所运用的几何原理是（   ） A．三角形具有稳定性 B．对顶角相等 C．垂线段最短 D．两点之间，线段最短 6．（25-26八年级上·湖南株洲·期末）港珠澳大桥全长约为55千米，集桥、岛、隧于一体，是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道，是迄今世界最长的跨海大桥． 如图是港珠澳大桥中的斜拉索桥，索塔、斜拉索、桥面构成了三角形，这样做应用的数学原理是三角形具有________． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列图形中哪些具有稳定性？ 题型三 用SSS证明三角形全等 1．（25-26八年级上·吉林白山·期末）如图，点C、B、E、F在同一条直线上，，，．求证：． 2．（25-26九年级上·云南玉溪·期末）如图，点，，，在同一直线上，点和点分别在直线的两侧，且，，．求证：． 3．（25-26八年级上·广东汕尾·月考）如图，．求证： 4．（25-26八年级上·安徽马鞍山·月考）如图，．求证：． 5．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）如图，已知，，是的中点，求证：． 题型四 用AAS或ASA证明三角形全等 1．（25-26八年级上·陕西榆林·月考）如图，在和中，三点共线，三点共线，，．求证：． 2．（25-26八年级上·广东中山·月考）如图，在中，，过点C作，垂足为E，延长至点F，使，过点F作，垂足为D．求证：． 3．（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图，，，，求证：． 4．（25-26八年级上·广东东莞·期末）如图，在和中，点A，C，D，F在同一条直线上，，，，求证：． 5．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）已知：如图，与相交于点，与相交于点，，．求证：． 6．（2026·云南·模拟预测）如图所示，点在外部，点在边上．交于，若，，，求证：． 题型五 用SAS证明三角形全等 1．（25-26八年级上·北京·期末）如图，点A，E，B，F在同一直线上，与相交于点G，．求证：． 2．（25-26八年级下·吉林长春·开学考试）如图，已知，点和点在线段上，与交于点，．求证：． 3．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，点D、E分别在上，．求证：． 4．（25-26九年级上·云南文山·期末）如图，在中，点在边上，，将线段绕点旋转到的位置，使得，连接．求证：． 5．（25-26八年级上·云南大理·期末）已知：如图，点在线段上，．求证：． 6．（24-25九年级下·陕西西安·期中）如图，是等边三角形，D为延长线上一点，，且．求证：． 7．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，在和中，，，，连接，．试说明：． 题型一 灵活选用判定方法证全等 1．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）如图，点E、F在直线上，现有以下6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥， (1)你准备用我们目前学的全等三角形判定中的________判定定理来判断（注意：边用“S”，角用“A”表示） (2)请用（1）中的判定定理选条件________．（填序号） (3)请你用（1）中的判定（2）中的条件写出证明的证明过程． 2．（25-26八年级上·江苏南京·月考）图，，分别是和中，边上的中线． (1)若，，．求证：． 证明的途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格． (2)若将（1）中的条件改为“，，”，判断与是否仍然全等，并说明理由． 3．（24-25八年级上·甘肃酒泉·期中）如图，下面个条件：①；②；③；④．请你以其中两个为已知条件，剩下的两个中的一个为结论，组成一个正确的命题． (1)______（写成的形式，至少写个）； (2)选取其中一个加以证明． 4．（25-26八年级上·安徽芜湖·月考）如图，在四边形中，，．求图中有几对全等三角形？并选其中一对加以证明． 5．（10-11七年级下·江苏·月考）如图，B，F，C，E在同一直线上，有下列四个条件：①，②，③，④．请你在其中选三个作为已知条件，余下的一个作为结论，写出一个由三个条件能推出结论成立的式子（用序号的形式），并说明理由． 6．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知点E，C在线段BF上，有下列条件：①；②；③；④．从中任选三个作为已知条件，余下一个作为结论，则有很多正确的命题，如①③④⇒②等． (1)仿照上面的写法写出所有正确的命题． (2)选择其中一个命题加以证明． 7．（23-24八年级上·江苏泰州·月考）如图，已知E，F是线段AB上的两点，，从①，②，③中选择两个作为补充条件，余下的一个作为结论，请写出结论成立的证明过程．你选的补充条件是______，结论是______．（填序号） 证明： 8．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在和中，点，，，在同一条直线上，有四个条件：①；②；③；④．请选择其中的三个条件，使得，并说明（写出一种情况即可）． 题型二 综合尺规作图的全等问题 1．（2025八年级上·全国·专题练习）先画一个三边互不相等的，然后再作一个三角形，使所作的三角形和有一个公共的顶点C，且与全等．请以尽可能多的方法作出图形，并说明全等的理由． 2．（25-26八年级上·天津河西·月考）如图，方格纸上有一个，请你在方格纸内画出满足条件，，的，并判断与是否一定全等． 3．（24-25八年级上·江苏镇江·期中）（1）如图，在中，以为一边作，使得，画出所有符合条件的（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）请用两种不同方法作出边上的中点．（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） 4．（20-21七年级下·广东佛山·期中）作一个角等于已知角的方法： 已知： 求作：，使，    作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C、D； （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点； （4）过点画射线，则． 请你根据提供的材料完成下列问题． (1)请你证明． (2)这种作一个角等于已知角的方法的依据是________________________． 题型三 利用全等图形求网格中的角度之和 1．（25-26七年级上·四川成都·期末）如图，正方形的网格纸上每个小正方形的边长都为1，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 2．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，正方形网格中，利用图形的轴对称设计了一个“蝴蝶”的平面图案，直线是它的对称轴，下列结论中：①；②；③；④．正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（23-24八年级上·福建漳州·期末）如图，是由4个相同的小正方形组成的网格，其中与的关系是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·全国·周测）如图，图形的各个顶点都在的正方形（每个小正方形的边长为1）网格的格点上，则的度数为_____________． 5．（25-26八年级上·山东德州·期中）如图是由6个边长相等的正方形组合成的图形，______． 6．（24-25八年级上·陕西安康·期中）如图，网格中的所有小正方形的边长相同，则____________ 7．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图所示是一个的正方形，求的度数． 题型四 全等三角形的性质与判定综合 1．（21-22八年级上·广西梧州·期末）如图，在中，，分别过点B，C作过点A的直线的垂线，，若，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．20 2．（25-26八年级下·北京·开学考试）如图，在锐角中，的面积为15，平分，若，分别是上的动点，当的最小值为6时，的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（25-26八年级上·广东韶关·月考）如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 4．（2026七年级下·全国·专题练习）如图，在四边形中，，为对角线上一点，，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 5．（21-22七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在和中，，，P是上任意一点，试说明： (1) (2) 6．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两凳子之间(凳子与地面垂直)．已知，， (1)与全等吗？请说明理由． (2)求两条凳子的高度之和． 7．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图所示，乐乐在公园荡秋千，开始时乐乐坐在秋千的起始位置，且起始位置与地面垂直，秋千的转轴O到地面的距离；乐乐在荡秋千的过程中，当她摆动到最高点C时，过点C作于点E，此时点C到的距离；当乐乐从C处摆到B处时，则有，过点B作于点D． (1)请你直接判断与是否相等？ (2)求证：； (3)求的长． 8．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图，，． (1)求证：． (2)求证：． 9．（25-26八年级下·陕西榆林·月考）如图，已知，，E、F是上的两点，且，写出与，与之间的数量关系，并说明你的理由． 10．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如图，点在直线上（点之间的线段被一块污渍遮住），点在直线的异侧，连接，且，，测得． (1)求证： (2)若，求的长度． 11．（25-26八年级上·浙江湖州·月考）已知． (1)求证：； (2)，求的度数． 12．（25-26八年级上·广东中山·月考）如图，，，与相交于点，．求证：． 题型一 全等几何模型 1．（20-21八年级下·辽宁沈阳·期中）阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造手拉手旋转型全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形中，，，若，求四边形的面积． 解：延长线段到，使得，连接，我们可以证明，根据全等三角形的性质得，，则，得，这样，四边形的面积就转化为等腰直角三角形的面积． (1)根据上面的思路，我们可以求得四边形的面积为 ． (2)请你用上面学到的方法完成下题． 如图2，已知，，求五边形的面积． 2．（25-26八年级上·江西赣州·期末）【问题初探】 （1）如图①，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，则，，的数量关系是_____________； 【变式探究】 （2）如图②， 在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．已知，，求的长； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图③所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，设的面积为，的面积为，猜想，的大小关系，并说明理由． 3．（25-26八年级下·广西南宁·开学考试）【探究实践】某数学兴趣小组准备了一些等腰三角形纸板平放在同一平面上进行探究．比如把等腰三角形的顶角顶点重合在一起，位置摆放可以进行变化．设， ，该数学兴趣小组对与的数量关系展开积极探究，组员们提出了自己的猜想或发现： (1)探究一：如图1，当时，连接、交于点O，小林发现一个结论：．小亚证明了小林发现的结论是对的，请你写出小亚的证明过程； (2)探究二：如图2，连接，得到四边形，点P始终在四边形内部．小海对小美说：点E是边的中点，当时，发现线段与线段存在一定的数量关系，你知道这个数量关系吗？请你帮小美回答这个问题，并说明理由； (3)探究三：如图3，在探究二条件的基础上，小君同学将图3的三角板固定，将另外一个三角板绕点P旋转，设计了一道题：若F为边所在直线上一点，，当E、P、F三点共线时，请直接写出的度数（结果用含的式子表示）． 4．（25-26八年级上·河南开封·期末）（1）【问题初探】在数学社团活动中，李老师给同学们出了这样一道题： 如图1，在中，高，交于点F，且，试说明与有怎样的数量关系． 小明经过思考，说出了他的方法：根据已知条件，易证，从而得出．小明判定的依据可能是_______（填序号）． ①SSS    ②AAS    ③HL    ④SAS （2）【引导发现】李老师看同学们的兴致很高，又出了一道题： 如图2，在中，，，平分，交的延长线于点E． ①填空：的度数为_______； ②判断线段与的数量关系，并写出证明过程． （3）【拓展延伸】如图3，在中，，，点D在线段上，交的延长线于点E，交于点F，且，请直接写出和的数量关系． 5．（25-26八年级上·福建泉州·月考）通过对“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】如图①，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：； 【模型应用】如图②，且，且，若点E、B、D到直线AC的距离分别为6、3、4，则五边形面积为 ； 【深入探究】如图③，，，，连结，，且于点F，与直线交于点G．若，，则的面积为 ． 6．（25-26八年级上·广西贵港·期末）实践与探究 已知，在中，，点，，三点都在直线m上，． 【初步感知】（1）如图①，若，则，与的数量关系为______． 【变式探究】（2）如图②，当不垂直于时，（1）中的结论是否成立？请说明理由． 【拓展应用】（3）如图③，将条件中“”改为“”．已知，，点A在线段上以的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段上以的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为．当与全等时，求出相应的t与x的值． 7．（25-26八年级上·广东东莞·期末）【综合与实践】数学活动课上，老师带领同学们以等腰三角形为背景，探究动点线段之间的关系．已知在中，，，，点D从点C出发在直线上速度运动，连接，在直线的右侧作，且，连接，设运动时间为． (1)【思考尝试】如图1是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点D在线段上，请直接写出线段与的数量关系与位置关系：______，______． (2)【深入探究】如图2是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点D在线段的延长线上，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由； (3)“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点D运动的过程中，如果，请直接写出线段的长为______； (4)【拓展应用】当t为何值时，的面积为． 8．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期中）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．请直接写出，与的数量关系： ； (2)如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点； (3)如图3，，，，连接，，的面积为，的面积为，，直接写出的值． 9．（25-26八年级上·广东汕尾·期末）（1）如图1，在四边形中， ，E，F分别是边上的点，且，则的长为______． （2）如图2，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且，请判断之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，在四边形中，，E，F分别是边延长线上的点，且，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $