2026-2027学年北师大版七年级上册第二章有理数及其运算-五大简化方法专项练习

**基本信息** 以五大有理数简化方法为核心，构建“方法总结-典例解析-迁移应用”的系统化训练体系，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |取倒构造法|3题（含辨析）|倒数转化法|从具体运算到倒数性质应用，培养逆向思维| |裂项相消法|5题（裂差/裂和）|裂差/裂和公式|从公式推导到三项裂差等培优应用，构建转化逻辑| |偏移作差求和法|2题（含字母参数）|错位相减法|从具体数字到一般公比推广，强化代数推理| |首尾相加法|4题（含等差数列）|等差数列求和公式|从首尾配对到项数公式推导，建立数列求和模型| |分组法|3题（含符号规律）|分组结合法|从符号分组到规律归纳，提升运算策略性|

（含解析）有理数运算五大简化方法专项练习-北师大版七年级上册-2026-2027学年 一·取倒构造法 1．简便运算能使学生思维的灵活性得到充分锻炼，对提高学生的计算能力起到非常大的作用．阅读下列相关材料． 材料一：计算：． 分析：利用通分计算的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算． 解：． ∴． 根据以上材料，完成问题：请你根据对材料一的理解，计算：． 2.． 3．数学老师布置了一道思考题“计算”： 小华的解法： 大白的解法：原式的倒数为       第一步     第二步，     第三步，       第四步， 所以分析两位同学的解法，请你回答下列问题： (1)两位同学的解法中，___________同学的解法正确； (2)大白解法中，第二步到第三步的运算依据是___________． (3)用一种你喜欢的方法计算：． 二·裂项相消法 裂差:裂差公式 特例：， 1．观察下列各式： 我们把这一类恒等变形的过程叫做裂项．类似地，对于 ，可以用裂项的方法变形为类比上述方法，解答下列各题： (1)_________. (2)计算： _____. (3)计算： 2．根据规律求值． (1)求值：； (2) 培优裂差： 3.计算： 裂和:裂和公式 1. 计算： 2. 3. ． 三·偏移作差求和法 1．阅读材料： 求值：． 解：设， 将等式两边同时乘，得 ， ，得 所以 ． 请你仿照此法计算： (1)； (2)． 2.（1）； （2）（其中，为正整数）. 四·首尾相加法 1．观察与思考：在数式运算规律的探究课上，老师提出了如下问题． ，除了把100个数逐项相加外，还可以这样求解： 解：设  ① 由加法交换律可得     ② ①+②得， ， ， ， 所以． 请仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1) 计算：；（要写出具体解答过程） (2)观察上述运算规律，计算：______； ______．（结果用含n的代数式表示，n为正整数） 2. 计算： 3.已知等差数列首项为 3，末项 27，一共 13 项，求总和。 4.等差数列：，一共 12 项，求第 12 项，再求总和。 五·分组法 1．的结果不可能是（     ） A．奇数 B．偶数 C．负数 D．整数 2．计算：(1)． (2) ． 3.计算：． 有理数运算五大简化方法专项练习-答案 一·取倒构造法 1．(1) 【分析】（1）根据材料一的方法，将除法转化为乘法，然后根据乘法分配律进行计算即可求解； 【详解】（1）解： ， 则原式； 2.（1）（2） 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握倒数法，是解题的关键： 利用倒数法进行计算即可。 【详解】（1）原式的倒数 ， 所以原式． （2）解：原式的倒数为 所以，原式． 3．(1)大白(2)乘法分配律(3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答本题的关键． （1）根据题目中的解答过程可知，大白的解答正确； （2）根据题目中的解答过程可知大白解法中，第二步到第三步的运算依据是乘法分配律； （3）根据大白的解法，可以先求所求式子的倒数，然后即可得到所求式子的值． 【详解】（1）解：由题目中的解答过程可知： 除法没有分配律，小华同学的解答错误， 大白同学的解答正确， 故答案为：大白； （2）解：大白解法中，第二步到第三步的运算依据是乘法分配律， 故答案为：乘法分配律； （3）解：原式的倒数为： ， 所以． 二·裂项相消法 裂差 1．(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律． （1）根据题中给出的规律即可求出答案； （2）根据题中给出的规律展开计算即可求出答案； （3）先提取公因数，得到，再根据上面的规律裂项，对所求的式子进行整理，再求解即可． 【详解】（1）解：依规律可知：； （2）解： ； （3）解： ． 2.(1) (2) 【分析】本题考查了数字的变化类，有理数的混合运算，熟练掌握裂项是关键． （1）根据题目中的式子，先拆项，然后相加化简即可； （2）利用所得规律将原式变形为，再进一步计算即可． 【详解】（1）解： （2）解：原式， ， ， ， ， ． 3. 【详解】原式 【易错警示】三项裂项系数为，抵消时只消中间部分。 裂和 1.计算： 原式 【易错警示】裂和是相加，不要套用裂差的减法。 2. 原式 3.． 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算．将分数进行拆解是解题的关键． 将每个分数进行转化，得到，再将括号去掉，将互为相反数的结合进行计算，得到，最后计算出结果． 【详解】解：原式 ． 三·偏移作差求和法 1．(1)； (2)． 【分析】（）将等式两边同时乘以求出，相减之后再除即可； （）将等式两边同时乘以求出，相加之后再除即可； 本题考查有理数的乘方，解题的关键是明确题意，理解题目中的解题方法，运用类比的数学思想解答问题． 【详解】（1）解：设， 将等式两边同时乘，得 ， ，得 ， 所以； （2）解：设， 将等式两边同时乘，得 ， ，得 ， 所以． 2．（1）；（2）当a=1时,原式＝n+1；当a≠1时，原式＝. 【分析】（1）仿照材料，求出2S的值，相减即可得出结果； （2）分情况讨论：①当a=1时，易得结果为n+1；②当a≠1时，仿照材料，求出aS的值，相减后除以即可得出结果. 【详解】解：（1）设， 则， ∴， ∴， 即； （2）分情况讨论： ①当a=1时，； ②当a≠1时，设， 则， ∴， ∴， 即. 【点睛】本题考查了有理数的混合运算以及规律型－数字的变化类，正确理解材料中的运算方法是解题的关键. 四·首尾相加法 1．(1) (2)；； 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据范例得出解题的方法． （1）仿照题干范例求解即可； （2）首尾相加，再乘以数据的个数，继而除以2即可得出答案； 【详解】（1）解：设， 则， ，得：， 即， 解得，即； （2）， ， 故答案为：． 2. 解：项数： 解：项数 3. 已知等差数列首项为 3，末项 27，一共 13 项，求总和。 解： 4.等差数列：，一共 12 项，求第 12 项，再求总和。 解： 公差 五·分组法 1．AC 【分析】将相邻两个符号相反的数分为一组，先计算前2022个数的和，再加上最后一项2023得到最终结果，再判断结果的性质即可. 【详解】解： ∵从1到2022共2022个数，可分为组，每组的和为， ∴前2022个数的和为； ∴原式； ∵1012是正偶数，属于整数，不是奇数，也不是负数 ∴结果不可能是奇数和负数. 2．(1) (2)0 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，关键是找出规律进行简便运算． （1）通过观察可以发现第二个数和第三个数的和为，第三个数和第四个数之和也为， 所以可以将数据分组，即可以写成，然后算出结果． （2）通过观察可以发现前四个数之和为，后四个数之和也为，可以进行数据分组，则可以写成，计算得到为． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 3． 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算．根据有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得． 【详解】解： ． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $