第8单元 02 第49讲 两直线的位置关系（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

该高中数学高考复习课件聚焦“两直线的位置关系”专题，依据课标要求覆盖斜率判定平行垂直、交点坐标求解、距离公式（两点、点到直线、平行线间）三大核心考点，通过知识表格梳理位置关系条件，分析忽略重合或斜率不存在等易错点，结合教材改编题归纳常考题型，对接高考评价体系。 课件亮点在于分层训练与核心素养培养，如对称问题用中点在对称轴及连线垂直列方程，直线系方程简化平行垂直问题求解，培养学生推理能力和模型意识。课时作业含基础到能力拓展题，帮助学生掌握解题技巧，教师可据此精准教学，提升备考效率。

第49讲 两直线的位置关系 1 课前基础巩固 课堂考点探究 课时作业 2 1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直. 2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标. 3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求 两条平行直线间的距离. 课 标 要 求 3 ◆ 知识聚焦 ◆ 1.两条直线的位置关系 直线,, , 其中与是同一直线，与 是同一直线， 的法向量,的法向量 的位置关系如下表： 课 前 基 础 巩 固 4 位置关 系 法向量满足的 条件 , 满足的条件 , 满足的条件 平行 ______________ ___ 且 垂直 ____________ ________________ 相交 与 不共 线 ________ ________________ 且 课 前 基 础 巩 固 2.两条直线的交点 设, ,则两条直线的 __________就是方程组 的解. 交点坐标 （1）若方程组有唯一解,则两条直线______,此解就是____________; （2）若方程组无解,则两条直线__________,此时两条直线______,反 之,亦成立. 相交 交点的坐标 无公共点 平行 课 前 基 础 巩 固 6 3.距离公式 点, 之间的距离 _______________________ 点到直线 的距离 _ __________ 两条平行线 与 之间的距离 _ ______ 课 前 基 础 巩 固 7 常用结论 1.点关于原点的对称点为 . 2.点关于轴的对称点为,关于轴的对称点为 . 3.点关于直线的对称点为,关于直线 的对称点 为 . 4.点关于直线的对称点为,关于直线 的对 称点为 . 5.点关于点的对称点为 . 6.点关于直线的对称点为 ,关于直线 的对称点为 . 课 前 基 础 巩 固 8 ◆ 对点演练 ◆ 题组一 常识题 1.［教材改编］已知,,，则 是______ （填“锐角”“直角”“钝角”）三角形. 直角 [解析] 因为边所在直线的斜率，边 所在直线的斜率 ，且，所以，所以 是直角三角形. 课 前 基 础 巩 固 9 2.［教材改编］已知点到直线 的距离为1， 则 _______. 15或5 [解析] 点到直线 的距离为1，即 ，即，故或 . 课 前 基 础 巩 固 10 3.［教材改编］经过两条直线和 的交点 且平行于直线 的直线方程为________________. [解析] 由解得 所以两条直线的交点坐标为 ，又直线的斜率为 ，故所求直线方程为 ，即 . 课 前 基 础 巩 固 11 题组二 常错题 4.［忽略检验两条直线重合的情况］若直线 与 平行，则实数 的值为__. [解析] 方法一：因为直线 与 平行，所以两直线的斜率相等或斜率均 不存在，所以或，即或. 当 时，与重合，不符合题意，所以 . 方法二:因为 ,所以 解得 . 课 前 基 础 巩 固 12 5.［判断两条直线的位置关系时忽视斜率不存在的情况］若直线 与 垂直, 则 ______. 0或1 [解析] 当或 时,两直线不垂直，不符合题意; 当且时,由, 得 或 . 课 前 基 础 巩 固 13 6.［求两条平行线间的距离时忽视两个直线方程的系数的对应关系］ 两条平行直线与 之间的距离为__. [解析] 依题意得,可变形为 , 所以两条平行直线之间的距离为 . 课 前 基 础 巩 固 14 探究点一 两条直线的位置关系 例1 给出两条直线 ， ，其中 . （1）当为何值时，与 重合？ 解：由解得，所以当时，与 重合. （2）当为何值时， ？ 解：由解得，所以当时，与 平行. ［思路点拨］通过判断两直线斜率之间的关系，判断两直线的位置关系. 课 堂 考 点 探 究 15 （3）当为何值时，与 相交？ 解：当，即且时，与 相交. （4）当为何值时， ？ 解：当时，即时， . 课 堂 考 点 探 究 16 [总结反思] （1）充分掌握两直线平行与垂直的充要条件是解决此类问题的关键, 对于斜率都存在且不重合的两条直线（斜率为）和 （斜率为 ）,, .解题时一定要特别注 意直线的斜率不存在的情况. （2）若, ,则 ;且 . 课 堂 考 点 探 究 17 变式题（1）直线 与直线 平行，则实数 _______. 或2 [解析] 由直线与直线 平行，得，所以或 . 课 堂 考 点 探 究 18 （2）已知关于，的方程组 无解，则实数 的值为____. [解析] 方程组 无解，等价于直线 与直线 平行，可得 ，解得或. 当 时，直线方程分别为和 ， 两直线重合，舍去； 当时，直线方程分别为和 ， 两直线平行.故 . 课 堂 考 点 探 究 19 （3）若直线与直线 的交点 位于第一象限，则实数 的取值范围是_ _______. [解析] 由解得 即直线与直线 交于点. 依题意得 解得，所以实数的取值范围是 . 课 堂 考 点 探 究 20 探究点二 两条直线的交点与距离问题 例2（1）点到直线 距离的最大值为( ) A.1 B. C. D.2 [解析] 方法一：点到直线 的距离 ，易知当 取最大值时 ，当且仅当 时等号成立， ，当且仅当 时等号成立. √ 课 堂 考 点 探 究 21 方法二：由可知，直线过定点 ， 记，则点到直线的距离 . 故选B. 课 堂 考 点 探 究 22 （2）若两条平行直线与 之 间的距离是，则直线在 轴上的截距为________. 或13 [解析] 由题意得，因为，所以，解得 ， 所以，即 . 由两平行直线间的距离公式得，解得或. 在 中，令，得， 故直线在轴上的截距为 或13. 课 堂 考 点 探 究 23 [总结反思] （1）点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式去求,注意直线 方程应为一般式; （2）运用两平行直线间的距离公式 的前提是两直线方程 中, 的系数对应相等. 课 堂 考 点 探 究 24 变式题（1）两平行线，分别过点与.设与 之间 的距离是，则 的取值范围为________. [解析] 易知两直线间的距离，而当平行线，与直线 垂 直时，两平行线间的距离最大，即 ，所以 . 课 堂 考 点 探 究 25 （2）过直线与直线 的交点,且点 到该直线的距离为2的直线的方程为______________________. 或 [解析] 由得与的交点为 .当所求 直线的斜率不存在时,其方程为,点 到该直线的距离为1,不 满足题意, 所求直线的斜率存在. 设所求直线的方程为,即, 点 到所求直线的距离为2,,解得或, 所求直线的方程为 或 . 课 堂 考 点 探 究 26 探究点三 对称问题 例3 已知直线，点 . （1）求点关于直线的对称点 的坐标； ［思路点拨］设 ，根据斜率、中点关系，得出 求解即可； 课 堂 考 点 探 究 27 解：点，设点关于直线的对称点的坐标为 ， 直线 ， 解得 对称点的坐标为 . 课 堂 考 点 探 究 28 （2）求直线关于直线对称的直线 的方程； ［思路点拨］先求出直线与直线的交点的坐标，再在直线 上 取一点，结合对称性求出关于直线的对称点 ，再根据两 点式，求出直线的方程； 课 堂 考 点 探 究 29 解：设直线与直线的交点为 ， 由解得 . 在直线上取一点，则关于直线的对称点 在直线上， 设 ，则解得. 经过点 ， 由两点式可得， 直线的方程为 . 课 堂 考 点 探 究 30 （3）求直线关于点对称的直线 的方程. 解：设直线关于点对称的直线上的一点为 ， 关于点的对称点为 ， 易知在直线 上，可得 ，故直线的方程为 . ［思路点拨］设直线上的一点，由点 关于点对称的点在直线 上即可求解. 课 堂 考 点 探 究 31 [总结反思] 对称问题的求解策略 （1）解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数 关系求解；（2）中心对称问题可以利用中点坐标公式解决，两点对 称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组求解. 课 堂 考 点 探 究 32 变式题（1）已知直线的方程为，则点关于 的对称 点的坐标为_______；直线关于直线 对称的直线方程为______ _________. [解析] 设点关于直线的对称点为，则 的中点为 ，，所以解得 即. 取上一点，易知关于直线对称的点为 ， 设直线关于直线对称的直线斜率为，则 ，所以所求直 线的方程为，即 . 课 堂 考 点 探 究 33 （2）已知两定点,,动点在直线 上,则 的最小值为( ) A. B. C. D. [解析] 易知点,在直线的同侧, 设点 关于直线的对称点为, 则 解得. 连接,则 的最小值为 . 故选D. √ 课 堂 考 点 探 究 34 （3）若光线自点射入,经倾斜角为 的直线 反 射后经过点 ,则反射光线还经过点( ) A. B. C. D. [解析] 由题意得.设点关于直线 的对称点为,则 解得 所以反射光线所在直线的方程为. 当时,;当时, .结合选项可知选D. √ 课 堂 考 点 探 究 35 探究点四 直线系方程的应用 例4（1）过点且与直线 垂直的直线方程是 ________________. [解析] 方法一:由题意,所求的直线与直线 垂直,可设 所求直线的方程为,又直线过点 ,所以 ,解得,所以过点 且与直线 垂直的直线方程是 . 课 堂 考 点 探 究 36 方法二:因为直线的斜率,所以过点 且 与直线垂直的直线方程为 ,化简得 . 课 堂 考 点 探 究 37 （2）已知两条直线与 的交点 为，则过点且平行于直线的直线 的方程为 _____________. [解析] 方法一:由解得 由平行关系可设直 线的方程为,其中,将代入 的方程可得 ,故直线的方程为 . 课 堂 考 点 探 究 38 方法二:由题意可设直线 的方程为 , 即, 因为直线 与直线平行,所以 , 解得 ,代入①式得直线的方程为, 化简得 . 课 堂 考 点 探 究 39 [总结反思] 直线系方程是指满足某种特征的直线方程的全体.在解决有关平行、 垂直或两直线交点问题时，利用直线系方程可以简化解题过程. 平行直线系方程:与直线 平行的直线系方程为 为参数，且 . 垂直直线系方程：与直线 垂直的直线系方程为 为参数 . 过两直线交点的直线系方程：经过两直线 , 的交点的直线系方程为 为参数，此直线不包括 直线 . 课 堂 考 点 探 究 40 变式题1 已知点，直线 . （1）求过点且与直线 平行的直线方程； 解：直线的斜率为2，由直线的点斜式方程知过点且与直线 平行 的直线方程为 ，即 . 课 堂 考 点 探 究 41 （2）求过点且与直线 垂直的直线方程. 解：直线的斜率为2，过点且与直线垂直的直线斜率为 ， 由直线的点斜式方程知过点且与直线 垂直的直线方程为 ，即 . 课 堂 考 点 探 究 42 变式题2 从空中某个角度俯视北京冬奥会主体 育场“鸟巢”顶棚所得的局部示意图如图，在平 面直角坐标系中，下列方程（其中 为参数， ）表示的直线能形成这种效果的是( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 43 [解析] 由题图可知,原点到直线的距离为定值. 对于A,原点到直线 的距离为 ,不是定值,故A错误; 对于B,原点到直线的距离 为 ,不是定值,故B错误; 对于C,原点到直线 的距离为 , 是定值,故C正确; 对于D,原点到直线的距离为 ,不是定值, 故D错误.故选C. 课 堂 考 点 探 究 44 课时作业 45 ◆ 基础热身 ◆ 1.直线和 的交点坐标为( ) A. B. C. D. [解析] 由得即交点为 .故选C. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 2.平面中两条直线与垂直，已知直线的倾斜角为 ，则直线 的斜率为( ) A.1 B. C. D. [解析] 因为，所以，易知 ，故 直线的斜率为 .故选B. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 3.到直线 的距离为1的直线方程为( ) A. B. C.或 D.或 [解析] 设所求直线的方程为. 由题意知 ，解得或，即所求直线的方程为 或 .故选D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 4.[2025⋅ 山西部分学校质检]已知直线 与 ，则“”是“ ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析] 由，得，解得或 ， 所以“”是“ ”的充分不必要条件.故选A. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 5.直线关于点 对称的直线方程为( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 [解析] 方法一:设所求直线上任意一点为,则其关于点 对称 的点为,因为点在直线 上,所以 ,化简得 ,所以所求直线方程为 . 方法二:在直线上任取两点,,设点, 关于 点的对称点分别为,,则, ,所以所求直线 方程为,化简得 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 6.（多选题）已知，，，且四边形 是平行 四边形，则下列说法正确的是( ) A.直线的方程为 B.是直线 的一个方向向量 C.边的垂直平分线与直线交于点 D.四边形 的面积为3 [解析] 对于A，设，在中， ，则 ，解得,，即，直线 的方程为，即 ，故A正确； √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 对于B，直线的斜率，则是直线 的 一个方向向量，故B正确； 对于C，的中点坐标为，直线 的斜率， 则边 的垂直平分线的斜率为1，故其方程为， 即，由 得点，故C正确； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于D，点到直线 的距离， ， 故的面积为，故D错误.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.若直线与直线 平行， 则与 间的距离为_ ___. [解析] ，直线 ，直线 ，，即. 当时， 与重合，不合题意，， 两直线的方程为 与，与 间的距离 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 8.若直线过点，且到点和点 的距离相等，则 直线 的方程为_______________________. 或 [解析] 方法一：当直线的斜率不存在时，直线的方程为 ， 满足条件； 当直线的斜率存在时，设直线 的方程为， 即 . 由题意知，解得，故直线 的方程为 . 综上所述，直线的方程为或 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 方法二：如图，当时，直线 的斜率 ， 的方程为， 即 . 当直线经过线段的中点 时，又直 线过点，故其方程为 . 综上所述，直线的方程为或 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 9.求过两条直线和 的交点，且分别满足 下列条件的直线 的方程： （1）与直线 平行； 解：方法一：由得两条直线的交点为 ，所以直 线过点 . 因为直线与直线平行，所以，所以直线 的方 程为，即 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 方法二：设过两条直线和 的交点的直线 的方程为 ， 即 . 因为直线与直线平行，所以 ，解 得，所以直线的方程为，即 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 （2）与直线 垂直. 解：方法一：由（1）中方法一可知交点为，因为直线 与直线 垂直，所以，所以直线的方程为 ， 即 . 方法二：设过两条直线和 的交点的直线 的方程为 ， 即 . 因为直线与直线 垂直，所以 ，解得，所以直线 的方程为 ，即 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 ◆ 综合提升 ◆ 10.已知一条光线从点发出被直线 反射，若反射 光线过点 ，则反射光线所在直线的方程为( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 61 [解析] 设，，点关于直线 的对称点为 ，则 解得所以， 所以反射光线所在的直线 的方程为， 即 .故选A. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 62 11.[2025·深圳模拟]已知点关于直线 的对称 点为，设直线经过点，则当点到直线 的距离最大时， 直线 的方程为( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 63 [解析] 设点的坐标为，由题意可得 解得 即点，直线的斜率， 当 时，点到直线的距离最大，此时直线的方程为 ，即 .故选B. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.（多选题）[2025·湖北八校联考]已知直线 ， ， ，以下结论正确的是( ) A.不论为何值，与 都互相垂直 B.当变化时，与分别经过定点和 C.不论为何值，与都关于直线 对称 D.若与交于点，则（为原点）的最大值是 √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 65 [解析] 对于A， 直线， ， ， 无论为何值，与 都互相垂直，故A正确； 对于B，直线，当时，，则直线 恒过定点，直线，当时， ，则 直线恒过定点 ，故B正确； 对于C，设直线上任意一点，则点关于直线 的对称点为，将点 的坐标代入直线 的方程，可得，与点在直线 上 矛盾，故C错误； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 66 对于D，由解得 故， 则 ，所以的最大值是， 故D正确.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知直线， ， ，若直线，，不能围成三角形，则实数 的值 为_ ___________. 或或 [解析] 由解得所以，的交点坐标为 ， 又过定点，所以若直线，，不能围成三角形，则只需 经过点，或与平行，或与平行. 当经过点 时，，解得， 当与平行时， 且 ，解得， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 68 当与平行时，且 ，解得， 故的值为或或 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知直线， ， ，记， ， . （1）当时，求原点关于直线 的对称点的坐标； 解：当时，直线的方程为，且斜率 ， 设原点关于直线的对称点为 ，则由斜率与中点坐标公式得 解得 故所求点的坐标为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 70 （2）求证：不论为何值， 总有一个顶点为定点； 证明：根据题意得，交于，，交于 ， 由得与的交点为 ， 不论取何值，中总有一个顶点为定点 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 71 （3）求 面积的取值范围.（可直接利用对勾函数的单调性）. 解：由两点间的距离公式得，点到 的距离 ， 故的面积 . 当时，；当时，； 当 时， . 所以，故 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 72 ◆ 能力拓展 ◆ 15.设，过定点的动直线和过定点 的动直线 交于点，点不与,重合，则 的 最小值是( ) A.9 B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 73 [解析] 直线过定点，直线 过定点. ①当时，过定点的直线方程为，过定点 的直线方程为 ，两直线垂直，此时 ，所以； ②当时，直线的斜率为 ，直线 的斜率为，因为 ，所以两直线垂直， 即点可视为以为直径的圆上的点，因为点 不与点或点重合， 所以 为直角三角形，且 ， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 74 所以 ， 当且仅当时等号成立， 因为，所以 的最小值为 .故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知，是直线上的两个动点，且 ， 点,，则 的最小值为_________. [解析] 不妨设点在点的左边，因为直线 的倾斜角为 ，且，所以点的坐标为 ， 则 . 记 ， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 76 则可将 理解为直线上一动点到 , 的距离之和，如图， 作出点关于直线 的对称点， 则可得，连接 ，交 直线于点， 则即为 的最小值，且 ， 故的最小值为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 77 $