第8单元 01 第48讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

该高中数学高考复习课件聚焦“直线的倾斜角与斜率、直线的方程”专题，依据课标要求梳理了倾斜角与斜率的概念及计算、直线方程五种形式的应用等核心考点，通过分析高考真题明确“斜率范围求解”“直线方程求法”等高频题型，构建知识网络与题型体系，体现高考备考的针对性。 课件亮点在于“易错点警示+分层训练+素养渗透”，如针对“忽略截距为0”等常错点设置对点演练，通过例3用均值不等式求面积最小值培养数学思维与运算能力。课时作业覆盖基础到能力拓展，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此精准复习，提升备考效率。

1.知识网络 1 2.课时安排 本单元共9讲、3个培优专题、4个重点强化练，第48,49,50,51,52,53， 55讲建议各1课时完成,第54,56讲建议各2课时完成,3个培优专题建议各 2课时完成,4个重点强化练建议各1课时完成，本单元大约共需21课时. 2 第48讲 直线的倾斜角与斜率、直线 的方程 3 课前基础巩固 课堂考点探究 课时作业 4 1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要素. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的 过程,掌握过两点的直线斜率的计算公式. 3.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的几种形式 （点斜式、两点式及一般式）. 课 标 要 求 5 ◆ 知识聚焦 ◆ 1.直线的方向向量 一般地，如果表示非零向量的有向线段所在的直线与直线 平行或 重合，则称向量为直线的一个方向向量，记作 . 2.直线的倾斜角 （1）定义:一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条 直线与轴相交，将 轴绕着它们的______按________方向旋转到与 直线重合时所转的__________记为 ，则称 为这条直线的倾斜角. 交点 逆时针 最小正角 （2）范围:直线的倾斜角 的取值范围是______________,即 . 课 前 基 础 巩 固 6 3.直线的斜率 （1）定义：一般地，如果直线的倾斜角为 ,则当 时，称 为直线的斜率；当 时，直线 的斜率不存在. （2）过两点的直线的斜率公式:如果直线经过两点 , ，其斜率 _ _____ . 课 前 基 础 巩 固 7 4.直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 __________________ 不含直线 斜截式 ___________ 不含垂直于 轴的直线 两点式 _ ____________ 不含直线 和 直线 截距式 __________ 不含垂直于坐标轴和过原点 的直线 一般式 ________________________ _______________ 平面内所有直线都适用 课 前 基 础 巩 固 8 常用结论 1.直线的倾斜角 和斜率 之间的对应关系: 0 1 不存在 2.特殊位置的直线方程 （1）经过点且平行于轴的直线方程为 ； （2）经过点且平行于轴的直线方程为 ； （3）过原点且斜率为的直线方程为 . 3.直线的一个法向量为 ，一 个方向向量为 . 课 前 基 础 巩 固 9 ◆ 对点演练 ◆ 题组一 常识题 1.［教材改编］已知直线经过点与,则直线 的斜 率_____，倾斜角 ______，一个方向向量为________________ _______________. （答案不唯一） [解析] 由题意知直线的斜率,即 ,则倾 斜角 ，直线的一个方向向量为 . 课 前 基 础 巩 固 10 2.［教材改编］已知，， 三点在同一条直线上， 则 ___. 5 [解析] 因为，，所以 ， 解得 . 课 前 基 础 巩 固 11 3.［教材改编］直线 恒过点_________. [解析] 因为，即 ，所以该 直线恒过点 . 课 前 基 础 巩 固 12 题组二 常错题 4.［忽略截距为0的情况］过点 且在两坐标轴上截距相等的直 线方程为__________________________. 或 [解析] 当在两坐标轴上的截距为零时,直线方程为 ; 当在两坐标轴上的截距不为零时,设直线方程为,则 , 解得,所以直线方程为 . 课 前 基 础 巩 固 13 5.［对倾斜角和斜率的关系掌握不牢］下列说法中错误的是______. （填序号） ①坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角； ②若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为 ； ③直线的倾斜角的取值范围是 ； ④若一条直线的倾斜角为 ，则此直线的斜率为 . ②④ 课 前 基 础 巩 固 14 [解析] 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角，①中说法正确； 若一条直线的斜率为1，则此直线的倾斜角为 ，②中说法错误； 直线的倾斜角的取值范围是 ，③中说法正确； 当直线的倾斜角为 时，直线的斜率不存在，④中说法错误. 故填②④. 课 前 基 础 巩 固 15 6.［对倾斜角和斜率的关系掌握不牢］若直线的斜率为 ,倾斜角为 , 且，则 的取值范围是_ ________________. [解析] 当时,; 当 时,. 综上可得 . 课 前 基 础 巩 固 16 探究点一 直线的倾斜角和斜率 例1（1）（多选题）下列说法中正确的是( ) A.任何一条直线都有唯一的斜率 B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 C.任何一条直线都有唯一的倾斜角 D.垂直于 轴的直线的倾斜角为0 √ √ 课 堂 考 点 探 究 17 [解析] 对于A选项，当直线垂直于 轴时，斜率不存在，A选项错误； 对于B选项，当倾斜角为锐角时，斜率为正，且倾斜角越大斜率越大， 当倾斜角为钝角时，斜率为负，且倾斜角越大斜率越大，B选项错误； 对于C选项，任何一条直线的倾斜角 均存在且 ，C选项正确； 对于D选项，垂直于轴的直线与 轴平行或重合，由倾斜角的定义 可知该直线的倾斜角为0，D选项正确.故选 . 课 堂 考 点 探 究 18 （2）已知直线的方程为，则直线 的倾斜角的 取值范围为( ) A. B. C. D. [解析] 直线的斜率，设该直线的倾斜角为 ，则 ，又因为 ，所以当时， ， 当时，，故 .故选D. √ 课 堂 考 点 探 究 19 （3）（多选题）直线过点，且与以， 为端点的 线段有公共点，则直线 的斜率可能是( ) A.1 B.2 C.8 D.6 [解析] 已知， ，根据直线的斜率 公式，可得. 已知 ， ，根据直线的斜率公式， 可得. 如图，根据题意，直线 与线段有交点，则.故选 . √ √ √ 课 堂 考 点 探 究 20 [总结反思] （1）求倾斜角的取值范围的一般步骤:①求出斜率 的取值 范围,但需注意斜率不存在的情况;②利用正切函数的单调性,借助函 数图象或单位圆,数形结合确定倾斜角 的取值范围. （2）注意倾斜角的取值范围是 ,若直线的斜率不存在,则直线的 倾斜角为,此时直线垂直于 轴. （3）每条直线都有倾斜角,但不一定存在斜率. 课 堂 考 点 探 究 21 探究点二 求直线的方程 例2 已知的三个顶点分别为，， ，求： （1）边和 所在直线的方程； ［思路点拨］思路一：利用两点式和截距式将点的坐标代入即可求解； 思路二：先利用斜率公式求出直线斜率，再利用点斜式求解即可. 课 堂 考 点 探 究 22 解：方法一：由题意得的三个顶点分别为， ， ，由两点式得边所在直线的方程为 ，即 . 由截距式得边所在直线的方程为，即 . 课 堂 考 点 探 究 23 方法二：由题意得的三个顶点分别为， ， ， 可得，所以边所在直线的方程为 ， 即 . 因为，所以边所在直线的方程为 ， 即 . 课 堂 考 点 探 究 24 （2） 边上的中线所在直线的方程； ［思路点拨］先利用中点坐标公式求出边的中点 的坐标，再利 用两点式或利用斜率公式和点斜式求解即可. 解：方法一：设的中点为，由中点坐标公式可得 ， 由两点式得所在直线的方程为，即 . 方法二：设的中点为，由中点坐标公式可得 ， 则 ，所以所在直线的方程为， 即 . 课 堂 考 点 探 究 25 （3） 边上的垂直平分线所在直线的方程； ［思路点拨］由垂直平分线的定义，利用斜率公式和点斜式求解即可. 解：因为，的中点为，所以 边上的垂 直平分线所在直线的方程为，即 . 课 堂 考 点 探 究 26 （4） 边上的高所在直线的方程. ［思路点拨］由高的定义，利用斜率公式和点斜式求解即可. 解：因为，，所以 边上的高所在直线的 方程为，即 . 课 堂 考 点 探 究 27 [总结反思] （1）求直线的方程一般有以下两种方法: ①直接法:由题意确定出直线方程的适当形式,然后直接写出其方程. ②待定系数法:先由直线满足的条件设出直线的方程,方程中含有待定 的系数,再由题设条件求出待定系数,即得所求直线方程. （2）在求直线的方程时,应选择适当的形式,并注意各种形式的适用 条件.特别是对于点斜式、截距式,使用时要注意分类讨论思想的运用 （若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况;若采用截距式,应先判 断截距是否为零）. （3）最后结果写成一般式或斜截式. 课 堂 考 点 探 究 28 变式题（1）（多选题）经过点 且在两坐标轴上的截距的绝对 值相等的直线方程可能为( ) A. B. C. D. [解析] 若直线过原点，则直线方程为 ；若直线的斜率为1，则 直线方程为； 若直线的斜率为，则直线方程为 . 故直线的方程为或或.故选 . √ √ √ 课 堂 考 点 探 究 29 （2）已知直线 的斜率为2，且和坐标轴围成的三角形的面积为4， 则直线 的方程为_____________________________. 或 [解析] 设直线的方程为,直线与,轴的交点分别为, . 令，得，得，令，故，故 ， 所以为原点，解得，故直线 的方 程为或 . 课 堂 考 点 探 究 30 探究点三 直线方程的综合应用 例3 已知直线 . （1）若直线不经过第一象限，求 的取值范围； ［思路点拨］先判断当时直线是否符合要求，当 时，将 直线方程化为斜截式，结合条件列不等式求 的取值范围； 课 堂 考 点 探 究 31 解：当时，方程可化为，直线 不经 过第一象限,符合题意； 当时，方程可化为 ，要使直 线不经过第一象限，则 解得 . 综上，的取值范围为 . 课 堂 考 点 探 究 32 （2）若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于， 的面积为 为坐标原点，求的最小值和此时直线 的方程. ［思路点拨］先求直线在轴和轴上的截距，表示 的面积， 利用均值不等式求 的最小值. 课 堂 考 点 探 究 33 解：由题意可得，对于， 令 ，得，令，得 ， 所以 ，当且仅当，即 时取等号，所以 ，此时直线的方程为 . 课 堂 考 点 探 究 34 [总结反思] （1）求参数的值或取值范围,注意若点在直线上,则点的坐标满足直 线的方程,再结合函数的单调性或均值不等式求解. （2）求解与直线方程有关的最值问题,先根据题意建立目标函数,再 利用均值不等式（或函数）求解最值. （3）求解直线方程与函数相结合的问题,一般是利用直线方程中, 的关系,将问题转化为关于（或 ）的函数,借助函数的性质解决问题. 课 堂 考 点 探 究 35 变式题 设直线的方程为 ，且直线 分别与轴正半轴、轴正半轴交于点, . （1）当最小时，求直线 的方程； 解：由题意知，,，则 ，所以 ， 当且仅当，即时，等号成立，所以当时， 最小，此时直线的方程为 . 课 堂 考 点 探 究 36 （2）当直线在两坐标轴上的截距均为正整数且 也为正整数时，求 直线 的方程. 解：因为直线 在两坐标轴上的截距均为正整数， 所以不妨设,，则，， 又 也为正整数，所以，，即， ， 所以或 . 当时，，此时,，所以直线 的方程为 ；当时， ，不符合题意，舍去. 综上所述，直线的方程为 . 课 堂 考 点 探 究 37 课时作业 38 ◆ 基础热身 ◆ 1.直线 的倾斜角为( ) A. B. C. D. [解析] 由直线方程 ，可得直线的斜率 （ 为直线的倾斜角），则 ，即直线的 倾斜角为 .故选C. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 2.如图，若直线，，的斜率分别为 ， ， ，则( ) A. B. C. D. [解析] 设,,的倾斜角分别为,, ， 由图知， ，所以 .故选D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 3.过点且与直线 斜率相等的直线方程为( ) A. B. C. D. [解析] 由题知所求直线的斜率为2且过点 ，由点斜式方程得直 线的方程为 .故选A. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 4.已知直线过点 ，且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则 直线 的方程为( ) A. B.或 C. D.或 √ [解析] 方法一：当直线过原点时，斜率为 ，则直线方 程为； 当直线不过原点时，设直线方程为 ，代入点的坐标， 得，解得 ，故直线方程为. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 综上所述，直线方程为或 . 方法二：因为直线在两个坐标轴上的截距互为相反数，所以直线过 原点或直线的斜率为1. 当直线过原点时，直线斜率为 ，则直线方程为 ； 当直线的斜率为1时，直线方程为，即 . 综上所述，直线方程为或 .故选D. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 5.过点且斜率小于0的直线与轴， 轴围成的封闭图形的面积 的最小值为( ) A.2 B. C.4 D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 [解析] 设直线的方程为，将点 的坐标代入 得，即，， 设直线与轴的交点为 ，与轴的交点为 ， 则所围成封闭图形的面积为 ， 当且仅当，即 时等号成立，所以所围成封闭图形面 积的最小值为4.故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 6.（多选题）已知直线过点， ，则( ) A.点在直线 上 B.直线的两点式方程为 C.直线的一个方向向量的坐标为 D.直线的截距式方程为 √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 [解析] 对于A，因为直线过点，，所以直线 的斜率 ，设，则 ，故点 不在直线上，故A错误； 对于B，直线 的两点式方程为，故B正确； 对于C，若直线 的一个方向向量的坐标为，则直线的斜 率为 ，与A中分析不符，故C错误； 对于D，由B中两点式方程，整理得截距式方程为 ， 故D正确. 故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 7.已知三角形的三个顶点，，，则 边所在 直线的方程是_ ____________， 边上的垂直平分线所在直线的方 程是_ __________. [解析] 由题知,所以直线的方程为 ， 即， 线段的中点为, ,所以边上的垂直平分线 所在直线的方程为 ，即 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 8.若直线在两坐标轴上的截距之和为2，且 ， 则 的最小值为__. [解析] 将直线的方程转换为截距式，即，则 ， 故 ， 当且仅当，即时取等号，故的最小值为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 9.已知直线的方程为 . （1）求直线过的定点 的坐标； 解：由题意，直线的方程可化为 ， 由解得 所以直线过定点 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 （2）直线与轴正半轴和轴正半轴分别交于点，，当 （为原点）的面积最小时，求直线 的方程. 解：设直线的方程为，则, ， 由（1）知，直线过定点，可得， 因为, ，所以，解得 ， 当且仅当且，即, 时，等号成立， 所以的面积，当时， 直线 的方程为，即 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 ◆ 综合提升 ◆ 10.直线与轴、轴分别交于,两点，则 （ 为坐标原点）的平分线所在直线的方程为( ) A. B. C. D.或 √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 [解析] 根据题意，直线与 轴、轴 分别交于,两点，令，可得，则 的坐标 为，令，可得，则 的坐标为， 如图，设（ 为锐角），则 ，即 ，则 即解得或 （舍）， 则的平分线所在直线的斜率 ，其方程为 ，变形可得 .故选B. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 11.设直线的方程为，则直线的倾斜角 的取值 范围是( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 [解析]当时,直线的方程为此时直线 的倾斜角. 当时，直线的斜率为 ，因为 ，所以 ，即 ，又因为 ，所以结合正切函数 的图象可得. 综上可得，直线的倾斜角 的取值范围是 .故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 12.（多选题）在平面直角坐标系中，,, , ，下列说法正确的是( ) A. 为直角三角形 B.，，， 依次连起来是一个四边形 C. D. √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 [解析] 对于A，直线的斜率，直线 的斜率 ，所以，即，故 为直 角三角形，故A正确； 对于B，直线的斜率 ，所以点,,共线，故B错误； 对于C，在中， ，， 则 ，故C正确； 对于D，， ，故D正确. 故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 13.过点,的直线的倾斜角 ，那么 的取值范围是__________________. [解析] 因为直线的倾斜角 的取值范围为 ，所以 直线的斜率的取值范围为或. 又 ，由，得；由，得. 所以 的取值范围是 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 14.已知直线过点，且直线的倾斜角比直线 的倾斜角大 . （1）求直线 的方程； 解：因为直线的斜率，所以其倾斜角 ， 则直线的倾斜角为，可知直线的斜率 ， 所以直线的方程为，即 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 （2）若点在直线上，且，求 的取值范围. 解：表示与点 连线的 斜率 ， 又在直线上，且 ，如 图所示，所以，直线 的 斜率不存在，则，即 的取值 范围为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 ◆ 能力拓展 ◆ 15.中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家张 遂在编制《大衍历》中发明了一种二次不等距插值算法：若函数 在，， 处的函数值分别为 ，，，则在区间上 可以用 二次函数来近似代替：， 其中 ，，.若令，， ， 则依据上述算法，估算 的值是( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 61 [解析] 设，且，， ，则 ，，，所以， ， ， 由 ，可得 ，所以 .故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 62 16.已知直线，其中， 都是正实数， ，下列结论正确的是( ) A.当时，直线的一个方向向量为 B.当 变化时，所对应的直线均过同一个定点 C.当时，坐标原点到直线的距离的最小值为 D.所有直线 组成的平面区域可覆盖整个直角坐标平面 [解析] 对于A，当时，直线的方程为，即 ，直线 平行于轴，直线的方向向量与 平行，故A不正确； √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 63 对于B， 当时，得，即； 当时，得 ，由 解得， ，则两直线交于点 ， 当时，得，显然点不在直线 上， 此时三条直线交于一点不成立，故当 变化时，所对应的直线均过 同一个定点不成立，故B不正确； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于C，当时，坐标原点 到直线的距离， 而，则 ，故， 即最小值为 ，故C正确； 对于D，由于点不在直线上，所以所有直线 组成的平面区域不 可能覆盖整个直角坐标平面，故D不正确.故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $