第7单元 11 增分微课10 空间中的动态问题（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

该高中数学高考复习课件聚焦“空间中的动态问题”专题，依据高考评价体系梳理了动点轨迹、翻折变换、最值范围三大核心考点，通过近五年高考真题及模拟题分析，明确了轨迹判断（30%）、翻折不变量（25%）、最值函数法（35%）的高频考查权重，归纳出正方体、四棱锥等几何体中的典型题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题解析+方法提炼+素养提升”的复习模式，如以2025全国二卷翻折问题为例，提炼“不变量分析+空间建系”解题技巧，培养学生的空间观念和推理能力。特设“易错警示”（如轨迹判断混淆几何法与代数法）和“变式训练”，帮助学生熟练运用数学语言表达空间关系，教师可据此实施分层教学，高效突破高考难点。

增分微课10 空间中的动态问题 1 类型一 类型二 类型三 课时作业 2 “动态”问题是高考立体几何问题具有创新意识的题型,它渗透了 一些“动态”的点、线、面等元素,给静态的立体几何题赋予了活力,注 重多想少算，强调思维能力与创新能力的考查.解决动态几何问题的 关键是要注重动态元素所引发的图形变化过程,动中窥静,静中见动. 3 例1 如图，在棱长为2的正方体 中，为棱的中点， 为正方体表面上的动点，且 .设动点 的轨迹与点组成曲线 ，则( ) A.是平行四边形，且周长为 B.是平行四边形，且周长为 C.是等腰梯形，且周长为 D.是等腰梯形，且周长为 √ 类型一 动点轨迹问题 4 [解析] 如图，分别取,的中点, ，连接，，，，，， ，则，则，，， 四点共面. 若为面 上的动点，由正方体的性质易得，平面 平面，且平面 平面， 要使，只需，此时 的轨迹为线段（不包含点）. 5 平面， 要使，只需，由 ，分别是，的中点， 易得，故此时 的轨迹为线段（不包含点）. 所以曲线为过点，， 的平面与正方体各表面的交线， 即梯形 . 因为正方体的棱长为2，所以， , . 所以曲线为等腰梯形，且周长为 .故选D. [总结反思] 解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法: （1）几何法:根据平面几何的性质进行判定. （2）定义法:转化为平面上的轨迹问题,用圆锥曲线的定义判定,或用 代数法进行计算. （3）利用函数观点探求轨迹,其中可以根据空间图形的线段长度关系 取特殊值或特殊位置进行排除. 7 变式题 如图，在四棱锥中， 平面，底面 为正方形， ，点,分别为, 的中点， 点为 内的一个动点（包括边界），若 平面，则点 的轨迹的长度为_ __. 8 [解析] 由题意知，,,两两垂直，以 为原点，,,所在直线分别为,, 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，记 的中 点为，连接. 因为四边形 为正方形，为的中点， 所以 ，且，所以四边形 为平行四边形， 所以. 又 平面， 平面，所以 平面. 记点的轨迹与交于点，连接，，由题知 平面. 9 ，所以线段即为点 的轨迹. 因为,,, , , ，所以 , , , . 设 ，则 令得. . 设为平面 的法向量， 则 11 ，解得 ，则 . 又 ，所以 ， 所以 . 例2 [2025· 全国二卷] 如图，在四边形中， ， ,为的中点，点在上，, ， .将四边形沿翻折至四边形 ，使得面 与面所成的二面角为 . 类型二 翻折问题 13 （1）证明：平面 . 证明：由题意知，又 平面 , 平面，所以平面 ， 同理可得平面 , 又,, 平面，所以平面平面 ， 又 平面 ,所以平面 . 14 （2）求面与面 所成的二面角的正弦值. 解：由题意知且 ，可知 即为面与面 所成二面 角的平面角，故 . 不妨设，在平面内， 过点作 的垂线，垂足为， 易得 平面，， , . 15 过点作的平行线，交于点 ，易得 ,,两两垂直，以 为原点，建立如 图所示的空间直角坐标系， 则，, , ,, ，可得 , ， 16 设平面的法向量为 ， 则取 ,则 . , ，设平面 的法向量为 ，则 取,则,,1 . 17 设面与面所成的二面角为 ， 则，故 ， 即面与面 所成的二面角的正弦 值为 . 18 [总结反思] 解答翻折问题的关键在于画好翻折前后的平面图形与立体图形,抓住 两个关键点:不变的线线关系、不变的数量关系.不变的线线关系,尤 其是平面图形中的线线平行、线线垂直关系是证明空间平行、垂直 关系的起点和重要依据;不变的数量关系是求解几何体的数字特征的 重要依据. 19 变式题（1）[2025·江西九江十校联考]如图， 在矩形中，，在 上 且，将沿折起到 ，使 A. B. C. D. 得 平面，点在线段上，若平面，则 的值 为( ) √ 20 [解析] 如图，作交于，连接 ，则四边形是平行四边形， ，. 由， 平面 ， 平面，可得平面. 又平面 ，，, 平面，所以平面平面 . 因为平面 平面，平面 平面 ，所以，因此 . 故选C. 21 （2）（多选题）[2025·辽宁八校质检]如图，在菱形 中， ， ，为的中点，将沿直线 翻折至 的位置，使得二面角为直二面角，若 为线段 的中点，则( ) A.平面 B. C.异面直线，所成的角为 D.与平面所成角的余弦值为 √ √ 22 [解析] 因为在菱形中， ， ，为 的中点，所以 为正三角形，所以 ， ， 又二面角 为直二面角，易证 平面，以为原点， ，， 所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间 直角坐标系， 则 ，， ，， . 23 对于A，因为，平面 的一个法向量 为，所以 ，又 平面，所以平面 ， 故A正确； 对于B，因为， ，所以 ，所以， 不垂直，故B错误； 对于C，设异面直线， 所成的角为 ，因为 ， ， 所以 ， ， 又，所以 ，则异面直线，所成的角为 ，故C正确； 对于D，设平面的法向量为 ， 因为， ，所以 令 ，得 ， 设与平面 所成的角为 ， 因为 ，所以 ， ，则 ，故D错误.故选 . 例3（1）如图，在四棱锥 中，平面 平面，底面 是正方形， 是边长为2的正三角形，， 分别是棱 ，上的动点，则 的最小值是 ( ) A. B. C. D. √ 类型三 最值、范围问题 27 [解析] 平面 平面 ，平面 平面， 平面 ，， 平面 ， 又 平面， ，同理可得 . ，则 ， ． 将侧面，侧面，侧面 展开到一个平面内如图， 则的最小值即为展开图中 的长． 28 ， ，故． 在 中，由余弦定理可得，则，即的最小值为 ．故选D. （2）[2025·河北张家口期末] 如图，正三棱柱 的底面边长为2，侧棱长为3, 为 的中点，若 , ，则 的取值范围是 __________. 30 [解析] 连接，因为正三棱柱 的底面边长为2，为 的中点，所以 ,． 过点作轴//，以 为原点，建立如图所示 的空间直角坐标系，则 ,,, ，则 , ． 设， ， 则, ， 31 所以 , ， 所以 ，，所以 ， 当时，取得最小值，当时，取得最大值 ， 所以的取值范围是 . [总结反思] 在动态变化过程中产生的体积最大（小）、距离最大（小）、角的 取值范围等问题,常用的解题思路是:①直观判断:在变化过程中判断 点、线、面在何位置时,所求的量有相应最大、最小值,即可求解;② 函数思想:通过建系或引入变量,把这类动态问题转化为目标函数,再 利用代数方法求目标函数的最值. 33 变式题 （多选题）[2025·辽宁大连模拟]已知正四棱锥 的 棱长均为2，下列说法正确的是( ) A.平面与平面所成角的正弦值为 B.若点满足，则 的最小值为 C.在四棱锥 内部有一个可任意转动的正方体，则该正方体 表面积的最大值为 D.点在底面内，且，则点轨迹的长度为 √ √ √ 34 [解析] 如图①所示，对于A， 正四棱锥的棱长为2， 正四棱锥的高为， 设点为 的中点，连接，，根据正四棱锥的性质，得 ， ，， 则平面与平面 所成的角为， 则 ，故A错误； 对于B，， ，根据空间向量基本定理可 得点在平面上， 35 当 平面 时，最小，此时根据等体积法可得 ，即， 得，即 的最小值为，故B正确； 对于C，设正方体的棱长为， 正方体可以在 正四棱锥内部任意转动， 正方体的体 对角线的长度不超过该正四棱锥内切球的直径， 设内切球的半径为 ，正四棱锥的体积为 ，根据等体积法可得 ，， 正方体的体对角线长为， 则， 正方体的表面积 ，故C正确； 对于D，以 为原点，，所在直线分别为，轴， 过点向上作平面 的垂线为轴建立空间直角坐标系，则， , 设，， ， 即，化简整理可得， 点的轨迹是在平面内以为圆心，半径为 的圆在四 边形内的部分（圆弧），如图②所示， ， ，， 点的轨迹长度 为 ，故D正确．故选 . 课时作业 39 1.在正方体中，动点在面 及其边界上运 动，,，则动点 的轨迹为( ) A.椭圆的一部分 B.线段 C.圆的一部分 D.抛物线的一部分 √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 40 [解析] 方法一：设正方体 的棱长为1，如图，以点 为坐标原点，，，所在直线分别为，， 轴建立空间 直角坐标系，则， . 设点，所以 ， ， 则, ， 化简得， 所以动点 的轨迹为抛物线的一部分.故选D. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 方法二：由题意知线段的轨迹是以 为轴的圆锥的侧面， 为其中一条母线所在的直线，且与底面 平行， 又平行于母线的平面截圆锥的侧面所得曲线为抛物线的一部分， 所以动点 的轨迹为抛物线的一部分.故选D. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 42 2.平面 的斜线交平面 于点，过定点的动直线与直线 垂 直，且交平面 于点，那么动点 的轨迹是( ) A.线段 B.直线 C.圆 D.抛物线 [解析] 过点且与垂直的平面有且仅有一个，设为 ，则直线 在平面 内. 因为点是平面 与平面 的公共点，平面 与平面 只有一条交线，所以动点的轨迹是一条直线，且是过点垂直于 的平面与平面 的交线.故选B. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 43 3.[2025·江西新八校二联]已知正方体 的棱长为1， 点在正方体内（包含表面）运动，若，则动点 的 轨迹所形成区域的面积是( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 44 [解析] 在棱长为1的正方体 如图，在正方体中，连接，，， 易得 平面，点 到平面的距离为. 中， ，则 ， 而，所以在 上的投影向量的模为， 因此点在与 垂直的平面内，且点到该平面的距离为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 45 取,, 的中点分别为,,，连接，， ， 易得平面平面， 则 平面 ，且点 到平面的距离为， 所以点 的轨迹所形成区域为等边三角形 ，故 .故选B. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4.（多选题）如图，正方体的棱长为2，点 为底 面的中心，点为侧面 内（不含边界）的动点，则 ( ) A. B.存在一点，使得 C.三棱锥的体积为 D.若，则 面积的最小值为 √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 47 [解析] 以点为坐标原点，， ， 所在直线分别为，， 轴建立如图 所示的空间直角坐标系， 则 ，，， ， ，， 设点 ，其中， . 对于A选项， ，，则 ，所以 ，故A正确； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 48 ， 则 ，解得，不符合题意， 所以不存在点 ，使得 ，故B错误； 对于C选项，，点到 平面 的距离为2，所以 ，故C正确； 对于D选项， ，若 ，则 ，可得， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 由 可得， ， 当且仅当 时，等号成立， 因为 平面， 平面，所以 ，所以 ，故D正确.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5.[2025·辽宁沈阳东北育才学校三模]已知矩形中， ， ，为边上一点且，与交于点 ，将 沿着折起，使得点折到点的位置，则 的最大 值是( ) A. B. C. D. [解析] 由题意可知 ， ，则 ，即 ， √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 51 则，，， ， 平面，所以 平面 ， 因为是确定的直线，可知对任意点， 平面 是同一确定的平面， ， 当且仅当与该圆相切时，取到最大值， 即 取到最大值 ．故选A. ，可知点在 以点为圆心，半径为 的圆上， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 52 6.（多选题）[2025·辽宁大连育明高级中学期中]正四棱柱 中，，动点 满足 ，且， ，则下列说法正确的是( ) 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 53 A.当，时， B.当时，点是线段上的动点，则的最小值为 C.若直线与平面所成的角为，则三棱锥 的体 积的取值范围是 D.当时，三棱锥 的外接球半径的取值范围是 √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 54 [解析] 如图，以为坐标原点，所在直线为 轴， 所在直线为轴，所在直线为 轴建立空间直 角坐标系， 则，， ， ，，， 则 ，，， . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 55 对于A选项，当， 时， ，所以 ，则 ，故A正确； 对于B选项，由， 可得 ，因为，所以， 所以， 因为点 是线段 上的动点，所以设，则 ， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 所以 ，故B正确； 对于C选项，，所以 ，所以， 设平面的一个法向量为 ，则由 ，，可得 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 令 ，则所以， 则 ， ， 则 ，即， 因为 ，所以，所以 ，即 ， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 所以 ， 所以 ，故C错误； 对于D选项，当时，由C可知， 因为 为直角三角形，所以平面被球截得截面 的圆心为的中点 ， 因为球心与截面圆心的连线垂直于截面，所以设球心 ，球的半径为,则 ， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ， 因为，所以，则 ，球的半径 ，所以 ，故D正确．故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7.已知正方体的棱长为1,以顶点为球心， 为半 径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于 _ ____. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 61 [解析] 如图，球面与正方体的六个面都相交， 所得的交线分为两类：一类在顶点 所在的三 个面上，即平面、平面 和平面 上；另一类在不过顶点 的三个面上， 即平面、平面和平面 上. 的大圆上， 因为 ，所以，同理 ， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 62 所以，故弧的长为 ，而 这样的弧共有三条. 在平面 上，交线为弧 且在到球心的 距离为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时， 小圆的圆心为 ，半径为， 所以弧 的长为 ，这样的弧共有三条. 所以所得的曲线长为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8.[2025⋅ 江苏徐州侯集高级中学二模] 如图， 在中，， , 是的中点，是边上靠近 的四等分点， 将沿翻折，使落到点 处 （点在平面上方），得到四棱锥 ．则 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 64 ①的中点 的运动轨迹长度为_ _; [解析] 在中， ， 所以. 因为到 中点的距离等于，且点在 平面上方，所以 的轨迹是以的中点为圆心，为半径的半圆， 所以的中点 的运动轨迹长度为 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 65 ②四棱锥 外接球表面积的最小值为_____. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 66 [解析] 连接，因为四边形的外心为 的中点，所以四边形 的外接圆的半径,所以四棱锥 的外接球的球心在过四边形的外心且垂直平面 的直线上， 设四棱锥外接球的半径为，球心到 四边形 的外心的距离为,则, 当 时，等号成立， 所以四棱锥外接球表面积的最小值 为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9.[2026·辽宁葫芦岛调研] 已知正三棱柱 的底面边长为 ，线段是该三棱柱内切球的一条直径，点 是该正三棱柱表面 上的动点，则 的取值范围是______. [解析] 设底面三角形内切圆的半径为 ，则 ，解得 . 若该三棱柱有内切球，则三棱柱的高刚好为底面内切圆的直径，即为1， 设内切球的球心为，易知球心在正三棱柱的中心处，且 ， 所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 68 又点是该正三棱柱表面上的动点，所以 的最小值为内切球半径 ，的最大值为，所以 ，所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 $