第7单元 10 增分微课9 立体几何中的截面、交线问题（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

该高中数学高考复习课件聚焦“立体几何中的截面、交线问题”专题，依据高考评价体系梳理了作截面、判断形状、求周长面积、体积计算四大考查维度，通过近五年高考真题分析明确“截面形状判断”占35%、“体积计算”占30%的高频考点，归纳出正方体、正三棱柱等典型模型的常考题型。 课件亮点在于“真题母题+变式训练+方法建模”的备考策略，如以正方体截面作图为例，详解“延长线找交点”“线面平行性质作交线”等技巧，培养学生的空间观念和推理能力。特设“易错点警示”和“解题模板”，通过课时作业强化截面周长、体积计算等高频考点突破，助力学生掌握答题技巧，教师可据此系统开展专题复习，提升备考效率。

增分微课9 立体几何中的截面、交 线问题 1 类型一 类型二 类型三 类型四 课时作业 2 【知识链接】“截面、交线”问题是高考立体几何问题中具有创 新意识的题型，它渗透了一些动态的线、面等元素，给静态的立体 几何题赋予了活力.有关截面、交线问题，常见考查方式:作截面、判 断截面图形的形状、求截面图形的周长或面积、求截面有关的体积 问题，意在考查空间想象能力，化归和转化能力. 3 例1 如图，在四棱锥中，底面是矩形， 平面 ，是的中点.若是的中点，过点 作一个截面，使得该 截面与平面 平行，请画出截面，并写出作图过程（无需证明）. 类型一 作截面 4 解：如图，取的中点, 的中 点，连接,, ， 则截面与平面 平行. 5 [总结反思] （1）作截面应遵循的三个原则:①在同一平面上的两点可引直线;② 凡是相交的直线都要画出它们的交点;③凡是相交的平面都要画出它 们的交线. （2）作交线的方法有如下两种:①利用基本事实3作交线; ②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行, 然后根据性质作出交线. 6 注:正方体的一些截面: 7 变式题 在正方体中，，分别为， 的中 点，.过点,, 三点作该正方体的截面，在图中画出这 个截面（不必说明画法和理由，但要保留作图痕迹）. 8 解：如图，连接并延长，与 的延长线交 于，连接，与交于点，连接 ，延 长，与的延长线交于，延长 ，与 的延长线交于，连接，与交于 ,与 交于，连接， ，则六边形 即为所作的截面. 9 例2（1）用一个平面去截正方体，则截面不可能是( ) A.正方形 B.梯形 C.等边三角形 D.钝角三角形 [解析] 用一个平面去截正方体，截面可能是正方形、梯形、等边三 角形.当平面平行于正方体的一个面时，截面是正方形，如图①； 如图②，截面可以是梯形； 如图③，当平面过正方体的三个顶点时，截面是等边三角形. 截面不可能为钝角三角形，故选D. √ 类型二 截面图形的形状判断 10 （2）[2025·江苏南通调研]在正方体中，为 的 中点，则平面 截正方体所得的平面图形为( ) A.三角形 B.等腰梯形 C.直角梯形 D.五边形 √ 11 [解析] 如图，连接，延长交直线于 ， 连接，交于，连接，则四边形 即为所求截面. 由题设有 ， 故为的中点，则且. 因为 ，，所以四边形为 平行四边形，所以 且，故且， 又 ，所以四边形 为等腰梯形.故选B. 12 [总结反思] 判断几何体被一个平面所截得的截面形状，关键在于弄清这个平面 与几何体的面相交成线的形状和位置，可得利用面面平行转化为线 线平行去寻找截面，也可以利用面的延伸与棱的交点，从而找到截 面与几何体面上的两交点，从而定出截面. 13 变式题（1）如图所示，四面体木块的四个 面均为等边三角形，点是 的中心， 过点将木块锯开，并使得截面平行于 和 ，则所得截面是( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.矩形 D.梯形 √ 14 [解析] 由题意可知，点是 的中心， 过点作，分别交,于, ，作 交于. 设过点，， 的平面与交于点， 因为 平面， 平面，所以平面 ， 同理平面，即四边形 即为所求 截面. 由平面，平面 平面， 平面 ，得，故，同理可得，则 ， 15 故四边形 为平行四边形，即截面是平行四 边形. 设为的中点，连接, ，则 ,， 又 ， , 平面，所以 平面 . 因为 平面，所以 ， 而，，故 ，即平行四 边形 为矩形，即截面是矩形.故选C. （2）已知三棱柱中，，分别为棱， 的中 点，过，，作三棱柱的截面交于点，且 ，则 ___. 6 [解析] 如图，连接并延长，与 的延长线 交于点，连接与直线交于点，易知 即 为点. 因为与相交于点，所以， ，，四点共面. 因为是 的中点，且，，所以 ， ，所以是的中位线，则 是的中点. 17 连接，，因为为 的中 点，所以， . 易知，则 ，所以 . 例3（1）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面 所成的角 都相等，则 截此正方体所得截面面积的最大值为( ) A. B. C. D. √ 类型三 截面图形的周长或面积 19 [解析] 在正方体的所有棱中，实际上是3组平行 的棱，每条棱所在直线与平面 所成的角都相 等，如图所示， 与正六边形 平行的平面满足条件， 且当截面 为正六边形 时， 截此正方体所得截面的面积最大， 故 截此正方体所得截面面积的最大值为 .故选A. 20 （2）如图，在棱长为3的正方体中，为 的中 点，为的中点，过，， 作正方体的截面，则截面的周长 为_ __________. 21 [解析] 如图，在正方体 中，连接，设直线与直线， 分别交于，，连接， ，分别与 ，交于点，，连接， ， 则五边形是过，， 的正方 体的截面. 由为的中点，为 的中点， 得，，则 ， 同理，则 ， 故，， 22 同理可得 ，， 则 ， ， ， 所以截面的周长为 . [总结反思] 破解有关几何体的截面图形的周长或面积题的关键：一是定图，即 判断或作出截面图形的特征；二是用公式，即会利用平面图形的周 长与面积公式，有时还需利用解三角形的相关知识进行解决. 24 变式题（1）在正三棱柱中，，为 的中点，若三棱锥的四个顶点均在球上，过作球 的 截面，则所得截面圆面积的最小值为( ) A. B. C. D. √ 25 [解析] 因为四边形为正方形，所以点在 的外接圆 上， 又三棱锥的四个顶点均在球上，即球 为四棱锥 的外接球，故球心为正方形的中心，则球 的 半径为. 过作球 的截面，当所得截面圆面积最小时，截面圆 圆心为的中点（即过作截面的垂线，垂足为 的中点）， 所以截面圆的半径的最小值为1，所以截面圆面积的最小值为 . 26 （2）如图，已知四面体 为正四面体， ，,分别是, 的中点.若用一个与 直线 垂直，且与四面体的每一个面都相交的 平面 去截该四面体，由此得到一个多边形截 面，则该多边形截面面积的最大值为___. 1 27 [解析] 将正四面体 补成正方体，如图. , 截面为平行四边形,,,, 分别为，，， 上的点，且 ， ，易得 ， 又, , ,当且仅当 时取等号， 故所得多边形截面面积的最大值为1. 28 例4 如图，过三棱柱下底面的边 作一个截面， 截面与上底面的交线为,,分别是 , 的中点.该截面将三棱柱 分 成了两部分，设较大部分的体积为 ，较小部 分的体积为，则 __. 类型四 截面有关的体积问题 29 [解析] 由题意知几何体 为三棱台. 设三棱柱的高为， 的面 积为. 因为,分别是, 的中点，所以 ，即，则 的面积为， 所以 , ，故 ，所以 . 30 [总结反思] 破解截面有关的体积问题的关键：一是定形，一个几何体被一个平 面所截，需弄清截成两个几何体的形状；二是用公式，会利用柱、 锥、台的体积公式对几何体的体积进行求解. 31 变式题 在直三棱柱中，点，， 满足 ，， ，则下列说法正确的是( ) A.三棱锥 的体积为定值 B.三棱锥 的体积为定值 C.当时，三棱柱被截面 分成的上、下两部分的体积相等 D.当时，三棱柱被截面 分成的上、下两部分的体积相等 √ 32 [解析] 如图所示，因为， 平面 ， 平面，所以 平面 ，同理可证平面. 对于A， 到平面的距离为定值，但 不为定值，所以不为定值，故A错误； 对于B， 到平面的距离为定值，且为定值， 所以 为定值，故B正确； 对于C，D，，根据对称性知，当 ，即 时，三棱柱被截面 分成的上、下两部分的体积相等， 故C，D错误.故选B. 33 课时作业 34 1.如图，在正方体中， 的中点为，过，， 三点的截面是( ) A.三角形 B.矩形 C.菱形 D.梯形 √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 35 [解析] 如图所示，取的中点 ，连接，，，，. 因为， 分别是，的中点，所以 ，且， 又， ,则，，所以，，， 四点共面， 故四边形是过，，三点的截面，且四边形 是梯形. 故选D. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 36 2.已知三棱锥的底面是边长为 的正三角形，则过各侧棱中点的截面 的面积为( ) A. B. C. D. [解析] 三棱锥的底面是边长为的正三角形， 棱锥的底面面积 过各侧棱中点的截面与底面相似，且边长的相似比为， 过各侧棱中点的截面的面积为 故选C. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 37 3.如图，在平行六面体中， 是的中点，过，， 三点的截面 把平行六面体分成两个部分，则左右两 部分的体积之比为( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 38 [解析] 因为平面平面 ，且截 面 平面，截面 平面，所以 . 设平行六面体的底面面积为，高为 ， 由棱台的体积公式，得 ， 则，所以： .故选D. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 39 4.正方体的棱长为4，点在棱上，平面 把正方体 分成两个几何体，其中一个几何体的体 积为14，则平面截正方体 所得的截面周长为 ( ) A. B. C. D.15 √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 40 [解析] 设平面与棱交于点 ，则 ，所以几何体 是三棱台， 由题意知该三棱台的体积为14. 设 ，则 ，可得， 又平面截正方体 所得的截面为等腰梯形， ，， ，所以截面的周长 为 .故选A. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 41 5.如图，正方体 的棱长为 3，,分别在,上，且 ， ，过,, 三点的平面截该正方体， 则所截得的截面的最长边的长为( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 42 [解析] 如图，延长交于点 ，则 ，即为 的一个三等分点，连 接. 取的中点，连接, ，则 ，所以,,, 四点共面，故梯形 即为截面图形，显然 为最长边，长度 为 .故选B. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 43 6.[2025·福建南平质检]已知圆锥的母线长为2，过圆锥的顶点作圆锥 的截面，若截面面积的最大值为2，则该圆锥底面半径的取值范围是 ( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 44 [解析] 如图，设轴截面的顶角 ， 两条母线所成的角 ，底面半径为 ， 则 ，所以截面面积为 . 若截面面积的最大值为2，则，解得，所以 ， 即 . 由轴截面的性质可得，即，解得 ， 则的取值范围为 .故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 45 7.已知棱长为4的正方体的各个顶点均在球 的表 面上，点满足，过点作与直线垂直的平面 ，则 截球 所得截面面积为( ) A. B. C. D. [解析] 如图，连接,，因为 平面 ， 平面，所以 , 又,,, 平面 ， 所以 平面，则 为过点 且与平面 平行的平面. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 46 因为点在平面 内，所以点到平面 的距离就是平面 与平面 的距离， 又，所以 ， 又球的半径，所以 截球所得截面圆的半径 ， 所以该圆的面积为 .故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8.[2025·安徽蚌埠联考] 如图，多面体 是用平面 截底面是边长为 2的正方形，侧棱长 的长方体 剩下的一部分几何体，其中 ，点 在线段 上，平面交线段于点 ，则截面四 边形 的周长的最小值为____. 10 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 48 [解析] 由题知，平面平面 ，平 面 平面，平面 平面，所以 ， 同理可得，所以四边形 为平行 四边形，则其周长. 沿 将右面和后面相邻两面展开，如图，则当，，三点共线时， 最小，最小值为， 所以截面四边形 的周长的最小值为10. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 49 9.已知正方体的棱长为3，则四棱锥 的 体积为___；若点，分别为，的中点，则过点，， 的 平面截正方体所得的截面的周长为_ __________. 9 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 50 [解析] 由题知， 点，连接，，则过点，， 的平面截正方体所得的 截面为五边形. . 的延长线于点，延长交 的 延长线于点，连接交于点，连接交 于 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 51 ， 所以， ，， 故截面的周长为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10.如图，正方体的棱长为2， 点是棱 上的动点. （1）三棱锥 的体积为_ _； [解析] 在正方体中，点 是棱上的动点，则 到平面的距离 即为 ，所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 53 （2）当为的中点时，过点且与 垂直的平面截正方体的截 面面积为__. [解析] 设的中点为，的中点为 ，连 接，，. 以为原点，，， 所在直线分别为 ,, 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ，，， ，所以， ，， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 54 则 ，，所以， . 因为， 平面， 平面，所以 平面，则 即为过点且与 垂直的平面截正方体的截面. 由正方体的棱长为2， 的 中点为，的中点为,可得 ， . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 在 中， ,则 ， 故 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 $