第7单元 09 第47讲 空间距离及立体几何中的探索性问题（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

该高中数学高考复习课件聚焦“空间距离及立体几何探索性问题”专题，依据课标要求梳理了点到直线、点到平面、平行直线与平面距离的向量解法，结合近三年高考真题分析得出“点到平面距离”占50%、“探索性平行垂直问题”占30%的高频考点分布，归纳出多选题、解答题等典型题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“双方法突破+真题变式训练”，如以2025吉林四模四棱锥题为例，用向量法求法向量、几何法构造垂线段，培养学生数学思维与空间观念。特设“易错点警示”（如忽略法向量模长绝对值）和“答题步骤模板”，通过课时作业的分层训练，帮助学生熟练掌握得分技巧，教师可据此精准定位复习重点，提升备考效率。

第47讲 空间距离及立体几何中的探 索性问题 1 课前基础巩固 课堂考点探究 课时作业 2 能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平 行的平面的距离问题. 课 标 要 求 3 1.点到直线的距离 如图,已知直线的单位方向向量为,是直线 上的 定点,是直线外一点,设，则向量 在直 线上的投影向量，在 中, 由勾股定理,得_ ______________ ______________. ◆ 知识聚焦 ◆ 课 前 基 础 巩 固 4 2.点到平面的距离 如图,已知平面 的法向量为,是平面 内的定 点,是平面 外一点.过点作平面 的垂线 ,交 平面 于点,则是直线的方向向量,且点 到平 面 的距离就是在直线上的投影向量 的长度.因此 _ ______ ______. 课 前 基 础 巩 固 5 题组一 常识题 1.［教材改编］在直三棱柱中， ， ，为的中点，为的中点，则 _____. ◆ 对点演练 ◆ 课 前 基 础 巩 固 6 [解析] 以 为原点，建立空间直角坐标系，如图 所示，则, ， 所以 . 课 前 基 础 巩 固 7 2.［教材改编］已知正方形的边长为4, 平面 , ,,分别是,的中点,则点到平面 的距离为_ ____. 课 前 基 础 巩 固 8 [解析] 以 为原点，建立如图所示的空间直角坐 标系,则,,, ,所以 ,， . 设平面的法向量为 ,则 即 令，得,所以点到平面 的距 离 . 课 前 基 础 巩 固 9 3.［教材改编］如图,正方体 的棱长为1,则平面 与平面 之间的距离为_ __. 课 前 基 础 巩 固 10 [解析] 以 为坐标原点，建立如图所示的空间直 角坐标系,则,, , ,所以 , ,. 设平面 的法向量为, 则 即 课 前 基 础 巩 固 11 令,得,所以点 到 平面的距离 . 易证平面平面,所以平面与 平面 之间的距离等于点到平面 的距离,所以平面与平面之间的距离为 . 课 前 基 础 巩 固 题组二 常错题 4.［点到直线的距离公式记不清楚］在棱长为2的正方体 中，为正方形的中心，为棱 的中点， 则点到直线 的距离为_ __. 课 前 基 础 巩 固 13 [解析] 以为坐标原点，，，的方向分别为,, 轴的正方 向建立空间直角坐标系，则，， ， 所以，，所以 ， . 因为， ，所以，，所以点到直线 的距离为 , . 课 前 基 础 巩 固 14 5.［点到平面的距离公式忽略绝对值］已知平面 的一个法向量为 ，点在平面 内，点到平面 的 距离为，则 __________. 或 [解析] 由题可知， ，则 ，解得或 . 课 前 基 础 巩 固 15 探究点一 空间距离 例1 （多选题）[2025·湖南邵阳一中、岳阳一中联考]在棱长为1的正 方体中，为棱的中点，为棱 的中点， 则( ) A.点到直线的距离是 B.直线与直线 间的距离是1 C.点到平面的距离是 D.直线到平面的距离是 √ √ √ 课 堂 考 点 探 究 16 ［思路点拨］建立空间直角坐标系，求出向量 在单位向量 上的投影向量的长度，结合勾股定理可得点到直线 的 距离，进而判断A； 求出与两异面直线的方向向量都垂直的向量，再 利用异面直线的向量的距离公式，即可求出异面直线与 间的 距离，进而判断B； 求解平面 的法向量，利用点到平面的距离公式， 求得点到平面的距离，进而判断C； 把直线 到平面的距离转化为到平面 的距离，利用 向量法求解，进而判断D. 课 堂 考 点 探 究 17 [解析] 以为原点，，， 的方向分别 为,, 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐 标系，则,,, , ,, . 对于A，,令 , 又，则，所以点到直线 的距离 ，故A 正确. 课 堂 考 点 探 究 18 对于B，因为 平面， 平面，所以，易知 ， 连接， 因为, , 所以直线与直线 间的距离 ,故B正确. 对于C，设平面的法向量为 ，易得 ,, ， 课 堂 考 点 探 究 则 令 ，则，所以点到平面 的距离 ，故C错误. 对于D，因为, 平面， 平面， 所以平面，所以直线 到平面的距离等于到 平面 的距离， 课 堂 考 点 探 究 ，所以到平面 的距离 ，故D正确.故选 . 课 堂 考 点 探 究 例2 [2025·吉林四模] 如图，四棱锥的底面 是矩形， ，平面 平面，，平面与平面 所成的角为，求点到平面 的距离. 课 堂 考 点 探 究 22 ［思路点拨］思路一：根据面面垂直的性质定理证明 平面 ，进而利用几何法找出平面与平面所成的角为 ， 得到，取的中点，进而可得 平面 ,即可求出 点到平面的距离（也可利用等体积法求解）； 思路二：建立空间直角坐标系，设, ，求得平面的法向量， 利用两个平面所成的角求得 的值，即可利用点到平面的距离的向量法 求解. 课 堂 考 点 探 究 23 解：方法一（传统法） 平面 平面 ， 平面 平面， 平面 ， ， 平面 ， 又 平面， . ，， 平面， 平面 ， 平面 . 又 平面， ，即为平面与平面 所成的角， . ，，，. 课 堂 考 点 探 究 24 设为 的中点，连接，如图①所示， . 平面， 平面， . ， 平面， 平面， 平面 . 点到平面的距离为 . （注：此处亦可用等体积法求解.设点到平面 的距离为 ， 由得 ，即 ，解得 .） 课 堂 考 点 探 究 方法二（向量法） 平面 平面，平面 平面 ， 平面， ， 平面 . 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点且与 平 行的直线为轴，建立如图②所示的空间直角坐标系，则平面 的一 个法向量为. 设,，则, , ,,所以， . 课 堂 考 点 探 究 设平面的法向量为 ，则 即取 ， 则 . 平面与平面所成的角为 ， , ，解得 ， ，，平面的一个法向量为 ， 故点到平面 的距离 . 课 堂 考 点 探 究 [总结反思] 1.求点到直线的距离常用以下两种方法: （1）几何法:求点到直线的距离,就是求从点向直线 所作的 垂线段的长度,往往在直角三角形中利用勾股定理求解. （2）向量法:点到直线 的距离 ，其中为直线外一点, 为直线上的任一点,为与 的方向向量平行的单位向量. 课 堂 考 点 探 究 28 2.点到平面的距离的求法: （1）几何法:①作出点到平面的垂线段,在直角三角形中,求这条垂线 段的长度. ②把待求的点到平面的距离看作三棱锥的高,利用三棱锥的等体积转 换法求解. （2）向量法:点到平面 的距离，其中是平面 外一点, 是平面 内任一点,是平面 的一个法向量. 课 堂 考 点 探 究 29 3.两平行线间的距离问题经常转化为点线距离问题，两平行平面间的 距离问题转化为点面距离问题. 4.异面直线间的距离的求法： 异面直线,间的距离为（如图，设点, 分别 是异面直线,上任意一点，向量,分别是直线, 的方向向量，向 量是与向量, 均垂直的向量）. 课 堂 考 点 探 究 30 变式题（1）[2026·福建漳州三中质检] 已知直三棱柱 中，,,， ，则点到直线 的 距离为_ ____. [解析] 由题可知，， , ，如图，以点为原点，以,, 所在直线分别为,, 轴，建立空间直角坐标系， 连接. 因为,, ，所以,,， 所以直线 的一个方向向量为， 课 堂 考 点 探 究 31 又 ，所以，则在 上的投影向量 的长度为， 所以点 到直线 的距离 . 课 堂 考 点 探 究 （2）在棱长为2的正方体中，平面 与平面 之间的距离为_ ___. [解析] 因为， ，所以四边 形是平行四边形，所以 ， 又因为 平面， 平面 ， 所以平面. 同理可证 平面. 因为，, 平面 ，所以平面平面. 课 堂 考 点 探 究 33 以 为原点，，，所在直线分别为,, 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ,所以 ，， . 设平面的法向量为 ，则 即 令 ，则，所以平面与平面 之间的距离 . 课 堂 考 点 探 究 探究点二 立体几何中的探索性问题 角度1 平行垂直中的探索性问题 例3 如图，在直四棱柱 中，底面 是边长为2的正方形，侧棱，点, 分别 在侧棱，上，且 . 课 堂 考 点 探 究 35 （1）求平面与平面 所成的角的余弦值. ［思路点拨］思路一：建立空间直角坐标系，利用 空间向量法可求得平面与平面 所成的角的 余弦值； 思路二：延长，，设 ， 连接，过作交于，连接 ，分析可 知，为平面与平面 所成的角，计算 出，的长，得到 的余弦值，即可得结果. 课 堂 考 点 探 究 36 解：方法一：以点为原点，，， 所在直线分 别为，， 轴，建立如图①所示的空间直角坐标系， 则，，，所以 ， . 设平面的法向量为 ， 则 令，则. 易知是平面 的一个法向量， 所以,，即平面 与平面所成的角 的余弦值为 . 课 堂 考 点 探 究 37 方法二：如图②，连接，延长， ，设 ，连接 . 过在平面内作的垂线，垂足为，连接 . 因为 平面， 平面 ，所以 ， 又，， 平面 ，， 所以 平面 . 因为 平面，所以，所以 为平面与 平面 所成的角. 课 堂 考 点 探 究 因为，所以，则， 所以 为的中点，所以 . 在 中，由余弦定理得 . 因为，所以 . 课 堂 考 点 探 究 因为 平面， 平面，所以 ，则 ， 所以 ， 即平面与平面所成的角的余弦值为 . 课 堂 考 点 探 究 （2）已知为底面的中心，在 上是否 存在点，使得平面？若存在，求出 ； 若不存在，请说明理由. 课 堂 考 点 探 究 41 ［思路点拨］思路一：假设存在满足条件的点 ， 设 ，根据空间向量法得 ，求出 的值，即可得出结论； 思路二：猜测当时， 平面 ，再给出 证明，连接，取为的中点，连接， ， 证明四边形为平行四边形，即可得 ， 再利用线面平行的判定定理即可得出结论. 课 堂 考 点 探 究 42 解：方法一：由（1）中方法一可得 ， ， . 假设存在满足条件的点，设 ，所 以 . 因为平面 ，所以 ，解得 ， 故当时，平面 . 课 堂 考 点 探 究 43 方法二：当时，平面.证明如下：如图②，连接 ， 取的中点，连接， . 因为为的中点，所以为梯形的中位线，则 ， 且 . 因为，且，所以， ， 所以四边形为平行四边形，所以 . 因为 平面， 平面， 所以平面 . 课 堂 考 点 探 究 44 [总结反思] 平行垂直中的探索性问题的解题策略: 对于线面位置关系的存在性问题,首先假设存在,然后在该假设条件下, 利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证,寻找假设满足的 条件,若满足则肯定假设,若得出矛盾的结论,则否定假设. 课 堂 考 点 探 究 45 变式题 [2025·湖北鄂东南联盟5月联考] 如图 所示，四棱锥的底面四边形 为 直角梯形，, , , ，平面 与平面的交线为, 平面 . （1）求线段 的长度. 课 堂 考 点 探 究 46 解：由题得，直线, 不平行，延长 ,必相交，记交点为 ，如图，则 ， ， 所以 平面, 平面 ，即点 为平面与平面 的一个公共点， 又点也为平面与平面的一个公共点，所以直线即为直线 ， 且点即为点 . 由题得，,,，所以 平面 ， 课 堂 考 点 探 究 47 又 平面 ，所以， 因为 ，所以为 的中位线， 因为 ，所以 ， 所以 ，又,所以 . 课 堂 考 点 探 究 （2）在棱上是否存在点，使得平面 平面 ？若存在， 求直线与平面 所成角的正弦值；若不存在，请说明理由. 课 堂 考 点 探 究 49 解：如图，以为原点，以，， 的方 向分别为轴、轴、 轴的正方向建立空间直 角坐标系， 由， ， 得,,,, . 假设存在点满足条件，设 ，易知 ，则点的坐标为 . 课 堂 考 点 探 究 50 设， 分别为平 面和平面的法向量. ,, 由得 令，则 . , ， 由 得 课 堂 考 点 探 究 51 令，得, ，则 . 因为平面 平面,所以 ,则 ,解得 , 所以在棱上存在点，使得平面 平面，此时 ， 所以 . 课 堂 考 点 探 究 ,，设平面 的法向 量为 ， 则即令 ，则 ， 所以直线与平面 所成角 的正弦值为 . 课 堂 考 点 探 究 角度2 与角有关的探索性问题 例4 如图，在三棱台 中，上、下底面分别是边长为2和 4的等边三角形， 平面，，为的中点， 为 棱 上一点. 课 堂 考 点 探 究 54 （1）若为的中点，证明： 平面 . ［思路点拨］要证 平面，只需在平面 内寻找两条相 交直线与 垂直即可； 课 堂 考 点 探 究 55 证明：如图，连接，则四边形 为平 行四边形，所以 . 因为 平面，所以 平面 ， 又 平面,则, 又为 的中点，所以为等腰三角形， 则 ， 又，所以 . 课 堂 考 点 探 究 56 因为，分别为， 的中点，所以 ，所以 . 因为 平面， 平面 ，所 以， 易知， 且， 平面 ， 所以 平面 ， 又 平面，所以，又， ， 平面，所以 平面 . 课 堂 考 点 探 究 57 （2）是否存在点，使得直线与平面 所成角的正弦值为？若存在，确定点 的位 置；若不存在，请说明理由. ［思路点拨］假设存在符合题意的点 ，从而 可设，建立空间直角坐标系，求解平面 的 法向量，利用直线 与平面所成角的正弦值为，得到关于 的方程，由 是否有解，即可得出推断. 课 堂 考 点 探 究 58 解：由（1）可知，,,两两垂直，以 为坐标原点，，， 所在直线分别为 ，， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则,，， ， ， 故,，， . 假设存在点，满足题意，设 ，则 ， 课 堂 考 点 探 究 59 设平面 的法向量为 ， 所以 令，则 . 设直线与平面所成的角为 ，则 ， ，整理得 ，解得或 ，所以假设成立， 故当点为棱 的三等分点时，直线与平面所成角的 正弦值为 . 课 堂 考 点 探 究 [总结反思] 与角有关的探索性问题的解题策略: 对于与角有关的探索性问题,首先假设存在,然后在该假设条件下,引入 参数，利用空间角的结论,寻找关于参数的方程,若方程有解则肯定假 设,若方程无解,则否定假设. 课 堂 考 点 探 究 61 变式题 如图，四边形是正方形，平面 平面 ， ，，， . （1）求证：平面 . 课 堂 考 点 探 究 62 证明：如图，以为原点，以，， 的方向 分别为轴、轴、 轴的正方向，建立空间直角 坐标系. 依题意，得，， ， ，，. 取的中点 ，连接，则， ， ，所以，则， 又 平面 ， 平面，所以平面 . 课 堂 考 点 探 究 63 （2）求平面与平面 所成的角. 解：取的中点，连接，则，又 ，所以 . 因为,且，所以 平面 . 课 堂 考 点 探 究 64 因为，所以 平面，又 平 面，所以 . 因为，， 平面 ，所以 平面，故为平面 的一 个法向量. ，，设平面 的 法向量为 ， 课 堂 考 点 探 究 65 由得 令，得， 所以 ,， 所以平面与平面 所成的角为 . 课 堂 考 点 探 究 66 （3）点在直线上，直线与直线的夹角为 ，二面角 的平面角为 ，是否存在点，使得 ？如果存 在，请求出 ；如果不存在，请说明理由. 课 堂 考 点 探 究 67 解：假设存在满足条件的点，设 ，由 （2）可知二面角 的平面角的大小为 ， 由 ，得直线与直线 的夹角为， 易得 ，则 ， ， 课 堂 考 点 探 究 68 所以 ， 化简得，解得 ， 又， ， 故存在点，使得 ，且 . 课 堂 考 点 探 究 课时作业 70 1.已知是直线的方向向量，经过点 ，则点 到 的距离为( ) A. B. C. D. [解析] 由， ，得 ，， ， 所以点到的距离 . 故选B. √ ◆ 基础热身 ◆ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 71 2.若平面 的一个法向量为，点在平面 内， 则点到 的距离为( ) A.3 B. C. D. [解析] 由题意得,所以点到 的距离 .故选B. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 72 3.已知空间三点，，，则点到直线 的距 离是( ) A. B. C. D. [解析] 因为，，，所以 ， ，所以在向量 上的投影向量的模为 ， 所以点到直线 的距离是 .故选C. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 73 4.已知正三棱柱的所有棱长都为2，则 到平面 的距离是( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 74 [解析] 设,分别是, 的中点，连接 ,, ，根据正三棱柱的几何性质可知 ,,两两垂直， 以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 , ,, ，所以 ,, . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 75 设平面的法向量为 ，则 令 ,得 ,,. 因为, 平面 , 平面，所以平面 ， 所以到平面的距离即为点 到平面 的距离，即为 .故选B. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知点，，，，那么过点 且平 行于平面的平面与平面 间的距离是( ) A. B. C. D. [解析] 由题得,, . 设平面的法向量为， 则即 令 ，得，所以所求距离 .故选C. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 77 6.（多选题）如图，在棱长为1的正方体中， 为 棱的中点，为棱 的中点，则( ) A.,,, 四点共面 B.在平面上的射影为 C.点到直线的距离为 D.点到平面的距离为 √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 78 [解析] 以为坐标原点，,, 所在直线 分别为轴、轴、 轴建立空间直角坐标系， 如图所示. 由题得， ，，， 则 ，，， 所以 ， 所以,,,四点共面，故A正确. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 79 由正方体的结构特征知，点 在平面上的射影为， 所以在平面上的射影为 ，故B正确. 由， ，得 ， ，则 ， ， 所以点到直线 的距离为 ，故C错误. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设平面的法向量为 ， ，则 取，则， 又 ，所以点到平面 的距离为 ，故D错误.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.在长方体中， ，则异面直 线与的距离为___，异面直线与 的距离为_ ___. 2 [解析] 在长方体中， 平面 ，因为 平面，所以， 又，所以 是异面直线与的公垂线段， 又，所以异面直线 与的距离为2. 连接,，因为， 平面 ， 平面，所以平面， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 82 所以到平面 的距离就是异面直线与的距离， 即点到平面 的距离就是异面直线与的距离， 设其为，由题得 . 因为，所以 ， 所以，所以异面直线与的距离为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.[2026·福建泉州质检] 已知空间四点， ， ，，则点到平面 的距离为_ ___. [解析] 方法一（等体积法） 由题得 . 设到平面的距离为 ，则， 又 为等边三角形，边长为，所以， 所以，即点 到平面的距离为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 84 方法二（向量法）设平面的法向量为 . 由题得，， 由 得即 取，则， 则在 上的投影向量的模为 ，即点到平面的距离为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.如图，正方体的棱长为2，点为 的中点. （1）求点到平面 的距离； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 86 解：以为原点，,, 所在的直线分别 为,, 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则,,,, ， 所以， . 设平面的法向量为 ， 则令，得 , ，则 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 87 又 ， 所以点到平面 的距离 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 （2）求到平面 的距离. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 89 解：由（1）可得平面 的一个法向量为 . 因为， ，所以 ，则 ，所以 ， 又 平面，所以平面，所以 到平面 的距离可以转化为点到平面的距离. 由，得 到平面的距离 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 90 10.在直四棱柱中，底面 是正方形， ，，点在棱上，若直线到平面 的距离 为，则 的值为( ) A.1 B. C. D. √ ◆ 综合提升 ◆ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 91 [解析] 由题意知，该几何体为长方体，以 为 原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ,, . 设，则 , ， . 因为， 平面， 平面 ，所以平面， 故直线 到平 面的距离为到平面 的距离. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 92 设平面的法向量为，则 即 取，则 ， 所以到平面 的距离，可得 ，故 .故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.[2025·齐鲁名校教研考前质检]已知正方体 的棱 长为，是棱的中点，点，分别在平面与平面 内，则 的最小值为( ) A. B.2 C. D.3 √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 94 [解析] 如图所示，连接,，设点 关 于平面的对称点为，延长 交平 面于点，记点，到平面 的距离分别为，，易知 . 以为坐标原点，,, 所在直线分别 为,, 轴，建立空间直角坐标系， 则，, , ， , ， ， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 95 设平面的法向量为 ，则 即令 ， 则 ， 所以 ， 又，则 ，所以 .故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.（多选题）[2026·江苏南京一中月考]如图，已知三棱柱 的侧棱与底面垂直， ， ，，分别为，的中点，若点在棱 上运动， 则( ) A. B.点到直线的距离的最大值为 C.与平面所成最小角的正切值为 D.点到平面距离的最大值为 √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 97 [解析] 如图，以为原点，分别以,, 所在直线为,, 轴，建立如图所示的空间直角 坐标系， 则，， ， ，，所以 ， ， 因为 ，所以，故A正确； ，得，， ， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 98 则点 到直线 的距离 ， 当时，取得最大值 ，故B正确； 易知平面的一个法向量为， 设 与平面所成的角为 ，则 ，当 或2 时， 取得最小值，此时 ，故 C错误； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 的法向量为，则 令，则， ，即， 连接，又 ，所以点到平面 的距离为， 设 , ， 则 ， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令，得，当 时， ，单调递增，当 时， ，单调递减，所以当 时， 取得最大值，故D错误.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.如图，在棱长为2的正方体中，为 的中点， 点在线段上，则点到直线 的距离的最小值为_ ____. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 102 [解析] 连接，以为坐标原点，,, 所在直线分别为,, 轴建立如图所示的空间直 角坐标系， 则,, , ，可得, . 设, ，则 ，因此， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 103 当时，取得最小值，即点 到直线 的距离的最小值为 . 所以点到直线 的距离为 ， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知，，，是空间中不共面的四点，满足 , ,.若，且点到平面 的距 离等于1，则 的值为_____. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 105 [解析] 由题得,, . 设平面的法向量为， 则 取，则， 所以点到平面 的距离，所以， 则 ， 又，所以 ， 所以，所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 106 15.如图，在等腰梯形中， , ,,,分别是， 的 中点，将四边形沿 翻折至四边形 ，点为上一点，且 . （1）证明：平面 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 107 证明：如图，取的靠近点 的三等分 点,连接, . 由于,是的靠近 的三等分点， 因此, . 由于,,因此, ,所以四边形 为平 行四边形，故 , 又 平面, 平面，所以平面 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 108 （2）设二面角的平面角为 . （ⅰ）若，求直线与直线 所成角的余弦值. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 109 解：在上取点使得，连接， . 由于,,因此四边形 为平 行四边形， 所以,故直线与直线 所成的角为 或其补角. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 110 , , , 所以 ， 故直线与直线所成角的余弦值为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 （ⅱ）在翻折过程中，是否存在 ，使得直线与平面 所成角 的正弦值为？若存在，求出 ；若不存在，请说明理由. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 112 解：以为坐标原点，分别以, 的方向为 轴、 轴的正方向，建立如图所示的空间直角 坐标系， 则,, , , , , 所以, , . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 113 设平面的法向量为 ，则 即 令，则. 由于直线 与平面所成角的正弦值为 ，因此 , 解得， 因为 ，所以存在，使得直线 与平面 所成角的 正弦值为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 114 16.如图，已知四棱锥的底面 是直 角梯形，，， ， ，为的中点， . （1）证明：平面 平面 . ◆ 能力拓展 ◆ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 115 证明：由四边形 是直角梯形， ，， ，可得 ，，所以 是等边三角形， 则，平分 . 又为 的中点，所以，则， 又，， 平面， 平面， 所以 平面 ， 又 平面 ，所以平面 平面 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 116 （2）若，与平面所成的角为 . （ⅰ）求三棱锥 的体积. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 117 解：在平面内作于，连接 . 由（1）得平面 平面 . 因为平面 平面， 平面 ，所以 平面 ， 所以为与平面所成的角， 则 ，所以， 因为，，所以为 的中点，所以， 且 . 又，所以三棱锥 的体积 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 118 （ⅱ）试问在侧面内是否存在一点，使得 平面 ?若存 在，求出点到直线 的距离；若不存在，请说明理由. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 119 解：方法一（向量法）如图①，以， ， 所在的直线分别为，， 轴建立空间直角坐 标系， 则，，， . 假设在侧面内存在点，使得 平面 成立. 设 ，由题意得 ， ， ， . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 120 由得 解得故存在满足条件的点 ，且 . 因为， ，则 ， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以，， ， 所以点到直线 的距离 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二（传统法）由题可知， ， 又，，所以点在三角形内的射影 为等 腰锐角三角形的外心，所以点必在侧面 的内部,如图②， 连接 . 由（1）知三棱锥的体积 ， ， 则，可得 . 在中，由勾股定理可得 ， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 123 取为的中点，则 ， 所以点到直线的距离 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $