第7单元 08 第46讲 空间角（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

该高中数学高考复习课件聚焦“空间角”专题，依据课标要求梳理了异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角三大核心考点，明确向量法为主要解题工具，通过近五年高考真题分析，归纳出“建系求向量”“几何法作角”等高频题型，覆盖90%以上立体几何夹角考查内容。 课件亮点在于“双方法对比+真题变式+素养训练”，如以2023全国乙卷题为例，详解向量法求线面角的“三步法”，结合常错题分析培养学生数学思维和空间观念，助力学生掌握得分技巧，教师可据此实现考点精准突破，提升复习效率。

第46讲 空间角 1 课前基础巩固 课堂考点探究 课时作业 2 能用向量方法解决简单的夹角问题,并能描述解决这一类问题的程序, 体会向量方法在研究几何问题中的作用. 课 标 要 求 3 1.异面直线所成的角 （1）定义:一般地，如果, 是空间中的两条异面直线，过空间中任 意一点，分别作与,____________的直线,,则与 所成角的大 小，称为异面直线与 所成角的大小. 平行或重合 （2）范围：_ _____. ◆ 知识聚焦 ◆ 课 前 基 础 巩 固 4 （3）求法： ①几何法：平移补形法. ②向量法：若异面直线,所成的角为 ，其方向向量分别为, ， 则, . 课 前 基 础 巩 固 5 2.直线与平面所成的角 （1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的______所成的角，叫作 这条斜线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面，我们说它们所 成的角是____，一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所 成的角是___. 射线 （2）直线与平面所成的角的取值范围：_ _____. 课 前 基 础 巩 固 6 （3）求法： ①几何法：求直线与平面所成角的关键是 作出直线在平面上的射影，常用方法是寻 找经过此直线并与已知平面垂直的平面， 利用面面垂直的性质确定直线上一点在平 面上的射影. ②向量法：如图,直线与平面 相交于点,设直线与平面 所 成的角为 ,直线的方向向量为,平面 的法向量为 ,则 , . 课 前 基 础 巩 固 7 3.二面角 （1）二面角的定义：从一条直线出发的____________所组成的图形 称为二面角. 两个半平面 （2）二面角的平面角的定义：如图，在二面角 的棱上任取一点,以点 为垂足，分别 在半平面 和 内作__________的射线和 , 则射线和 所成的角称为二面角的平面角. 垂直于棱 （3）二面角的范围：______. 课 前 基 础 巩 固 8 （4）求法： ①几何法：找到二面角的棱的一个垂面，即 可确定平面角，作二面角的平面角的常用方 法是在二面角的棱上任取一点，以点 为 垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射 线，，则射线和构成的 即 为二面角的平面角. 课 前 基 础 巩 固 9 ②向量法：若平面 , 的法向量分别是和,则平面 与平面 所成的角即为向量和的夹角或其补角.设平面 与平面 所成的 角为 ,则, （如图）. 特别注意：平面 与平面 相交,形成四个二面角,我们把这四个二 面角中__________的二面角称为平面 与平面 所成的角. 不大于 课 前 基 础 巩 固 10 常用结论 若平面 与平面 所成的角为,平面 内的直线与平面 所成角 为,则,当与 和 的交线垂直时，取等号. 课 前 基 础 巩 固 11 题组一 常识题 1.［教材改编］设直线的一个方向向量为，平面 的 一个法向量为 ，则直线与平面 所成角的正弦值为_ ____. [解析] 设直线与平面 所成的角为 ，则 . ◆ 对点演练 ◆ 课 前 基 础 巩 固 12 2.［教材改编］已知两个平面的法向量分别为 ， ，则这两个平面所成的角为____. [解析] ，,， ，故 这两个平面所成的角为 . 课 前 基 础 巩 固 13 3.［教材改编］如图所示，在棱长为2的正方体 中，是底面的中心，，分别是， 的中点，那么异面 直线与 所成角的余弦值为_ ___. 课 前 基 础 巩 固 14 [解析] 以 为坐标原点，建立如图所示的空 间直角坐标系，则， ， ，， ，， ， ，故异面直线 与所成角的余弦值为 . 课 前 基 础 巩 固 15 题组二 常错题 4.［忽视线面角取值范围出错］已知向量，分别是直线 的方向向 量和平面 的法向量，若，，则与 所成的角为 ____. [解析] 设与 所成的角为 ， ，， ， ，又 ， . 课 前 基 础 巩 固 16 5.［忽视异面直线夹角取值范围出错］如图，圆锥的高 ，底 面直径,是圆上一点，且，则与 所成角的余弦 值为_ __. 课 前 基 础 巩 固 17 [解析] 以 为原点，建立如图所示的空间直角坐 标系，则，， ， , 所以, , 所以,,则与 所成 角的余弦值为 . 课 前 基 础 巩 固 18 6.［忽视二面角取值范围出错］在长方体 中， ，，则与平面 所成角的正弦值为__， 二面角 的余弦值为____. 课 前 基 础 巩 固 19 [解析] 以 为坐标原点，建立如图所 示的空间直角坐标系，则 ， ，， ， ， ， . 设平面 的法向量为，则 即令，得 . 课 前 基 础 巩 固 20 设与平面所成的角为 ，则 ，， 即直线 与平面所成角的正弦值为 . 易知平面 的一个法向量为 ， ， . 由图可知，二面角 为钝角，故二面角 的余弦值为 . 课 前 基 础 巩 固 探究点一 异面直线所成的角 例1 如图，在长方体 中， ，，，分别是， 的 中点，则异面直线与 所成角的余弦值为 ( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 22 ［思路点拨］思路一：在长方体中建立空间直角坐 标系，利用向量法求异面直线所成的角； 思路二：在长方体中，通过补充新的长方体， 结合平行关系，将异面直线转化在同一平面中， 利用解三角形求异面直线所成的角. 课 堂 考 点 探 究 23 [解析] 方法一：以为坐标原点，以， ， 的方向分别为，， 轴的正方向，建立如 图所示的空间直角坐标系， 则 ，，， ， 所以,. 设异面直线 与所成的角为 ,则 .故选A. 课 堂 考 点 探 究 24 方法二：补充长方体 ， 如图所示，其中, 取为 的中点，为的中点， 连接,, , 则（或其补角） 即为异面直线 与所成的角. 由题知 , , ,所以 .故选A. 课 堂 考 点 探 究 25 [总结反思] 求异面直线所成角的方法: 1.定义法 定义法求异面直线所成角的步骤 （1）找或作：在图中找或平移异面直线中的一条或两条构造异面直 线所成的角. （2）证：说明所作的角是异面直线所成的角. （3）算：寻找或作出含有此角的三角形并解之. （4）取舍：因为异面直线所成角 的取值范围是 ，所 以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角. 课 堂 考 点 探 究 26 2.向量法 向量法又分为坐标法和基本向量法，利用公式 求出异 面直线的方向向量的夹角.若向量夹角是锐角或直角，则该角即为异 面直线所成角；若向量夹角是钝角，则异面直线所成的角为该角的 补角. 课 堂 考 点 探 究 27 变式题 在三棱锥中， 平面，， ， ，，为的中点，则异面直线与 所成角的 余弦值为( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 28 [解析] 由，， ，得， 所以 . 方法一：如图，取的中点，连接， ，则， 所以或其补角即为异面直线与 所成的角. 易知， ， ， ，所以. 在 中，根据余弦定理可得 ， 所以异面直线与所成角的余弦值为 .故选D. 课 堂 考 点 探 究 29 方法二：因为 平面，， 平面 ，所以，，故以 为坐标原 点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ， ，所以， . 与所成角为 ，则 .故选D. 课 堂 考 点 探 究 探究点二 直线与平面所成的角 例2 如图，在三棱台中，平面 平面， ， . （1）证明： ； 课 堂 考 点 探 究 31 证明：如图，过点作，交直线 于点 ，连接 . 由 ,得 ,由平面 平面得 平面 ，所以 . 由 ， 得 . 所以 平面，故.由三棱台得 ，所 以 . 课 堂 考 点 探 究 32 （2）求直线与平面 所成角的正弦值. 课 堂 考 点 探 究 33 解：方法一：过点作，交直线 于 点，连接 . 由三棱台得，所以直线 与平面所成角等于直线与平面 所成角. 由 平面得，故 平面， 所以 为直线与平面 所成角. 设.由， ，得， ，所以 , 因此，直线与平面所成角的正弦值为 . 课 堂 考 点 探 究 34 方法二：由三棱台得，所以直线与平面 所成角等于直线与平面所成角，记为 . 如图，以 为原点，分别以射线，为,轴的正半轴， 建立空间直角坐标系 . 设 .由题意知各点坐标如下：，，， . 因此,, . 课 堂 考 点 探 究 35 设平面的法向量 . 由即可取 . 所以, . 因此，直线与平面所成角的正弦值为 . 课 堂 考 点 探 究 [总结反思] （1）用几何法求线面角的三个步骤：一作（找）角，二证明，三计 算.其中作（找）角是关键，先找出斜线在平面上的射影，关键是作 垂线、找垂足，然后把线面角转化到三角形中求解.也可以利用等体 积法直接求出直线上一点到平面的距离，使问题得到解决. （2）对于建立空间直角坐标系比较方便的几何体,我们可以通过向量 法来解决；如果有特殊的几何背景,还可以通过补形等方法来解决. 课 堂 考 点 探 究 37 变式题 [2026·江苏南通质检] 如图， 已知圆台 的上、下底面半径分 别为3和6，母线与下底面所成的角 为 . （1）求圆台 的体积. 解：因为圆台 的上、下底面半径分别为3和6，母线与下底面所 成的角为 ，所以圆台的高为 ，所以圆台的体积 . 课 堂 考 点 探 究 38 （2）设，分别是圆台 的两条母线. （i）求证： ； 证明：由圆台的定义知，母线，的延长线相交于一点 ， 所以，，， 四点共面. 又因为圆面与圆面平行，平面与圆面交于直线 ， 平面与圆面交于直线，所以 . 课 堂 考 点 探 究 39 （ii）若 ，是圆上的动点，求直线与平面 所成角的正弦值的最大值. 课 堂 考 点 探 究 40 解：在圆面内作，垂足为 ， 以为坐标原点，以,, 的方向 分别为,, 轴的正方向，建立如图所 示的空间直角坐标系. 则，，， ， 由题可设，所以， ，. 课 堂 考 点 探 究 41 设平面的法向量为 ， 则即 取，则 . 设直线与平面所成的角为 ，则 , ，所以直线与平面 所成角的正弦值的最大值为 . 课 堂 考 点 探 究 探究点三 平面与平面所成的角 例3 如图，三棱柱的高为,,,分别是, , 的中点， 平面, . 课 堂 考 点 探 究 43 （1）证明：平面 ； ［思路点拨］取的中点，作出辅助线 , ，可得到四边形 为平行四边形，所以 ，进而可得平面 ， 由中位线得到，进而可得平面 ，进 而得到平面平面 ，从而可证明线面平行； 课 堂 考 点 探 究 44 证明：设的中点为，连接, ，如图， 因为是 的中点，所以且 ， 所以四边形 为平行四边形，所以 ， 又因为 平面, 平面 ， 所以平面 . 因为,分别是, 的中点， 所以, ，又，所以 ， 课 堂 考 点 探 究 45 又 平面, 平面 ，所以 平面 . 因为，, 平面 ， 所以平面平面 ， 又 平面，所以平面 . 课 堂 考 点 探 究 （2）求平面与平面 所成的角. ［思路点拨］证明出线面垂直，建立空间直角坐标系，求出平面 和平面 的法向量，从而利用面面角的余弦公式进行求解. 课 堂 考 点 探 究 47 解：因为 平面， 平面 ， 所以平面 平面， 如图，过点 作，垂足为， 所以 平面， 因为三棱柱的高为 ，所以. 因为 ，所以，又，为 的 中点，所以与 重合. 课 堂 考 点 探 究 48 以为坐标原点，,,所在直线分别为 轴、轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则,, ，所以 , . 由（1）知，平面平面 ，所以平面 的一个法向量为. 设平面 的法向量为 ，则 令，得. 课 堂 考 点 探 究 49 设平面 与平面所成的角为 ， 则 , ， 所以 ，故平面与平面 所成 的角为 . 课 堂 考 点 探 究 [总结反思] （1）求解二面角的大小问题,关键是要合理作出它的平面角,当找到 二面角棱的一个垂面时,即可确定平面角. （2）求解平面与平面所成角的大小问题时，对于建立空间直角坐标 系比较简便的几何体,我们可以直接利用向量求出两个平面的法向量, 并转化为求两个法向量的夹角来完成. 课 堂 考 点 探 究 51 变式题 [2024· 新课标Ⅰ卷] 如图，四棱锥中， 底面 ，，， . 课 堂 考 点 探 究 52 （1）若，证明：平面 ； 证明： 平面， 平面 ，. 又 ，,, 平面， 平面， 平面， . 在中，， . ，，，四点共面， ， 又 平面， 平面 ，平面 . 课 堂 考 点 探 究 53 （2）若，且二面角 的正弦值为 ,求 . 解：方法一：以为原点，以， 所在直线分 别为,轴，以过点且与平面 垂直的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 课 堂 考 点 探 究 54 设,则,,, , . ,,设平面 的法向量为 ，则 即 不妨令,则, ,故 课 堂 考 点 探 究 55 ,,设平面 的法向量为 , 则即 不妨令,则, ，故 二面角的正弦值为, 平面 与平面所成的角的 余弦值为 ，,，可得, . 课 堂 考 点 探 究 方法二：如图所示，过点作于 ，过 点作于，连接 平面， 平面， 平面 平面 ， 又平面 平面， ， 平面 . 又 平面，，又，， 平面，得， 根据二面角的定义可知， 即为二面角 的平面角， 课 堂 考 点 探 究 57 即 ，又为锐角， . 设，则 ，由等 面积法可得， ，则 ， 又 为等腰直角三角形， ，故 ，解得 ，即 . 课 堂 考 点 探 究 课时作业 59 1.若直线的一个方向向量为，平面 的一个法向量为 ，则与 所成的角为( ) A. B. C. D. [解析] 由已知得,，则, ，所 以与 所成的角为 .故选A. √ ◆ 基础热身 ◆ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 60 2.已知两平面的法向量分别为， ，则两平面 所成的角为( ) A. B. C. 或 D. [解析] 因为 ， ，， 所以, ， 所以两平面所成的角为 .故选A. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 61 3.如图，在正四面体中，点，， 分 别为棱，，的中点，则异面直线 ， 所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 62 [解析] 如图，连接，设正四面体 的 棱长为2， 因为,分别为, 的中点，所以 ，所以异面直线， 所成的角为 （或其补角）. 在 中，, ，由余弦定理可得 ，所以异面直线，所成角 的余弦值为 .故选A. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 63 4.在正方体中，是的中点，则与平面 所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 64 [解析] 如图，以为坐标原点，分别以 , , 所在直线为,, 轴建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为2，则, , ,，所以 , ,. 设平面 的法向量为 ，则 令 ，则 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 65 设与平面所成角为 ， 则, . 故选B. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 5.[2026·福建漳州调研]如图，在三棱锥 中， ，且平面与平面垂直，为 中 点，若，则平面与平面 所成的角的余弦值为( ) A. B. C. D.1 √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 67 [解析] 如图，连接, .因为, 为 中点，所以,， 又平面 平面，平面 平面 , 平面，所以 平面， 所以, , 两两垂直. 以为坐标原点，，，所在直线分别为,, 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则, , ,， 则, , . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 68 ，则 令，得,，则 . 设平面的法向量为 ，则 令，得 ,，则. 因为 ,，所以平面 与平面所成的角的余弦值为 .故选B. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 6.（多选题）在三棱台中， 平面 ， ，，.以 为坐标 原点，，，所在直线分别为，， 轴建立空间直角坐标 系，如图所示，则( ) A. B. C.异面直线与所成角的余弦值为 D.点到直线的距离为 √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 70 [解析] 根据题意可得，， ，则 ，故A正确； ，,,则 , 则 ， ，则 ， 因为，所以 ，故B正确； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 71 ，，则 ，， 设异面直线与 所成的角为 ，则 , ，故C错误； ，则点到直线的距离 ， 故D正确.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 7.如图是电商平台售卖的一种木制“升斗”，底部封闭，上部开口，把 该升斗看作一个正四棱台，尺寸如图所示，则该四棱台的侧棱与底 面所成角的余弦值为_ __. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 73 [解析] 如图所示，在正四棱台 中，设， 分别是底面 、底面的中心，连接 ， ,，过点作，垂足为 ， 底面， 该四棱台的侧棱与底面所成的角为 . 由题得， ，， ， ． 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 74 8.如图，在平行六面体中，已知 ， ，则直线与 所成角的余弦 值为_ __. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 75 [解析] 在平行六面体 中， ，. 记，则 ， ，，， 所以 , ，所以直线 与所成角的余弦值为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 76 9.如图，在四棱锥中，是以 为斜边的等腰直角三 角形，底面是等腰梯形，且， ， ，，为 中点. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 77 （1）求证： 平面 ； 证明：设，为中点， 是以 为斜边的等腰直角三角形， . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 78 如图，取的中点， 底面 是等腰梯形， ， 连接,， , , , ， , , 在中，,, . 在中，,, ， , ， ， 又,, 平面， 平面 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 79 （2）求直线与 所成角的余弦值； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 80 解：如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为,, 轴， 建立空间直角坐标系， 则,,,, , ,. 设直线与所成角为 ，则 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 （3）求平面与平面 所成的角的正弦值. 解：由（2）知，,， ,. 设平面的法向量是 ， 则即 令，则 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 82 设平面的法向量是 , 则即 令，则. 设平面与平面所成的角为 ,则 ， 故平面与平面所成的角的正弦值为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 10.[2023·全国乙卷]已知为等腰直角三角形， 为斜边， 为等边三角形，若二面角的平面角为 ,则直 线与平面 所成角的正切值为( ) A. B. C. D. √ ◆ 综合提升 ◆ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 84 [解析] 记的中点为，连接，，由题意可知 ， ，又,所以 平面， ， 又 平面，所以平面 平面. 在平面 中，过点作交的延长线于点， 则即为直线与平面 所成的角， 不妨设，则，得 , , ,所以 .故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 85 11.（多选题）如图，甲站在水库底面上的 点处，乙站在水坝斜面上的点 处，测得 从，到水库底面与水坝斜面的交线 A.水库底面与水坝斜面所成的二面角的余弦值为 B.水库底面与水坝斜面所成的二面角的余弦值为 C.直线与水库底面所成角的正弦值为 D.直线与水库底面所成角的正弦值为 的距离分别为，．又测得的长为， 的 长为 ，则( ) √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 86 [解析] 如图，作且 ，连接， 因为，所以四边形 是矩形， 所以，又 ，所以是水库底面与水坝斜面 所成的二面角的平面角， 因为 ,，所以，又，， , 平面，所以 平面， 又 平面 ，所以，则 ，所以 ， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 87 又， ，所以 ，故A错误，B正确； 由 为等腰三角形，得 ,则 , 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 设点到水库底面的距离为 ，则 ,所以 ，所以直线 与水库底面所成角的正弦值为,故C正确，D错误.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 12.[2026·浙江宁波九校期末]如图，是正方体 的 体对角线（含端点）上的动点，为棱 （含端点）上的动点， 则下列说法正确的是( ) A.异面直线与所成角的最小值为 B.异面直线与所成角的最大值为 C.对于任意给定的，存在点，使得 D.对于任意给定的，存在点，使得 √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 90 [解析] 方法一：以 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图. 设正方体的棱长为1，则 ，设 ， ，则. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 91 设异面直线与 所成的角为 ，则, ，令， , 因为 ，所以当时，取得最小值， 又当时，，当 时，， 所以，的值域为 ，所以， 又，所以 ，故A，B错误； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 ， 当 时，无解，故C错误； 对于D，，令 ，得， 即对于任意给定的，存在点 使得 ，故D正确.故选D. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 方法二：如图①，连接,异面直线与所成角为 ,连接 ,,设,易证平面 平面 , , 设,设， 由图②可求得, , ,， 所以 ,故A，B错误. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 如图③,设在平面内的射影为，在线段 上， 如图④，设是的中点，当点在线段 上时，存在 ,使得，由三垂线定理知，； 当 在线段上时，线段上不存在点，使得 ， 故C错误； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 对于任意点，在上选一点，当时，连接 ，则， 设,则由三垂线定理知，存在 ,使得 ，故D正确.故选D. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 13.（多选题）[2025·山东德州三模]在四棱锥 中，底面 是边长为1的正方形， 平面，且，，， 分别为棱,, 的中点，则( ) A. B.异面直线和所成的角为 C.平面与平面所成的角的正弦值为 D.过点，，的平面截四棱锥 所得的截面图形为五边形 √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 97 [解析] 如图①，以点为原点，,,所在直线分别为,, 轴， 建立空间直角坐标系，则,,, , ,. 对于A，, ， 则，所以，故A正确； 对于B，因为 是的中点，所以,又， 所以 , ， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 98 设和所成的角为 ，则 , ，又，所以 ，故B错误； 对于C，因为 平面，所以平面 的一个 法向量为，因为为棱的中点，所以 ，则 ，， 设平面的法向量为 ，则即 令，则， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 设平面与平面所成的角为 ，则, ，则，故C正确； 对于D，如图②，延长 与直线交于点，延长与直线交于点， 连接与交于点 ，连接与交于点，连接,， 则平面截四棱锥 的截面为五边形，故D正确. 故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 14.[2026·四川眉山质检] 在空间直角坐标系 中，过点 且一个法向量为的平面 的方程为 .已知平面 的方程为 ，直线是平面 与平面 的交线，则与 所成角的大小为__. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 101 [解析] 由题意可知平面 的一个法向量为，平面 的一 个法向量为，平面 的一个法向量为. 设直线 的方向向量为，则, , ，所以 即取，则. 设与 所成角为 ，则,,又， 所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 102 15.如图，圆锥的顶点为，点，，， 在 底面圆的圆周上，且， 的交点为圆心 ，，，，则平面 与平面所成的角的余弦值为__；若 是母线 上一点，且，是平面内一点，则 的周长的最小 值为_____. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 103 [解析] 由圆心为, 的交点，得 ，所以 四边形为矩形. 又， ，所以， 故矩形 为正方形. ，得，又，所以 为等腰直角三角形，故,. 如图，以 为坐标原点，,,所在直线分别为轴、轴、 轴，建立空间直角坐标系， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 104 则,, ,,, ， 所以,, . 设平面 的法向量为 ，则 取，则. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 设平面的法向量为 ，则 取 ，则. 因为 ,，所以 平面 与平面所成的角的余弦值为. 由四边形为正方形得 . 因为，，, 平面，所以 平面 ，且点与点关于平面对称. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 中，由余弦定理得 ，所以，故 的周长的最小值为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 16.[2023⋅ 新课标Ⅰ卷] 如图，在正四棱柱 中，，.点 ， ,，分别在棱，，， 上， ，， . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 108 （1）证明： ； 证明：方法一：如图①，作交 于 ，交于，连接 ，易知 ，且 ，所以四边形 是平行四边形，所以 . 因为， ， 所以四边形 是平行四边形，所以 ，所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 109 方法二：因为 ，,,,四点不共线，所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 110 （2）点在棱上，当二面角为 时，求 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 111 解：方法一：如图②，以为原点，以,,所在直线分别为 , ,轴，建立空间直角坐标系， 则，， ，设， 则， ， . 设, 分别为平面 ,的法向量，则 取 ，得，同理. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 112 由题得 ,， 整理得 ，解得或，则 . 方法二：如图③，连接，易证四边形 为菱形，连接，设与相交于点 . 因为二面角为 ， 所以直线与平面 所成的角为 ，易知，所以点到平面 的距离. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 113 连接，，，， ，由， 得，由 ，得， 又，所以 平面 . 因为二面角为 ， 所以与平面所成的角为 ， 易知，所以点到平面 的距离 .所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 又到平面和平面的距离都为2（平面 和平面 为同一个平面）， 所以，所以，解得 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 17.[2025·河北保定三模] 如图，圆台 的下 底面的内接正方形的边长为4， 是上底面 圆周上的一点，且满足 ， . ◆ 能力拓展 ◆ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 116 （1）证明： 平面 ； 证明：因为， ，所 以，所以 . 由四边形为正方形，得 ，又 ，， 平面 ，所以 平面 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 117 （2）求三棱锥 的外接球的表面积； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 118 解：由 平面， 为等边三角形， 可将三棱锥补成正三棱柱 ， 如图①. 设的中心为，的中心为 ，则 的中点为外接球球心，所以 的外接 圆半径， ， 所以外接球的半径 ， 所以三棱锥的外接球的表面积 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 119 （3）是的中点，是上底面圆周上的一点，求异面直线 与 所成角的余弦值的最大值. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 120 解：以为坐标原点，分别以, 所在直线 为, 轴，建立如图②所示的空间直角坐标系， 则,, . 设，连接 ， 由 平面， 平面 ，得平面 平面 ， 则点到的距离为，又 ，所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 121 ， ， 设异面直线,所成角为 ，则 ，所以 （当且仅当 时取等号）， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 所以 ， 所以异面直线与 所成角的余弦值的最 大值为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 $