第7单元 07 第45讲 空间向量及其运算和空间位置关系（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

该高中数学高考复习课件聚焦“空间向量及其运算和空间位置关系”专题，依据课标要求梳理了空间向量概念、运算、基本定理及空间位置关系的向量表示，对接高考评价体系分析了空间向量基本定理、数量积运算、平行垂直证明等高频考点，归纳了线性运算表示、共线共面判定等常考题型。 课件亮点在于“基础巩固+考点探究+分层作业”的系统复习策略，通过教材改编题和高考模拟题训练，如用坐标法求法向量证明线面平行，培养学生的推理能力和模型观念。特设易错点分析和解题模板，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学，提升复习效率。

第45讲 空间向量及其运算和空间位 置关系 1 课前基础巩固 课堂考点探究 课时作业 2 1.理解空间向量的概念,掌握空间向量基本定理及其意义,掌握空间向 量的正交分解及其坐标表示. 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示. 4.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义. 5.能够借助空间向量解决向量的共线、共面问题以及平行垂直问题. 课 标 要 求 3 ◆ 知识聚焦 ◆ 1.空间向量的有关概念 名称 语言描述 空间向量 空间中既有______又有______的量 相等向量 方向______且大小______的向量 相反向量 大小______而方向______的向量 共线向量（或平行向量） 两个非零向量的方向______________ 共面向量 空间中的多个向量，表示它们的有向线 段通过平移之后，都能在____________ 大小 方向 相同 相等 相等 相反 相反或者相同 同一平面内 课 前 基 础 巩 固 4 2.空间向量的有关定理 （1）共线向量基本定理：如果且,则存在唯一的实数 , 使得 . （2）平面向量基本定理：如果平面内两个向量与 不共线，则对该 平面内任意一个向量，存在唯一的实数对,使得 . （3）空间向量基本定理 如果空间中的三个向量,, 不共面，那么对空间中的任意一个向量 ，存在唯一的有序实数组，使得 _____________. 课 前 基 础 巩 固 5 3.两个向量的数量积 （1）___________（ 为, 的夹角）. （2） _________（, 为非零向量）. （3）____;设,则 . 课 前 基 础 巩 固 6 4.向量的坐标运算 设, 向量和 ________________________ 向量差 ________________________ 数量积 __________________ 共线 _________________________, ,, 课 前 基 础 巩 固 7 垂直 ______________________ 距离 公式 已知,,则 __________________________________ 夹角 公式 , 续表 课 前 基 础 巩 固 8 5.空间位置关系的向量表示 （1）直线的方向向量：如果是空间中的一条直线， 是空间中的一 个非零向量，且表示的有向线段所在直线与平行或重合，则称 为 直线 的一个方向向量. （2）平面的法向量：如果 是空间中的一个平面， 是空间中的一 个非零向量，且表示的有向线段所在的直线与平面 垂直，则称 为平面 的一个法向量. 课 前 基 础 巩 固 9 位置关系 向量表示 直线， 的方向向量 分别为， 直线 的方向向量为，平面 的法向量为， 平面 ， 的法向量 分别为， （3）空间位置关系的向量表示#3.3 课 前 基 础 巩 固 10 常用结论 1.已知为线段的中点，若,，则点 的坐标为 . 2.三点共线：在平面中,, 三点共线的充要条件是 （其中）, 为平面内任意一点. 3.在空间中,为平面外一点，,,, 四点共面的充要条件是 （其中 ）. 课 前 基 础 巩 固 11 ◆ 对点演练 ◆ 题组一 常识题 1.［教材改编］若，， }为空间向量的一组基底，则下列各组向 量中，能构成空间向量的一组基底的共有___个. ，，；，， ； ，，；，， . 1 [解析] 与，共面， 不正确. 课 前 基 础 巩 固 12 2.［教材改编］如图所示，在平行六面体 中，为与 的 交点.若，， ，则 ______________（用向量，， 表示）. [解析] . 课 前 基 础 巩 固 13 3.［教材改编］已知直线，的方向向量分别为 ， ，若，则 ____. 10 [解析] ，，，解得 . 课 前 基 础 巩 固 14 题组二 常错题 4.［忽略向量共线与共面的区别］给出下列命题: ①若向量,共线,则向量, 所在的直线平行; ②若三个向量,,两两共面,则向量,, 共面; ③已知空间的三个向量,,,则对于空间的任意一个向量 ,总存在实 数,,使得 ; ④若,,,是空间任意四点,则有 . 其中为真命题的是____.（填序号） ④ 课 前 基 础 巩 固 15 [解析] 若与共线,则, 所在的直线可能平行也可能重合, 故①为假命题; 三个向量,, 中任意两个一定共面,但它们三个却不一定共面, 故②为假命题; 只有当,,不共面时,空间任意一个向量 才一定能表示为 ,故③为假命题; 根据向量的运算法则可知④为真命题.故填④. 课 前 基 础 巩 固 16 5.［忽视向量夹角与其余弦值的对应关系］若 , ,与的夹角为 ，则 的值为________. 17或 [解析] ，，与的夹角为 ， ，解得或 . 课 前 基 础 巩 固 17 探究点一 空间向量的线性运算 例1（1）如图，在四面体中， ， ，，且， ， 则 ( ) A. B. C. D. ［思路点拨］观察空间图形，根据几何关系，结合向量的线性运算， 即可求解； √ 课 堂 考 点 探 究 18 [解析] 如图，连接，因为 ，所以 ， 因为 ，所以， 所以 .故选C. 课 堂 考 点 探 究 19 （2）在空间直角坐标系中，已知点，， ， 若,,三点共线，则 的值为( ) A. B. C.0 D.1 ［思路点拨］分别求向量坐标，再利用三点共线得关于参数的方程 组，解方程组，求出,的值，即可得 . [解析] 由题可知, ， 因为, ,三点共线，所以,， 解得, ，所以 .故选A. √ 课 堂 考 点 探 究 20 [总结反思] 在向量的线性运算中,有以下几个关键点: （1）结合图形,以图形为指导是解题的关键,明确图形中各棱（线段） 的几何关系; （2）正确运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义; （3）平面向量的三角形法则、平行四边形法则在空间向量中仍然成立. 课 堂 考 点 探 究 21 变式题 如图，在直三棱柱 中， ，分别为棱，的中点.设 ， ，，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 在直三棱柱中，，分别为棱， 的中 点，则 .故选D. √ 课 堂 考 点 探 究 22 探究点二 空间向量基本定理及其应用 例2 如图所示，在平行六面体中， ， 分别在和上，， . （1）求证：，，， 四点共面； ［思路点拨］利用共面向量定理，即可证明 ，，， 四点共面； 课 堂 考 点 探 究 23 证明： ， ，，， 四点共面. 课 堂 考 点 探 究 24 （2）若 ，求 的值. ［思路点拨］把 作为一个基底， 结合向量的线性运算即可求解. 解： ， ，， ， . 课 堂 考 点 探 究 25 [总结反思] （1）证明空间三点,, 共线的方法: ; ②对空间任意一点, ; ③对空间任意一点, . 课 堂 考 点 探 究 26 （2）证明空间四点,,, 共面的方法: ① ; ②对空间任意一点, ; ③对空间任意一点（,,, 不共面）, ; ④（或或 ）. 课 堂 考 点 探 究 27 变式题（1）已知,,, 为空间中四点，任意三点不共线，且 ，若,,,四点共面，则 的值为 ( ) A.2 B.1 C. D.0 [解析] 由,,,四点共面，得，即 .故选C. √ 课 堂 考 点 探 究 28 （2）设，是两个不共线的空间向量，若 ， ，，且，，三点共线，则实数 的值为__. [解析] ， ， ， ，，三点共线， ， 又，不共线，，， ， . 课 堂 考 点 探 究 29 探究点三 空间向量数量积及其应用 例3（1）如图，已知正四面体 的所有棱 长都等于2，，分别是， 的中点，则 ( ) A.2 B. C.3 D. ［思路点拨］利用空间向量基本定理，用, ,表示, ， 即可求出 ； √ 课 堂 考 点 探 究 30 [解析] 由题知， ， ， 所以 .故选B. 课 堂 考 点 探 究 31 （2）如图，在四棱柱 中，底 面为平行四边形，以顶点 为端点的三条棱长 都为1，且两两之间的夹角为，则 的值为 ( ) A. B. C. D. ［思路点拨］记,, ，根据空间向量的线性运算 表示出 ，根据向量模的计算即可得结果. √ 课 堂 考 点 探 究 32 [解析] 记,, ， 则,,,, ， 所以 . 所以 .故选D. 因为， 所以 ， 课 堂 考 点 探 究 33 [总结反思] 空间向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用 模与夹角直接计算，二是利用坐标运算. 课 堂 考 点 探 究 34 变式题（1）在空间直角坐标系中，向量 在平 面上的投影向量为，在向量上的投影向量为 ， 则与 的夹角为( ) A. B. C. D.与 有关 √ [解析] 因为向量在平面上的投影向量为 ， 所以. 因为向量在向量 上的投影向量为， 所以， 所以 ,，所以与的夹角为 .故选A. 课 堂 考 点 探 究 35 （2）如图，在正四面体中，, 为 的中点，点在棱上，且 ，则 , 两点之间的距离为( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 36 [解析] 设，， ， 则 ， 为 的中点， ， 课 堂 考 点 探 究 37 ， 根据题意可知 ， 同理， ， 代入上面式子，得 .故选C. 课 堂 考 点 探 究 探究点四 利用空间向量证明平行或垂直 例4 利用空间向量知识完成本题. （1）如图①，在长方体 中， ,,.线段 上是否存在点 ，使得平面 ? ［思路点拨］取线段的中点，以 为原点 建立空间直角坐标系，用向量法求解线面关系 即可. 课 堂 考 点 探 究 39 解：以为坐标原点，,, 所在直线分 别为，， 轴，建立如图所示的空间直角坐 标系，则，， ， ， . 设为线段的中点，则. 设平面 的法向量为， 由， ，得 课 堂 考 点 探 究 40 令，得，，则 . ， 因为 ， 所以, 又 平面 , 所以线段上存在中点，使得平面 . 课 堂 考 点 探 究 （2）如图②，在平行六面体 中， , ，求证： 直线 平面 . ［思路点拨］设，， ， 以它们为基底表示出，， ，结合已知并应用向量数量积 的运算求证垂直，即可证得结论. 课 堂 考 点 探 究 42 证明：设，， ， 则{, , }为空间的一个基底， 则，， . 因为 , ，所以 ， . 因为 ， ， ， 所以是平面 的一个法向量，所以直线 平面 . 课 堂 考 点 探 究 43 [总结反思] （1）利用向量证明平行问题 ①线线平行:方向向量平行. ②线面平行:平面外直线的方向向量与平面的法向量垂直. ③面面平行:两平面的法向量平行. 课 堂 考 点 探 究 44 （2）利用向量法证垂直问题的类型及常用方法. 线线垂直问题 证明两直线的方向向量互相垂直,即证它们的数量积 为零 线面垂直问题 直线的方向向量与平面的法向量共线,或利用线面垂 直的判定定理转化为证明线线垂直 面面垂直问题 两个平面的法向量垂直,或利用面面垂直的判定定理 转化为证明线面垂直 课 堂 考 点 探 究 45 变式题 如图①，在中， ， ， 为中点，于，延长交于，将沿 折起， 使平面 平面 ，如图②所示. （1）证明： 平面 . 课 堂 考 点 探 究 46 证明： 平面 平面，且平面 平面 ， ， 平面 , 平面 . 课 堂 考 点 探 究 47 （2）在线段上是否存在点，使得平面 ?若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由. 课 堂 考 点 探 究 48 解：假设在线段上存在点使得 平面 . 由（1）知 平面，则 ， 又,，，， 两两垂直. 以为坐标原点，分别以，， 所在直线 为,, 轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设,则 ，，, ，则 ，,,,， 所以 , . 课 堂 考 点 探 究 49 设平面的法向量为 , 则即 令 ，则 . 设，其中 ， ，，其中 ， ， 课 堂 考 点 探 究 由 ，即 ， 解得 ， 故在线段上存在点， 使得平面 ，且 . 课 堂 考 点 探 究 课时作业 52 ◆ 基础热身 ◆ 1.已知，， 三点在同一条直线上，则 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 [解析] 因为，， ， 所以，， 又，， 三点共线，所以，解得，， 所以 .故选C. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 2.[2025·北京延庆区期末]如图，几何体 是棱长都为2的直平行六面体， 且 ，则线段 的长为( ) A.16 B. C.4 D. [解析] 由题可知， 是棱长都为2的直平行六面体， 则,，且 ， 由，可得 ，所以 .故选C. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 3.已知点,,,为空间不共面的四点，且向量 ， 向量，则与, 不能构成空间的一个基底的向量 是( ) A. B. C. D.或 [解析] ， 与， 不能构成空间的一个基底.故选C． √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 4.已知正四面体的棱长为1，点在上，且， 点 为的中点，则用基底,, }表示为( ) A. B. C. D. [解析] 因为为的中点，所以 ， 所以，则 ， 所以 .故选D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 5.如图所示，在平行六面体 中， , ，则 的值为( ) A.1 B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 [解析] 因为 ， ，所以 .故选A. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.（多选题）下面四个结论中正确的是( ) A.点关于平面对称的点的坐标是 B.若，则向量, 的夹角是钝角 C.若对空间中任一点，有,则,,, 四点 共面 D.若{,,}是空间的一个基底，则{,, }也是空间的一 个基底 √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 [解析] 对于A，点关于 平面对称的点的坐标是 ，故A正确； 对于B，当,反向时， ， 此时向量,的夹角为 ，不是钝角，故B错误； 对于C，因为对空间中任一点，有， 且 ，所以,,, 四点共面，故C正确； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 对于D，设，即 ， 则解得 故,, 共面， 不能构成空间的一个基底，故D错误.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知向量，，则向量在向量 上的投影向 量是_ _______. [解析] 向量在向量 上的投影向量为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 62 8.在平行六面体 中， ，， ，则异面直线与 所成角 的余弦值为__. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 63 [解析] 在平行六面体中，， 则 是异面直线与 所成的角或其补角. . 由，可得 . 在 中，由余弦定理得 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.如图，在正三棱柱中，， ，点为 的中点，点为棱 上一点. （1）若平面 平面直线 ，求证： ； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 65 证明：连接交于点，连接 . 因为，分别为，的中点，所以 ， 又 平面， 平面 ， 所以平面 ， 又 平面，平面 平面 直线，所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 66 （2）当平面 平面时，求 的长度. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 67 解：取的中点，连接, . 以为坐标原点，，， 所在直线分别为 轴、轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ， 设，则，可得 ， ， ， . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 68 设平面的法向量为 ， 则 令，得 . 设平面的法向量为 ， 则 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 69 令，得 . 因为平面 平面，所以 ， 则， 解得或 ，所以 的长度为1或2. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ◆ 综合提升 ◆ 10.若正四面体的棱长为4，点满足 ，则 的最大值为( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 71 [解析] 将正四面体 补成正方体， 以点为坐标原点，， ，所在直线分别为 ，， 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为正四面体 的棱长为4， 所以正方体的棱长为 ， 则，， ， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 72 ， 化简得 ， 因为 ， 所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设 ， ， ， 则 ， 所以的最大值为 .故选D. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.在正方体中，点,分别在, 上，且 ，则下列说法错误的是( ) A.直线与所成的角为 B. C.,,,四点共面 D.平面 √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 75 [解析] 对于A，由正方体的性质可知， 即为直线与 所成的角， ，故直线与 所成的角 为 ，故A中说法正确； 对于B，如图，设正方体的棱长为1， 以 为坐标原点，,,所在的直线分别为, , 轴建立空间直 角坐标系，则, ,, ,, , ,， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 76 设 ，则， 因为, , 所以 ， 则， 所以 ，， 因为， 所以 ，即 ，故B中说法正确； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于C，当时，点即点，点 即点， 此时满足，显然与 为异面直线， 故与为异面直线，即,, , 四点不共面， 故C中说法错误； 对于D，由正方体的性质知 平面 ， 所以为平面 的一个法向量， 由选项B的证明可知， 又 平面，所以平面 ，故D中说法正确.故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.（多选题）在正三棱柱中，， 是 的中点，是棱 上的动点，则( ) A. B.正三棱柱的体积为 C.若，则 D.直线与 是异面直线 √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 79 [解析] 因为 平面， 平面 ， 所以 ，故A正确； 正三棱柱 的体积 ，故B错误； 取的中点，连接 ， 因为，， 所以四边形 为平行四边形，所以， 因为 平面，所以 平面， 又因为, 平面，所以， ， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 80 因为，为的中点，所以 ， 设，以 为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ,,, ， 所以, ， 若，则，解得 ， 所以，故C正确； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ,, ， 设 ， 则 ， 即,, ， 解得, ,， 与矛盾，所以,, 不是共面向量， 所以与 是异面直线，故D正确.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知空间四点，，， 构成梯形， 则实数 的值为___. 4 [解析] 因为空间四点构成梯形，所以四点首先共面， 则 ， 即 ， 所以解得 当时，, ，所以，即， 且，此时四边形 为梯形，所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 83 14.如图，在平行六面体 中，为的中点，， 交平 面于点，则 的值为__. [解析] 设， 其中， 因为为 的中点，，所以, , 所以，则. 因为 ,, ,四点共面，所以，解得 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 84 15.如图，在四棱锥中， 平面， ，，，， ，为 的中点， . （1）证明： ； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 85 证明：由题意知, ， 因为 ，所以， 因为 平面， 平面，所以 ， 又, 平面， ，所以 平面 ， 又 平面，所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 （2）若为线段上一点，且,,, 四点 共面，求三棱锥 的体积. 解：因为 平面，, 平面 ， 所以, ， 又，所以,,两两垂直， 如图,以 为坐标原点，,,的方向分别为， ， 轴的正方向建立空间直角坐标系， 则,,,, ， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 87 所以,,, . 设平面的法向量为 ， 则 不妨令，则 ,，所以 . 设, ， 则 ， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为,,,四点共面， 所以 ， 解得 ，即 ， 所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ◆ 能力拓展 ◆ 16.（多选题）如图所示的立体图形为正八面体，其棱长为1， 为棱 上的动点（包括端点），则( ) A. B. C.当时，直线与直线的夹角为 D. √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 90 [解析] 对于A，由题意知，该正八面体由两个 正四棱锥组成， 易知正四棱锥的高为 ， 所以该正四棱锥的体积为 ， 所以该正八面体的体积为，故A错误； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 91 对于B，将 ,展开铺成一个平面，如图①， 当,,三点共线时， 取得最小值， 此时在中，, ， 由余弦定理得 ，则 ，故B正确； 对于C，建立如图②所示的空间直角坐标系 ， 则,,, , ,， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设 ，，得 , ，则 ， 所以 ,， 由 ，得 ，解得，即点与点重合， 此时 ,， 设直线与 的夹角为， 则 ，解得 ，故C正确； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于D，由选项C知，, , ， 所以,， 由 ，知， 即 ，故D错误.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $