第7单元 04 第44讲 直线、平面垂直的判定与性质（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

该高中数学高考复习课件聚焦“直线、平面垂直的判定与性质”专题，依据课标要求梳理线线、线面、面面垂直的判定定理与性质定理，明确转化关系及证明要求。对接高考评价体系，分析近五年高频考点分布，其中线面垂直判定占35%、面面垂直性质占30%，归纳选择、填空、解答题三类常考题型，构建完整知识网络。 课件亮点在于“分层突破+真题训练+素养提升”的备考设计，如以四棱锥线面垂直证明为例，运用判定定理结合空间观念分析线线垂直条件，培养逻辑推理素养。课时作业含教材改编题与高考模拟题，设易错点警示（如忽视相交直线条件），帮助学生掌握转化技巧，教师可据此精准定位薄弱环节，提升复习效率。

第44讲 直线、平面垂直的判定与性质 1 课前基础巩固 课堂考点探究 课时作业 2 1.从立体几何的有关定义和基本事实出发,了解空间中直线与直线、 直线与平面、平面与平面垂直的性质定理与判定定理,并能够证明相 关性质定理. 2.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题. 课 标 要 求 3 ◆ 知识聚焦 ◆ 1.直线与平面垂直 （1）直线和平面垂直的定义 一般地，直线与平面 相交于一点，且对平面 内______一条过点 的直线，都有______，则称直线与平面 垂直（或是平面 的 一条垂线， 是直线的一个垂面，记作 ，其中点 称为垂足）. 任意 课 前 基 础 巩 固 4 （2）直线与平面垂直的判定定理与性质定理 类别 文字语言 图形表示 符号语言 判定 定理 如果一条直线与一个平面 内的______________垂 直,则这条直线与这个平 面垂直 性质 定理 如果两条直线垂直于 _____________，那么这 两条直线平行 两条相交直线 同一个平面 课 前 基 础 巩 固 5 2.平面与平面垂直 （1）平面与平面垂直的定义 一般地，如果两个平面 与 所成角的大小为 ,则称这两个平面 互相垂直，记作 . 课 前 基 础 巩 固 6 （2）两个平面垂直的判定定理与性质定理 类别 文字语言 图形表示 符号表示 判定 定理 如果一个平面经过另外一个 平面的一条______,则这两个 平面互相垂直 ___________________________ ____________ 性质 定理 如果两个平面互相垂直,那么 在一个平面内垂直于它们的 ______的直线______于另一 个平面 ___________________________ ____________ 垂线 交线 垂直 课 前 基 础 巩 固 7 常用结论 1.与线面垂直相关的常用结论： （1）两条平行直线中的一条直线与一个平面垂直，则另一条直线也 与这个平面垂直； （2）一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个平面也垂直； （3）过空间一点有且仅有一条直线与已知平面垂直； （4）过空间一点有且仅有一个平面与已知直线垂直. 课 前 基 础 巩 固 8 2.三种垂直关系的转化： 线线垂直线面垂直 面面垂直 3.三垂线定理及逆定理 （1）定理:如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的 射影垂直,则它也和这条斜线垂直. （2）逆定理:如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则 它也和这条斜线在该平面内的射影垂直. 课 前 基 础 巩 固 9 ◆ 对点演练 ◆ 题组一 常识题 1.［教材改编］如图，已知 垂直于菱形 所在的平面，连接，，， ， ，则一定互相垂直的平面有___对，与 垂直的直线有___条. 4 3 课 前 基 础 巩 固 10 [解析] 由 平面，得平面 平面，平面 平面 ，平面 平面. 因为， ，， 所以 平面 ，所以平面 平面， 故互相垂直的平面有4对. 与 垂直的直线有，， ，共3条. 课 前 基 础 巩 固 11 2.［教材改编］若平面 平面 ，且 ，则下列说法中正 确的序号是____. ①平面 内的直线必垂直于平面 内的任意一条直线； ②平面 内的直线必垂直于平面 内的无数条直线； ③平面 内的任意一条直线必垂直于平面 ； ④过平面 内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面 . ② 课 前 基 础 巩 固 12 [解析] 在①中，如图甲， ， ，且，与 都不垂直， 则，不一定垂直，故①错误； 在②中，如图乙， ， ，，则 ，所以 内所 有与平行的直线都与 垂直，故②正确； 在③中，如图丙， ，但与不垂直，则与 不垂直，故③错误； 在④中，如图丁，若不在 内，则与 不垂直，故④错误.故填②. 课 前 基 础 巩 固 13 3.［教材改编］在三棱锥中，点在平面上的射影为点 . （1）若，则点是 的____心； 外 [解析] 如图①，连接，， ， 在，和 中， ，所以， 即 为 的外心. 课 前 基 础 巩 固 14 （2）若，，，则点是 的____心. 垂 [解析] 如图②，延长，，，分别交 ， ，于点，，. 因为， ，， ， 平面，所以 平面， 又 平面，所以 ， 因为，，， 平面 ， 所以 平面， 又 平面，所以，即 为的边上的高. 同理可得，分别为的边， 上的高， 所以为 的垂心. 课 前 基 础 巩 固 15 题组二 常错题 4.［证明线面垂直时,易忽视平面内两条直线为相交直线这一条件］ “直线与平面 内的无数条直线都垂直”是“直线与平面 垂直”的 ____________条件.（填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”） 必要不充分 [解析] 根据直线与平面垂直的定义知，“直线与平面 内的无数条 直线都垂直”不能推出“直线与平面 垂直”,反之则可以,所以应填必 要不充分. 课 前 基 础 巩 固 16 5.［忽略线面垂直、面面垂直的条件致误］已知, 是两条不同的直 线, , 是两个不同的平面,现有以下说法: ①若 , , ,则 ; ②若 , , ,则 ; ③若, , ,则 ; ④若 , , ,则 ; ⑤若 , , ,则 . 其中正确说法的序号为______. ②③ 课 前 基 础 巩 固 17 [解析] 在①中,若 , , ,则与 平行或异面, 故①错误; 在②中,若 , ,则 ,又 ,所以 ,故②正确; 在③中,若, ,则 或 , 又 ,所以 ,故③正确; 在④中,若 , , ,则与 平行、相交或异面，故④错误； 在⑤中,若 , , ,则, 平行、相交或异面，所以⑤错 误.故填②③. 课 前 基 础 巩 固 18 6.［面面垂直的判定中找不到哪个面和哪条线垂直］如图所示,已知 四棱锥的底面是边长为的正方形, , ,则它的5个面中,互相垂直的面有___对. 5 课 前 基 础 巩 固 19 [解析] 由底面是边长为 的正方形, ,,得, , 又，所以 底面 , 由 平面, 平面 , 可得平面 平面,平面 平面. 又, ，所以 平面, 又 平面，所以平面 平面 . 由,,，得 平面, 又 平面，所以平面 平面. 由,得 平面 ,又 平面，所以平面 平面 . 故共有5对互相垂直的面. 课 前 基 础 巩 固 20 7.［注意排除由平面到空间的思维定势的影响］在 中, ,为平面外的一点,且,则平面 与 平面 ______（填“一定”或“不一定”）垂直. 一定 [解析] 因为,所以点在平面内的射影为 的外心, 因为 ,所以为的中点,所以在平面 内, 所以平面 平面 . 课 前 基 础 巩 固 21 探究点一 垂直关系的基本问题 例1（1）[2025·黑龙江黑河龙西北名校联盟调研] ， 是两个不同 的平面， ，则“ ”是“ ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ［思路点拨］利用面面垂直的判定定理与性质定理，即可判断充分 性及必要性; √ 课 堂 考 点 探 究 22 [解析] 若 ，设，当与 不垂直时，不能得到 ，故充分性不成立； 若 ，由 ，可得 ，故必要性成立. 综上所述，“ ”是“ ”的必要不充分条件，故选B. 课 堂 考 点 探 究 23 （2）如图所示，为圆的直径，垂直于圆 所 在的平面，为圆周上不与点， 重合的点， 于点，于点 ，则下列说法不正确 的是( ) A.平面 平面 B.平面 平面 C.平面 平面 D.平面 平面 ［思路点拨］利用线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理判断 即可. √ 课 堂 考 点 探 究 24 [解析] 平面, 平面， 平面 平面，故D中说法正确. 平面,, 又,, 平面, 又 平面， 平面 平面，故C中说法正确. 平面 , , ,, 平面, 又 平面， 平面 平面 ，故A中说法正确. 课 堂 考 点 探 究 25 对于B,假设平面 平面, 平面， 平面，, 平面 平面,平面 平面 , 平面，, ， ， 平面, 又 平面, , ,， 平面 ，与 平面 矛盾， 故B中说法不正确.故选B. 课 堂 考 点 探 究 [总结反思] 解决线、面位置关系判定的问题一般是利用正方体模型或画图分析 解决,其实最好的办法是笔当线,纸、手掌当面动态演示. 课 堂 考 点 探 究 27 变式题（1）已知,是两条直线， , 是两个平面，则能推出“ ”的一个条件是( ) A. , B. , C., D., [解析] 对于A选项，当 ， 时， ，故A选项正确； 对于B选项，当 ， 时，直线与平面 可能平行、相交或 ，故B选项错误； 对于C选项，当， 时，直线 与平面 可能平行、相交或 ，故C选项错误； 对于D选项，当， 时，直线与平面 可能平行、相交 或 ，故D选项错误.故选A. √ 课 堂 考 点 探 究 28 （2）[2025·北京西城区调研]在长方体 中， ， .给出下列四个结论： ；； 平面； 平面 . 其中正确的结论是( ) A.①③ B.②③ C.①④ D.②④ √ 课 堂 考 点 探 究 29 [解析] 在长方体中，因为 ，， 所以底面是长、宽不相等的长方形，所以 与不垂直. 因为 平面，所以由线面垂直的性质可知 与平面不垂直， 因为 平面， 平面 ，所以. 因为，所以与 不垂直，故①错误. 因为 ， 所以， 因为 平面， 平面，所以， 又，所以四边形 是正方形，所以，故②正确. 课 堂 考 点 探 究 30 因为，所以 ， 因为四边形是正方形，所以， 因为 ，且, 平面， 所以 平面 ，故③正确. 因为四边形是长、宽不相等的长方形，所以与 不垂直， 由线面垂直的定义可知，与平面 不垂直，故④错误.故选B. 课 堂 考 点 探 究 探究点二 线面垂直的判定与性质 例2 如图，在四棱锥中， 是等边三 角形，四边形是矩形，且， 是 的中点，是的中点.证明： 平面 . ［思路点拨］思路一：取的中点，连接，则 ，连接 ，，则，从而 平面，进而得到 ， 再证即可. 思路二：要证，，只需连接 ，，再证， 即可. 课 堂 考 点 探 究 32 证明：方法一：取的中点，连接，， ，如图. 因为四边形是矩形，，分别是， 的 中点，所以，所以. 因为 是等边三角形，所以. 因为，所以 平面 . 因为 平面，所以. 因为 ，所以 ，所以 是等腰三角形. 因为是的中点，所以 . 因为，， 平面，所以 平面 . 课 堂 考 点 探 究 33 方法二：不妨设，则. 如图，连接 ，， 因为为的中点，所以， 所以 ，. 又为的中点，所以， . 因为，， 平面，所以 平面 . 课 堂 考 点 探 究 [总结反思] 解决直线与平面垂直问题的常用方法: （1）线面垂直的判定定理: ,, , , . （2）面面垂直的性质定理: ,, , . （3）性质:, ; , . 课 堂 考 点 探 究 35 变式题 如图，平行六面体中，底面 是边长 为2的正方形，为与的交点，, , .证明： 平面 . 课 堂 考 点 探 究 36 证明： 底面 是边长为2的 正方形，， . 平行六面体 中， . 在 中， ， ，， 由余弦定理得， 可得 ， ，. 课 堂 考 点 探 究 37 如图，连接， ， 在与 中， ， ， ， ， ，即 为等腰三角形， 又为 的中点， . 平面， 平面，， 平面 . 课 堂 考 点 探 究 探究点三 面面垂直的判定与性质 例3 [2026·辽宁辽阳期末] 如图，在正三棱柱 中，,分别为, 的中点， , . （1）证明： ； 课 堂 考 点 探 究 39 证明：因为三棱柱 为正三棱柱， 所以平面 平面 . 因为为正三角形，为 的中点， 所以 ， 又平面 平面， 平面 ，所以 平面 ， 因为 平面，所以 . 课 堂 考 点 探 究 40 （2）证明：平面 平面 . 证明：因为，，,分别为, 的中点，所以，， 所以 ， 所以， 所以 ， 又，, 平面，， 所以 平面 ， 又 平面 ，所以平面 平面 . 课 堂 考 点 探 究 41 [总结反思] 1.判定面面垂直的方法: （1）面面垂直的定义; （2）面面垂直的判定定理 （一般在一个平面 内找交线的垂线,证此线与另一平面垂直）. 2.在已知面面垂直时,一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交 线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直. 课 堂 考 点 探 究 42 变式题 在四边形中，,, , ，如图①.将延所在直线折起，使平面 平面，构成三棱锥，如图②，则在三棱锥 中， 下列结论不正确的是( ) A. B. C.平面 平面 D.平面 平面 √ 课 堂 考 点 探 究 43 [解析] 对于B，在四边形中，因为, ， 所以 ， 因为 ， ，所以 ， 所以 ， 在翻折过程中，未发生变化，故在三棱锥 中，， 故B中结论正确； 课 堂 考 点 探 究 44 对于A，由B选项知 ， 又因为平面 平面， 平面，平面 平面 ，所以 平面， 因为 平面 ，所以，故A中结论正确； 课 堂 考 点 探 究 45 对于C，由选项A知， 平面 ，因为 平面， 所以平面 平面 ，故C中结论正确; 对于D，过点作，垂足为，因为平面 平面 ， 平面，平面 平面，所以 平面 ， 显然 平面，所以平面与平面 不垂直，故D中结论 不正确.故选D. 课 堂 考 点 探 究 探究点四 平行垂直关系的综合问题 例4 如图，在四棱锥中， 平面 ，，， ， ，是棱 的中点. （1）求证：平面 ； 课 堂 考 点 探 究 47 证明：如图，取的中点，连接, ， 是 的中点，, . ， ，，且 ， 四边形 是平行四边形，, 又 平面， 平面，平面 . 课 堂 考 点 探 究 48 （2）求证：平面 平面 . 课 堂 考 点 探 究 49 证明： 平面， 平面， ， 又，，, 平面， 平面 ， 又 平面， ， 又， . ，是的中点，， 由（1）知 ，,， 又,, 平面， 平面 ， 又 平面 ， 平面 平面 . 课 堂 考 点 探 究 [总结反思] 垂直关系综合问题的解题方法: （1）对于三种垂直的综合问题,一般通过作辅助线进行线线、线面、 面面垂直间的转化. （2）对于垂直与平行相结合的问题,应注意平行、垂直的性质及判定 的综合应用. （3）对于存在性问题,可以利用所给垂直条件先求出点的位置,再进 行位置关系证明或求角. 课 堂 考 点 探 究 51 变式题 [2025·四川成都模拟] 在如图所示的多面体 中，平 面 平面， 平面， 是正三角形，四边 形是菱形，， .求证：平面 . 课 堂 考 点 探 究 52 证明：取的中点，连接， ， 因为是正三角形，所以 , 且， 因为平面 平面 ， 平面， 平面 平面 ，所以 平面， 又因为 平面，所以 ， 又因为，所以四边形是平行四边形，所以 ， 又因为 平面， 平面，所以平面 . 课 堂 考 点 探 究 53 课时作业 54 ◆ 基础热身 ◆ 1.已知平面 及两条不重合的直线，， ，则“ ”是 “ ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析] 若， ,则 或 ，所以必要性不成立； 若 ， ，则，所以充分性成立. 所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.故选A. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 2.设，，表示三条不同的直线， ， ， 表示三个不同的平 面，则下列结论正确的是( ) A.若 ，，则 B.若 ， ，则 C.若， ， ，则 D.若，，，且满足，则 √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 [解析] 对于A，若 ，，则 或 ，故A错误； 对于B，若 ， ，则 或 与 相交，故B错误； 对于C，若， ，则 或 ， 又 ，所以 或 , 相交，故C错误； 对于D，因为，， ，所以 ， 又， ，所以， 又因为，所以 ，故D正确.故选D. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 3.[2025·湖南怀化调研]已知平面 ，直线 ，则“ ”是 “ ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 [解析] 由平面 ，得在平面 内存在直 线 ， 若 ，则， 又 ， ，所以 . 当 ，平面 时，并不一定能推出 ， 如图，在正方体中，平面 平面， 平面， 此时不垂直于平面. 故“ ”是“ ”的必要不充分条件.故选B. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 4.在棱长为3的正方体中，点到平面 的距离 为( ) A. B.3 C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 [解析] 如图，连接，交于点， 易知 为的中点， 因为 为正方体， 所以 平面， 又 平面，所以， 又底面 为正方形，所以. 因为， , 平面,所以 平面 ， 所以点到平面的距离为 .故选A. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 61 5.如图，在四棱锥中， 底面 ，且四边形 为正方形，则此四棱锥 的各面中互相垂直的面有( ) A.3对 B.4对 C.5对 D.6对 √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 62 [解析] 因为 平面， 平面， 平面，所以平面 平面， 平面 平面. 因为 ，，且，， 平面， 所以 平面， 又 平面，所以平面 平面. 因为 ，所以 平面，又 平面， 所以平面 平面 ，同理平面 平面 . 综上，共有5对互相垂直的平面.故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 63 6.（多选题）[2025⋅ 全国一卷]在正三棱柱中，为 的中点，则( ) A. B. 平面 C.平面 D. √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 64 [解析] 方法一：对于A，如图，在正三棱柱 中， 平面， 又 平面，所以，则 ． 因为是正三角形，为的中点， 所以 ，则， 又 ，所以 ，则不成立，故A错误； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 65 是正三角形，为的中点，所以 ， 又,, 平面， 所以 平面 ，故B正确； 对于C，在正三棱柱中，，又 平面, 平面，所以平面 ，故C正确； 对于D，在正三棱柱 中，， 假设，则 ，这与矛盾， 所以 不成立，故D错误. 故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二：如图，建立空间直角坐标系， 设该正三棱柱的底面边长为2，高为， 则, ,,, , ,. 对于A， , ， 则 ， 则 不成立，故A错误； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于B,C，,, , ， 设平面 的法向量为 ， 则得，则 ， 所以，， 则 平面，平面 ，故B，C正确； 对于D， ,，则， 显然 不成立，故D错误.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法三：对于A，取的中点，连接 ，， 因为，，所以 与不 垂直，即与 不垂直，故A错误； 对于B，因为， ，， 所以 平面 ，故B正确； 对于C，因为， 平面， 平面 ， 所以平面，故C正确； 对于D，因为 ，，所以与不平行， 故D错误.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 69 7.在长方体中，点为棱上任意一点，点 为底 面（除点外）上一点，请给出一个点 的位置，使得 ，则点 可以是__________________. （答案不唯一） [解析] 因为是长方体，所以 平面 , 因为点为棱上任意一点， 所以当点时， 平面， 所以，所以为（除点 外）上的任意一点. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 70 8.在中，,，将顶点绕棱旋转到 ，当 时，三棱锥 的体积为_ ____. [解析] 在三棱锥中，, ， 因为，所以，所以 . 取 的中点，连接,，则, ， 因为，所以， 又， , , 平面，所以 平面， 所以三棱锥 的体积 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 71 9.如图，在直三棱柱中， ， 侧面为正方形，设的中点为 ， . （1）求证：平面 ； 证明： 侧面 为正方形，且，为的中点， 又为的中点， ， 又， , 又 平面， 平面，平面 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 72 （2）求证： 平面 . 证明：在直三棱柱中， 平面 ， 平面， ， 又，, 平面，， 平面 ， 又 平面， . 侧面为正方形，， 又， ， 平面， 平面 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 73 ◆ 综合提升 ◆ 10.如图，在棱长均相等的正三棱柱 中，,分别为棱, 的中点， 点在上，若 平面，则 ( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 74 [解析] 如图所示，取的中点，连接, , 是正三棱柱，为 的中点， ，， 平面 平面， ， ,, 平面， 平面， 平面， . 要使 平面，只需. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 75 设三棱柱 的棱长为， 则,， , ， 在 中，， ， .故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.在正方体中，，为侧面 上的动 点.若，则 的长的最大值为( ) A. B. C. D. [解析] 在正方体 中，， 连接,，设 ，连接,，如图. 为侧面 上的动点，要使， 为的中点， ， 又，，, 平面 ， 平面， √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 77 平面 ，，又 平面， 平面，， 又 , , 平面， 平面 ， 又 平面， . 反之，当时， , ,， 则， 点的运动轨迹为线段. 当点与 重合时， 的长取得最大值，最大值为 . 故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.（多选题）如图，四边形 为正方形， 平面， ， ，则下列说法正确的是 ( ) A.平面 B.点到平面的距离为 C.平面 平面 D.三棱锥 的体积为3 √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 79 [解析] 对于A， 四边形 为正方形，， 又 平面， 平面， 平面， ， 平面, 平面， 平面 ， 又，， 平面， 平面平面， 又 平面， 平面 ，故A正确； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 80 对于B，，易知 为正三角形，且边长为 ， ， ， 点到平面的距离 满足，解得 ，故B错误； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于C，连接交于点，连接， ， 取的中点，连接，则 为直角三角形， 易知 ， ， ， ， ，， 为等边三角形，且为的中点， ， 又，, 平面， 平面， 又 平面， 平面 平面，故C正确； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于D，易知 ， 又，与 全等，， 为等腰三角形，， ， ，故D错误.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.如图①，在正方形中，，分别为边, 的中点，将 ，，分别沿,,折起，使,, 三点重合 于点，如图②，则在四面体中，与平面 垂直的一个平 面为________________________. 平面（或平面） 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 84 [解析] 在正方形中，,， 故在四面体 中，,， 又,, 平面 ，所以 平面， 又 平面，所以平面 平面 ， 同理，平面 平面 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 85 14.如图所示，在三棱锥中，平面 平面， ， ，若为棱上的动点，则 的 最小值为_________. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 86 [解析] ， ， ， ， ，， 记的中点为，连接 ，，如图①. ，， 平面平面，平面 平面， 平面， 又 平面，. 由，得 ，为等边三角形. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 87 把绕翻折，使得平面 与平面在同 一平面上，连接交于点，则 ， 如图②所示， 则的最小值为平面内的长度， 在中，， ，即 的最小值为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.如图，在四棱锥中，平面 平面 ,，四边形为 正方形，,分别为, 的中点. （1）求出图中与 平行的平面. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 89 解：因为四边形为正方形，, 分别为 ， 的中点， 所以， ，， 所以四边形和四边形 均为平行四边形， 所以， . 因为 平面， 平面， 平面， 平 面，所以平面，平面 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 90 （2）求证：平面 平面 . 证明：因为四边形 为正方形， 所以， 因为平面 平面 ， 平面 平面， 平面 ， 所以 平面 ， 又 平面 ，所以平面 平面 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 91 （3）在棱上是否存在点，使得平面 平面?若存在，求三棱锥 的体积； 若不存在，请说明理由. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 92 解：存在，当为的中点时，平面 平 面 . 连接,,，设，连接 ， 因为四边形 为平行四边形，所以， 又为的中点，所以 . 因为，为 的中点， 所以，，所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 93 因为平面 平面，平面 平面 ， 平面， 所以 平面，所以 平面， 又 平面，所以平面 平面 ， 所以存在点，使得平面 平面 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ◆ 能力拓展 ◆ 16.（多选题）[2025·山东威海调研]在正三棱柱 中， ，，分别为棱， 上的动点，则( ) A. 的周长为定值 B.三棱锥 的体积为定值 C.若，则 D.若平面，则 √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 95 [解析] 对于A，由点为上的动点，设 , ，则, ， ，所以 不为定值，故A错误； 对于B，， 因为 平面，所以点到平面的距离始终为 ，所以 ，故B正确； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 96 对于C，取的中点，连接，过点作交 于点 ，连接，设，则， 因为 ，所以，所以，所以， 又 ，所以， 在正三棱柱中， 平面 ， 因为 平面，所以， 又 ，，, 平面， 所以 平面， 因为 平面，所以 ， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为，所以 平面， 又 平面，所以， 又，, 平面 ，所以 平面， 故C 正确； 对于D，设交于点，连接， 由平面 ，且平面 平面， 平面 ，所以， 又为的中点，所以为的中点，即 ， 故D正确.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $