第7单元 01 第41讲 空间几何体（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

该高中数学高考复习课件聚焦“空间几何体”单元，依据新课标要求覆盖结构特征、表面积体积、直观图与展开图等核心考点，通过分析近五年高考真题明确体积计算、斜二测画法等高频考点权重，归纳选择填空常考题型，构建系统备考体系。 课件亮点在于“真题溯源+方法突破+素养提升”策略，如以2024新课标Ⅰ卷圆柱圆锥体积题为例，详解补形法与公式法，培养运算能力和几何直观素养。特设易错点警示（如圆柱展开忽略母线两种情况）和解题模板，助力学生掌握得分技巧，教师可依托分层训练实现高效复习。

1.知识网络 单 元 教 学 设 计 1 2.课时安排 本单元共7讲、3个增分微课、1个培优专题、2个重点强化练，每讲 建议1课时完成,培优专题建议1课时完成，3个增分微课建议各1课时 完成，2个重点强化练建议各1课时完成,本单元大约共需13课时. 单 元 教 学 设 计 2 第41讲 空间几何体 3 单元教学设计 课前基础巩固 课堂考点探究 课时作业 4 1.利用实物、计算机软件等观察空间图形,掌握柱、锥、台、球及简单 组合体的结构特征,能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. 2.知道棱柱、棱锥、棱台、球的表面积和体积的计算公式,能用公式 解决简单的实际问题. 3.能用斜二测法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱 及其简单组合体）的直观图. 课 标 要 求 5 ◆ 知识聚焦 ◆ 1.空间几何体的结构特征 （1）多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 课 前 基 础 巩 固 6 名称 棱柱 棱锥 棱台 底面 互相______且 ____________ 多边形 互相______且 ______ 侧棱 ____________ 相交于 ______， 但不一定相等 延长线交于 ______ 侧面形状 ____________ ________ ______ 平行 全等 平行 相似 平行且相等 一点 一点 平行四边形 三角形 梯形 续表 课 前 基 础 巩 固 7 （2）旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 课 前 基 础 巩 固 8 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 母线 互相平行且相 等，______于 底面 相交于 __________ 延长线交于 ______ 轴截面 全等的 ______ 全等的 __________ 全等的 __________ ____ 侧面展 开 图 ______ ______ ______ 垂直 一点 一点 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆 矩形 扇形 扇环 续表 课 前 基 础 巩 固 9 2.斜二测画法 （1）用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的步骤 ①在平面图形上取互相垂直的轴和轴,作出与之对应的轴和 轴, 使得它们正方向的夹角为________________. （或） ②平面图形中与轴平行（或重合）的线段画成与 轴____________ ___________的线段,且长度______. 平面图形中与轴平行（或重合）的线段画成与 轴______________ 的线段,且长度为________________. 平行 （或重合） 不变 平行（或重合） 原来长度的一半 ③连接有关线段,擦去作图过程中的辅助线. 课 前 基 础 巩 固 10 （2）用斜二测画法作立体图形直观图的步骤 ①在立体图形中取水平平面,在其中取互相垂直的轴与 轴,作出水平 平面上图形的直观图（保留轴与 轴）. ②在立体图形中,过轴与轴的交点取轴,并使轴垂直于轴与 轴. 过轴与轴的交点作轴对应的轴,且轴垂直于轴.图形中与 轴 平行（或重合）的线段画成与 轴________________的线段,且长度 ______.连接有关线段. ③擦去有关辅助线,并把被面遮挡住的线段改成虚线（或擦除）. 平行（或重合） 不变 课 前 基 础 巩 固 11 3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 名称 圆柱 圆锥 圆台 侧面展 开图 侧面积 公式 _____ ____ __________ 课 前 基 础 巩 固 12 4.空间几何体的表面积与体积公式 名称 表面积 体积 柱体 （棱柱和圆柱） _____ 锥体 （棱锥和圆锥） _ _____ 台体（棱台和圆台） 球 ______ _ _____ （其中柱体、锥体、台体的高为，球的半径为 ） 课 前 基 础 巩 固 13 棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间的关系 （其中， 分别为棱台的上、下底面面积， 为棱台的高） 课 前 基 础 巩 固 14 常用结论 1.（1）斜二测画法的“三变”与“三不变” 三变：①坐标轴的夹角改变；②与<m></m>轴平行（或在<m></m>轴上）的线段的 长度改变；③图形的形状改变. 三不变：①线段的平行关系不变；②与<m></m>轴平行或重合的线段的长度 不变；③点的相对位置不变. （2）按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形面积 的关系如下: <m></m>,<m></m>. 课 前 基 础 巩 固 15 2.几何体的体积计算常见方法 （1）补形法 将几何体补成易求解的几何体,如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等. 如图：将三棱锥补成三棱柱或平行六面体 课 前 基 础 巩 固 16 将三棱柱补成平行六面体 课 前 基 础 巩 固 17 将台体补成锥体 课 前 基 础 巩 固 18 （2）分割法 如图，将三棱柱分割成三个三棱锥.#4.2.2.1 课 前 基 础 巩 固 19 （3）比例转化法:若 ,则 ，如图. 课 前 基 础 巩 固 20 ◆ 对点演练 ◆ 题组一 常识题 1.［教材改编］下列说法中错误的是____. ①经过不共面的四点的球有且仅有一个；②平行六面体的每个面都 是平行四边形；③正棱柱的每条侧棱均与上下底面垂直；④棱台的 每条侧棱均与上下底面不垂直. ④ 课 前 基 础 巩 固 21 [解析] 对于①，经过不共面的四点的球，即为由这四个点组成的四面 体的外接球，有且仅有一个，故①中说法正确； 对于②，平行六面体的每个面都是平行四边形，故②中说法正确； 对于③，正棱柱的每条侧棱均与上下底面垂直，故③中说法正确； 对于④，棱台的每条侧棱延长后交于一点，侧棱有可能与底面垂直， 故④中说法错误. 课 前 基 础 巩 固 22 2.［教材改编］如图是用斜二测画法画出的水平放置的 的直观 图（图中虚线分别与轴、轴平行），则原图形的底边 的长是___，高是____. 4 16 [解析] 根据题意，原图形的底边 的长为4，高为16. 课 前 基 础 巩 固 23 3.［教材改编］已知圆锥的表面积为 ，其侧面展开图是一个 半圆，则圆锥的底面半径为___ . 2 [解析] 设圆锥的底面半径为，母线长为 ， 由条件得 ， . 课 前 基 础 巩 固 24 题组二 常错题 4.［对空间几何体的相关公式掌握不牢致误］已知正四棱台上底面边 长为，侧棱和下底面边长都是，则它的体积为_ _____ . 课 前 基 础 巩 固 25 [解析] 由题意知，正四棱台上底面边长为 ， 侧棱和下底面边长都是 ， 如图，设正四棱台上、下底面中心分别为，， 连接 ，， ， 结合正四棱台性质可知四边形为直角梯形， 且， ， 故 ， 即正四棱台的高为 ， 故正四棱台的体积为 . 课 前 基 础 巩 固 26 5.［对空间几何体的结构特征认识不到位致误］如 图所示，将一个长方体用过同一顶点的三条棱中点 的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几 何体体积的比为______. [解析] 设长方体的过同一顶点的三条棱的长分别为，， ， 则截出的棱锥的体积 ， 剩下的几何体的体积， 所以 . 课 前 基 础 巩 固 27 6.［忽略矩形的长和宽都可以做圆柱的母线致误］圆柱的侧面展开图 是边长为 和 的矩形，则圆柱的体积是____________. 或 [解析] 设圆柱的底面半径为. 若圆柱的母线长是 ,则 ，所以， 所以圆柱的体积为 . 若圆柱的母线长是 ,则，所以 ， 所以圆柱的体积为. 故圆柱的体积是或 . 课 前 基 础 巩 固 28 探究点一 基本立体图形与直观图 角度1 直观图 例1 如图，矩形 是用斜二测画法画出的 水平放置的一个平面四边形 的直观图，其 中,，那么 的面积为 ( ) A.4 B. C.8 D. √ 课 堂 考 点 探 究 29 [解析] 依题意，矩形的面积 ， 因为斜二测画法中直观图面积是原图形面积的， 所以的面积为 .故选D. ［思路点拨］求出矩形 的面积，再利用斜二测画法中直观图 面积与原图形面积的关系，求得结果. 课 堂 考 点 探 究 30 [总结反思] （1）在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.平行于 轴的线段 平行性不变，长度不变；平行于 轴的线段平行性不变，长度减半. （2）按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的 面积的关系： 课 堂 考 点 探 究 31 变式题 如图，是水平放置的 用 斜二测画法画出的直观图，若 是边长 为3的等边三角形，则 的面积为( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 32 [解析] 如图，过点作轴，并与 轴交 于点， 则 ， ，， 则 ，得， 则的高为 ，面积为 .故选B. 课 堂 考 点 探 究 33 角度2 展开图 例2 如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线 长为3，一只小虫从圆锥的底面圆上的点 出发，绕圆 锥爬行一周后回到点 处，若该小虫爬行的最短路程 为 ，则这个圆锥的高为_____，体积为_ _____. ［思路点拨］根据最短路程为圆锥的侧面展开图中 ，由余弦定理 求得及 ，再求得圆锥的高与体积. 课 堂 考 点 探 究 34 [解析] 作出该圆锥的侧面展开图，如图所示， 该小虫爬行的最短路程为 ， 由余弦定理可得 ， 所以. 设底面圆的半径为 ，则有，解得 ， 所以这个圆锥的高，体积 . 课 堂 考 点 探 究 35 [总结反思] 在解决空间折线段最短问题时可适当考虑其展开图,将空间问题平面化. 课 堂 考 点 探 究 36 变式题（1）[2025·贵州贵阳七校联考] 现有一把折扇，其结构如图.完全展开后 扇环的圆心角为 ，上板长为 ， 若把该扇环围成一个圆台，则圆台的高 为( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 37 [解析] 设小扇形的半径为 ，则大扇 形的半径为 ， 设圆台的上、下底面的半径分别为， ，则， ， 所以， 所以 ， 所以圆台的高为 .故选D. 课 堂 考 点 探 究 38 （2）某三棱柱的平面展开图如图所示，网 格中的小正方形的边长均为1，是线段 上的点，则在原三棱柱中， 的最小 值为( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 39 [解析] 将展开图还原成立体图形得到三棱柱 ，如图①. 由已知可得，，，， 易知 为直角三角形且 . 将三棱柱的上底面沿翻折至平面上， ， 在两侧,连接，如图②所示. 因为， ，所以， 则的最小值为 .故选B. 课 堂 考 点 探 究 40 探究点二 简单几何体的表面积与体积 微点1 侧面积和表面积 例3（1）已知某圆锥的轴截面是正三角形，从该圆锥高的一半处作 平行于底面的平面截圆锥得一个小圆锥和一个小圆台，则该小圆台 与原圆锥的表面积之比为( ) A. B. C. D. ［思路点拨］设原圆锥的底面半径为2，由圆锥和圆台的表面积公式 计算可得. √ 课 堂 考 点 探 究 41 [解析] 不妨设原圆锥的底面半径为2，则高为 ，则原圆锥的表面 积为 . 小圆台的上、下底面的面积之和为 ， 侧面积为 ，则表面积为 .故选A. 课 堂 考 点 探 究 42 （2）[2025·辽宁锦州质检]如图，攒尖是中国古代 建筑中屋顶的一种结构形式，多见于亭阁式建筑. 某个园林建筑为六角攒尖，它的顶部的轮廓可近 似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥的高为1且侧 棱长为 ，则该正六棱锥的侧面积为( ) A. B. C. D. ［思路点拨］设底面边长为，根据侧棱长和高求出 ，进而求 出棱锥的斜高，最后求出棱锥的侧面积. √ 课 堂 考 点 探 究 43 [解析] 设正六棱锥的底面边长为 ，则由正六边 形的性质可知底面中心到底面顶点的距离为 ， 又正六棱锥的高为1且侧棱长为 ，根据正六棱 锥的性质得，解得 ， 所以侧面等腰三角形的高 ， 所以该正六棱锥的侧面积 .故选A. 课 堂 考 点 探 究 44 [总结反思] 求空间几何体表面积的方法: （1）旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄 清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系; （2）多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积注意衔 接部分的处理. 注意表面积与底面积、侧面积的区别. 课 堂 考 点 探 究 45 微点2 体积 例4（1）[2024· 新课标Ⅰ卷]已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面 积相等，且它们的高均为 ,则圆锥的体积为( ) A. B. C. D. ［思路点拨］设出底面半径，通过高结合侧面积相等，求出底面半 径，然后求解圆锥的体积. [解析] 设底面半径均为，圆锥的母线长为，则 . 由题可知,解得,则,, 圆锥的体积 .故选B. √ 课 堂 考 点 探 究 46 （2）[2025·广东揭阳期末]已知正三棱柱的棱长均为 , 为的中点，则四面体 的体积为( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 47 [解析] 如图所示， 正三棱柱 的棱 长均为 ， 底面是边长为的正三角形， 侧面 是边长为 的正方形， 则 ．故选A. 课 堂 考 点 探 究 48 [总结反思] 求空间几何体体积的常用方法: （1）公式法:规则几何体的体积,直接利用公式进行求解; （2）割补法:把不规则的几何体分割成规则的几何体,或者把不规则 的几何体补成规则的几何体; （3）等体积法:通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法,特 别是三棱锥的体积. 课 堂 考 点 探 究 49 应用演练 1.[2022·新高考全国Ⅰ卷]南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短 缺问题，其中一部分水蓄入某水库，已知该水库水位为海拔 时，相应水面的面积为;水位为海拔 时，相应水面 的面积为 .将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台， 则该水库水位从海拔上升到 时，增加的水量约为 ( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 50 [解析] 由题意知，水库水位为海拔 时，相应水面（棱台的上 底面）的面积为, 水库水位为海拔 时，相应水面（棱台的下底面）的面积为 , 水面上升的高度为 ， 所以增加的水量（棱台的体积） .故选C. 课 堂 考 点 探 究 51 2.[2025·重庆七校联盟质检]如图，在直三棱柱 中，底面是正三角形， ， ，为 的中点，则三棱柱 截去三棱锥 后所得几何体的 表面积为( ) A. B. C.12 D. √ 课 堂 考 点 探 究 52 [解析] 由题意得 ， ， ， 因为，所以 ， 所以 ， ， 课 堂 考 点 探 究 53 ， 易知 ， ， ， 所以三棱柱截去三棱锥 后所 得几何体的表面积为 .故选A. 课 堂 考 点 探 究 3.（多选题）如图，圆锥 的底面半径为3，高 为，过靠近点的三等分点 作平行于底 面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则 下列说法正确的是( ) A.圆锥的母线与底面所成的角为 B.圆锥的侧面积为 C.挖去圆柱的体积为 D.剩下几何体的表面积为 √ √ √ 课 堂 考 点 探 究 55 [解析] 如图，因为圆锥 的底面半径为3，高为 ，所以母线长，则 ， 即圆锥的母线与底面所成的角为 ，故A正确； 圆锥的侧面积 ， 故B错误； 因为为的三等分点，所以 , ，则圆柱的体积为 ，故C正确； 圆柱的侧面积 ，则剩下几何体的表面积 ，故D正确.故选 . 课 堂 考 点 探 究 56 4.[2023· 新课标Ⅱ卷] 底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平 面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体 积为____. 28 [解析] 方法一：依题意可知，原正四棱锥的高为6，故棱台的体积 . 方法二：由题可知所得棱台的高为3，上底面是边长为2的正方形， 下底面是边长为4的正方形， 由棱台的体积公式可得棱台的体积 . 课 堂 考 点 探 究 57 课时作业 58 ◆ 基础热身 ◆ 1.已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为6，则该正 四棱台的体积为( ) A.60 B.20 C.40 D.56 [解析] 因为正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为6， 所以该正四棱台的体积 .故选D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 59 2.将一个半径为的金属球熔化后，先浇铸成6个半径为 的小 球，再把剩余材料铸成1个正方体，则该正方体的棱长大约为( ) A. B. C. D. [解析] 设正方体的棱长为，则 ， 解得 .故选B. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 60 3.[2025·河南三门峡三模]已知某圆台的侧面展开 图是如图所示的扇环，且， 的长分别为 ， .若 ，则该圆台的体积是( ) A. B. C. D. [解析] 由题易知，圆台上、下底面的半径分别为, ， 高 ， 所以该圆台的体积 .故选C. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 61 4.[2025·陕西榆林质检]若正四棱锥的高为 ，且其各侧面的面积之 和是底面积的2倍，则该四棱锥的表面积为( ) A.4 B.8 C.12 D.24 √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 62 [解析] 如图， 是正四棱锥的高， 所以， 是斜高， 由各侧面的面积之和是底面积的2倍， 可得 ，所以. 在中， ，， 所以，所以 ， 则底面积，侧面积 ， 则表面积 .故选D. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 63 5.[2025·鞍山二模]若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 ，则 圆锥母线与底面所成角的大小为( ) A. B. C. D. [解析] 设圆锥底面的半径为，母线长为，高为 ， 则由题意得 ，可得 . 设圆锥母线与底面所成的角为，则， 所以 ，所以圆锥母线与底面所成角的大小为 .故选A. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 64 6.（多选题）如图，四边形 的斜二测画法的直观图为等腰梯形 .已知， ，则下列说法正确的是( ) A. B. C.四边形的周长为 D.四边形的面积为 √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 65 [解析] 对于A，B，还原平面图如图， 则， ， ，故A错误，B正确； 对于C，过作交于点， 则 ， 由勾股定理得 ，故四边形 的周长为 ，故C正确； 对于D，四边形的面积为 ，故D正确. 故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 66 7.在正四棱柱中，,，,, 分别为侧 棱,,上一点，则 的最小值为______. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 67 [解析] 将正四棱柱（如图①）的侧面沿 展开， 得到展开图（如图②）， 当，，，， 五点共线时， 取得最小值， 且最小值为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 68 8.如图，八面体的每一个面都是正三角形，并 且4个顶点,,, 在同一个平面内，四边形 是正方形，这个八面体的表面积为 ， 则正方形 的边长是___. 2 [解析] 设正方形的边长为 ，则这个八面体的表面中所有的正 三角形边长均为，所以其表面积为，可得 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 69 9.如图，一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆 锥中有一个底面半径为 的内接圆柱. （1）求此圆锥的表面积与体积. 解：设圆锥的母线长为 , 由半径，高，得 ， ， ， 故 ， . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 70 （2）试用表示圆柱的高 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 71 解：如图，连接, ,由三角形相似可得 ，得 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 72 （3）当 为何值时，圆柱的表面积最大？最大表 面积为多少？ 解：记圆柱的表面积为 ，则 . ， 当时， . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 73 ◆ 综合提升 ◆ 10.[2025·北京海淀区一模]已知纸的长宽比约为.现将一张 纸卷成一个圆柱的侧面（无重叠部分）.当该圆柱的高等于 纸的长 时，设其体积为，轴截面的面积为；当该圆柱的高等于 纸的 宽时，设其体积为，轴截面的面积为 .则( ) A.， B.， C.， D.， √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 74 [解析] 不妨设纸的长、宽分别为,1. 当圆柱的高等于 纸的长时，设其底面圆半径为，则， 解得 ， 则， ； 当圆柱的高等于纸的宽时，设其底面圆半径为，则 ， 解得，则， . 综上所述，， .故选B. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 75 11.[2023·全国甲卷]已知四棱锥 的底面是边长为4的正方 形，， ，则 的面积为 ( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 76 [解析] 方法一：连接，交于点 ， 连接，如图，则为, 的中点. 因为底面 是边长为4的正方形， 所以，则 ， 又，所以 ，则， 又， ，所以，则. 在中，, , ， 则由余弦定理可得 ， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 77 故 ，则 ， 故在中，,, ， 所以 ， 又 ， 所以 ， 所以的面积 .故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 方法二：连接，交于点，连接 ， 如图，则为, 的中点. 因为底面 是边长为4的正方形， 所以， 在中， , ， 则由余弦定理可得 ， 故 ， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 79 所以 ， 则 . 不妨设, ， 因为 ， 所以， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 即 ， 则 ， 整理得. 在 中， ，即 ， 则. 由 得 ，可得 ， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 故在中，, , ， 所以 ， 又 ， 所以 ， 所以的面积 . 故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 12.（多选题）如图，该几何体是正四棱柱和正四棱锥组成的几何体， 若该几何体底面边长和上面正四棱锥的侧棱长均为 ，正四棱柱 的高为 ，则下列选项中正确的是( ) A.正四棱锥的高为 B.该几何体的表面积为 C.该几何体的体积为 D.一只小蚂蚁从点沿几何体的表面爬行到点 ，它 所经过的最短路程为 √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 83 [解析] 对于A，取为与 的交点， 易得， ， 故A正确； 对于B，该几何体的表面积为 ，故B错误； 对于C，该几何体的体积为 ， 故C正确； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 84 对于D，观察图形知，小蚂蚁从点爬行到点 的最短 路径为沿表面越过棱或， 由对称性，不妨取长方形 及正三角形， 将它们置于同一平面内，连接 ，如图， 取的中点，连接 ， 则 ， 又，所以最短路程为 ，故D正确.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 13.（多选题）[2022·新高考全国Ⅱ卷]如图， 四边形为正方形， 平面 ， ， ，记三棱锥 ，， 的体积分别为 ,, ,则( ) A. B. C. D. √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 86 [解析] 设正方形 的边长为2， 则,, , . 平面，， 平面 ， . 连接 交于，连接，， ，，， 平面. 过作，垂足为，则 ，且， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 87 在中， . 在中， . 在中， ， ，即 , 故 . 故选项A，B错误，选项C，D正确，故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 14.某公园设置了一些石凳供大家休息，每张石凳是由正方体石料截 去八个一样的四面体得到的，如图所示.如果原正方体石料的棱长是 ，那么一张石凳的表面积是_ ______ . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 89 [解析] 原正方体石料，如图， 因为正方体的棱长为 ， 所以石凳的每条边的边长为 ， 石凳上等边三角形的高为， 所以石凳的表面积 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 90 15.如图，水平地面上有一正六边形地块 ，设计师规划在正六边形的顶点处矗 立六根与地面垂直的柱子，用以固定一块平板 式太阳能电池板 .若其中三根柱子 ，，的高度依次为,, ， 则另外三根柱子的高度之和为____ . 47 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 91 [解析] 依题意可知,,,,, 六点共面， 连接,,，由正六边形 的性质知 ,,交于一点，设为，连接 , ,, 由题意知,, 交于一点，设为, 连接,则 平面 ， 所以,,,,,, 两两平行. 连接交于，连接交于 ，连接, 根据正六边形的性质可知四边形 是 菱形， 所以,相互平分，则, 相互平分， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 92 根据梯形中位线定理有， 即 ,可得， 在梯形中，是 的中点， 则是 的中点， 所以 ， 同理可得 , ， 所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 ◆ 能力拓展 ◆ 16.祖暅原理也称祖氏原理，是我国数学家祖暅提出的一个求体积的 著名命题：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体 的高，意思是两个同高的几何体，若在等高处截面积相等，则体积 相等.由曲线，，围成的图形绕 轴旋转 一周所得旋转体的体积为，则 _____. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 94 [解析] 由曲线， , 围成的图形为图中实线所围成的图形 （关于轴对称）. 设直线 与直线, 曲线 在第一象限分别交于点，， 易得, , 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 95 截面上底面的小圆面积 , 大圆面积 , 则圆环面积 . 由祖暅原理知，旋转体的体积 与底面积为 , 高为8的圆柱体积相等，故所求旋转体的体积 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 17.[2025·山东新高考联盟联考] 已知圆柱 的底面直径为2，其轴 截面是矩形，为底面圆弧上任一点，若 面积的最 大值为，则圆柱 的母线长为____. [解析] 设圆柱的母线长为，如图， 在 上底面的正投影为点，可知 即为母线且 和上底面垂直，所以， 过作 的垂线，垂足记为，连接 ， 又，且，都在平面 内， 所以 平面， 所以， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 97 所以当最大时， 的面积取得最大值， 结合 ，可知最大时最大， 易知 ，所以当为圆弧的中点， 为的中点时， 最大，最大值为， 所以 面积的最大值为，解得 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 $