第6单元 07 增分微课7 重构数列问题（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

该高中数学高考复习课件聚焦数列专题，覆盖奇偶项问题、交替递推数列、公共项增减项三大高考核心考点，依据高考评价体系分析近五年高频题型，如连续两项和/积（a_{n+1}+a_n=f(n)）、含(-1)^n型递推、新数列构造等，通过例题解析与变式训练归纳解题策略，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题情境+分层突破+素养导向”，如例3含(-1)^n型问题通过分类讨论培养数学思维，例5公共项插入问题用构造法建立模型观念，提供课时作业强化分奇偶项处理、构造新数列等技巧，帮助学生掌握得分关键，教师可据此系统梳理考点，实现高效复习。

增分微课7 重构数列问题 1 类型一 类型二 类型三 课时作业 2 题型1 连续两项和或积的问题（形如 或 ） 例1 已知数列的前项和为，， ， 则 ____. 24 类型一 奇偶项问题 3 [解析] 因为所以 ,得. 由 ，可得， 由，得 ，所以是以3为首项，2为公差的 等差数列，是以 为首项，2为公差的等差数列，， ，则 ，， 所以 . 4 题型2 例2 （多选题）记为数列的前 项和，已知 则( ) A.2027是数列 中的项 B.数列 是公比为2的等比数列 C. D.若，则数列的前项和小于 √ √ √ 5 [解析] 对于A，当为偶数时，令，得 ，符合 题意，故A正确； 对于B，由题知，, ，则， 故数列 是公比为4的等比数列，故B错误； 对于C，由题知，,,,,, ，所以 ，故C正确； 对于D，，则 ， 则数列的前项和为 ， 故D正确.故选 . 6 题型3 递推公式中含 型 例3 [2026·山东实验中学一模] 若数列满足 ， ，则 的前2027项的和为______． 1014 [解析] 当为偶数时，，即 ， 所以 的前2027项的和为 . 7 [总结反思] （1）连续两项和或积形如或 的 递推公式中，一般用替换得到与 的关系，然后分奇偶 项进行处理. （2）对于 型的数列求和,一定要注意， 若为偶数,则奇数项与偶数项各有项；若为奇数,则奇数项有 项, 偶数项有项.若是公差为的等差数列,则 的奇数项构成 8 公差为的等差数列；若是公比为的等比数列,则 的偶数 项构成公比为 的等比数列. （3）递推公式中含型的问题中要对 分奇、偶进行讨论,转化 为相邻两项和或差求解,当项数不确定时,要分为奇数和 为偶数分类 讨论求解.#2.3 变式题（1）若数列满足， ， 则 ( ) A.155 B.156 C.203 D.204 √ 10 [解析] 由 ，得 ，两式相减得 ，故数列 的奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，公差均为2. 由，，得，同理可得， ，则 ，，所以 .故选A. 11 （2）已知数列的前项和为 ,， 则 ( ) A. B.0 C. D. [解析] 当为奇数时， . 因为函数的周期为8，所以 . 又， ， ，，所以 ， 则 .故选C. √ 12 （3）若数列满足 则 _____． 107 [解析] 由题意可得数列 的奇数项是以1为首项，4为公差的等差 数列，偶数项是以2为首项，2为公比的等比数列，则 . 13 例4 [2026·广东深圳诊断] 已知数列满足 ， （1）记，写出，，并证明数列 为等比数列； 类型二 交替递推数列 解：由题可知 ， . 显然为偶数，则， ， 所以，即，则 . 又 ，所以 是以5为首项，2为公比的等比数列， 则 ， ． 14 （2）求的前项和 ． 解：记，则 ，即 ， . 15 [总结反思] 形如 的递推关系式求解通项公式时，解题思 路为： 令取得到 ， 令取得到 ， 令取得到 ， 由①②消去得与的关系式，由②③消去得 与 的关系式，然后分别求得数列奇偶项的通项公式，进而得到数 列的通项公式. 16 变式题 [2026·云南曲靖质检]数列满足 且 则 ( ) A. B. C. D. [解析] 令,，由题意可得. 令 ，则，所以 ， 所以. 又，所以 ,则数列 是以6为首项， 2为公比的等比数列，所以， 则 ,所以 ，故选C. √ 17 例5 已知数列满足,，数列 满足 ， . （1）求 的通项公式； 解：由可得.又 ， 所以 是以4为首项，2为公比的等比数列， 所以，即 . 类型三 公共项，增减项问题 18 （2）求 的通项公式； 解：方法一：由题可得，且 ，所以 ， 所以,,, , ， 累乘 ， 得. 当时，也满足上式.故 . 19 方法二：由可知 是常数列， 所以 ，所以 . 20 （3）将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的 , 之间插入项，从而构成一个新数列，设的前 项和为，求 . 解：设在的前100项中，来自的有 项. 若第100项来自 ，则 ， 整理可得 ，该方程没有正整数解，不满足题意. 若第100项来自 ，则 ，整理可得 . 21 易知在 上单调递增. 当时，，不满足题意；当 时， ，满足题意. 故，所以的前100项中有10项来自，有90项来自 ， 所以 . [总结反思] （1）对于公共项问题，通过观察找到首项后，从首项开始，逐项判 断变化较大（如公差的绝对值大）的数列中的项是否为另一个数列中 的项，并找到规律，分析相邻两项之间的关系，从而得到通项公式. （2）对于增加项或减少项数列问题，弄清插入（或减少）的项数及 插入（或减少）的项的规律是解题关键，然后再利用分组求和法解 决此类问题. 23 变式题（1）[2026·河南驻马店模拟]已知数列, 的通项公式分 别为,，将数列， 的公共项从小到大 排列得到数列，设数列的前项和为，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 因为数列 是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列 是以1为首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共 项所构成的新数列 是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以 的前项和 .故选D. √ 24 （2）数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一 个新的数列，扩充的次数记为 ，扩充规则为每相邻两项之 间插入这两项的平均数.现对数列1，3进行扩充，第1次扩充得到数列 1，2，3；第2次扩充得到数列1，，2，，3； ，依次扩充，记第 次扩充得到的数列的所有项之和为，则 ( ) A.510 B.514 C.1022 D.1026 √ 25 [解析] 设第次扩充得到的数列为1，,, , ，3，则 ，则第 次扩充得到的数列为1， ，，，， ，， ，3，则 . 显然，，因此数列 是 以4为首项，2为公比的等比数列，， ， 所以 .故选B. 26 课时作业 27 ◆ 基础热身◆ 1.已知数列满足，且，则 ( ) A. B.0 C.1 D.2 [解析] 由，可得 ， ， .故选B. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 28 2.[2025·河南焦作期末]已知数列， 的通项公式分别为 ，，由， 的公共项从小到大排列得 到的数列为，则 ( ) A.1941 B.1961 C.1981 D.2001 [解析] 由题可知是首项为1，公差为4的等差数列， 是首项 为1，公差为5的等差数列，则这两个数列的公共项从小到大排列构 成的新数列 是首项为1，公差为20的等差数列， 故 .故选C. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 29 3.已知数列满足，对于任意的且 ，都有 则 ( ) A. B. C. D. [解析] 依题意，设，则 ， ，， ， ， ， ， 归纳得 ，则，所以 . 故选B. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 30 4.已知等差数列的首项，公差，在 的每相邻两 项之间都插入 个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数 列，当时， ( ) A.4052 B.4054 C.4056 D.4058 [解析] 因为,，所以.当时， , ，所以等差数列的公差为 ，故 ，则 .故选B. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 31 5.已知数列和的通项公式分别为,，在 与 之间插入数列的前项，构成新数列，即,,, , ,,,,,,,,,,， .记数列的前项和为 ，则 ( ) A.30 B.4944 C.9876 D.14 748 √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 32 [解析] 因为数列的通项公式为，所以数列的前 项和 . 因为数列的通项公式为，所以数列 的前项和，则. 当时， .故选B. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 33 6.（多选题）已知等差数列的首项，公差，在 中每相邻两项之间都插入 个数，使它们和原数列的数一起构成一个 新的等差数列 ，下列说法正确的有( ) A. B.当时， C.当时，不是数列 中的项 D.若是数列中的项，则 的值可能为6 √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 34 [解析] 对于选项A， ，故A正确； 对于选项B，C，当时，由，可知 的公差 ，所以 ，则 ，令，解得，所以 是数列中的项，故B正确，C错误； 对于选项D，当 时，数列的公差， 则, ，即，所以若是数列 中的项，则 的值可能为6，故D正确.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 35 7.[2026·江苏泰州期末] 已知数列满足 ， ，则 的前20项和为_____. 500 [解析] 数列满足， ， 则. 当时， ，； 当时， ，. 所以数列 的奇数项构成以1为首项，5为公差的等差数列，偶数项 构成以4为首项，5为公差的等差数列， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 36 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.[2026·安徽芜湖期末] 已知数列满足 ， ，则__， _____. 124 [解析] 由，得.由 ， ，， ， 得 ， . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 38 9.已知数列的前项和为,, . （1）求数列 的通项公式； 解：当时，由可得 ，两式作差 可得，可得. 又 ，，满足， 所以数列 是以2为首项，3为公比的等比数列，故 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 39 （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为 的等差数列，设，求 . 解：由题意可得 ， 则，所以 ， 则 ， 两式作差得 ，因此 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 40 ◆ 综合提升◆ 10.[2025·江苏盐城模拟]已知数列的通项公式为 ，在 其相邻两项，之间插入个，得到新的数列 ， 记的前项和为，则使成立的 的最小值为( ) A.29 B.28 C.27 D.30 [解析] 由题意得，数列的前项依次为1，2个3，3， 个3，7， 个3，15， ， ， ， 因此使成立的 的最小值为29．故选A. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 41 11.数列,的通项公式分别为, ，在数列 中去掉两个数列的公共项后，小于25的项中质数的占比为( ) A. B. C. D. [解析] 中的项依次为1,4,7,10,13,16,19,22,25,28， ； 中的 项依次为2,4,8,16,32,64，与 中小于25的公共项为4，16， 在数列中去掉与 的公共项后，小于25的项有1,7,10,13,19,22， 其中质数有7,13,19，所以小于25的项中质数的占比为 ，故选B. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 42 12.[2026·天津南开中学模拟] 在1和11之间插入个数，使得这 个数成等差数列.若这个数中第1个为，第个为，则 的最 小值是___. 3 [解析] 由题可知，, ，所以 ， 当且仅当，即,时等号成立，此时, 满足 ，，所以 的最小值是3. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 43 13.已知数列满足, 公差 不为0的等差数列满足,,成等比数列， . （1）证明：数列 是等比数列. 证明：在数列中， 则， 又 ，所以数列是等比数列，其首项为 ，公比为4. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 44 （2）求和 的通项公式. 解：由（1）知, , ， 所以数列的通项公式为 设等差数列的公差为 ， 由,,成等比数列，得，即 ， 得，又，即，所以 ，所以 数列的通项公式为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 45 （3）在与之间从的第一项起依次插入中的 项，构 成新数列,,,,，,,,,, ，求 中前60项的 和 . 解：依题意，数列中，前有数列中的前 项，有数列 中的前 （项）， 因此数列中，前共有 （项）， 当时， ， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 46 当时，，因此数列的前60项中有数列 中的 前10项，有数列 中的前50项，所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 47 ◆ 能力拓展 ◆ 14.[2025·山东淄博模拟] 下面给出一种构造新数列的方法：在数列 的每相邻两项之间插入此两项的等差中项，按照原来的顺序得到一 个新的数列；再将新得到的数列按照上述方法构造，又得到一个新 的数列.重复以上操作，现将数列1，2按照上述方法进行构造：第一 次得到的新数列为1，，2；第二次得到的新数列为1，，， ，2； 第三次得到的新数列为1，，，，，，，，2；….记第 次 得到的新数列为1，，，， ， ，2，且 . ①当时， ____； 31 ② ______.（用数值作答） 3054 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 48 [解析] 在数列的每相邻两项之间插入此两项的等差中项，按照原来 的顺序得到一个新的数列，第一次得到的新数列为1， ，2， ，第二次得到的新数列为1，，， ，2， ，第三次得到的新数列为1，，，，，，， ，2， ，以此类推，可得当 时，， 当时， ，再结合等差中项可得，， ， ， ， 所以 ． 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 49 15.已知数列的首项为1，前项和为，等比数列 是首项为1 的递增数列，若, ． （1）求证：数列 是等差数列； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 50 证明：①, 当 时， ， ，得 ， 两边同时除以得 . 在中， 令得 ，即， 又，故 ，，故,， 数列 是首项为1，公差为1的等差数列. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 51 （2）求数列的前 项和； 解：由（1）得，则 . 设数列的前项和为，当 为偶数时， ， , ; 当为奇数时， 为偶数， . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 52 （3）求使得成立的最大整数 ． 解：设等比数列的公比为，, 由，得，解得（舍去）或 ， 又 数列是递增数列，， . 由，得，令 ，则 ， ， 当时，，当时，，当 时， , 即有, , 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 53 又,,, , 故当时，,, , 又,, , ，当时，，故使得成立的最大整数 为6． 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 $