第6单元 05 第39讲 数列求和（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

该高中数学高考复习课件聚焦“数列求和”专题，依据课标要求梳理了等差等比数列求和公式及分组、错位、裂项等五种通用方法，通过近三年高考真题分析明确裂项相消（占35%）、错位相减（占30%）为高频考点，归纳出分段型、指数型等常考题型及分组不分奇偶、裂项剩余项错误等易错点。 课件亮点在于“真题精讲+方法建模+素养提升”，如以2023新课标Ⅱ卷分组求和题为例构建“奇偶项分离”模型，2024全国甲卷错位相减题强化“错项对齐”技巧，培养学生运算能力与推理意识。设“易错警示库”和“变式训练组”，助力学生掌握得分关键，教师可据此实现考点精准突破与学情高效诊断。

第39讲 数列求和 1 课前基础巩固 课堂考点探究 课时作业 2 1.掌握等差数列、等比数列的前 项和公式. 2.掌握一般数列求和的几种常见的方法. 课 标 要 求 3 ◆ 知识聚焦 ◆ 1.公式法 直接利用等差数列、等比数列的前 项和公式求和. （1）等差数列的前 项和公式： _ _______ ______________. （2）等比数列的前 项和公式： , , _ ______________， . 课 前 基 础 巩 固 4 2.分组求和法与并项求和法 （1）分组求和法 一个数列的通项是由__________________________的数列的通项组 成的,则求和时可用分组求和法,分别求和后再相加、减. 若干个等差或等比或可求和 （2）并项求和法 数列 满足彼此相邻的若干项的和为特殊数列时,运用________求 其前项和.如通项公式形如 的数列. 并项法 课 前 基 础 巩 固 5 3.倒序相加法 如果一个数列 中，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于 ____________，那么求这个数列的前 项和即可用倒序相加法. 同一个常数 4.错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列的对应项之 ____构成的，那么求这个数列的前 项和时即可用错位相减法. 积 5.裂项相消法 把数列的通项拆成__________，在求和时中间的一些项可以相互抵 消，从而求得其和. 两项之差 课 前 基 础 巩 固 6 常用结论 1.常用的求和公式 （1） . （2） . （3） . （4） . 课 前 基 础 巩 固 7 2.常用的裂项公式 （1） . （2） . （3） . （4） . （5） . 课 前 基 础 巩 固 8 ◆ 对点演练 ◆ 题组一 常识题 1.［教材改编］已知数列的前项和为，若 , ,则 _____. 190 [解析] 由题意 . 课 前 基 础 巩 固 9 2.［教材改编］若数列满足,则的前 项和为____. [解析] 由题得,所以的前 项和为 . 课 前 基 础 巩 固 10 3.［教材改编］ _________. [解析] 设 ，则 ，两式相减得，所以 . 课 前 基 础 巩 固 11 题组二 常错题 4.［利用分组求和法（或并项求和法）求和时不能准确分组或不分奇 数项与偶数项致错］数列 的前100项和等于_____. 100 [解析] 数列的前100项和等于 . 课 前 基 础 巩 固 12 5.［使用裂项相消法求和时，辨别剩余项错误］ ____. [解析] ，且 ， . 课 前 基 础 巩 固 13 6.［利用错位相减法求和时出现符号错误或不能准确“错项对齐”致错］ 数列的前项和 _ ____________________. [解析] 当时，； 当 时， ， 则， 得 ， 整理得，即 . 课 前 基 础 巩 固 14 综上可得， 课 前 基 础 巩 固 探究点一 分组转化法求和 例1 [2023· 新课标Ⅱ卷] 已知 为等差数列， 记，分别为数列，的前 项和， ， . （1）求 的通项公式； ［思路点拨］根据已知条件，结合等差数列的性质，以及等差数列 的前 项和公式，即可求解； 课 堂 考 点 探 究 16 解：设数列的公差为 ， ， ， 又 ， 即，， ， . 课 堂 考 点 探 究 17 （2）证明：当时， . ［思路点拨］根据已知条件，求出， ，再结合作差法，并分类 讨论，即可求证. 证明：由（1）可得 . 当 为偶数时， ， 课 堂 考 点 探 究 18 当 时， ，即 ； 当 为奇数时， ， 当 时，，即 . 综上，当时， . 课 堂 考 点 探 究 [总结反思] （1）分组转化法求和 数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项 变形，转化为等差数列或等比数列或可求前 项和的数列求和. （2）分组转化法求和的常见类型主要有：分段型 （如①② ），周期型 （如 ）. 课 堂 考 点 探 究 20 变式题（1）[2025·天津卷]数列的前项和为 ，则 的前12项和为( ) A.112 B.48 C.80 D.64 √ 课 堂 考 点 探 究 21 [解析] 因为，所以当 时， ，当 时， ， 经检验，满足上式，所以 . 令，可得，令，可得 ， 设数列的前项和为，则 ，所以 .故选C. 课 堂 考 点 探 究 22 （2）已知等比数列的各项均为正数，且 ， . ①求 的通项公式； 解：设等比数列的公比为，则 ，即 ，所以，所以，解得 ，所以 . 课 堂 考 点 探 究 23 ②若，求数列的前项和 . 解：由①得 ，则 ，所以 . 课 堂 考 点 探 究 24 探究点二 错位相减法求和 例2 [2024·全国甲卷] 记为数列的前项和，已知 . （1）求 的通项公式； 解：在中取,得 ， 由得， 即, , 是以4为首项，为公比的等比数列, . 课 堂 考 点 探 究 25 （2）设,求数列的前项和 . 解：由（1）知 ，则 ， 则 ， 得 ， . 课 堂 考 点 探 究 26 [总结反思] （1）若数列的通项公式为,且数列 是等差数列,数 列是等比数列,则可采用错位相减法求数列的前 项和. （2）用错位相减法求和时,应注意两点:一是两边先同时乘等比数列 的公比再错位相减,错位相减后化简归纳为一个等比数列求和;二是在 写出“”与“ ”的表达式时,应将两式“错项对齐”,即将两式中指数 相同的两项对齐,以便下一步准确写出“ ”的表达式. 课 堂 考 点 探 究 27 变式题 [2025·湖南长沙模拟] 已知等比数列的前项和为 ，且 . （1）求与 ； 解：由，得 . 当时，，解得, 当 时，，得 ， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以 ， 所以 . 课 堂 考 点 探 究 28 （2）记，求数列的前项和 . 解：由（1）可得 ，则 ，则 ， 两式相减得 ， 所以 . 课 堂 考 点 探 究 29 探究点三 裂项相消法求和 角度1 等差型，形如 例3 已知数列是公差不为0的等差数列，， . （1）求的通项公式及其前项和 ； ［思路点拨］直接利用等差数列的性质求出数列的通项公式，进而 可得前 项和公式； 解：设数列的公差为,由， ，得 ，解得或 （舍去），所以 ， . 课 堂 考 点 探 究 30 （2）若，求数列 的通项公式. ［思路点拨］利用裂项相消法求出数列 的和. 解：因为，所以 ， 所以 . 课 堂 考 点 探 究 31 [总结反思] （1）数列的通项公式形如 时,可先转化为 ,再用裂项相消法求和.一般地,若 是公差为 的等差数列,则, . （2）裂项相消法求和的基本思路是变换通项公式,即把每一项分裂为 两项,裂项的目的是产生可以相互抵消的项.需要注意的是抵消后并不 一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项或 者前面剩几项,后面也剩几项. 课 堂 考 点 探 究 32 变式题 [2025·湖南部分学校联考] 已知数列的前项和为 ， ， . （1）求 的通项公式； 解：由可得 ,解得 . 当时，由，可得 ，两式相减可得 ，对也成立，所以 是首项为8，公比为4的等比 数列，所以， . 课 堂 考 点 探 究 33 （2）若，求数列的前项和 . 解：因为 ，所以 ， 所以 . 课 堂 考 点 探 究 34 角度2 无理型，形如 例4 [2025·四川成都模拟] 已知各项均为正数的数列的前 项和 为，且 . （1）求， ； ［思路点拨］利用已知条件，通过代入和 ，结合数列 的性质，逐步求解和 ； 课 堂 考 点 探 究 35 解：在 中，令，得 ， 因为，所以 . 在中，令，得 ， 即 ， 因为，所以 . 所以， . 课 堂 考 点 探 究 36 （2）证明： 是等差数列； ［思路点拨］通过递推关系，将用和 表示，代入原方程化 简，证明 的相邻项差为常数; 证明：当时，将 代入 ， 化简得 ， 即，所以 是首项为1，公差为1的等差数列. 课 堂 考 点 探 究 37 （3）求数列的前项和 . ［思路点拨］利用（2）中结论，通过分母有理化简化求和过程. 解：由（2）可知，因为 是各项均为正数的数列，所以 ，所以. 因为 ，所以 . 课 堂 考 点 探 究 38 [总结反思] 当数列的通项公式形如 时,可转化为 ,此类数列适合使用裂项相消法求和. 课 堂 考 点 探 究 39 变式题（1）已知等差数列的前项和为，若， ， 则数列 的前99项和为( ) A.7 B.8 C.9 D.10 [解析] 因为,所以， 又 , 所以,所以 ,所以 ,所以所求数列的前99项和为 .故选C. √ 课 堂 考 点 探 究 40 （2）[2025·江苏泰州四模]已知等差数列 的公差大于0，且 ，若，则 ( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 41 [解析] 设等差数列的公差为， , , ， , ， ,解得, .故选B. 课 堂 考 点 探 究 42 角度3 指数型，形如 例5 [2025·山东德州模拟] 已知各项均为正数的数列的前 项和 为，，， . （1）求数列 的通项公式； ［思路点拨］由已知数列递推公式可得数列 是等差数列，且首 项为1，公差也为1，则其通项公式可求； 课 堂 考 点 探 究 43 解：， ， 当时， ， 两式相减得 ， 化简可得， 又 ，所以，即， ， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以 . 课 堂 考 点 探 究 44 （2）设，求数列的前项和 . ［思路点拨］把（1）中求得的通项公式代入 ，整理后 利用裂项相消法求数列的前项和 . 解：由（1）知，，所以 . 课 堂 考 点 探 究 45 [总结反思] 数列的通项公式形如 时，可先变形为 ，再用裂项相消法求和. 常见公式： . 课 堂 考 点 探 究 46 变式题 已知数列的前项和满足， . （1）证明：数列 为等比数列； 证明：，且 ， ， ， ， 易知， ， 数列 是首项为，公比为 的等比数列. 课 堂 考 点 探 究 47 （2）记，求数列的前项和 . 解：由（1）可得 ， ， ， ， . 课 堂 考 点 探 究 48 课时作业 49 ◆ 基础热身 ◆ 1.[2026·四川眉山期末]已知数列 的通项公式为 则数列的前10项和 ( ) A.107 B.1409 C.1414 D.112 [解析] 因为 所以 .故选B. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 2.[2026·河南三门峡期末]已知数列的前项和为，首项 ， 且满足，则 ( ) A.4093 B.4094 C.4095 D.4096 [解析] 当为偶数时，，所以 .故选A. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 3.在数列中，， ，则 ( ) A.630 B.648 C.660 D.675 √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 [解析] 依题意，由，得， 所以数列 是首项为，公差 的等差数列，则 ， 则当时，，当 时， ，所以 .故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.[2026·河北承德模拟]已知数列,满足 , ，则数列的前30项和 ( ) A. B. C. D. [解析] 将代入 整理得 ，故 .故选D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 5.已知数列的通项公式为，则使的前 项和 成立的的（参考数据： ）( ) A.最小值为7 B.最大值为7 C.最小值为8 D.最大值为8 √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 [解析] ，故 . 令 ，得 ，则 ，解得 ，故满足题意的正整数 的最小值为8.故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.已知数列满足，且数列的前 项和 为,那么 ____. 99 [解析] 因为 ,所以 , 由,得，解得 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 7.[2025·昆明期末] 若数列对任意 满足 ，则数列的前 项和为 ____. [解析] 由 ，得 ，两式相减得 ，所以，又 满足上式，所以 ，所以. 设数列的前项和为 ，则 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 8.[2026·黑龙江绥化二中期末] 已知数列的前项和为 ， ，，则 ______（用数字作答）. 1365 [解析] 因为，， ， ， ，所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 9.[2026·辽宁东北育才学校联考] 等差数列的首项 ，公差 ，前项和满足 . （1）求数列 的通项公式； 解：，，得 ， ， ， 又，， ， . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 （2）若，数列的前项和为，求 . 解： ， ， ，，得 ， . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 61 ◆ 综合提升 ◆ 10.[2025·河北石家庄模拟]设数列,满足 ， ，.设为数列的前 项和， 则 ( ) A.110 B.120 C.288 D.306 [解析] 由题意，得 .故选A. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 62 11.（多选题）已知数列满足 ， 设，记数列的前 项和 为，数列的前项和为 ，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 63 [解析] 对于A，由，因为 所以 ，，故A正确； 对于B，当 ， 时，，因为 ， 所以，故由可得，则 ， 即数列 是公差为1的等差数列，则 ，可得 ，故B正确； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 64 对 于C，由 ，可得 ，上面两式相减可得 ，可得 ，故C错误； 对于D，由 ， ，可得，则 ，故D正确.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.（多选题）已知数列满足 ， 则( ) A. B.的前项和为 C.的前100项和为 D. 的前20项和为284 [解析] ， 当时， , 当时， ，两式相减得 ，则 ， 又满足上式，，故A正确； √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 66 ， 数列是首项为4，公差为2的等差数列，的前 项和，故B正确； 的前100项和为，故C错误； 的前20项和为 ,故D正确.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知数列的前项和为， ，则 _______. [解析] 由题意得，所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 68 14.已知公差不为0的等差数列中，存在， ，满足 ，，则 ______. 2027 [解析] 设等差数列的公差为，由 ，可得 ， 因为 ，所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 69 15.已知是各项均为正数的数列，为{}的前 项和，且 ，， 成等差数列. （1）求 的通项公式； 解：由，，成等差数列，得 . 当时， ， ，得（ 舍去）; 当时，②， 得， ， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 70 . 又，， }是首项为2，公 差为1的等差数列，， . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 71 （2）求证： ； 证明： ， 故 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 72 （3）已知，求数列的前项和 . 解：由（1）知 . 当 是奇数时， ; 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 73 . 综上， 当 是偶数时， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ◆ 能力拓展 ◆ 16.[2026·辽宁大连二十四中期中] 已知在数列中， ，其前 项和为，且 ． （1）求证：数列 是等比数列. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 75 证明：因为， ， ， 所以 ，两式相减，得 ，即 ， 在中，令 ，得 ，即 ，得 ，显然 ，所以数列 是等比数列. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 76 （2）设数列的公比为，数列满足 ， ． 解：由（1）可知，所以 ， 整理得 ，所以数列是公差为的等差数列， ①若用表示不大于 的最大整数，试求 的值； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 77 ， 所以 . 又 ,故 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 78 ②设数列的前项和为，若存在正整数, ，使得 ,,成等比数列，试求出所有的, 的值． 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 79 解：因为 ，所以 ， 当，，成等比数列时， ，可得 ，则，解得 ， 因为，，所以或2,当时， ,舍去， 所以， ， 所以存在正整数,，使得，， 成等比数列. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $