第6单元 02 增分微课6 由数列的递推关系求通项公式an（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

该高中数学高考复习课件聚焦“由递推关系求通项公式”核心考点，依据高考评价体系梳理了累加法、累乘法、构造法等六种类型，通过考情分析明确构造法（占比35%）、累加法（占比25%）等高频考点，归纳12类常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“方法拆解+真题变式+素养提升”，如以构造法中形如\(a_{n+1}=2a_n+3\)为例，详解等比数列转化技巧，培养数学思维与推理能力。课时作业含2026年多地模拟题，设“易错警示”专栏，助力学生掌握得分技巧，教师可据此实现精准复习指导。

增分微课6 由数列的递推关系求 通项公式 1 类型一 类型二 类型三 类型四 类型五 类型六 课时作业 2 例1 [2026·山东青岛二中期末]在数列中， ， ，则 ( ) A.5 B. C.4 D. [解析] 在数列中，， ,即 ,所以 .故选A. √ 类型一　累加法(形如an+1=an+f(n)) 3 [总结反思] 根据形如是可以求和的关于 的函数）的递推 关系式求通项公式时,常利用求出 与的关系式,进而得到 的通项公式. 4 变式题 [2026·重庆一中模拟]已知数列的前项和为 ， ，， ， 则 ( ) A. B.3 C.4 D. √ 5 [解析] 由 ， 得 ， 所以 ， 所以，，， ， 以上各式相加得 ， 则 .故选C. 6 例2 若数列满足, ，则 ( ) A.2 B.6 C.12 D.20 [解析] 由得 ， ， .故选D. √ 类型二　累乘法(形如an+1=an·f(n)) 7 [总结反思] 已知形如（是可以求积的关于 的函数）的递推关系 式,常利用求 的通项公式. 8 变式题 在数列中，，前项和 ，则数列 的通项公式为 ( ) A. B. C. D. √ 9 [解析] 当 时， ， 两式相减可得 , ，，因此. 当时， 也满足上式，所以 .故选A. 10 题型1 形如 例3 在数列中，， ，则该数列的 通项公式为 ( ) A. B. C. D. ［思路点拨］先由递推公式证明 是等比数列，再利用 的通项公式写出 的通项公式即可. [解析] 由，得，又 , ， 数列 是以4为首项，2为公比的等比数列， ， .故选A. √ 类型三　构造法求数列通项 11 题型2 形如 角度1 形如 例4 [2026·河北邢台期末]已知数列中， ， ，则 ( ) A.2037 B.2047 C.1014 D.1021 [解析] 由可得 ，即 .又，所以，所以数列 是以2 为首项，2为公比的等比数列，即，所以 ， 所以 .故选A. √ 12 角度2 形如 例5 [2026·广东广州期末] 已知数列满足 ,， ，则数列 的通项公式为________________． [解析] 由， ，可得. 又，所以 ，所以是以3为首项，3为公比的 等比数列，所以 ，则， . 13 [总结反思] （1）形如 的递推关系式可以变形为 的形式对比原递推关系式可得 （也可利用不动点法由方程解得），确定 后,构建一个公比为的等比数列,再求 的通项公式. （2）形如 的递推关系式可以变形为 的形式，对比原递推关系式求 得,的值，构建一个公比为的等比数列,再求 的通项公式. （3）形如 的递推关系式，将递推关系式两边同 时除以得,再利用累加法等求 的通项公式.#2.3 14 变式题（1）[2026·安徽皖中名校联盟模拟] 已知数列的前 项和 为，若，则 ( ) A.16 B.31 C.47 D.63 [解析] 因为，所以当 时， ，两式相减得 ，即 ， 可得. 当时， ，即，解得， 所以数列 是首项为，公比为2的等比数列， 所以 ，则， 所以 .故选C. √ 15 （2）设是数列的前项和，若，则 ( ) A.3059 B.2056 C.1033 D.520 [解析] 由题得 ，则 ，所以 ， 则. 又 ，所以，则， 所以 是首项、公比均为2的等比数列,则， 所以 ，则 . 故选C. √ 16 （3）[2026·山西大学附属中学期末]已知数列的前项和为 ， 满足，且，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 由，可得. 又 ，所以，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以 ，所以 ， 所以 .故选C. √ 17 例6 已知数列满足，且 ， ，，则数列 的前10项和为______. 2036 [解析] 因为，且 ， 所以， ， 所以数列是首项为 ，公比为2的等比数列， 为常数列，所以 ， ，两式相减得 ，所以数列 的前10项和为 . 类型四　含相邻三项数列的递推关系(形如an+1=pan+qan-1(n≥2)) 18 [总结反思] 形如 的递推关系式可以变形为 的形式，对比原递推关系式可得 ,（,是方程 的根），求得 , 值， （1）（解答题适用）分别构建以, 为公比的等比数列，加减消元 求得通项公式. 19 （2）（选填题适用）当对应的方程①有两个不同的实根时可利用 ，的值代入 进行求解； 当对应的方程①有两个相同的实根时利用， 的值代入 进行求解； 当对应的方程①无实根时对应数列一般为周期数列.#5.1.4 变式题 已知数列的前项和为，且满足， ， ，则 的通项公式为_ ____________. [解析] 设 ，则 ，所以，解得 或. 当时， ， 因为，所以 是以4为首项，4为公比的等比 数列，所以； 当 时，， 因为 ， 21 所以是以为首项， 为公比的等比数列， 所以 两式作差得， . 例7 已知数列的首项，且满足 ，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 易知，因为 ，所以 ，即. 又，所以 ，故 是以3为首项，4为公差的等差数列， 则，故，所以 . 故选A. √ 类型五　取倒数法(形如an+1=,A,B,C为常数) 23 [总结反思] 有的递推关系式进行倒数变形后可转化为“ 常数”或“ 常数”的形式,再结合等差数列的通项公式求解. 24 变式题 已知数列满足，，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 因为，所以. 又，所以 ，所以数列 是首项为1，公差为1的等差数列， 则，得，所以 .故选B. √ 25 例8 [2026·安徽马鞍山质检]数列满足， ，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 方法一：由，及，可知 ， ，两边取以3为底的对数得 ， 所以数列{是以为首项， 为公比的等比数列， 所以， √ 类型六　取对数法(形如an+1=p(p>0,an>0)) 26 所以 . 方法二：由，可得 ， ， ，所以 ，故选C. [总结反思] 形如 的递推关系式两边同时取对数得 ，然后利用构造法得数列 {是以为公比的等比数列，从而得到数列 的通项公式. 28 变式题 [2026·安徽安庆模拟] 数列满足, ， 则使得成立的 的最小值为___. 6 [解析] 因为，所以 ，则 . 又，所以{ 是以为首项，2为公比的等比数列， 所以 ，所以， 则原不等式为 ，故, 解得，所以 的最小正整数值为6. 29 课时作业 30 ◆ 基础热身 ◆ 1.已知数列满足，若，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 函数的最小正周期为，所以 ,故选D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 31 2.在数列中，若,，则 ( ) A.1014 B.1013 C.2027 D.2026 [解析] 因为，所以 ， 所以数列，所以数列是常数列，所以 . 又，所以 .故选A. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 32 3.已知数列中，且，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 由得.又， 数列 是以1为首项，为公差的等差数列， ， , .故选D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 33 4.[2026·福建漳州质检]记数列的前项和为，已知 ， ，则 ( ) A.1024 B.1023 C.513 D.256 [解析] 由，得 . 因为，所以，，所以 是首项为4，公比为2的等比数列，则 ， 所以，所以 .故选B. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 34 5.[2026·广东茂名模拟]已知为各项均为正数的数列的前 项的 乘积，且,，则 ( ) A.16 B.32 C.64 D.128 [解析] 由，得，则 ， 则，两边取对数得 ， 因此，数列是常数列，则 ， 即，所以，则 .故选B. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 35 6.已知数列满足,，则 的最小值为 ( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 36 [解析] 由题得，，, , ,等式两边分别相加，得 . 因为，所以.又 满足上式， 所以，则, . 设函数，易知在上单调递减， 在 上单调递增.而,，当 时， ，当时，， ， 所以的最小值为 .故选A. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 37 7.在数列中，,，则数列 的通项公式为 _______. [解析] 由 ，可得 . 又，所以数列是以 为首项，3为公比的等比 数列，所以，故 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 38 8.[2026·河北张家口模拟] 已知数列满足， 且 ，则 ________. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 39 [解析] 由题得 ， 当时， 符合题意，所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9.已知数列满足，且 . （1）证明： 为等差数列； 证明：因为，所以 ， 则 ，即 . 所以数列是首项为，公差为 的等差数列. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 41 （2）若，且，求数列 的通项公式. 解：由（1）得，则 ， 因为，即，所以当 时， ， 即，又，所以当时，， 又 满足上式，所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 42 ◆ 综合提升 ◆ 10.[2025·江西上饶模拟]已知是首项为1的数列的前 项和，且 ，则 ( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 43 [解析] 易得 ，则 ，化简得 ，即， 由题知 ，所以，则 ， 即，所以， 又 满足上式，所以，所以 .故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 44 11.[2026·江苏常州一中模拟]在数列，中， ， ，，为的前 项和，则满足 的 的最小值为( ) A.8 B.9 C.10 D.11 √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 45 [解析] 由 ，得 ，则. 又，所以 ，所以， 所以 ，则. 又，所以数列 是以1为首项，2为公比的等比数列， 则由，得 ， 即.又,，所以 ，故选D. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 46 12.（多选题）已知数列满足， ，则 ( ) A. B. 是等差数列 C. 是等比数列 D.数列的前99项和为 [解析] 对于A选项，令可得，即 ，得 ，故A错误； √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 47 对于B选项，两边同时除以 ，可得， 即，又，所以 是以1为首项，1为公差的 等差数列，故B正确； 对于C选项，由B可知，所以， 所以 ，所以 是以1为首项，2为公比的等比数列，故C正确； 对于D选项，因为， 所以数列 的前99项和为 ，故D错误.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13.[2025·广东江门模拟] 在数列中， ，且 ，则 的通项公式为__________________. [解析] 由 ，可得 ，所以 是首项为 ，公比为3的等比数列， 所以，所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 49 14.已知数列满足， ，若， ，且数列 是递增数列，则实数 的取值范围为_________. [解析] 由，可得 ，则， 数列 是首项为2，公比为2的等比数列， ， ，且数列 是递增数列，，即 ，可得，， 故实数 的取值范围为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 50 15.[2026·江苏南京七校联合体调研] 已知各项均为正数的数列 的 前项和为，且 ． （1）证明：数列 是等差数列； 证明：由得当 时, ， ， 即 ， 又， ， ， ，解得， 数列 是以1为首项，2为公差的等差数列. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 51 （2）若数列满足 ，且， 求数列 的通项公式． 解：方法一：由（1）得， 当 时， ， ， ， 当时，，满足，综上所述， . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 52 方法二：由（1）得， ， ， ， ， 令 ，则数列 为常数列， ， . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 53 $