第6单元 01 第36讲 数列的概念与简单表示法（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

该高中数学高考复习课件聚焦“数列的概念与简单表示法”专题，依据课标要求覆盖数列定义、通项公式、an与Sn关系、数列函数性质等核心考点，对接高考评价体系分析高频考点分布，如an与Sn关系占比达30%，归纳由前几项求通项、单调性判断等常考题型，构建系统复习框架。 课件亮点在于“易错点警示+题型建模+真题训练”，通过“忽视n=1验证”“数列自变量为正整数”等易错分析，结合定义法判断单调性、周期数列递推求项等方法，培养数学思维与表达素养，助力学生掌握得分技巧，教师可据此精准突破考点，提升复习效率。

1.知识网络 单 元 教 学 设 计 1 2.课时安排 本单元共5讲、2个重点强化练、2个增分微课、1个培优专题,每讲 建议各1课时完成,培优专题建议1课时完成，本单元大约共需10课时. 单 元 教 学 设 计 2 第36讲 数列的概念与简单表示法 3 课前基础巩固 课堂考点探究 课时作业 4 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）. 2.了解数列是自变量为正整数的一种特殊函数. 课 标 要 求 5 ◆ 知识聚焦 ◆ 1.数列的有关概念 概念 含义 数列 按照__________排列的一列数 数列的项 数列中的__________ 通项公式 如果数列的第项与 之间的关系可以用__________ 来表示，其中是关于 的不含其他未知数的关系 式，则称上述关系式为这个数列的______通项公式 一定次序 每一个数 一个 课 前 基 础 巩 固 6 概念 含义 递推公式 如果已知数列的首项（或前几项）,且数列的相邻两项 或两项以上的关系都可以用一个公式来表示，则称这个 公式为数列的递推关系 数列 的前 项和 一般地，给定数列,称 ________________为数列 前 项和 续表 课 前 基 础 巩 固 7 2.数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数______ 无穷数列 项数______ 项与项间 的大小关 系 递增数列 ___ 其中 递减数列 ___ 常数列 ___ 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有 些项小于它的前一项 有限 无限 课 前 基 础 巩 固 8 3.数列与函数的关系 数列 可以看成定义域为正整数集的子集的函数，数列中的数就 是自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值，而数列的通项 公式也就是相应函数的解析式. 4.与 的关系 已知数列的前项和为，则 _ _______________. 课 前 基 础 巩 固 9 常用结论 在数列中，若最大，则；若 最 小，则 . 课 前 基 础 巩 固 10 ◆ 对点演练 ◆ 题组一 常识题 1.［教材改编］数列1，，，，， 的一个通项公式是 _____. [解析] 因为，，， ， ， ，所以 . 课 前 基 础 巩 固 11 2.［教材改编］已知数列的前项和 ，那么它的通 项公式为 _______. [解析] ， ，当时，， . 课 前 基 础 巩 固 12 3.［教材改编］古希腊人常用小石子在沙滩上 摆成各种形状来研究数，如图中的数 1,5,12,22， 称为五边形数，则第7个五边形 数是____. 70 [解析] ,,， 相邻两个图形的小 石子数的差值依次增加3， 第5个五边形数是 ，第6个 五边形数是，第7个五边形数是 . 课 前 基 础 巩 固 13 题组二 常错题 4.［不能正确求出通项公式］已知数列1,,,,3,, ，则 是这个数列的第____项. 22 [解析] 由题意可得数列的通项公式为 ，又 ，解得，所以 是这个数列的第22项. 课 前 基 础 巩 固 14 5.［忽视数列是特殊的函数,其自变量属于正整数集或,2, , 数列中， ，则此数列最大项的值是____. 30 [解析] 因为 ，所以当 或6时， 取得最大值30. 课 前 基 础 巩 固 15 6.［根据求时忽视对的验证］已知数列的前 项和 ，则数列 的通项公式为 _ ________________________. [解析] ，当时，，当 时， ，所以 ， 当时，不满足上式，所以 课 前 基 础 巩 固 16 探究点一 根据数列的前几项求数列的通项公式 例1（1）数列，，，， ，则该数列的第 项应为( ) A. B. C. D. [解析] 数列的前几项可化为， ， ， ，则其通项公式为 .故选D. √ 课 堂 考 点 探 究 17 （2）数列1，，1，, 的一个通项公式为( ) A. B. C. D. [解析] 对于A，当时， ，故A错误； 对于B，当为奇数时，为偶数， ， 与数列奇数项为1相符，当为偶数时， 为奇数， ，与数列偶数项为 相符，故B正确； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，当 时， ，故D错误.故选B. √ 课 堂 考 点 探 究 18 [总结反思] 由数列前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略: （1）常用方法:观察（观察规律）、比较（比较已知数列）、转化 （转化为特殊数列）、联想（联想常见的数列）.可以使用添项、还 原、分割等方法,转化为一个常见数列,通过常见数列的通项公式求得 所给数列的通项公式. （2）具体策略:①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变化特征,如 递增时可考虑关于的一次递增或以, 等形式递增;③拆项后的特 征;④各项的符号特征和绝对值的特征;⑤化异为同,对于分式还可以 考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系;⑥对于符 号交替出现的情况,可用或, 来处理.#1.1.2 课 堂 考 点 探 究 19 探究点二 由与 的关系求通项公式 例2（1）已知数列的前项和，则数列 的通项 公式为 _ ____________. [解析] 当时，； 当 时， . 所以 课 堂 考 点 探 究 20 （2）[2025·广州模拟] 已知数列 满足 ,则数列 的通项公式为_ ______________. [解析] 当时,,当 时,由 ,可得 , 两式相减得,解得. 课 堂 考 点 探 究 21 [总结反思] 与 的关系问题的求解思路： （1）利用转化为只含有， 的关系式再 求解，注意对时的结果进行检验,看是否符合 ； （2）利用转化为只含有， 的关系式再 求解. 课 堂 考 点 探 究 22 变式题（1）已知数列的前项和为，且 , ，则 _______. [解析] 由，可得 ，即 ，则，所以数列 是以2 为首项，2为公比的等比数列，所以 ，所以 . 课 堂 考 点 探 究 23 （2）[2026·安徽江淮十校二联] 记为数列的前 项和，已知 ，，则数列 的通项公式是_________. [解析] ,， 当 时，， 由 得 ， ,， 是等差数列，又， . 课 堂 考 点 探 究 24 探究点三 数列的函数性质 微点1 数列的函数性质 例3 [2025·湖南长沙期末]数列 的通项公式为 ，且为递增数列，则 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. √ [解析] 由数列是递增数列得，对 恒成立，即 ，整理可得对 恒成立. 因为函数在上单调递增，所以 .故选B. 课 堂 考 点 探 究 25 微点2 数列的周期性 例4 [2026·河北邢台质检]在数列中，若, ，则 中的项是( ) A.4 B. C. D. [解析] 由,，得, ， ，, ，所以是以3为周期的数列.又 , ,,所以A，C，D均不是 中的项.故选B. √ 课 堂 考 点 探 究 26 微点3 数列的最值 例5 （多选题）[2026·陕西汉中联考]已知数列 的通项公式为 ，则下列说法正确的是( ) A.是数列的最小项 B.是数列 的最大项 C.是数列的最大项 D.当时，数列 递减 √ √ √ 课 堂 考 点 探 究 27 [解析] 设第项为的最大项，则 即 所以 又，所以或，故数列中与 均 为最大项，且.当时，数列 递减，故B,C,D正确. 当趋向正无穷大时， 无限趋向于0且大于0， 又，所以不是数列的最小项，且数列 无最小项， 故A错误.故选 . 课 堂 考 点 探 究 28 [总结反思] 1.判断数列的单调性常用以下两种方法:（1）定义法:已知 ,若 满足,则数列为递增数列;若满足 ,则 数列 为递减数列.（2）函数法:根据数列通项公式的形式将通项 公式对应到相应的函数中,利用相应函数的性质求解数列的有关问题, 要注意 .数列单调性的判断更多的是应用定义判断,进而求解数 列的最值问题等. 2.数列的周期性主要体现在项数较大的求值问题中.一般要通过递推 关系进行列项求值,发现规律,进而解决求值问题. 课 堂 考 点 探 究 29 3.求解数列最值问题常用的方法: （1）将数列视为当时函数 所对应的一系列函数值,先求出 的单调性,利用单调性求出 的最值,进而求出数列的最大（小） 项. （2）通过通项公式 研究数列的单调性或各项的正负情况,利用 确定最大项,利用 确定最小项. 课 堂 考 点 探 究 30 应用演练 1.已知数列，满足,, ，则 ( ) A. B. C.1 D.2 √ 课 堂 考 点 探 究 31 [解析] 方法一：因为,, ，所以 ，，，， ，所以 是以3为周期的 周期数列，所以 . 方法二：因为,所以 ,两 式相减得，所以 是以3为周期的周期数列，所以 .故选A. 课 堂 考 点 探 究 32 2.数列的通项公式为，则当该数列的前 项 和取得最小值时， 的值为( ) A.5 B.7 C.7或8 D.6或7 [解析] 由，得当时，， 当 时，. 由，得 ，因此 ,则,， 当 时，，所以当该数列的前项和取得最小值时， 的值为6或7.故选D. √ 课 堂 考 点 探 究 33 3.（多选题）[2025·佛山期末]已知数列的前项和为 ， ，则( ) A.数列 是递减数列 B.当且仅当时， 取得最小值 C.数列 是递减数列 D.当且仅当时， 取得最小值 √ √ 课 堂 考 点 探 究 34 [解析] ， 易知在上单调递减，在 上单调递减， 且当时，，当时， . 对于A，因为，，所以， 所以数列 不是递减数列，故A错误； 对于B，因为 ，，所以当时 取得最小值，故B正确； 课 堂 考 点 探 究 对于C，因为，，所以，数列 不是递减数列，故C错误； 对于D，因为前7项中，，到 为负数，当时， ，所以是前 项和中最小的，所以当且仅当时， 取得最小值，故D正确.故选 . 课 堂 考 点 探 究 4.已知数列 的通项公式为, 若数列 是递增数列，则实数 的取值范围是________. [解析] 当时，，因为数列是递增数列，所以 . 当时，由题得 ，即 ，解得. 又 ，所以，解得或 . 综上，实数的取值范围是 . 课 堂 考 点 探 究 37 课时作业 38 ◆ 基础热身 ◆ 1.已知数列，，，，， ，则 是这个数列的 ( ) A.第11项 B.第12项 C.第13项 D.第14项 [解析] 由该数列的前几项观察归纳，知根号内的被开方数是以6为首 项，4为公差的等差数列，所以该数列的通项公式为 ， 当时， .故选B. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 2.已知数列的前项和,则 ( ) A.77 B.153 C.161 D.238 [解析] .故选C. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 3.已知数列满足,，则 ( ) A. B. C. D.3 [解析] 由数列满足, ，可得 ,, , ， ，所以数列 是周期数列，且周期为4， 所以 .故选A. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 4.[2026·浙江绍兴期末]已知数列的通项公式为，前 项和为，则取得最小值时 的值是( ) A.6 B.7 C.8 D.9 [解析] 令，则，解得或. 因为 ，所以当或时，， 当时， ，所以当时， 取得最小值.故选B. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 5.[2025·惠州模拟] 数列的通项公式为,那么“ ” 是“ 为递增数列”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析] 令，得 ,即 ，若为递增数列，则，所以是 为递增数列的充分不必要条件.故选A. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 6.（多选题）[2025·郑州期末]已知是数列的前 项和， ，则下列结论正确的是( ) A.数列是等差数列 B.数列 是递增数列 C. D. [解析]在中,令得 ,解得. 当时， ，则 ，即 ，所以，所以 是以1为首项， 3为公比的等比数列，故A错误，B正确. ，则，故C，D正确.故选 . √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 7.[2026·山东菏泽期末] 已知递增数列 的通项公式为 ，则 的取值范围为__________. [解析] 由数列 是递增数列，可得 , 即,则对任意恒成立，故 ， 故的取值范围为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 8.[2025·安徽黄山期末] 已知数列 的通项公式为 ，则 中最小项的值为____ . [解析] ， ，而，当时， ， 当时，，所以中最小项的值为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 9.已知数列满足,若 ，则 ___ . 5 [解析] 由题可得，， ， ，则 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 ◆ 综合提升 ◆ 10.[2025·陕西安康模拟]在数列中，,, ，若 对任意的,恒成立，则 ( ) A. B.1 C. D. [解析] 由,得 ，两式 相减得，即. 又 ，所以，所以 .故选B. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 11.[2026·福建宁德期中]在数列中，若 ， 是数列的前项和，则 ( ) A. B.1015 C.2029 D.2030 √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 [解析] 因为， ，所以 ， ， ， 所以数列 是以3为周期的周期数列. 因为 ， 所以 .故选A. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.（多选题）已知数列满足, ，则下列说 法正确的是( ) A. B. 为递增数列 C. D. [解析] 因为 ，所以， 所以数列为递增数列，故 ，选项A正确； 因为数列为递增数列，所以，所以 为递减数列， 选项B错误； √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 因为 ，所以，两边平方整理 得 ，选项C正确； 由，整理得 ，两边平方得 ，则 ，所以 ,, , ， 累加可得，即 ， 所以，故D正确.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.数列中， ，且满足 ，则实数 的取值范围是__________. [解析] 由得 ， 所以 . 由题知数列 是递增数列，所以， 即对任意 恒成立，所以， 即 当时， 取得最大值，所以， 故实数 的取值范围是 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 14.在数列和中，数列的前项和为，若点 在函 数的图象上，点在函数 的图象上.设 . （1）求数列 的通项公式； 解： 点在函数 的图象上， . 当时，，当 时， ，又 满足上式， . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 （2）求数列 的最大项. 解： 点在函数的图象上， ， ， ， . 令，解得， 当时，递增， 当 时，递减，又 ， ， 数列的最大项为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 ◆ 能力拓展 ◆ 15.[2025·扬州模拟] 已知数列的各项都为正整数，且 ， ，若对任意， ，则 的最小值为____. 21 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 [解析] 因为数列的各项都为正整数，且对任意 ， ，所以 ， ，或， . 当时，的最小值为4； 当 时，的最小值为. 由 ，可得的最小值为； 由 ，可得的最小值为 . 又， ， 所以的最小值为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 16.[2025·湖北黄石模拟] 无穷数列由个不同的数组成， 为 的前项和，若对任意，，3，，则整数 的最大 值为___. 6 [解析] 当时，，因为，所以首项 只能是2， 3或4中的一个.当时,且 ,所以. 若，则可能为0，1，2；若，则 可能为,0,1； 若，则可能为,,0.综上， 的可能取值为,,0,1,2. 当时，， ，所以. 因为，所以的可能取值同样为, , 0,1,2. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 显然当时，的可能取值仍为,,0,1,2. 构造数列 ，取，,，,，， , ,，,,, ,此时数列 包 含的不同数字为4,，0，1，，2，共6个； 取, ，，,,,,, , , ,, ,此时数列包含的不同数字为 3， ，0，1，，2，共6个. 其他情况数列 包含的不同数字的个数均不超过6. 故整数 的最大值为6. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $