第5单元 06 第34讲 平面向量的综合问题（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

该高中数学高考复习课件聚焦平面向量综合问题，依据课标要求覆盖三角形“四心”向量形式、几何综合应用、物理问题解决及解三角形综合等核心考点。通过分析近五年高考真题，明确“四心”判定、数量积运算、向量与几何综合占65%的高频考点，归纳出坐标法、基底法等常考题型解法。 课件亮点在于“考点精讲+真题变式+素养提升”，如以2025年山东临沂模拟题为例，通过向量垂直条件列方程求模长，培养学生数学思维和运算能力。设置“易错点警示”和“解题模板”，帮助学生掌握坐标法在几何问题中的应用，教师可依托此课件实现考点精准突破，提升复习效率。

第34讲 平面向量的综合问题 1 课前基础巩固 课堂考点探究 课时作业 2 会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问 题,体会向量在解决数学和实际问题中的作用. 课 标 要 求 3 ◆ 知识聚焦 ◆ 1.“四心”向量形式的条件 已知，，，是所在平面上的任意点，，， 分别为三 个内角，， 所对的边. （1） 为垂心 （2）为重心 . 课 前 基 础 巩 固 4 （3） 为外心 . （4）为内心 . 课 前 基 础 巩 固 2.平面向量与平面几何综合的有关结论 （1）若，为非零向量，则 ； 是钝角或两向量反向共线； 是锐角或两向量同向共线. （2）是 的平分线. （3）在中， 是菱形； 是矩形. 课 前 基 础 巩 固 6 3.平面四边形对角线向量定理及其相关结论 （1）在平面四边形中，有 . （2）在平面四边形中，若 ，则有 . （3）在平面四边形中，有， . 课 前 基 础 巩 固 7 4.三角形面积公式的向量表示 平面上，，三点不共线，设 ， ，则 . 课 前 基 础 巩 固 8 探究点一 平面向量与三角形的“四心” 例1（1）[2025·山东临沂模拟]在平行四边形中， ， ， ，为边上一点，若，则线段 的长为( ) A. B. C.3 D. ［思路点拨］利用向量垂直则数量积为0，求出 ，再 平方求向量的模即可. √ 课 堂 考 点 探 究 9 [解析] 设，因为 ，所以 ,即，解得 ， 所以 ，则 .故选A. 课 堂 考 点 探 究 10 （2）点，，在 所在平面内，且满足 ， ， ，则，，依次是 的( ) A.重心、外心、内心 B.重心、外心、垂心 C.外心、重心、内心 D.外心、重心、垂心 ［思路点拨］由三角形“四心”的性质即可得出答案. √ 课 堂 考 点 探 究 11 [解析] ，，设 的中点 为，则，，，三点共线，即为 的 中线上的点，且，为 的重心. ，，为 的外心. ，，即 ， .同理可得，，，为 的垂心. 故选B. 课 堂 考 点 探 究 12 [总结反思] 用向量方法解决平面几何问题的步骤 平面几何问题向量问题解决向量问题 解决几何问题. 课 堂 考 点 探 究 13 变式题（1）已知平面四边形的四条边，，， 的中 点依次为，，，，且 ，则四边形 一定为( ) A.正方形 B.菱形 C.矩形 D.直角梯形 √ 课 堂 考 点 探 究 14 [解析] 连接，，由题意结合中位线定理可得 , ，,，, ，即四边形 为平行四边形. ， ， ， ， ， 即，即，，又， ， ，故四边形 为矩形.故选C. 课 堂 考 点 探 究 15 （2）已知正三角形的边长为2，点在边上且 ，点 为边的中点，与交于点，则 的余弦值为_ ___. [解析] 因为在正三角形中，点为 边的 中点，所以，如图，以为原点， , 所在直线分别为, 轴建立平面直角坐标系， 则,,, ， 因为，所以 ，则 ，则，又 ， 所以 . 课 堂 考 点 探 究 16 探究点二 平面向量在物理中的应用 例2 ［人教A版必修第二册P40例3改编］在日 常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行 李包的情景，如图，若行李包所受的重力为 ， 两个拉力分别为，，且， 与 的夹角为 ，则当两人拎起行李 包且保持平衡时，下列结论正确的是( ) A. B.当时， C.当 越大时，用力越小 D.当时， √ 课 堂 考 点 探 究 17 ［思路点拨］根据题意可得 ，则 ， 再分析各个选项即可得出答案. [解析] 根据题意可得 ，则 ，故A错误； 当 时， ，即 ， 故B正确； 课 堂 考 点 探 究 18 ，因为 在 上单调递减， 且行李包所受的重力不变，所以当 越大时， 用力越大，故C错误； 当 ，即 时， 解得，又，所以 ， 故D错误.故选B. 课 堂 考 点 探 究 [总结反思] 1.用向量方法解决物理问题的“三步曲” 课 堂 考 点 探 究 20 2.向量在物理学中的应用一般涉及力、速度或位移的合成与分解，充 分借助向量的平行四边形法则或三角形法则把物理问题抽象转化为 数学问题，同时正确作图是前提. 课 堂 考 点 探 究 21 变式题 [2025· 全国一卷]帆船比赛中，运动员可 借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果 在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量 是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量 之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的 向量大小相等、方向相反.下表给出了部分风力等级、名称与风速大 小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向 量与船速对应的向量如图（线段长度代表速度大小，单位 ）,则 真风为( ) 课 堂 考 点 探 究 22 级数 名称 风速大小 2 轻风 3 微风 4 和风 5 劲风 A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 √ 课 堂 考 点 探 究 23 [解析] 设真风风速、船行风速、视风风速、船 速对应的向量分别为,,, ，由题意知 ，，则 ， 又，， , ，故真风为轻风.故选A. 课 堂 考 点 探 究 24 探究点三 平面向量数量积与解三角形综合 例3 [2025·湖南长沙一中月考（六）] 已知的面积为 ，且 . （1）求 的值； ［思路点拨］根据向量数量积的定义结合三角形的面积公式即可求 出 ，再结合二倍角公式进行计算即可； 解：设的内角,,所对的边分别为,,, ， ，可得 ， , . 课 堂 考 点 探 究 25 （2）若，，求 . ［思路点拨］利用两角和的正弦公式求出 的值，再结合正弦定 理以及三角形的面积公式进行计算即可. 例3 [2025·湖南长沙一中月考（六）] 已知的面积为 ，且 . 课 堂 考 点 探 究 26 解：由得,， ， ，, . 由正弦定理得， , 则 . 课 堂 考 点 探 究 27 [总结反思] 求解平面向量数量积与解三角形综合题的方法:选取合适的基底,把三 角形中的边对应的向量用基底表示,利用平面向量数量积结合正余弦 定理沟通边角关系求解. 课 堂 考 点 探 究 28 变式题 [2025·重庆九龙坡区5月调研]在中，内角，， 所 对的边分别为，， ，已知 , ，若，则 的最小值为( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 29 [解析] 因为 ，所以由正弦定 理得，即 ，由余弦定 理得，又，所以 . 由 知，因为,所以 ， 当且仅当 时等号成立.故选D. 课 堂 考 点 探 究 30 课时作业 31 ◆ 基础热身 ◆ 1.设是单位向量，若,,，则四边形 一定是( ) A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 [解析] 由,，得， ， 所以四边形 一定是菱形.故选B. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 32 2.已知点是 的重心，则( ) A. B. C. D. [解析] 设的中点为，连接，因为点是 的重心，所以 在线段上，且 ，故选D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 33 3.在中，，，且，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 由题知 ，解得，又 ，所以 .故选C. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 34 4.马戏表演中小猴子模仿人做引体向上运动的节目深受观众们的喜爱， 当小猴子两只胳膊拉着单杠处于平衡状态时，每只胳膊的拉力大小 为，此时两只胳膊的夹角为 ，则估算小猴子的体重 （单位:）约为（参考数据：取重力加速度大小为 ， ）( ) A.9.2 B.7.5 C.8.7 D.6.5 √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 35 [解析] 设小猴子两只胳膊的拉力分别为， ，则 ， ， . 设小猴子的体重（单位：）为，则 ， 解得 .故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 36 5.[2025·长沙一中一模]已知菱形的边长为1, , 是 的中点，与相交于点，则 ( ) A. B. C.1 D. [解析] 因为，所以， ， 所以，所以 ，所以 ，故 .故选B. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 37 6.（多选题）无人机的飞行速度向量、风速向量会影响其实际飞行轨 迹.无人机不受风影响时的飞行速度对应的向量称为空速向量，实际 观测到的飞行速度对应的向量称为地速向量，其为空速向量与风速 向量之和.无人机搭载的设备可监测线路缺陷，当无人机相对线路的 横向偏移量（垂直线路方向的向量分量）超过 或纵向偏移量 （沿线路方向的向量分量，其标准值为）超过标准值 时， 需调整飞行姿态.已知某区域风速稳定，某次无人机计划以 轴正方 向为线路巡检时，空速向量为（单位： ），风速向量为 （单位： ），则( ) 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 38 A.地速大小为 B.地速向量的方向与空速向量的方向相同 C.纵向偏移量与标准值无偏差 D.该无人机需要调整飞行姿态 √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 39 [解析] 设空速向量为，风速向量为，地速向量为，则 , ，所以 ，所以 ，所以地速大小为 ，故A正确； 由, 可知地速向量的方向与空速向量的方向不相同， 故B错误； 纵向偏移量为 ，与标准值无偏差，故C正确； 因为横向偏移量为，所以需要调整飞行姿态，故D正确. 故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 40 7.[2025·湖北孝感八校三模] 在中，已知， ， 边上的中线，那么 ___. 9 [解析] 由 ，得 ，所以 ，即 ，解得 ， 由余弦定理得 ，所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 41 8.[2025·河南濮阳一模] 向量, 在边长为1的正方形网格中的位置如 图所示，则以向量, 为邻边的平行四边形的面积是___. 3 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 42 [解析] 根据题意，将向量, 平移至同一起点， 以起点为原点建立平面直角坐标系，以, 为 邻边作平行四边形，如图所示，则 , ，故, ， 又向量,的夹角为锐角，所以, ，则 该平行四边形的面积, . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 43 9.若平面上的三个力，， 作用于一点，且处于平衡状态，已知 ， ，与的夹角为 ，求： （1） 的大小； 解：如图，设， 的合力为， 与的夹角为 ，记 ，， 分别为，， . 过点作延长线的垂线，与 的延长线相交于点 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 44 在中， ， ，所以 . 在 中， ， 所以 ，从而得 ， 所以 ， 于是 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 （2）与 夹角的大小. 解：因为 ，所以与的夹角为 . 9.若平面上的三个力，， 作用于一点，且处于平衡状态，已知 ， ，与的夹角为 ，求： 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 46 ◆ 综合提升 ◆ 10.已知在平面四边形中，,, 是四边形 外接圆的直径，，则 ( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 47 [解析] 因为 ，所以 ， 由题易知 ，所以， ，则，可得. 在直角三角形中可得 ， 故 .故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 11.[2025·金华十校一模]设 为两个非零向量, 的夹角，已知对任 意，的最小值为，则 ( ) A. B. C.或 D.或 √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 49 [解析] 如图，令,,，则即为线段 的 长度.由题知对任意，的最小值为，即 ， 显然当时，线段 最短，此时， 所以，又 ，所以或 .故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 50 12.如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为 ，一艘船从河岸 的地出发，向河对岸航行.已知船的速度的大小为 ， 水流速度的大小为 ，船的速度与水流速度的合速度 为 ，那么当航程最短时，下列说法正确的是( ) A.船头方向与水流方向垂直 B., C. D.该船到达对岸所需时间为 √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 51 [解析] 由题意可知， ，当船的 航程最短时，，而船头的方向与 的方向相同，A选项错误； 由 ， 可得，所以, ，B选项正确； ，C选项错误； 该船到达对岸所需时间为 ，D选项错误.故选B. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 52 13.[2025·辽宁大连育明中学最后一模] 如图， 一滑轮组中有两个定滑轮， ，在从连接 点 出发的三根绳的端点处挂着三个重物， 它们所受的重力分别为，， ，此 时整个系统处于平衡状态，则 ___. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 53 [解析] 依题意， , ， 则 ， 即 ， 解得 ，所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 54 14.如图，在中，，分别为， 上的点，且满足 ，，则直线一定经过 的______ （填“重心”“垂心”“内心”或“外心”）；若线段和相交于点 ， 则 的值为___. 重心 4 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 55 [解析] 由，可得为 的中点，所以 直线一定经过的重心. 由,, 三点共线，可设， 故 ， 又 ， ，且, 共线，所以，解得， 故 ,所以,故 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 56 15.在等腰直角三角形中，，,是边 上的点， 且 . （1）若，是边的中点，是边上靠近 的四等分 点，用向量,表示, ； 解： . . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 57 （2）求 的取值范围. 解：由题易知，设， ，则 ，所以， 因为，所以的取值范围是 . 15.在等腰直角三角形中，，,是边 上的点， 且 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 58 ◆ 能力拓展 ◆ 16.已知在中，,,分别为 的重心和外心，且 ，则 的形状是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.上述三种情况都有可能 √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 59 [解析] 如图，取边的中点，连接， ， 因为为的外心，所以. 因为 为的重心，所以. 过点 作于点，过点作于点 ， 因为，，为在 上的投影向量，所以由数量 积的几何意义得.由及，得 ， 又，所以点,重合，故 .故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 60 17.若是的垂心，且，则 的值为 _ ___. [解析] 方法一：设边的中点为，连接，设内角，, 的对 边分别为,,，由 ， 得 ， 所以，故垂心在中线上，故 . 由，得 ， 因为，，所以 ， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 61 所以 ， 即，所以 ， 由余弦定理得，又，所以 ， 所以，所以 , 可得 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 方法二：根据奔驰定理得 ， 又，所以 ， 所以, . 因为 ， 所以， 可得 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 $