第5单元 03 教材拓展2 等和线求最值范围问题（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

该高中数学高考复习课件聚焦“平面向量等和线求最值范围”专题，依据高考评价体系梳理了三点共线定理、等和线定义及推广结论等核心考点，通过典型例题与巩固演练分析，明确了λ+μ最值、范围求解等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“定理应用+题型归类+素养提升”的复习策略，如例1利用等和线定理得λ+μ=1/2，结合二次函数求λ²+μ²最小值，培养数学思维与几何直观。通过“确定等和线—平移分析—计算最值”三步法，帮助学生掌握解题技巧，教师可据此系统指导，提升复习效率。

教材拓展2 等和线求最值范围问题 1 典型例题 巩固演练 2 1.平面向量三点共线定理 如图①，若<m></m>,<m></m>,<m></m>三点共线，则<m></m>，其中<m></m>. ① 此结论也可以描述成分点恒等式形式：若 ,则 . 3 2.推广的等和线结论 （1）等和线定义:已知平面内一个基底<m></m>,<m></m>}及任一向量<m></m>, <m></m>,若点<m></m>在直线<m></m>上或在平行于直线<m></m> 的直线上,则<m></m>为定值<m></m>;反之也成立.我们把直线<m></m>以及与直 线<m></m>平行的直线称为等和线. （2）等和线定理： 如图②，<m></m>,<m></m>两点共线，<m></m>为直线<m></m>外一点， <m></m>为与<m></m>平行的直线，且<m></m>,<m></m>,<m></m>共线，<m></m>,<m></m>,<m></m>共线， <m></m>.若点<m></m>为<m></m>上一点， <m></m>,则<m></m> ［课本探源：人教A版必修第二册P26例1］ ② 4 ◆ 典型例题 ◆ 例1 在中，为边上任意一点，为 的中点，且满足 ，则 的最小值为( ) A. B. C. D.1 √ 典 型 例 题 5 [解析] 在中，为边 上任意一点，则， 为 的中点，且满足， 由等和线定理得,即 ， 因此， ， 当且仅当时取等号，此时为的中点， 的最小值为 . 典 型 例 题 6 例2 如图，边长为2的等边三角形的外接圆圆心为，为圆 上 任意一点，若，则 的最大值为__. 典 型 例 题 7 [解析] 如图，过点作 的平行线，与直线 相交于点，与直线相交于点，设 与相交于点. 由等和线定理知，当 过圆心， 并且，位于点两侧时， 取得最大值， 此时， 的最大值为 . 典 型 例 题 8 [总结反思] 利用等和线定理解求最值问题的策略： （1）确定 的等和线； （2）平移（或旋转或伸缩）该直线，结合动点的可行域，分析在何 处取得最值； （3）从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值或最小值. 典 型 例 题 9 ◆ 巩固演练 ◆ 1.如图，在平行四边形中，，相交于点，为线段 的 中点，若,则 等于( ) A.1 B. C. D. √ 巩 固 演 练 10 [解析] 方法一（常规方法）为线段 的中点， 方法二（等和线法）如图，延长，交于，过点作 的平 行线，设,则，即 . ,, , 则 . 巩 固 演 练 11 2.在中，点在线段 上（不包括端点），向量 ，则 的最小值为( ) A. B. C. D. [解析]由题意知,向量且点在线段 上（不包括端点）， 由等和线定理可得，且, ， 故 ， 当且仅当，即,时取等号， 故 的最小值为 ，故选D. √ 巩 固 演 练 12 3.在矩形中，动点在以为圆心且与 相切的圆上，若 ，则 的最大值为( ) A.3 B. C. D.2 [解析] 根据题意可知，当过点 且与圆相切 的直线与平行时， 取得最大值，设 与相交于点，则 . 如图，过点作过点的切线和 的垂线， 垂足分别为，，则 .故选A. √ 巩 固 演 练 13 4.在平面直角坐标系中，已知点,, ，若动点 满足，且，则 的最大值 为_ _____. 巩 固 演 练 14 [解析] 方法一：如图，取的中点，连接，则 ,又 ，所以 .作的平行线，与半径为1的圆 相 切于点，与轴相交于点在轴正半轴上 ， 由等和线定理知当在处时 取得最大值， 易知 ,连接，与交于 点，连接，因为，所以 . 设，则，由三角形相似知 ，则 ，此时 ， 所以 . 巩 固 演 练 15 方法二：因为，, ,， 所以, ,，代入 ， 可得 则 ， 所以 . 由 ，得，当且仅当 时等号成立， 所以 ，得， 当且仅当 时等号成立，所以 ，即 的最大值为 . 巩 固 演 练 16 $