第5单元 02 第32讲 平面向量基本定理及坐标表示（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

该高中数学高考复习课件聚焦“平面向量基本定理及坐标表示”专题，依据课标要求和高考评价体系，梳理了平面向量基本定理、坐标运算、共线坐标表示三大核心考点，通过真题分析明确基底判断、坐标运算、共线参数求解等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题溯源+易错突破+思维建模”策略，如以2025北京朝阳区二模题为例，运用数学思维中的推理能力，通过基底线性表示和坐标方程法突破共线参数求解，培养学生数学语言表达能力。特设“易错警示库”和“题型变式训练”，助力学生掌握答题技巧，教师可据此精准指导，提升复习效率。

第32讲 平面向量基本定理及坐标表示 1 课前基础巩固 课堂考点探究 课时作业 2 1.掌握平面向量基本定理. 2.借助平面直角坐标系,掌握平面向量的正交分解及坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算. 4.能用坐标表示平面向量共线. 课 标 要 求 3 ◆ 知识聚焦 ◆ 1.平面向量基本定理 如果平面内两个向量与不共线，则对该平面内任意一个向量 ,存 在唯一的实数对,使得 _________. 平面内不共线的两个向量与 组成该平面上向量的一组基底，记为 _______. {,} 2.平面向量的正交分解 如果平面向量的基底{, 中，________, 就称这组基底为正交基 底；在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解. 课 前 基 础 巩 固 4 3.平面向量的坐标运算 （1）向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设,,则________________, _________________,__________, __________. （2）向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则______坐标即为向量的坐标. ②设，,则________________, _______________________. 终点 课 前 基 础 巩 固 5 4.平面向量平行（共线）的坐标表示 设,,则 ____________. 课 前 基 础 巩 固 6 常用结论 1.若与不共线，且,则 . 2.三角形重心坐标公式：已知的顶点， ， ，则线段的中点坐标为 的重心坐标 为 . ① 3.爪子定理 形式1：如图①，在中，是边 上的 点，若， ，则 ，其中，， 可知二求一.特别地，若为边的中点，则 . 课 前 基 础 巩 固 7 ② 形式2：如图②，在中，是边 上的 点，且，则 ， 其中，，可知二求一.特别地，若 为 边的中点，则 . 课 前 基 础 巩 固 ◆ 对点演练 ◆ 题组一 常识题 1.［教材改编］已知向量，点的坐标为，则点 的 坐标为______. [解析] 方法一：设，则 ，解得 ，，所以 . 方法二：设为坐标原点，因为 ，所以 ，所以 . 课 前 基 础 巩 固 9 2.［教材改编］设平面向量，，则 _________. [解析] . 课 前 基 础 巩 固 10 3.［教材改编］在中，点为边上一点，且 ， 设，，则_ ________.（用， 表示） [解析] 由题意，可得 . 课 前 基 础 巩 固 11 题组二 常错题 4.［忽视作为基底的两个向量不能共线］给出下列四组向量： ，；， ； ，；， .其中可 以作为基底的是____（填序号）. ② [解析] 两个不共线的向量可以构成一组基底，①③④中两向量共线， ②中与 不共线.故填②. 课 前 基 础 巩 固 12 5.［两个向量共线的坐标表示公式掌握不牢］已知向量 ， ，若，则 的值为_______. 2或 [解析] ， ， ，即，解得或 . 课 前 基 础 巩 固 13 6.［忽视共线包括两种情况］已知与，点 在直线 上，，则点 的坐标为_ _____________. 或 [解析] 由点在直线上，且，可得 或 . 当时，设 ，则， 解得，，此时点 的坐标为. 当时，设 ，则， 解得，，此时点 的坐标为. 综上，点的坐标为或 . 课 前 基 础 巩 固 14 探究点一 平面向量基本定理 例1（1）[2026·湖北武汉联考]若， 是平面内一组不共线的向量， 则下列各组向量中，不能作为平面内所有向量的一个基底的是 ( ) A.与 B.与 C.与 D.与 √ 课 堂 考 点 探 究 15 [解析] 因为，是平面内一组不共线的向量，所以与 不 共线，则与 能作为平面内所有向量的一个基底，所以A不 满足题意； 设，则无解，故 与 不共线，能作为平面内所有向量的一个基底，所以B选项 不满足题意； 课 堂 考 点 探 究 16 设，则 无解，故 与 不共线，能作为平面内所有向量的一个基底， 所以C选项不满足题意； 因为 ，所以 ，与 不能作为平面内所有 向量的一个基底，所以D选项满足题意.故选D. 课 堂 考 点 探 究 （2）如图，在中，点，分别在， 边上，且 ，，点为的中点，则 ( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 18 [解析] 因为点为的中点，所以，又 , ，所以 .故选C. 课 堂 考 点 探 究 （3）[2025·北京朝阳区二模]在矩形中，, , ，点为线段的中点，与交于点 .设 ，其中,分别是与, 方向相同 的单位向量，则( ) A., B., C., D., √ 课 堂 考 点 探 究 20 [解析] 在矩形中，因为点为线段 的中点，所以 ，所以 ，则有 . 因为,， , 分别是与,方向相同的单位向量, 所以, ，则 ， 又因为，所以, .故选B. 课 堂 考 点 探 究 21 [总结反思] （1）应用平面向量基本定理表示向量,实质是利用平行四边形法则或 三角形法则进行向量的加、减或数乘运算. （2）用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一个基底, 并用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解 决问题. 课 堂 考 点 探 究 22 变式题（1）如图，在中，为中点，在线段 上，且 ，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 由为中点，在线段上，且 ，可得 ，则 .故选B. √ 课 堂 考 点 探 究 23 （2）在直角梯形中，，，， 是 的中点，若，则 ( ) A.1 B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 24 [解析] 由题意作图可知， ， ， . 因为，所以 ，根据平面向量基本定理可得 解得所以 ，故选A. 课 堂 考 点 探 究 25 探究点二 平面向量的坐标运算 例2（1）在平面直角坐标系内，的三个顶点分别为 ， ，，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 因为，， ，所以 .故选B. √ 课 堂 考 点 探 究 26 （2）已知向量,, 在正方形网格（规定小方格的边长为1）中的位 置如图所示，若，则 的值为____. 课 堂 考 点 探 究 27 [解析] 根据题意建立如图所示的平面直角坐 标系，则 ， ， 因为 ，所以 ，所以 解得所以 . ， 所以 ， 课 堂 考 点 探 究 28 [总结反思] （1）利用向量的坐标运算解题时,首先利用加、减、数乘运算法则进 行运算,然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一 原则,转化为方程（组）进行求解. （2）向量的坐标表示把点与数联系起来,引入平面向量的坐标可以使 向量运算代数化,成为数与形结合的载体,使很多几何问题的解答转化 为我们熟知的数量运算. 课 堂 考 点 探 究 29 变式题（1）已知,，若表示向量,, 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量 的坐标为( ) A. B. C. D. [解析] 由题得， ，因为表示向量 ,, 的有向线段首尾相接能构成三角形，所以 ，则 .故选D. √ 课 堂 考 点 探 究 30 （2）如图,在直角梯形中,,,, 为的中点,若,则 的值为__. 课 堂 考 点 探 究 31 [解析] 不妨设,则,以 为原 点，，所在直线分别为, 轴，建立如图所 示的平面直角坐标系,则，, , ,,, , , , , 解得 故 . 课 堂 考 点 探 究 32 探究点三 平面向量共线的坐标表示 例3（1）[2025·南通押题卷]已知两个不相等的向量 ， ，若，则 ( ) A. B.0 C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 33 [解析] 因为向量， ，所以 ，由 得 ，所以 ， 解得或. 当时，， ，此时，不符合题意； 当时，， ，此时 ，符合题意.故选C. 课 堂 考 点 探 究 （2）已知平面四边形的三个顶点，， ， 且，则顶点 的坐标为( ) A. B. C. D. [解析] 设，则，，因为 ， 所以解得所以顶点的坐标为 .故选A. √ 课 堂 考 点 探 究 35 [总结反思] 1.两平面向量共线的充要条件有两种形式： ①若，，则 的充要条件是 ； ②若，则 . 2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可以由平行求参数. 当两向量的坐标均非零时,也可以利用坐标对应成比例来求解. 课 堂 考 点 探 究 36 变式题（1）[2026·杭州学军中学开学考]已知向量 ， ，.若，，三点共线，则 ( ) A. B. C.11 D. [解析] 因为向量，， ，所以 . 因为，，三点共线，所以 ， 所以，解得 .故选C. √ 课 堂 考 点 探 究 37 （2）已知向量,.若,则实数 _ ____. 0或 [解析] ,,因为 ,所以 ,解得或 . 课 堂 考 点 探 究 38 课时作业 39 ◆ 基础热身 ◆ 1.已知点，，向量，则向量 等于( ) A. B. C. D. [解析] 因为，，所以 ，所以 ，故选D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 40 2.若{，是平面 内的一个基底，则下列四组向量能构成平面 的一个基底的是( ) A.， B.， C.， D.， √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 41 [解析] 由{，是平面 内的一个基底，可知， 非零不共线. 对于A，，故， 共线,A不满足题意； 对于B，， 不共线，B满足题意； 对于C，，故， 共线， C不满足题意； 对于D，，故， 共线， D不满足题意.故选B. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 42 3.[2026·安徽皖南八校摸底]如图， 的方格中 每个方格的长度均为1，则向量 ( ) A. B. C. D. [解析] 如图，设向量, ,则 .故选B. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 43 4.已知点,，点是线段 上的点，且 ，则点 的坐标为( ) A. B. C. D. [解析] 设，则, . 由，可得解得 即 .故选A. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 44 5.[2025·河南许昌模拟]已知是 所在平面内一点，且 ，若，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 因为 ，所以， 即 ，即，又， ， 不共线，所以所以 .故选C. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 45 6.（多选题）[2025·湖北华中师大附中月考]已知向量 ， ，，若，， 三点能构成三角形， 则实数 的值可以是( ) A. B. C.1 D. [解析] 由题意知 ， . 假设 ，，三点共线，则，解得 ， 所以只要，，，三点就能构成三角形.故选 . √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 46 7.[2025·安徽合肥示范中学三模] 已知向量， ， 若，则 ____. [解析] ，， ， ，解得 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 47 8.在中，点是边的中点，点在 边上，且 ，与相交于点，设， ，则向量 __________.（用, 表示） 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 48 [解析] 由题意得，，三点共线，所以存在 ，使得 . 又，， 三点共线，所以存在，使得 . 由平面向量基本定理可得解得 所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 9.已知，，，设， ， ，且， . （1）求 ； 解：由已知得，， . . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 50 （2）求满足的实数， 的值； 解：方法一：， ， ， 解得 方法二:，，又 ， ， . 9.已知，，，设， ， ，且， . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 51 （3）如果且，求 的值. 解：， ， . ，，解得 . 9.已知，，，设， ， ，且， . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 52 ◆ 综合提升 ◆ 10.已知,,是坐标原点，点满足 ， 且，则点 的轨迹方程为( ) A. B. C. D. [解析] 设，则,, ， 由题意可知， ， 所以消去 ，得点的轨迹方程为 .故选D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 53 11.在中，点是线段上任意一点，点在线段 上，且满 足，若存在实数和，使得 ，则 ( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 54 [解析] 方法一：设， , ， ， .故选C. 方法二（等和线定理） ，则 ，由等和线定理得 ，则 .故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 55 12.（多选题）在平面直角坐标系中，已知点, , ， ，则下列说法正确的是 ( ) A.若，则 B.若点在直线上，则 C.若，则 D.若与共线，则 √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 56 [解析] 由题知，,, ，所以 . 对于A，若 ，则，即 ,故A正确； 对于B，，若点在直线 上， 则，所以，即 ,故B错误； 对于C， ， ， ， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 57 若，则 ，即 解得所以 ，故C正确； 对于D，，若与 共线，则 ，即 ，故D错误. 故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 13.如图所示，在中，，分别在边， 上，且 ，，与交于点， ， ，则__________.（用， 表示） 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 59 [解析] ，，三点共线， 设 ，三点共线， 设 . 由平面向量基本定理得解得 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 60 14.[2025·柳州三模] 在中， ，，， 为 内（包括边界）一点，且.若 ，则 的最大值为____. [解析] 如图，以为坐标原点，, 所在直线分别 为,轴建立平面直角坐标系，则,, , 设 ,则，过点作 轴的垂线，垂足 为，则 , ，所以 ， 所以, , . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 61 因为 ，所以， 所以 , ，则 ， 又 ，所以， 所以当，即 时， 取得最大值 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 15.如图，在中，为线段上靠近点 的 三等分点，是线段 （不包括端点）上一点， 过点的直线与边，分别交于点， ，设 ， . （1）若，，求 的值； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 63 解：由点,,三点共线，可设 ，即 ，即 ， ，，. 为线段上靠近点 的三等分点，. 由点,,三点共线可设 ， 即 ， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 64 故解得 故 ， 故 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 （2）若点为线段的中点，求 的最小值. 解：由（1）可知， ， 又，，， 又 为线段的中点， ， ， 15.如图，在中，为线段上靠近点 的 三等分点，是线段 （不包括端点）上一点， 过点的直线与边，分别交于点， ，设 ， . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 66 故得 ，当且仅当 ，即 时，等号成立， 故 的最小值为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 ◆ 能力拓展 ◆ 16.（多选题）[2025·湖北黄冈二模]设平面向量,的夹角为 ， 若，且 ，则( ) A.当时，,, 三点共线 B.当,时，平分 C.当时， 的最大值为2 D.当时，的取值范围为 √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 68 [解析] 对于A，当 时，， 可得 , ,三点共线，故A正确. 对于B，当, 时，由 ，可得 ，即故, , 三点共线,且. 过点作，交于点 ，因为，， 所以，，故 ，则 ， 由 可得则故 平分故B正确. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 69 对于C，如图，以 为坐标原点，所在直线为 轴, 建立平面直角坐标系，则,， 即 ，因为，所以不妨设 ，， 由 可得 ， 故 解得 故 ， 其中，故的最大值为 ，故C错误. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 对于D，根据C选项可得 则 ， ，所以 ， 即的取值范围为，故D正确.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 17.已知点为扇形的弧上任意一点，且 ，若 ，则 的取值范围是_ ______. [解析] 以为坐标原点，所在直线为轴，过点 作的垂线，以该直线为 轴建立平面直角坐标系,如图. 设扇形的半径为1，则, ,设 ，其中 , . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 72 由 ，得 ，整理得 , ， 解得 , ， 则 , 因为 ，所以,所以 ， 故 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 $