第5单元 01 第31讲 平面向量的概念及其线性运算（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

该高中数学高考复习课件聚焦“平面向量的概念及其线性运算”专题，依据课标要求覆盖向量概念、线性运算、共线向量定理等核心考点，通过分析近五年高考真题明确线性运算占比45%、共线定理应用占30%的高频考点，归纳选择填空常考题型，构建系统复习框架。 课件亮点在于“真题溯源+素养导向”的备考设计，如以2022新高考全国Ⅰ卷向量题为例，提炼“几何直观→代数转化→参数求解”三步突破法，培养学生运算能力与推理意识。特设易错点警示（如零向量特殊性）和课时分层作业，助力学生熟练答题技巧，教师可据此精准把握学情，提升复习效率。

1.知识网络 单 元 教 学 设 计 1 2.课时安排 本单元共5讲、2个教材拓展,每讲建议1课时完成,每个教材拓展 建议1课时完成,本单元大约共需7课时. 单 元 教 学 设 计 2 第31讲 平面向量的概念及其线性运算 3 课前基础巩固 课堂考点探究 课时作业 4 1.通过对力、速度、位移等的分析,了解平面向量的实际背景,理解平 面向量的意义和两个向量相等的含义. 2.理解平面向量的几何表示和基本要素. 3.借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量加、减运算及运算 规则,理解其几何意义. 4.通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算规则,理解其几何意义, 理解两个平面向量共线的含义. 5.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义. 课 标 要 求 5 ◆ 知识聚焦 ◆ 1.向量的有关概念 （1）向量：既有______又有______的量叫作向量，向量的大小称为 向量的____（或______）. （2）零向量：始点和终点______的向量称为零向量，记作___. （3）单位向量：模等于___的向量. 大小 方向 模 长度 相同 1 课 前 基 础 巩 固 6 （4）平行（共线）向量：方向____________的非零向量，规定：零 向量与任意向量______. （5）相等的向量：大小相等、方向______的向量. （6）相反向量：大小相等、方向______的向量. 相同或相反 平行 相同 相反 课 前 基 础 巩 固 7 2.向量的线性运算 运算 法则（或几何意义） 运算律 加法 ______________________________ 三角形法则 _____________________________________ 平行四边形法则 ①交换律: ______; ②结合律: _________ ___ 课 前 基 础 巩 固 8 运算 法则（或几何意义） 运算律 减法 ___________________________________________ 三角形法则 续表 课 前 基 础 巩 固 9 运算 法则（或几何意义） 运算律 数乘 . 当时,与 的方向______; 当时,的方向与 的方向 ______;当时, ___ _______; _________; ________ 相同 相反 续表 3.共线向量基本定理 如果,且,则存在唯一的实数 ,使得 ____. 课 前 基 础 巩 固 10 常用结论 1.若为线段的中点,为平面内任意一点,则 . 2.在中，点满足为 的重心, . 3.已知 , 为实数,若，， 三点共线,则 . 4.对于任意两个向量,,都有 . 课 前 基 础 巩 固 11 ◆ 对点演练 ◆ 题组一 常识题 1.［教材改编］如图，正六边形 中， ____. [解析] 将平移到，平移到 ，故 . 课 前 基 础 巩 固 12 2.［教材改编］设向量，不共线，向量与 共线，则 实数 __. [解析] 与共线， 存在实数 使得 ， 课 前 基 础 巩 固 13 3.［教材改编］已知的对角线和交于点 ，且 ，，则______，________.（用， 表示） [解析] 如图， ， . 课 前 基 础 巩 固 14 题组二 常错题 4.［向量基本概念模糊］“”是“ ”的____________条件. （填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 充分不必要 [解析] ，充分性成立， ，必要 性不成立，所以“”是“ ”的充分不必要条件. 课 前 基 础 巩 固 15 5.［对向量相等的隐含条件挖掘不全］已知平面四边形 中，满 足，则四边形 是____________. 平行四边形 [解析] 在平面四边形中，因为，所以 ，且 ，所以四边形 是平行四边形. 课 前 基 础 巩 固 16 6.［忽视两向量的方向关系］已知向量，，若， ， 则 的取值范围为______. [解析] 当与方向相同时，，当与 方向相反时， ，当与不共线时，，所以 的取 值范围为 . 课 前 基 础 巩 固 17 探究点一 平面向量的基本概念 例1（1）关于非零向量， ，下列说法正确的是( ) A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则， 不是共线向量 √ 课 堂 考 点 探 究 18 [解析] 对于A，向量不能比较大小，故A错误； 对于B，向量的模相等，但是向量的方向可能不同，故B错误； 对于C，若 ，由向量相等的条件可得 ，故C正确； 对于D，不相等的向量也可能是共线向量，故D错误.故选C. 课 堂 考 点 探 究 19 （2）［人教B版必修第二册P139例3改编］如图， 在正六边形中，是中心，与 相等的 向量为_____________, 的相反向量为_______ _____________. ，， ，，， ［思路点拨］由已知结合向量的基本概念及正六 边形的性质即可求解． [解析] 根据正六边形的性质可知，在正六边形中，与 相 等的向量为，，，的相反向量为，，， . 课 堂 考 点 探 究 20 [总结反思] （1）解决向量的概念问题要注意两点:一是不仅要考虑向量的大小, 还要考虑向量的方向;二是考虑零向量是否也满足条件,要特别注意零 向量的特殊性. （2）不改变向量的大小和方向,自由平移,平移后的向量与 相等. （3）非零向量的平行具有传递性. （4）是与 同方向的单位向量. 课 堂 考 点 探 究 21 变式题 （多选题）下列说法正确的是( ) A.若和都是单位向量，则 B.相等的两个向量一定是共线向量 C.若，，则 D.两个非零向量的和可以是零向量 √ √ 课 堂 考 点 探 究 22 [解析] 对于A，,都是单位向量只能得出，, 的方向不一 定相同，得不出 ，故A错误； 对于B，相等的两个向量一定是共线向量，故B正确； 对于C，若，，则当 时，得不出 ，故C错误； 对于D，两个非零向量的和还是向量，当两个向量的长度相等且方向 相反时，和为零向量，故D正确.故选 . 课 堂 考 点 探 究 23 探究点二 平面向量的线性运算 微点1 平面向量的加、减运算及其几何意义 例2（1）[2026·福建莆田期中]如图所示，， 为 边上的三等分点，且 ,则下列 各式中正确的是( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 24 [解析] 因为，为边 上的三等分点，所以 ，所以 , ,故D正确； 假设，则 , 即，显然不成立，故假设不成立，故C错误； 与 的方向不同，不能相等，故A错误； 与 的方向相反，不能相等，故B错误. 故选D. 课 堂 考 点 探 究 25 （2）在平行四边形中，已知，，则 ( ) A. B. C. D. ［思路点拨］思路一：在,, 中分别利用向量加法 的三角形法则表示，,，再线性运算表示出 . 思路二：在中利用向量加法的三角形法则表示 ，再根据向量 相等即可表示出 . √ 课 堂 考 点 探 究 26 [解析] 在平行四边形中，有, . 方法一： . 方法二： .故选D. 课 堂 考 点 探 究 27 [总结反思] 利用向量加、减法的几何意义解决问题通常有两种方法: （1）根据两个向量的和与差,构造相应的平行四边形或三角形,再结 合其他知识求解相关问题; （2）平面几何中如果出现平行四边形（或三角形）或可能构造出平 行四边形（或三角形）的问题,可考虑利用向量知识来求解. 课 堂 考 点 探 究 28 微点2 利用向量的线性运算求参数 例3 [2025·湖南邵阳三联]设为 所在平面内一点， ．若，则 的值为( ) A.4 B.5 C. D. ［思路点拨］根据向量的线性运算即可求解. [解析] 因为 ，所以 ，即，即 ,所以 故选D. √ 课 堂 考 点 探 究 29 [总结反思] 解决与向量的线性运算有关的参数问题,一般是通过向量的运算将向 量表示出来,然后通过比较或建立方程组即可求得相关参数的值. 课 堂 考 点 探 究 30 应用演练 1.已知非零向量，，，则“， ”是“ ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 课 堂 考 点 探 究 31 [解析] 如图，由， ，得 ，充分性成立； 当时，不一定有， ， 必要性不成立. 综上，“， ”是“ ”的 充分不必要条件.故选A. 课 堂 考 点 探 究 32 2.[2022·新高考全国Ⅰ卷]在中，点在边上， .记 ,,则 ( ) A. B. C. D. [解析] 因为点在边上，，所以 ，所以 ,所以 . √ 课 堂 考 点 探 究 33 3.若点是 所在平面内的一点，且满足 ，则 的形状为( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 [解析] ， ，，故，， 为矩形的三个顶点， 为直角三角形.故选B. √ 课 堂 考 点 探 究 34 4.[2025·安徽合肥一中模拟]在所在平面中有一点 满足 ，且，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 由，可得 ， 整理得，又 ，则有 ，即，所以 ， 即 ．故选C. √ 课 堂 考 点 探 究 35 探究点三 共线向量定理及应用 例4（1）已知与是两个不共线的向量， , ,，若,,三点共线，则实数 的值 为( ) A. B. C.4 D.5 √ 课 堂 考 点 探 究 36 [解析] 因为, ，所以 . 因为,,三点共线，所以必存在一个实数 ，使得 ，所 以.又, 不共线，所以 解得 .故选B. 课 堂 考 点 探 究 （2）已知是所在平面内的一点，若 ，其中 ，则点 一定在( ) A.的内部 B. 边所在直线上 C.边所在直线上 D. 边所在直线上 ［思路点拨］将化为 ，根据共线向量定理 可判定. [解析] 由，得，即 ，则 ，为共线向量，又，有一个公共点，所以，， 三点 共线，即点在 边所在直线上.故选B. √ 课 堂 考 点 探 究 38 [总结反思] 利用共线向量定理解题的方法 （1） 是判定两个向量共线的主要依据.若 ,则与共线,且当时,与同向;当时,与 反向. （2）若与不共线且，则 . 课 堂 考 点 探 究 39 （3）要证明，，三点共线，只需证明与 共线，即证 .若已知，，三点共线，则必有与 共线， 从而存在实数 ，使得 . （4） ， 为实数，若，， 三点共线，则 . 课 堂 考 点 探 究 变式题（1）已知点,,是直线上相异的三点，为直线 外一点， 且，则 的值是( ) A. B.1 C. D. [解析] 由，得，因为点,, 是 直线上相异的三点，即点,,三点共线，所以 ，解得 .故选A. √ 课 堂 考 点 探 究 41 （2）点是所在平面内一点，满足 ， 若为的中点，则 的值为__. [解析] 因为，所以 ， 由为的中点，得，所以， 所以 是线段上靠近点的四等分点，则 ， 又，所以 . 课 堂 考 点 探 究 42 课时作业 43 ◆ 基础热身 ◆ 1.设是正方形的中心，则向量，，， 是( ) A.相等向量 B.平行向量 C.有相同起点的向量 D.模相等的向量 [解析] 如图所示，易知向量，，， 是模相等的向量.故选D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 44 2.下列说法中正确的是( ) A.若，都为非零向量，则使成立的条件是与 反向共线 B.若，则 C.两个具有公共终点的向量,一定是共线向量 D.若向量与向量是共线向量,则,,, 四点在同一条直线上 √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 45 [解析] 因为与都是单位向量，所以当与是相反向量，即 与 反向共线时， 成立，故A正确; 向量不能比较大小，故B错误; 两个具有公共终点的向量不一定是共线向量，故C错误; 共线向量所在的直线可以重合,也可以平行,则,,, 四点不一定在 同一条直线上,故D错误.故选A. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 46 3.[2025·江西赣州模拟]已知,，则“向量, 共线”是“ ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 [解析] 因为向量,共线且,，所以当， 同向共线 时，，当，反向共线时， ，充分性不成立； 若，且,，则向量, 同向共线，必要性成立. 所以“向量,共线”是“ ”的必要不充分条件.故选B. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 47 4.[2025·江苏连云港模拟]在中，点为的中点，点 为 的重心，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 如图，连接，因为点为 的重 心，所以为的三等分点，且 ，所 以 .故选A. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 48 5.在中，点是的中点，点在上，若 ， 则 ( ) A. B. C. D. [解析] 因为点是的中点，所以 .又 ，所以 ，则 . 又因为点在上，所以 ，所以，解得 .故选B. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 49 6.（多选题）下列各式能化简为 的是( ) A. B. C. D. [解析] 对于A, ,A符合题意; 对于B, ,B符合题意; 对于C, , C符合题意; 对于D, ,D不符合题意.故选 . √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 50 7.已知向量,满足，，则 的取值范围为______. [解析] 当和方向相同时， 取得最大值，此时 ； 当和方向相反时， 取得最小值，此时 . 故 的取值范围是 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 51 8.若向量,不共线，且，则 的值为___. 1 [解析] 因为,不共线，且，所以存在 ，使 得，所以，所以 消去 ，得 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 52 9.已知向量，不共线，， ， . （1）若，求 的值； 解： ， ，易知 ， ， . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 53 （2）若，，三点共线，求 的值. 解：，，三点共线， ，即 ，， 又，不共线， 解得 . 9.已知向量，不共线，， ， . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 54 ◆ 综合提升 ◆ 10.已知向量,不共线，, , ，则( ) A.,,三点共线 B.,, 三点共线 C.,,三点共线 D.,, 三点共线 √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 55 [解析] 由题得,， ，所以 ，又与有公共点，所以,, 三点共线，故A正确； ，，不存在 ，使，所以 与不共线，即,,三点不共线，故B错误； ，，不存在 ，使， 所以与 不共线，即,,三点不共线，故C错误； ， ，不存在 ，使， 所以与不共线，即,, 三点不共线，故D错误.故选A. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 56 11.[2025·辽宁部分重点中学协作体二模]已知向量,满足 ， ，则 的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 [解析] 由题意可得，因为 ， 所以 ，当且仅当 与反向时，等号成立，所以 的最小值为1.故选A. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 57 12.（多选题）已知等边三角形的边长为2， ， ，交于点 ，则下列说法正确的是 ( ) A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则为 的中点 √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 58 [解析] 对于A，当 时， ，故A正确； 对于B，由，知此时为的重心，所以， 分别是和的中点，所以，故B正确； 对于C，当 时， ， ，则 ，故C错误； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 59 对于D，当 时，设 ，由，，三点共线，得，解得 ， 故D错误.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 13.在直角梯形中， ， ， ，，点在线段上（点不与点， 重合），若 ，则 的取值范围是_ _____. [解析] 由题意可得，，，. 点在线段上（点不与点，重合）， . ，且， ，即 .， . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 61 14.已知点在 的内部,且满足, 则 _____. [解析] 根据题意,延长至点,延长至点 , 延长至点,使得, , , 如图所示.由 ,得 . 连接,,,则点是 的重心,所以. 设,则 , , 所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 62 15.经过的重心的直线与，分别交于， 两点，设 ， . （1）证明： 为定值； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 63 证明：连接，设， ， 由题意知 ， ， . 因为，，三点共线，所以存在实数 ，使得 ，即 ，所以消去 可得 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 64 （2）求 的最小值. 解：由（1）知 ，所以 ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为 . 15.经过的重心的直线与，分别交于， 两点，设 ， . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 65 ◆ 能力拓展 ◆ 16.（多选题）设点是 所在平面内一点，则下列说法正确的 是( ) A.若，则点是边 的中点 B.若，则点在 的延长线上 C.若，则点是 的重心 D.若，且，则的面积是 的 面积的 √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 66 [解析] 对于A，由 ，得 ，所以，则 是边 的中点，所以A正确； 对于B，由，得 ，所以 ，则点在的延长线上，所以B错误； 对于C，如图，设 的中点为，则 ，由重心的性质可知C正确； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 67 对于D，由，且 ，得 ，且 ， 设，则 ， 且，可知，， 三点共线， 所以的面积是的面积的 ， 所以D正确.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 17.已知中，，， ， ，则 的最小值为_____. [解析] 令,,则,连接 ，因为 ，所以为等边三角形. 由题得 ,所以,,三点共线， 易知当垂直于时，最小，则 的最小值为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 69 $