第4单元 09 第29讲 多三角形背景下解三角形（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

该高中数学高考复习课件聚焦“多三角形背景下解三角形”专题，覆盖含分点、角平分线、平面几何多三角形等核心考点，对接高考评价体系，分析近年高频题型（如2025山东实验中学二模、2026聊城模拟），归纳正弦定理、余弦定理综合应用策略，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题案例+方法归纳+素养提升”，如例2角平分线问题结合面积公式与角平分线定理培养数学思维，例1分点问题用向量法与余弦定理对比提升运算能力。设“总结反思”模块提炼解题通法，帮助学生掌握得分技巧，教师可据此系统开展专题复习，高效提升学生解题能力。

第29讲 多三角形背景下解三角形 1 课堂考点探究 课时作业 2 【热点解读】 解三角形是高考数学的必考内容，其中在三角形中增加高线、中线、 角平分线以及其他等分点条件在最近几年的高考题中出现的频率很 高，这类问题一般需要综合使用正弦定理和余弦定理解决. 3 探究点一 解含分点的三角形 例1 [2025·山东省实验中学二模] 如图，在 中，， ， ，点在边 的延长线上. （1）求 的面积； ［思路点拨］在中利用正弦定理求出 ，再利用两角和的正 弦公式求出 ，然后利用三角形的面积公式可求得结果. 课 堂 考 点 探 究 4 解：在中，由正弦定理得 ， 即，可得 . 因为 ， ，所以 . 因为 ，所以 . 课 堂 考 点 探 究 5 （2）若，为线段上靠近 的三 等分点，求 的长. ［思路点拨］思路一：由题意可得 ，所以 ，代值计算 即可；思路二：在中利用余弦定理求出，则可求得 ，再在 中利用正弦定理求出，从而可求出，然后在 中 利用余弦定理可求得 . 课 堂 考 点 探 究 6 解：方法一：因为为线段上靠近 的三等 分点，所以 ,所以 , 所以 ，则 . 课 堂 考 点 探 究 7 方法二：在 中，由余弦定理得 ，可得 ， 因为为线段上靠近 的三等分点，所以 . 因为，所以 ，所以， 又 为锐角，所以 . 在 中，由余弦定理得，所以 . 课 堂 考 点 探 究 总结反思 解含分点的三角形的策略：如图，在中， 为边上一点，且，若已知 ， 及，求 . （1）向量法： 两边平方即可； （2）余弦定理，互补的两个角的余弦值互为相反数，即 . 课 堂 考 点 探 究 9 变式题 在中，内角,,的对边分别为,, .已知 . （1）求 ； 解：由已知及正弦定理得 ， 因为，所以，即 ， 又因为，所以，故 . 课 堂 考 点 探 究 10 （2）若，点在边上，,，求 的面积. 解：由知， ，则 ， 即，化简得 . 在中，由余弦定理得，在 中，由余弦 定理得 ， 课 堂 考 点 探 究 11 由，得 ，则 ，化简得 ， 则，即，可得 ，则 ， 所以 . 课 堂 考 点 探 究 探究点二 解含角平分线的三角形 例2 [2026·聊城模拟] 在中，内角，， 所对的边分别为 ，，，且 . （1）求 ； ［思路点拨］由已知条件结合余弦定理，求出，可得 ； 解：因为 ，所以 ， 所以，所以，又 ， 所以 . 课 堂 考 点 探 究 13 （2）若的平分线交于点，且，求 . ［思路点拨］根据角平分线的性质得，结合余弦定理解出, 的值，由列出等式，即可求解 的长度. 课 堂 考 点 探 究 14 解：因为，所以. 因为平分 ，所以，即， 又由（1）知 ，所以， . 因为 ， 所以 ， 整理得 . 课 堂 考 点 探 究 15 总结反思 在中，平分，则涉及角平分线 的问题可用以下方 法处理： （1）角平分线定理： ； （2）利用两个小三角形的面积和等于大三角形的面积来处理，即可 由，得到 ，即 （角平分线长公式）求解． 课 堂 考 点 探 究 16 变式题 [2025·武汉武昌区5月质检] 记的内角,, 的对边分 别为,,，已知，，内角的平分线交于点 ，且 . （1）求 的长； 课 堂 考 点 探 究 17 解：由，得，因为 ， 所以 ， 所以，则. 因为平分内角，所以在 中，由余弦定理得 ，所以 . 课 堂 考 点 探 究 18 （2）求 的面积. 解：由（1）知，则，由 ， 得 . 因为平分内角，且 ，所以 ，则 ，解得 ，所以 . 课 堂 考 点 探 究 19 探究点三 解平面几何多三角形问题 例3 如图，在平面四边形中，，， 平分 ， . 课 堂 考 点 探 究 20 （1）求 ； ［思路点拨］思路一：将原式变形，再利用余弦定理并结合角的范 围即可求出；思路二：将原式变形，再利用正弦定理与余弦定理并 结合角的范围化简求解. 课 堂 考 点 探 究 21 解：方法一：因为 ，所以 ，则 . 在 中，由余弦定理得 ,因为 ，所以 . 课 堂 考 点 探 究 22 方法二：因为 ，所以 ， 在 中，由正弦定理和余弦定理得 ， 所以 ， 将 代入上式， 整理得 ， 由题意可得 ，所以 . 因为，所以 . 课 堂 考 点 探 究 （2）当取得最大值时，求 . ［思路点拨］利用余弦定理将用 表示出来，再利用均值不等 式确定取得最大值时的长度，从而得到取得最大值时 的 长度. 课 堂 考 点 探 究 24 解：由（1）可得，因为平分 ，所 以 . 因为,，所以在 中，由余弦定理 得 ， 在 中，由余弦定理得 ， 课 堂 考 点 探 究 25 所以 ， 当且仅当时，等号成立，此时 取得最大值， 即 取得最大值， 故当取得最大值时， . 课 堂 考 点 探 究 总结反思 多三角形背景解三角形问题的求解思路:（1）把提供的平面图形拆 分成若干个三角形,然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解; （2）寻找各个三角形之间的联系,交叉使用公共条件,求出结果.解题 时,有时要用到平面几何中的一些知识点,如相似三角形的边角关系、 三角形角平分线的性质,把这些性质与正弦、余弦定理相结合,才能顺 利解决问题. 课 堂 考 点 探 究 27 变式题 [2025·福建泉州四校模拟] 在中，内角，， 的对 边分别为，，，且 . （1）求 ； 课 堂 考 点 探 究 28 解：， 在 中，由正弦定理得 ， 即 ， ， ，即， 又 ， ,即 . 又， ， 课 堂 考 点 探 究 29 （2）如图所示，为外一点，，,四点共面 ， ，，，求 . 课 堂 考 点 探 究 30 解：， 设 ， 则 .在 中，由正弦定 理得， ， . 在中，由正弦定理得 ， ， ， , ，解得 ，即 . 课 堂 考 点 探 究 31 【备选理由】例1是含分点的三角形问题,考查正弦定理边角互化的应 用、余弦定理解三角形等基础知识,考查运算求解能力与化归转化思想; 例1 ［配例1使用］[2025·江苏南京二模] 记的内角，， 的对边分别为，，.已知 . （1）求 ； 解：由及正弦定理得 ，得 ，所以 ， 又 ，所以 . 32 （2）若，，求 . 解：如图，因为， ，所以 ，，在 中，由余弦定理得 ，即 . 在中，由余弦定理得 ， 即，所以 ， 得 ， 33 由可得 ，代入①得， 由 可得. 在 中，由余弦定理得 . 例2 ［配例2使用］[2025·湖北宜昌一中宜荆荆恩四校联考] 如图所 示，在中，，平分，且 . （1）若，求 的长度； 【备选理由】例2是含角平分线的三角形问题,考查了正弦定理解三角 形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、求三角形中的边 长或周长的最值或范围等知识,考查运算求解能力与化归转化思想; 35 解：因为 ，所以由正弦定理得 . 在中，由正弦定理得 ， 在中，由正弦定理得 ， 因为平分，所以 ， 又 ，所以，所以 . 因为,，所以，得，所以 . 36 （2）求 的取值范围； 解：因为 ，设 ， 又， ，所以 ， 所以，所以 . 因为，所以，所以 . 所以 ， 37 （3）若，求为何值时， 最短. 解：由余弦定理得 ，所以 ， 所以 . . 因为，所以 ，又 38 方法一： 令 ，则 ， 所以 ， 所以当时， 取得最小值4， 即当时， 取得最小值4，此时 ， 所以 . 因为 ，所以 ，所以 ， 由（2）知 ，所以 ，即当时， 最短. 方法二： ， 当且仅当，即 时取等 号，此时 ，即 ，故当时， 最短. 例3 ［配例3使用］[2025·湖北高中名校联盟联考] 如图，在平面四边形中， ， ，， ． （1）若与交于点，且，求 的长； 【备选理由】例3是平面几何多边形问题，考查余弦定理、求三角形 的边长、求四边形周长的最值、几何图形中的计算等知识. 42 解：在 中,由余弦定理得 , 所以.因为， ， 所以 . 由 可知, ,所以 . 43 （2）求四边形 周长的最大值． 解：因为 ,所以 ,所以 ,故 ，当且仅当 时等号成立， 故四边形周长的最大值为 . 44 课时作业 45 基础热身 1.[2025·吉林长春二模] 在中，,,分别为内角,, 所对的 边，且，内角的平分线交于点， . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 46 （1）求角 的大小； 解：由 和正弦定理，可得 ， 因为 ， 所以 ，即 ， 又，所以 . 因为 ，所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 47 （2）若，求 的长. 解：因为平分，所以，所以 . 因为 ， 所以 ，即 ，解得 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 48 2.如图，平面四边形中，， ， ，且 为锐角. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 49 （1）求 的长； 解：，, ， ， 又为锐角， . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 50 在 中，由余弦定理可得 ， . ，是四边形外接圆的直径， 是 外接圆的直径，利用正弦定理得 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 （2）求 的面积. 解：由， ， ，，可得, , 即的面积为 . 又，，因此 ， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 52 3.[2026·浙江名校协作体联考] 在中，,,分别是内角,, 所对的边，且满足 . （1）求角 的大小； 解：因为,所以由正弦定理可得 ，所 以, 又 ,所以, 化简得 , 又，即，所以.因为,所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 53 （2）点是边上一点，且满足,，求 的值. 解：因为,所以. 在 中，由正弦定理可得， 在中，由正弦定理可得 ， 所以 , 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 54 又，所以，又 ,所以 ,即 ，所以 ，所以. 因为，所以 ，所以或 ,解得或. 当时， ，所以； 当时，,所以 . 综上，的值为 或2. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 综合提升 4.[2025·湖南怀化二模] 在中，内角,,的对边分别为,, ， 且 . （1）求 ； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 56 解：由，得 . 方法一：由正弦定理得 ，因为 ，所以 ，所以 ，于是 ， 又，所以，又 ，所以 . 方法二：由余弦定理得 ，化简得 ，由余弦定理得 ， 又，所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 57 （2）若,，点在边上，且平分，求 的 面积. 解：由平分，得 . 方法一： ， 又 ， 所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 58 方法二：由 ，得 ， 即，解得 ， 所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 59 5.[2026·武汉9月调研] 已知在中， , , . （1）求角 的大小； 解：因为，所以 , 即 , 即 , 又 , 所以 ， 又,所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 60 （2）求 ； 解：因为, ， 所以由余弦定理可得 , 再由余弦定理可得 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 61 （3）若点在线段上，且满足，求 的长. 解：由（2）可得 , 所以 . 在中，因为 , 所以 , 由正弦定理可得,即,解得 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 62 6.[2026·青岛调研] 如图，在平面四边形 中，，，. 的内角 ，，的对边分别为，， ，且满足 . （1）求 ； 解：由，结合正弦定理得 ， 整理得，所以由余弦定理得 ， 又 ，所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 63 （2）求的内切圆半径 的取值范围. 解：在中，，， ，由余弦定理得 ，所以 ，所以 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 64 结合（1）得，即 ，得 . 在中，由 ，得 . 由正弦定理得，所以 ， ，又 ， 所以 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 . 因为，所以，则 ，所以 ， 所以 ，即的取值范围是 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 $