第4单元 06 第27讲 函数y=Asin(ωx+φ)及三角函数模型的应用（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

该高中数学高考复习课件聚焦“函数 \( y = A\sin(\omega x + \varphi) \) 及三角函数模型应用”专题，依据课标要求梳理参数意义、图象变换、实际建模三大核心考点，通过高考真题分析明确“图象变换”占35%、“解析式求解”占40%的高频考点分布，归纳出五点法作图、变换步骤辨析等常考题型。 课件亮点在于“基础巩固+考点探究+真题演练”的三阶备考模式，如以2025年湖北联考图象变换题为例，详解“先伸缩后平移需调整平移量”的突破方法，培养学生的数学思维与模型意识。特设易错点警示（如平移忽视x系数）和解题模板，助力学生掌握答题技巧，教师可据此系统开展专题复习，提升备考效率。

第27讲 函数 及三 角函数模型的应用 1 课前基础巩固 课堂考点探究 课时作业 2 1.结合具体实例,了解 的实际意义;能 借助图象理解参数 , , 的意义,了解参数的变化对函数图象的影响. 2.会用三角函数解决简单的实际问题,体会可以利用三角函数构建刻 画事物周期变化的数学模型. 课 标 要 求 3 知识聚焦 1.用五点法画 在一个周期内的简图 时,要找五个特征点,如下表所示： _ ___ _ ____ _____ _ ____ _ _____ ___ __ ___ _ __ ____ 0 A 0 0 0 课 前 基 础 巩 固 4 2.函数的图象经变换得到 的图象的步骤#2 课 前 基 础 巩 固 5 3. 的有关概念 振幅 周期 频率 相位 初相 _ __ ___ ______ ___ 课 前 基 础 巩 固 6 对点演练 题组一 常识题 1.［教材改编］函数 的振幅、频率和初相分别为 _____. 2,, [解析] 由振幅、频率和初相的定义可知，函数 的振 幅为2，频率为，初相为 . 课 前 基 础 巩 固 7 2.［教材改编］为了得到函数 的图象，只需把 的图象向右平移___个单位长度． [解析] 由于函数，故把 的图象向右平移个单位长度得到函数 的图象． 课 前 基 础 巩 固 8 3.［教材改编］如图，某地一天 时的温度变化曲线为函数 的图象的一部分，则 这段曲线的函数解析式为_ _________________________________. ， 课 前 基 础 巩 固 9 [解析] 从题图中可以看出， 时的温度变化曲 线是函数 在半个周期内的图象， 所以 ， ，又，所以 . 又 ，, ，所以 ，所以所求解析式 为， . 课 前 基 础 巩 固 10 题组二 常错题 4.［函数图象左右平移时忽视自变量 的系数］为了得到函数 的图象,可以将函数 的图象向____平移 __个单位长度. 右 [解析] ,故将函数 的图 象向右平移个单位长度即可得到函数 的图象. 课 前 基 础 巩 固 11 5.［不能正确理解三角函数图象对称性的特征］若 对任意实数都有 ,且 ,则实数 _________. 或 [解析] 由得，直线为函数 的图象的一 条对称轴,故当时,函数 取得最大值或最小值,则 或,解得或 . 课 前 基 础 巩 固 12 6.［忽视特殊点的函数值］函数 的部分图 象如图所示，则 _____. 课 前 基 础 巩 固 13 [解析] 由题图可知， ，所以 ，. 因为点在 的图象上， 所以 ， ，所以 ，. 又 ，所以，所以 ， 所以 . 课 前 基 础 巩 固 探究点一 函数 的图象变换 例1（1）将函数 的图象上所有点的横坐标伸长到 原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移 个单位长度， 则得到的图象对应的函数解析式为( ) A. B. C. D. ［思路点拨］利用三角函数图象的平移、伸缩变换即可求解； √ 课 堂 考 点 探 究 15 [解析] 将函数 的图象上所有点的横坐标伸长到原 来的2倍（纵坐标不变），得到的图象对应的函数解析式为 ， 再将所得图象向左平移 个单位长度，则得到的图象对应的函数解析 式为 .故选C. 课 堂 考 点 探 究 16 （2）[2025·湖北“新八校”协作体5月联考]将函数 的图象向左平移 个单位长度后与函数 的图象重合，则 的最小值为( ) A.4 B.5 C.6 D.8 ［思路点拨］利用图象平移法则及诱导公式，得到将函数 的图 象向左平移 个单位长度后所得图象对应的函数为 ，再结合条件得到 , ，即 可求解. √ 课 堂 考 点 探 究 17 [解析] 将函数的图象向左平移 个单位长 度后，得到 的图象， 由题知 , ，即 ,， 又，故取，可得 的最小值为4， 故选A. 课 堂 考 点 探 究 18 总结反思 由的图象变换到 的图象,两 种变换中平移的量的区别:先平移再伸缩,平移的量是 个单位长度; 先伸缩再平移,平移的量是 个单位长度.特别提醒:平移变换和伸缩 变换都是针对,而言的,例如左右平移时，依赖于 本身加减多少值, 而不是依赖于 加减多少值. 课 堂 考 点 探 究 19 变式题（1）函数 的图象可以由( ) A.的图象向右平移 个单位长度，再把所得图象上各点的横 坐标变为原来的 （纵坐标不变）得到 B.的图象向左平移 个单位长度，再把所得图象上各点的横 坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）得到 C.的图象上各点的横坐标变为原来的 （纵坐标不变），再把 所得图象向右平移 个单位长度得到 D. 的图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）， 再把所得图象向左平移 个单位长度得到 √ 课 堂 考 点 探 究 20 [解析] 对于A，将的图象向右平移 个单位长度，得到 的图象，再将 的图象上各点的横坐标变 为原来的（纵坐标不变），得到 的图象，故A错误； 对于B，将的图象向左平移 个单位长度，得到 的图象，再将 的图象上各点的横坐标变 为原来的2倍（纵坐标不变）,得到 的图象,故B错误； 课 堂 考 点 探 究 21 对于C,将的图象上各点的横坐标变为原来的 (纵坐标不变)， 得到的图象，再将 的图象向右平移个单位长度， 得到 的图象，故C正确； 对于D,将 的图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)， 得到的图象，再将 的图象向左平移个单位长度， 得到 的图象，故D错误. 故选C. 课 堂 考 点 探 究 （2）已知函数，将的图象向左平移 个单位长度后，得到函数的图象，若的图象与 的图象 关于轴对称，则 的最小值为( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 23 [解析] 由题意知，要使 的 图象与的图象关于 轴对称，则 ， 所以 ,，故 ,，又 ，所以 ，故选B. 课 堂 考 点 探 究 探究点二 函数 的图象与解析式 例2（1）[2025·广西玉林重点中学二联]已知 A. B. C. D. 的部分图象如图所示，则 ( ) √ 课 堂 考 点 探 究 25 ［思路点拨］由题图可知以及函数 的最 小正周期的值，利用周期公式可求得 的 值，然后将点的坐标代入函数 的解 析式，结合 的取值范围求出 的值，由此 可得出函数 的解析式； 课 堂 考 点 探 究 26 [解析] 由题图可得，函数 的最小正 周期， . 将点的坐标代入函数 的解析式得 ,得, , ，则 ，， .故选D. 课 堂 考 点 探 究 27 （2）已知函数 ， 如图，点,是直线与函数 的图象的 两个交点，若，则 ____. ［思路点拨］根据，两点间的距离以及三角函数的性质求出 ， 结合的图象过点求出 ，进而确定 的解析式，从而 求出 的值. 课 堂 考 点 探 究 28 [解析] 设,，由 可得 ，令 ，得 或 , ， 结合题图可知 ，故 ，， . 课 堂 考 点 探 究 29 由题图可知 ， 结合图象呈现的函数特征， 可得 , ，解得 , ， , ， ， 故 . 课 堂 考 点 探 究 总结反思 根据三角函数的图象求解析式,关键在于对, , 的理解,主要从以 下三个方面考虑: （1）根据最大值或最小值求出 的值. （2）根据最小正周期求出 的值. （3）求 的常用方法如下:①代入法,把图象上的一个已知点的坐标 代入（此时要注意该点的位置）或把图象的最高点或最低点的坐标 代入；②五点法,确定 的值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为 突破口. 课 堂 考 点 探 究 31 变式题（1）已知函数 的 部分图象如图所示，其中 ，则 的最 小值为( ) A. B. C.2 D. √ 课 堂 考 点 探 究 32 [解析] 由题图知,所以 . 因为,所以 ， 所以 . 作出正弦函数的图象，如图， , , 设函数 的最小正周期为,的图象与曲线 类比，可知 ，即.因为 ，所以 , 所以，所以 的最小值为 .故选A. 课 堂 考 点 探 究 33 （2）[2025·泉州四校模拟] 已知函数 的部 分图象如图所示，的图象与轴交于点 ，且 ，，，则 _____. 课 堂 考 点 探 究 34 [解析] 设函数的最小正周期为 ，由题图可 知，则，所以 ， 所以 . 由 及题图，得 ，，即 ，， 因为 ，所以，则. 因为，所以 , 故, ， 课 堂 考 点 探 究 35 故，解得 或 （舍去），所以 ，所以 . 课 堂 考 点 探 究 探究点三 函数 图象与性质的综合问题 例3 [2025·陕西西安中学二模] 某同学用“五点法”画函数 在某一个周期内的图象时，列 表并填入了部分数据，如下表： 0 0 2 0 0 课 堂 考 点 探 究 37 （1）请将上表数据补充完整，并写出函数 的解析式； ［思路点拨］根据表中数据可得函数 的最值、最小正周期和取 得最值时的 的值，进而可得答案； 课 堂 考 点 探 究 38 解：由题意知，，故，又 ， 故 ，表中数据补充完整为： 0 0 2 0 0 的解析式为 . 课 堂 考 点 探 究 39 （2）求图象的对称中心与 的单调递增区间； ［思路点拨］借助正弦函数图象的对称中心与正弦函数的单调递增 区间求解即可； 解：令 ，，解得，，所以 图 象的对称中心为， . 令， ，解得 ,，所以 的单调递增区间为 ， . 课 堂 考 点 探 究 40 （3）当时，求使成立的 的取值范围. ［思路点拨］由条件可得 ，然后解不等式即可. 解：由可得 ，所以 ,，解得 , ，所以使成立的的取值范围为 , . 课 堂 考 点 探 究 41 总结反思 三角函数的图象与性质综合问题的求解思路: （1）将函数整理成 或 的形式; （2）把 看成一个整体; （3）借助正弦函数或余弦函数 的图象与性质 （如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等）解决相关 问题. 课 堂 考 点 探 究 42 变式题 （多选题）已知函数 的图象与 轴交 于点 ，两条相邻对称轴之间的距离为6，且相邻的最高点与最低 点之间的距离为10，则( ) A. B. C.图象的对称轴方程为, D.在上的取值范围为 √ √ √ 课 堂 考 点 探 究 43 [解析] ，因 为图象的两条相邻对称轴之间的距离为6，所以 ，得 ，故B正确； 因为 的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为10， 所以，可得 ，故A错误； 课 堂 考 点 探 究 44 由，得，因为 ，所以 ，可得，故，则 ， 令 ,，得,，则 图象的对称轴 方程为,，故C正确； 由 ，得,所以， 则 ，故D正确. 故选 . 课 堂 考 点 探 究 探究点四 三角函数模型的简单应用 例4 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施， 游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从 高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地 面的高度为，转盘直径为 ，设置有 48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客 在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要 . 课 堂 考 点 探 究 46 （1）游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动 后距离地面的高度为 ，求在转动一周的过程 中，关于 的函数解析式； ［思路点拨］建立直角坐标系，根据已知条件结 合三角函数即可得到关于 的解析式； 课 堂 考 点 探 究 47 解：如图，设座舱距离地面最近的位置为点 ，以 轴心为原点，与地面平行的直线为 轴建立直角 坐标系. 当时，游客甲位于点 ， 取以为顶点，以为始边，以 为终边的角为. 根据摩天轮转一周大约需要 ，可知座舱转动的角速度约为 ， 由题意可得, . 课 堂 考 点 探 究 48 （2）求游客甲在开始转动 后距离地面的高 度； ［思路点拨］根据（1）的结果，把 代入即 可求解； 解：当时， ， 所以游客甲在开始转动后距离地面的高度约为 . 课 堂 考 点 探 究 49 （3）若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里， 在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差 （单位：）关于 的函数解析式，并求高度差 的最大值（精确到0.1）. 参考公式与数据： ； ； . 课 堂 考 点 探 究 50 ［思路点拨］根据（1）的结果，结合题意分别计 算经过后甲、乙距离地面的高度和 ，并 利用参考公式化简高度差函数，根据 的取值范围， 结合三角函数的性质，即可求解. 课 堂 考 点 探 究 解：如图，甲、乙两人的位置分别用点, 表示， 则 . 经过 后甲距离地面的高度为 ，点相对于点 始终 落后，此时乙距离地面的高度为 ，则 甲、乙距离地面的高度差 ， 课 堂 考 点 探 究 52 利用 ，可得 ， . 当，即（或 ） 时，的最大值为 ，所以甲、乙两 人距离地面的高度差的最大值约为 . 课 堂 考 点 探 究 总结反思 三角函数模型的实际应用问题的类型及解题关键: （1）已知函数解析式（模型）,利用三角函数的有关性质解决问题,其 关键是准确理解自变量的意义及函数的对应关系.（2）当函数解析式 未知时,需把实际问题抽象转化成数学问题,建立三角函数模型,再利用 三角函数的有关知识解决问题,其关键是利用三角函数解析式中的相关 参数表示实际问题中的有关量,如周期、振幅、初相等,然后建立模型. 课 堂 考 点 探 究 54 变式题（1）时钟花原产于南美洲热带，我国云南部分地区有引进栽 培.时钟花的花开花谢非常有规律，其开花时间与气温密切相关，开 花时所需气温约为，气温上升到约 开始闭合，在花期内， 时钟花每天开闭一次.某景区种有时钟花，该景区6时 时的气温 随时间 （时）的变化趋势近似满足函数 ，则在6时 时中，赏花的最佳时段大致 为( ) A.7.3时时 B.8.7时 时 C.7.3时时 D.8.7时 时 √ 课 堂 考 点 探 究 55 [解析] 当时， .由 ，得 ，所以 ，解得 （时）. 由，得 ，所以 ，解得（时），故在6时 时中，赏花的 最佳时段大致为8.7时 时. 课 堂 考 点 探 究 56 （2）（多选题）如图，水利灌溉工具筒车的转轮中心 到水面的距 离为，筒车的半径是，盛水筒的初始位置为， 与水平 正方向的夹角为.若筒车以角速度 沿逆时针方向转动，筒 车转动后盛水筒第一次到达入水点所需的时间为 ，则下列说 法中正确的是( ) A. B. C. D. √ √ 课 堂 考 点 探 究 57 [解析] 由题可知，从筒车开始转动 到盛水筒第一次到达入水点 ，盛 水筒转过的角度小于 ，又筒车转 动的角速度为 ，故 ，故A正确； 由题意可得，盛水筒到水面的距离（单位：）与经过的时间（单位： ）之间的函数关系为， 令，得 ， 解得，故，又 ， , 课 堂 考 点 探 究 58 ， ，故D正确； ， ， ， 故C错误； 由 ，可得 ，故B错误. 故选 . 课 堂 考 点 探 究 课时作业 60 基础热身 1.函数 在下列区间上单调递减的是( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 61 [解析] 由 , ，得 ,. 当时， 在区间上单调递减； 当时，在区间 上单调递减； 当时，在区间上单调递减. 故在 ，，上均不单调递减，在 上单调递减， 故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 62 2.[2025·广东汕头一模]要得到函数 的图象，只需将函数 的图象( ) A.向右平移个单位长度 B.向左平移 个单位长度 C.向右平移个单位长度 D.向左平移 个单位长度 [解析] 将函数的图象向右平移 个单位长度得到 的图象，故选C. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 63 3.若将函数的图象向左平移 个单位长度后 得到一个奇函数的图象，则 的最小值为( ) A. B.1 C. D.3 [解析] 将函数的图象向左平移 个单位长度 后得到 的图象， 因为为奇函数，所以,,则, ， 又，所以 的最小值为 ，故选A. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 64 4.已知函数 的部 分图象如图所示，则 的表达式可以为 ( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 65 [解析] 设的最小正周期为 ，由题图 可知,，解得 ，故 . 因为的图象经过点 ，所以 , ，故 ,，所以， .故选A. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 66 5.（多选题）[2025·河南新乡二模]将函数 图象上 每个点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数 的图 象，则( ) A. B.的最小正周期为 C.的图象关于点 对称 D.的图象关于直线 对称 √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 67 [解析] 依题意可得，故 ，故 A正确； 的最小正周期 ，故B错误； 由 ，可知的图象关于点对称，故C正确； 由 ，可知的图象关于直线对称，故D正确. 故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 68 6.（多选题）[2025·重庆一中一诊]声音源于物体振动所产生的、能 够激发听觉的波动.为了有效地消除噪声，人类研发了主动降噪的技 术，该技术的原理是通过电子设备模拟产生一种与目标噪声频率、 振幅完全相同，但相位差为 的奇数倍的声音，理论上就可以和噪 声完全抵消.某一目标噪声的数学函数模型是 ， 则可以作为降噪模拟声的数学函数模型的函数解析式可以为 ( ) A. B. C. D. √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 69 [解析] 由题意可知，可以作为降噪模拟声的数学函数模型为 ,， 又 ，，故A，B选项满足题意，C，D选项不满足题意. 故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 70 7.函数 的最小正周期为____，振幅为___，初相为 ____. 2 [解析] 由题意，函数的最小正周期为 ，振幅为2，初相为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 71 8.将函数的图象向右平移 个单位长度得到函数 的图象，则 的图象的对称中心为_ _____________. ， [解析] 由题意可知，函数 ， 令， ，解得，， 所以函数的图象的对称中心为 ， . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 72 9.已知函数 的部分图象如图所示. （1）求 的解析式； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 73 解：由题可知解得 设函 数的最小正周期为 ，由题图可知 ，可得 ，解得 . 由 ，可得 ,，即 , ，又 ，所以 ，故的解析式为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 74 （2）求 的零点； 解：令，可得 ，所以 , 或 , ，解得 , 或 , ，所 以的零点为 , 和 , . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 75 （3）将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数 的图象，求在 上的取值范围. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 76 解：由题意可得 . 因为，所以 . 当，即时， 取得最大值 ； 当，即时，取得最小值.故 在 上的取值范围为 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 77 综合提升 10.已知函数 的 部分图象如图所示，其中, 为函数图象上相 邻的最高点和最低点，且，将 的图象向右平移个单位长度，得到函数 A. B. C. D. 的图象，则 在下列区间上单调递增的是 ( ) √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 78 [解析] 由题图知，设 的最小正周 期为，因为 ，所以 ,所以,故 , 所以. 由 ，得，又 ， 所以，故 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 79 将的图象向右平移 个单位长度， 可得函数 的图象， 令 ， ，得 ，， 当 时，；当时， .故选D. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 11.[2025·浙江精诚联盟适应性联考]若函数 的最小正周期为 ，其图象 的一条对称轴的方程为，则函数在 上的零点个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 81 [解析] 由题意知 ，解得.因为 的图象的一条对称轴 的方程为，所以 ，，得 ，， 因为，所以，故 . 令，得，，解得， ，当 ，，0，1时，，，，，可得 在 上有4个零点.故选D. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 82 12.（多选题）[2025·河南开封等三地二模]如图，弹簧挂着的小球做 上下运动，它在时间单位：时相对于平衡位置的高度 单位：由关系式 确定，则下列说法正确的是( ) A.小球在开始振动（即 ）时在平衡位置上 方 处 B.每秒钟小球能往复振动 次 C.函数的图象关于直线 对称 D.小球从 到时运动的路程是 √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 83 [解析] 当时， ，故A正确； 小球往复振动的周期 ，所以每秒钟小球能往复 振动 次，故B错误； 因为 ，所以函数的图象关于直 线 对称，故C正确； 因为，,且 ， ,所以小球从 到 时运动的路程是，故D正确.故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 84 13.已知函数 的部分图象如 图所示，，是该函数图象上的两点，则 的 值为__. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 85 [解析] 函数的最小正周期 ，由题意 知，解得 . 因为且, 分别在函数 的单调递减区间和 单调递增区间内，所以 ，故 ， 解得,符合题意， 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 86 故 ，， 又 ，所以 ,故 ，所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 14.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数 的图象，再将的图象上各点的横坐标变为原来的 ，纵 坐标不变，得到函数的图象，若在区间 上恰有两个极 值点和两个零点，则 的取值范围为_ ______. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 88 [解析] 由题意得 令,，则.设，则 在 上恰有两个极值点和两个零点，作出 的图象，如图 所示，由图可知，解得 . ，所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 89 15.[2025·湖北黄冈调研] 已知函数 , 的最小正周期为 . （1）求函数 的单调递增区间以及其图象的对称中心； 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 90 解：由题意知 ， 因为的最小正周期为 ，所以 ，解得 ，所以 . 令,，得 , ，故的单调递增区间为, . 令 ,，则,，故 的图象的对称中心 为, . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 91 （2）将函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移 个单 位长度，得到函数的图象，在函数 的图象上从左到右依次 取点,, ,，该点列的横坐标依次为,, , ，其中 ，，求 的值. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 92 解：由题意得 ， 则的最小正周期为 ， 又 ，故，又 , ， ， 故 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 93 能力拓展 16.已知函数的定义域为，且 ，直线 与曲线交于, 两点，则( ) A.为奇函数 B. 的定义域和值域相同 C. D. 的最大值为2 √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 94 [解析] 对于A，因为 ，所以 ， ，所以 ， 令，则 , ，即, ，所以 ，所以 为偶函数，故A错误. 对于B，函数的定义域为，值域为，故B错误. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 95 对于C，由 ，得，即,， 故曲线 为单位圆除去点和点 ，如图. 若直线 与单位圆有两个交点， 则圆心到直线的距离 ，解得. 当直线 过点时，； 当直线 过点时，. 所以若直线 与曲线交于， 两点， 则 ，故C错误. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 对于D，由弦长公式可得， 又且 ，所以当, 即直线过原点时， 取得最大值2， 故D正确. 故选D. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 17.[2025·北京海淀区一模] 如图所示，某游乐场有 一款游乐设施，该设施由转轮和转轮组成， 的 圆心固定在转轮上的点 处，某个座椅固定在转轮 上的点处.的半径为10米，的半径为5米，的圆心 距离地面的竖 直高度为20米.游乐设施运行过程中，与 分别绕各自的圆心逆时针方 向匀速旋转，旋转一周用时 分钟，旋转一周用时分钟. 当在 正 下方且在正下方时，开始计时，设在第分钟 距离地面的竖直高度 为 米.给出下列四个结论： ；② 的最大值是35； ③ 在竖直方向上的速度大小低于40米/分钟； ④存在，使得时到 的距离等于15米. 其中所有正确结论的序号为______. ①③ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 98 [解析] 转轮与转轮 分别绕各自的圆心逆时针方 向匀速旋转，旋转一周用时 分钟， 旋转一周 用时分钟，可得最小正周期 ， ，所 以角速度，， 又 的半径为10米,的圆心距离地面的竖直高度为20米,所以第分钟， 点距离地面的高度(单位：米)为,第分钟, 距离地 面的竖直高度(单位:米)为 ，化简得 ，所以 ，故①正确. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 99 当,即时, 取得最大值,最大值为,故②错误. 因为旋转一周用时 分钟，旋转一周用时分钟，所以点 在圆周上旋转的速度大小为 （米/分钟），同理可得点在圆周上旋转的速度大小为 )米/分钟),所以点 在竖直方向上的速度大小低于40米/分钟，故③正确. 若到的距离等于15米，则点 在线段上，则需 ,，得 , ,所以不存在，使得时到 的距离等于15米,故④错误. 故填①③. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 $