第3单元 05 增分微课4 构造法在解决函数、导数问题中的应用（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

该高中数学高考复习课件聚焦“构造法在函数、导数问题中的应用”专题，依据高考评价体系梳理了逆用导函数思维、具体函数构造、同构三大核心考点，通过近五年高考真题分析明确构造法在导数小题中占比达35%的高频考查权重，归纳出解不等式、比较大小、恒成立问题等常考题型。 课件亮点在于“模型体系+真题实战+素养提升”的备考设计，如总结逆用导函数的8大构造模型，结合2025烟台三模同构题解析“e^t - t”转化方法，培养学生的数学思维（推理能力）和数学语言（模型观念）。特设“易错陷阱警示”和“变式训练”，助力学生掌握构造技巧，教师可据此实现精准复习指导。

增分微课4 构造法在解决函数、导 数问题中的应用 1 类型一 类型二 类型三 课时作业 2 导数中构造函数大多以小题方式考查.函数与方程思想、转化与 化归思想是高中数学思想方法中比较重要的两个思想，而导数中的 构造函数的解题思路恰好是这两种思想的体现. 3 角度1 利用与 构造函数 例1（1）已知定义域为的函数，对任意的 都有 ，且，则不等式 的解集为 ( ) A. B. C. D. [解析] 构造函数，则 ，所以 在上单调递增，且.由 可得，即，所以，解得 . 故选B. √ 类型一 逆用导函数思维 4 （2）已知函数的定义域为，其导函数 满足 ，则不等式 的解集为( ) A. B. C. D. √ 5 [解析] 令， ， 则，所以在 上单 调递减. 不等式 等价于 ，即，所以 解得 .故选A. 6 变式题 [2025·江西南昌三模]已知函数的定义域为 ，且 ，对任意， ，则不等式 的解集是( ) A. B. C. D. [解析] 设，则， 对任意 ， ，恒成立，即在 上单调递减， 由可得 ， ，解得，故所求解集为 .故选A. √ 7 角度2 利用与 构造函数 例2 [2025·茂名一模]已知函数为上的奇函数， ，当 时，，不等式 的解集为( ) A. B. C. D. √ 8 [解析] 构造，则 ，因为当 时，，所以， 单调递增，则 的正负符号由决定. 又因为 ，所以.因为在上单调递增， 所以当 时，，所以此时； 当时， ，所以此时. 又因为为 上的奇函数，所以当时，， 则，当 时，， 则，且 . 9 若，则或即 或 解得或. 综上， 的解集为 .故选D. 变式题 若定义在上的函数满足，则当 时，与 的大小关系为( ) A. B. C. D.不能确定 [解析] 令，则 ，因 为，所以，即函数在 上单调递增， 又，所以，即，即 .故选B. √ 11 角度3 利用与, 构造函数 例3 已知定义在上的函数满足 ，且当 时，，若，则 的解集为_ _______. 12 [解析] 因为当时， ，所以由 可得 ，令 ， ， 则当时，，故在 上 单调递增. 因为是定义在上的函数且满足 ， 则，则为 上的偶函数. 13 又，所以，因为当时 ， 所以，即，即， 结合 的奇偶性和单调性可得，，解得， 故 的解集为 . 变式题 （多选题）已知函数对于任意的 都有 ，则下列不等式成立的是( ) A. B. C. D. √ √ 15 [解析] 令，对于任意的 , ，所以在 上 单调递增，所以，即 ，即 ，故A错误； 由 ,得,即,故B正确； 由 ,得,即,C正确； 由,得，即 ,故D错误. 故选 . 16 总结反思 逆用导函数思维构造函数解题的前提是熟悉常见函数的导数公式以 及四则运算法则，最好能记住常见的构造模型.下面是常见的构造模 型. 模型1：对于不等式，构造函数 . 模型2：对于不等式，构造函数 模型3：对于不等式，构造函数 . 模型4：对于不等式，构造函数 . 17 拓展：对于不等式，构造函数 . 模型5：对于不等式 ，构造函数 . 模型6：对于不等式，若 ，则构造函数 . 模型7：当时，对于不等式 （或 ），即 （或 ），构造函数 . 模型8：对于不等式 ，构造函数 ．#3.1.9 例4（1）设,,,则,, 的大小关系为( ) A. B. C. D. [解析] 构造函数,则,当时, ,当 时,,所以函数在 上单调递减. 因为,, ,且 ,所以,即 .故选A. √ 类型二 具体函数构造 19 （2）[2026·南通模拟]已知且， 且 ，且 ，则( ) A. B. C. D. [解析] 由可得 ，同理 ，. 令 ，则有，， ， 因为，所以当时，，当 时， ，所以在上单调递增，在 上单调递减，所 以，且当时， ，当 时， . √ 20 由单调性知， ，且, , ，所以,,，即 ，再由单调性 知， .故选D. 总结反思 此类问题常化为结构相同的双变量结构，构造新函数，利用新函数 的单调性解决. 22 变式题（1）已知 ， 均为锐角，且 ， 则( ) A. B. C. D. √ 23 [解析] 将 ，整理得 ， 令， ， 因为，所以在 上单调递增，所以 ，又 ， 均为锐角，所以 ， ，所以 ， .故选D. 24 （2）[2022·全国甲卷]已知,, ,则( ) A. B. C. D. [解析] 因为,当时, ，所以 ,即,所以； 设, ， 则，所以在 上单调递增，则 ,即，所以. 所以 ，故选A. √ 25 例5（1）[2025·烟台三模]若不等式 恒成立， 则实数 的取值范围为( ) A. B. C. D. [解析] 由，得 ， 令，则恒成立，则 恒成立. 令，则，当时， ，当 时，，所以在 上单调递减，在 上单调递增，所以，所以 ，故实数 的取值范围为 .故选C. √ 类型三 同构 26 （2）[2025·玉溪三模]设函数， ，若存 在,，使得，则 的最大值为( ) A. B. C. D. [解析] 由，可得 ，所以 ，又因为，所以在 上单调递增， 因为,所以 ,所以. 令, ，则,， √ 27 令 ,，则,， 可得，所以 在上单调递减. 因为，所以当时， ， ，则在上单调递增，当 时， ，，则在上单调递减，所以当 时，取得最大值，所以 . 故选A. 总结反思 与和 相关的常见同构模型： ①，构造函数 或 ； ②，构造函数或 ； ③ ，构造函数 或 . 29 变式题（1）已知函数， ，若存在正数 ，，使得，则 的最小值为__. 30 [解析] 因为,，所以 ，由题意可得 ,整理可得 ,即 因为,在 上均单调递减，所以 在上单调递减，可得，则 . 构造函数,,则,当时, ， 当时，，所以在上单调递减，在 上单 调递增，则，所以的最小值为 . （2）已知函数，若 恒成立，则正实 数 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] ， ，且，两边加上 得 . 设，则， 单调递增， ，即 . √ 32 令 ，则， 的定义域 是， 当时，， 单调递增，当 时，，单调递减， 当时， 取得极大值即为最大值， ， ， . 课时作业 34 1.不等式 的解集是( ) A. B. C. D. [解析] 设,则,当 时， ，当时，,所以在 上单调递增，在 上单调递减. 原不等式可化为,即 ，结合, 可得,所以原不等式的解集为 . 故选B. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 35 2.已知函数的导函数为，对任意实数 ，都有 ，且，则 的解集为( ) A. B. C. D. [解析] 由，,可得 ， 令，则,又 ，所 以，所以在上单调递增. 原不等式等价于 ，所以，则原不等式的解集为 . 故选B. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 36 3.[2025⋅ 南京六校联考]已知， ， ，则( ) A. B. C. D. [解析] 因为，所以 .构造函数 ，，则 . 令， ，则 ，则在 上单调递增， 得，则在 上单调递增. 又，，，所以 .故选D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 37 4.[2025·十堰四月调考]已知 ， ，则 的取值范围为( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 38 [解析] 令，则，当 时， ，所以函数在 上单调递减. 因为 ，所以 ，即 ，又 ，，所以 ，即 ， 因为 ，所以，所以或 ，解得或 ， 则 的取值范围是 .故选C. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 39 5.已知,,,其中 为自然对数的底数,则( ) A. B. C. D. [解析] 由题意得,, . 设,则,当时,, 单调递增, 又,所以 ,即 ,所以 .故选A. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 40 6.已知函数的定义域为，设的导函数是 ，若 恒成立，则( ) A. B. C. D. [解析] 设 ，则 ，故在 上单调递增，所 以，即，所以 .故选D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 41 7.已知对任意恒成立，则 的最大值为( ) A.0 B. C. D.1 [解析] 由,得 ,所以 对任意恒成立. 令 ,则在上单调递增， 令,得 ,当时，,当时，, 所以在 上单调递减，在上单调递增， 所以 ,即. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 42 令,,则 在 上单调递增， 令,得,所以当 时，, 当时，, 所以在 上单调递减，在上单调递增， 所以,所以,所以 的最大值为1.故选D. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.[2026⋅ 长沙一中月考]已知实数,,满足 , ，，其中 为自然对数 的底数，则,, 的大小关系是( ) A. B. C. D. √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 44 [解析] 设函数，其定义域为，且 ，当 时，，则在上单调递增；当 时， ，则在上单调递减. 因为 ,, ，所以,, ，即 ,,且,, ，所以 且,,，所以 . 故选D. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 45 9.（多选题）已知 ，则下列结论正确的有( ) A. B. C. D. [解析] 设，则，所以 在 上单调递增，又,所以 ，即 ，即，故A正确； 令， ，则，而，所以 ，故B不正确； √ √ √ 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 46 设，则 ,当时， ，函数单调递减,当 时，， 函数单调递增,则在 处取得最小值， 最小值为，所以 ，故C正确； 设，则 ，所以 在上单调递增，又，所以 , 即，即，故D正确. 故选 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.已知奇函数及其导函数的定义域均为， ，当 时，，则使不等式成立的 的取值 范围是___________________. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 48 [解析] 当时，因为 ，所以 .令，则当 时，，所以在 上单调递增. 因为是奇函数，即 ，所以 ，所以 为偶函 数，其图象关于轴对称. 因为，所以 ，所以，作出 的大致 图象如图所示. 由图可知,使不等式成立的的取值范围是 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 49 11.对任意，，当时，，则 的 取值范围为________. [解析] 由，得 ，两边取自然对 数，得，即 ，则 . 令，则在 上单调递减， 所以在上恒成立，则对 恒成立，所 以对恒成立，所以 . 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 50 12.[2025·重庆八中月考] 若对任意 恒成立，则实数 的取值范围为_ _______． [解析] 根据题意得 ，即 . 令 ，则，， 令 ,则,当时，, 单调递减，当时，, 单调递增，所以 , 所以在 上单调递增. 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 51 因为，所以，所以 . 令，则，当 时， ，当时，，所以在 上单调递增， 在上单调递减，所以，所以 ， 所以实数的取值范围为 ． 课 时 作 业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $