第1单元 05 教材拓展1 三元均值不等式、柯西不等式（PPT课件）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

该高中数学高考复习课件聚焦三元均值不等式、柯西不等式核心考点，依据高考评价体系梳理定义、推广及应用要点，分析条件最值、代数式最值等高频题型占比，构建“概念-例题-演练”复习链条，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“真题导向+多法解题+素养提升”，如以2025天津河西区模拟题为例，用三元均值不等式拆分法、柯西不等式构造法突破最值问题，培养数学思维与运算能力。通过典型例题变式训练，助学生掌握答题技巧，教师可据此优化复习策略，提升备考效率。

教材拓展1 三元均值不等式、柯西 不等式 1 典型例题 巩固演练 2 1.三元均值不等式： 如果，，均为正数，那么（当且仅当 时 等号成立）. 推广：元均值不等式：如果，， ， 均为正数，那么 （当且仅当 时等号成立）. ［课本探源：苏教必修第一册P71问题与探究］ 3 2.柯西不等式： （1）柯西不等式的向量形式：设 , 是两个向量,则 ,当且仅当 是零向量,或者存在实数 ,使得 时等号成立. （2）二维形式的柯西不等式 若，，，都是实数，则 ，当且 仅当 时，等号成立. 4 （3）三维形式的柯西不等式 设,,，,, 都是实数，则 ，当且仅当 或存在实数，使得 时， 等号成立. ［课本探源：人A必修第二册P37第16题］#2.4 ◆ 典型例题 ◆ 例1 已知，则 的最小值是___. 9 [解析] ，当且仅当 ，即 时，等号成立. 典 型 例 题 6 例2（1）[2025·蚌埠4月模拟] 已知，， ，则 的最小值为_________. [解析] 方法一（均值不等式） 由题意得 ， 当且仅当，即,时取等号， 的最小值为 . 典 型 例 题 7 方法二（柯西不等式）,,, , , , 当且仅当,即时取等号,的最小值为 . 方法三（权方和不等式）,,, , ,由权方和不等式可得 , 当且仅当,即时取等号,的最小值为 . 典 型 例 题 8 （2）[2025·天津河西区模拟]已知，，，且 ， 则 的最大值为( ) A.3 B. C.18 D.9 [解析] 由柯西不等式得 ， 所以，当且仅当 时， 等号成立.故选B. √ 典 型 例 题 9 ◆ 巩固演练 ◆ 1.若,,则 的最大 值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 [解析] , ,当且仅当 时,等号成立， 故选B. √ 巩 固 演 练 10 2.对任意的正实数,,恒成立，则 的最小值为 ( ) A. B. C. D. [解析] 方法一（均值不等式）由题意得 恒成立. ，当且仅当 时， 等号成立，, .故选B. √ 巩 固 演 练 11 方法二（柯西不等式）由题意得 恒成立. ,当且仅当 ，即 时，等号成立，，即 , .故选B. 方法三（权方和不等式）由题意得 恒成立. ，当且仅当 ，即 时，等号成立，， .故选B. 巩 固 演 练 3.已知，，，则 的最大值是___. 2 [解析] 由柯西不等式得 ，所以 ，当且仅当,即, 时等号成立， 所以，故 的最大值是2. 巩 固 演 练 13 4.函数 的最大值为___. 2 [解析] ，由 解得. 当时，；当时， ； 当时，，此时且 ， 由柯西不等式可得 ，当且仅当即时取等号,此时即 . 所以函数 的最大值为2. 巩 固 演 练 14 $