第7单元 06 增分微课8 与球有关的切、接问题（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

该高中数学高考复习讲义聚焦与球有关的切接问题核心考点，涵盖外接球、内切球、棱切球、组合体及动点最值五大考法，按“知识链接-必记结论-类型例题-总结反思-变式巩固”逻辑架构，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生系统构建解题框架，突破空间想象与转化难点。 资料以分类突破与真题导向为特色，创新采用构造模型法、等体积法等策略，如例1正三棱台外接球通过建立直角梯形求解，培养学生数学眼光与逻辑推理能力。设置分层变式题与高考真题演练，确保复习高效，助力学生提升空间问题转化能力，为教师把控复习节奏提供精准指导。

增分微课8　与球有关的切、接问题 　　【知识链接】与球有关的切、接问题常见考法:一是求空间几何体的外接球,空间几何体可以为多面体,也可以为旋转体,可以求此球的表面积或体积,也可以求空间几何体的相关的量;二是求空间几何体的内切球,空间几何体可以为多面体,也可以为旋转体,若为多面体,多利用等体积法求解,若为旋转体,多利用轴截面求解;三是棱切球,多考查正方体或正四面体的棱切球问题;四是组合体切接问题与含动点切接问题,此时难度一般略有拔高,需针对所给的几何体的特征,合理地选择方法进行破解. 【必记结论】与球接、切有关的几个结论 1.设正方体的棱长为a,则: ①该正方体的外接球的半径为,内切球的半径为; ②若球与该正方体的各棱相切,则球的半径为. 2.长方体的共顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=. 3.棱长为a的正四面体的外接球的半径为a,内切球的半径为a,外接球的半径与内切球的半径之比为3:1. 4.圆柱的外接球的球心在上、下底面圆的圆心连线构成的线段的中点处,正棱柱与该棱柱的外接圆柱有相同的外接球. 5.圆锥的外接球的球心在顶点与底面圆的圆心连线所在的直线上,若棱锥的顶点在底面外接圆的圆心的垂线上,则该棱锥的外接球的球心在顶点与底面外接圆的圆心连线所在的直线上. 6.圆台的外接球的球心在上、下底面圆的圆心连线所在的直线上,正棱台的外接球的球心在上、下底面的外接圆的圆心连线所在的直线上. 类型一　外接球　　　　　　　　　　　　　　　 例1 (1)[2022·新高考全国Ⅱ卷] 已知正三棱台的高为1,上下底面的边长分别为3和4,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 (　 ) A.100π B.128π C.144π D.192π (2)[2023·全国乙卷] 已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上,△ABC是边长为3的等边三角形,SA⊥平面ABC,则SA=　　　　.  总结反思 求解多面体的外接球的主要方法: (1)构造模型法:即寻找适合题意的长方体、正方体、圆柱等几何体,借助这些几何体迅速求得外接球半径; (2)建立直角梯形或直角三角形法:即先找到底面多边形的外心,作出外接球球心,借助题设中的条件得到多面体的高,构成直角梯形或直角三角形来求解. 变式题 (1)在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC,PA,PB,PC两两垂直,且该三棱锥的外接球的表面积为9π,则该三棱锥的体积为(　 ) A. B. C. D. (2)已知正三棱锥的底面边长和侧棱长均为4,若将此棱锥放在一球形容器内可任意转动,则该球形容器的表面积的最小值为　　　　.  (3)[2025·吉林三模] 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱BC的中点为E,棱DD1的中点为F,则三棱锥A-D1EF的外接球的表面积为　　　　.  类型二　内切球 例2 (1)[2025·山西运城部分学校联考] 一个圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆,在该圆锥内有一个体积为V的球,则该球的体积V的最大值为 (　 ) A. B. C. D. (2)[2025·全国二卷] 一个底面半径为4 cm,高为9 cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球,则铁球半径的最大值为　　　　cm.  总结反思 处理与内切球相关的问题: 1.解题时常用以下结论确定球心和半径:①球心在过切点且与切面垂直的直线上;②球心到各面的距离相等. 2.利用体积法求多面体内切球的半径,即r=. 变式题 (1)[2025·河北唐山滦南期中] 一个体积为4π的球在一个正三棱柱的内部,且球面与该正三棱柱的所有面都相切,则此正三棱柱的表面积为 (　 ) A.54 B.54 C.27 D.27 (2)[2025·四川绵阳中学模拟] 正三棱台ABC-A1B1C1的上、下底面边长分别为6,12,该正三棱台内部有一个内切球(与上、下底面和三个侧面都相切),则正三棱台的高为 (　 ) A. B.2 C.3 D.4 类型三　棱切球 例3 (1)[2025·广西南宁期末] 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,以正方体中心为球心的球O与正方体的各条棱相切,若点P在球O的表面上,且在正方体外部(含正方体表面)运动,则·的最大值为 (　 ) A. B.1 C. D. (2)[2023·全国甲卷] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,C1D1的中点.以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有　　　　个公共点.  总结反思 1.如果一个球与一个多面体的所有棱都相切,那么这个球就被称为多面体的棱切球.例如,在正方体中,棱切球的直径等于正方体的面对角线长,且球的一部分位于正方体外部,与正方体的每个面都有接触点. 2.解决棱切球问题的基本步骤:找切点、找球心,构造直角三角形解决问题.对于正四面体的棱切球,常补成正方体进行破解. 变式题 (1)[2025·河北衡水中学模拟] 在正三棱锥P-ABC中,AB=2,PA=4,若半径为r的球O与三棱锥P-ABC的六条棱均相切,则r2= (　 ) A.2- B.3- C. D. (2)[2026·浙江嘉兴期末] 在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,球O与棱AB,AD,AA1均相切,且与侧面BCC1B1也相切,则球O的半径为　　　　.  类型四　组合体切接问题 例4 如图,这是某零件的结构模型,中间大球为正四面体的内切球,小球与大球、正四面体的三个面均相切.若AB=12,则该模型中一个小球的体积为　　　　.  总结反思 解决组合体与球相切或外接问题,常常需要截面来剖析几个几何体之间的相互关系,然后将空间问题转化为平面问题来解决.注意对于多面体的内切球问题,常利用等体积法进行求解. 变式题 清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”,其可由两个正交的全等正四面体组合而成(每一个四面体的各个面都过另一个四面体的三条共点的棱的中点).如图,若正四面体的棱长为2,则该组合体的表面积为　　　　;该组合体的外接球的体积与两正交四面体公共部分的内切球的体积的比值为　　　　.  类型五　含动点切接问题(最值问题) 例5 (1)[2022·新高考全国Ⅰ卷] 已知正四棱锥的侧棱长为l,其各顶点都在同一球面上,若该球的体积为36π,且3≤l≤3,则该正四棱锥体积的取值范围是 (　 ) A. B. C. D.[18,27] (2)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的顶点都在球O的球面上,若正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面积为9,则球O的表面积的最小值是　　　　.  总结反思 与球有关的切、接问题中的最值问题是立体几何的一个重点、难点,常见的求解方法主要有以下三种: (1)转化为函数最值问题.通过引入长度参数或角度参数,建立关于这些参变量的函数关系,进而转化为函数的最值问题来解决. (2)转化为平面几何问题.根据题目的特征,寻找或确定一个数量关系比较集中的平面,将题目中的其他条件逐步向该平面转移,然后利用平面几何方法或三角函数来解决. (3)利用均值不等式求解.可通过引入多个变量建立数学模型,然后利用均值不等式求其最值. 变式题 (1)[2025·湖南娄底二检] 已知正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的各个顶点都在半径为R的球面上,一个能放进该正六棱柱内部的最大的球的半径为r.若AB=2,则当最小时,该正六棱柱的体积为 (　 ) A.36 B.42 C.48 D.24 (2)已知三棱锥P-ABC的各顶点均在半径为2的球O的球面上,BC=,∠BAC=60°,AP=2,则三棱锥P-ABC的体积的最大值为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 增分微课8　与球有关的切、接问题 例1　(1)A　(2)2　[解析] (1)由题意,设球的球心为O,半径为R,正三棱台的上、下底面分别为△A1B1C1,△A2B2C2,A1A2,B1B2,C1C2均为正三棱台的棱,则△A1B1C1,△A2B2C2都是等边三角形.设△A1B1C1,△A2B2C2的外接圆圆心分别为O1,O2,连接O1O2,则O1O2=1.连接O1A1,O2A2,∵等边三角形A1B1C1和等边三角形A2B2C2的边长分别为3,4,∴O1A1=3,O2A2=4.连接OA1,OA2,若点O在线段O1O2上,则R2=O1+O=O2+(1-OO1)2,即32+O=42+(1-OO1)2,可得OO1=4>O1O2,矛盾,故点O在线段O1O2的延长线上.由题意得R2=O1+(OO2+1)2=O2+O,可得OO2=3,R=5,∴该球的表面积S=4πR2=100π. (2)连接SB,SC,形成三棱锥S-ABC,并将三棱锥S-ABC补成正三棱柱SB'C'-ABC,如图,则三棱锥S-ABC的外接球也是正三棱柱SB'C'-ABC的外接球,显然球心O到底面ABC的距离即为三棱柱的高SA的一半.设O'为△ABC的中心,连接AO,OO',则OO'⊥平面ABC,连接AO'并延长,使之交BC于点D,则AD=,AO'=AD=,所以OO'===1,则SA=2OO'=2. 变式题　(1)B　(2)24π　(3)14π　[解析] (1)由题可将该三棱锥P-ABC放入正方体中,如图,则该三棱锥的外接球与正方体的外接球相同,故该三棱锥外接球的半径为=PA.由4π×=9π,可得PA=,所以该三棱锥的体积为×PA3=.故选B. (2)如图,在正三棱锥P-ABC中,其底面的中心为H,则PH为正三棱锥P-ABC的高.由题可知在正三角形ABC中,AB=AC=BC=4,所以CD==2,CH=CD=,因为PC=4,所以PH===.由题可知正三棱锥P-ABC的外接球即为所求,易知正三棱锥P-ABC的外接球的球心Q在直线PH上,设其外接球的半径为r,则PQ=CQ=r,QH=-r,在Rt△QCH中,由勾股定理得QH2+CH2=QC2,即+=r2,解得r=,故外接球的表面积S=4πr2=4π×()2=24π,所以该球形容器表面积的最小值为24π. (3)如图①,设△AFD1的外心为O1,由外心的定义可知,O1为线段A1D的四等分点(靠近A1),则球心O在过O1且与平面AD1F垂直的直线上.以D为坐标原点,建立如图②所示的空间直角坐标系,则O1,A(2,0,0),E(1,2,0),设三棱锥A-D1EF的外接球的球心O,半径为R,由OA=OE,可求出m=1,则R2=OA2=,所以三棱锥A-D1EF的外接球的表面积为4πR2=14π. 例2　(1)C　(2)　[解析] (1)设圆锥的底面半径为r,高为h,母线长为l,则l=2,2πr=2π,解得r=,所以h==3.圆锥的轴截面如图所示.设体积最大的球的半径为R,则=,即=,解得R=1,故该球的最大体积为πR3=.故选C. (2)当铁球的半径最大时,两铁球相切,且分别与圆柱的两底面相切,轴截面如图所示.设铁球的半径为r cm,两铁球的球心分别为O1,O2,作出辅助线,则△OO1O2为直角三角形,O1O2=2r,OO1=9-2r,OO2=8-2r,则(8-2r)2+(9-2r)2=4r2,即4r2-68r+145=0,则(2r-29)(2r-5)=0,解得r=或r=(舍),故铁球半径的最大值为 cm. 变式题　(1)A　(2)B　[解析] (1)设球的半径为R,因为πR3=4π,所以R=.因为球面与该正三棱柱的所有面都相切,所以正三棱柱的高为2,设正三棱柱的底面边长为a,因为球的半径等于底面正三角形的内切圆半径,所以=×a,所以a=6,则正三棱柱的表面积为3×6×2+2××6×6×=54.故选A. (2)由正三棱台ABC-A1B1C1的上、下底面边长分别为6和12,得上、下底面正三角形的高分别为=3,=6.由几何体的结构特征得内切球与上、下底面的切点分别为上、下底面的重心O,O1,设D,D1为侧面等腰梯形上、下底边的中点,则OD=,O1D1=2,DD1=OD+O1D1=3.设内切球的半径为r,则正三棱台的高为2r==2.故选B. 例3　(1)A　(2)12　[解析] (1)取AB的中点E,可知E在球面上,可得=-=-,所以·=(+)·(+)=-=-,当PE为球O的直径时,||取得最大值,此时点P所在位置符合题意,所以·的最大值为.故选A. (2)不妨设正方体的棱长为2,EF的中点为O,分别取CD,CC1的中点G,M,设侧面BB1C1C的中心为N,连接FG,EG,OM,ON,MN,如图.由题意可知,O为球心,在正方体中,EF===2,即以EF为直径的球的半径R=,球心O到CC1的距离为OM===,所以球O与棱CC1相切,球面与棱CC1只有1个公共点,根据正方体的对称性知,其余各棱和球面也只有1个公共点,所以以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有12个公共点. 变式题　(1)D　(2)4-2　[解析] (1)如图,取△ABC的中心E,连接PE,则PE⊥平面ABC,则与棱均相切的球的球心O在PE上.连接AE并延长交BC于点D,则D为BC的中点,AD⊥BC,连接OD,因为PE⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PE⊥BC,又AD∩PE=E,AD,PE⊂平面OED,所以BC⊥平面OED,又OD⊂平面OED,所以BC⊥OD.过点O作OF⊥PA,交PA于点F,设球O的半径为r,则OD=OF=r,因为AB=2,PA=4,所以AD==3,AE=AD=2,ED=AD=1,由勾股定理得PE===2,在Rt△PAE中,sin∠APE==,所以∠APE=30°.设OE=t(0<t<2),则PO=2OF=2r,因为r=OD==,所以t+2=2,所以t=2-,所以r2=t2+1=+1=.故选D. (2)由对称性可知,球心O在正方体的对角线AC1上.如图,过点O作OF⊥BC1,垂足为F,可知OF⊥平面BCC1B1,故球O与平面BCC1B1相切于点F,所以OF为球O的半径r.过点O作OE⊥AB,垂足为E,故球O与AB相切于点E,所以OE为圆O的半径r.在△ABC1中,AB⊥BC1,AB=2,BC1=2,易知△AEO∽△OFC1,所以=,即=,解得r=4-2. 例4　π　[解析] 如图所示,设O为大球的球心,大球的半径为R,大正四面体的底面中心为E,AB=12,高为h,CD的中点为F,连接OA,OB,OC,OD,OE,BF,则BE=BF=×12=4,h=AE==×12=4,∵V正四面体=4VO-ABC,∴S△ABC·h=4×S△ABC·R,∴R=h=.设小球的半径为r,小球也可看作一个小的正四面体的内切球,且小正四面体的高h小=h-2R=2,∴r=h小=×2=,∴小球的体积为πr3=π×=π. 变式题　6　27　[解析] 该组合体一共有 24 个面,每一个面都是全等的边长为 1 的等边三角形,则其表面积为24××12=6.易知该组合体的外接球即为任意一个正四面体的外接球,可用一个正四面体来求解,如图,E是△BCD的中心,F是球心,则2DEcos =DC=2,则DE=,AE==.设其外接球的半径为R,则AF=DF=R,又AF+EF=AE,DF2=EF2+DE2,所以R=.两正交四面体公共部分一共有 8 个面,且每一个面都是全等的边长为 1 的等边三角形,则其表面积为8××12=2,大正四面体的体积为××22×=,则每个小正四面体的体积为×=,则中间部分的体积为-4×=.设其内切球的半径为r,则×2r=,解得r=,故外接球和内切球的体积之比为=27. 例5　(1)C　(2)4π　[解析] (1)方法一(导数法):如图,连接AC,BD交于点O1,连接SO1.设正四棱锥S-ABCD的高SO1=h,底面边长为a,则AO1=a,设正四棱锥外接球的半径为R,则由πR3=36π,得R=3.延长SO1,交球面于点M,连接AM,则SM为球的直径,易知AO1⊥SM,在Rt△SAM中,由射影定理知,l2=6h,a2=h(6-h),所以a2=2h(6-h),h=∈,所以正四棱锥S-ABCD的体积为a2h=h2(6-h)=(-h3+6h2).记V(h)=(-h3+6h2),h∈,则V'(h)=2(-h2+4h),h∈,当h∈时,V'(h)>0,V(h)单调递增,当h∈时,V'(h)<0,V(h)单调递减,所以V(h)max=V(4)=,V(h)min=min=min=,所以该正四棱锥体积的取值范围是. 方法二(均值不等式法):同方法一得正四棱锥的体积V=a2h=(12-2h)h×h≤×=,当且仅当h=4时取等号.当l=3时,h=,a=,此时V=a2h=××=.当l=3时,h=,a=,此时V=a2h=××=.因为<<,所以该正四棱锥体积的取值范围是. (2)设正三棱柱ABC-A1B1C1的高为h,AC=BC=AB=a,则3a×h=9,所以h=.设△ABC外接圆的半径为r,则2r=,解得r=.设球O的半径为R,则R2=r2+=+≥,当且仅当a2=时,等号成立,所以球O的表面积的最小值为4π×=4π. 变式题　(1)A　(2) [解析] (1)设正六边形ABCDEF的中心为点M,则点M与任意一条边均构成等边三角形,所以点M到各边的距离均为等边三角形的高,即ABsin 60°=.不妨设该正六棱柱的高为h,则r≤且r≤,r取两者之中的较小者,由点M到A,B,C,D,E,F的距离均为2,得点M是正六边形ABCDEF的外接圆圆心,因此正六棱柱的外接球半径R==.若h<2,则r=,则==>=;若h≥2,则r=,则=≥=.所以当h=2时,取得最小值,此时正六边形的面积为6××22×sin 60°=6,所以该正六棱柱的体积为6×2=36.故选A. (2)设△ABC的外接圆的半径为r,由正弦定理可得=2r,因为BC=,∠BAC=60°,所以=2r,解得r=1.设点P到平面ABC的距离为d,则VP-ABC=×S△ABC×d.如图,连接AO,若三棱锥P-ABC的体积最大,则S△ABC,d同时最大即可,由三角形的面积公式得S△ABC=××AB×AC=×AB×AC,由余弦定理得==,则2(AB+AC)2-4×AB×AC-6=2×AB×AC,则(AB+AC)2=3×AB×AC+3,由均值不等式得AB+AC≥2,当且仅当AB=AC时取等号,所以(AB+AC)2≥4×AB×AC,则3×AB×AC+3≥4×AB×AC,解得AB×AC≤3,即S△ABC≤,故△ABC面积的最大值为.由题意得球的半径为2,r=1,设球心到平面ABC的距离为d1,由勾股定理得d1==,则O到平面ABC的距离为,设直线AO与平面ABC所成的角为θ,则sin θ=,又θ∈[0°,90°],所以θ=60°,则直线AO与平面ABC所成的角为60°.因为三棱锥P-ABC的各顶点均在半径为2的球O的球面上,所以OA=OP=2,而AP=2,OA2+OP2=AP2,故△PAO是以O为顶点的等腰直角三角形,得到∠PAO=∠APO=45°,当平面PAO垂直于平面ABC时,点P到平面ABC的距离最大,最大距离为PA·sin 105°=2×=+1,故三棱锥P-ABC体积的最大值为××(+1)=. 学科网（北京）股份有限公司 $