第7单元 04 第44讲 直线、平面垂直的判定与性质（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

该高中数学讲义聚焦直线、平面垂直的判定与性质高考核心考点，按定义、定理、常用结论及线线-线面-面面垂直转化关系系统架构知识。通过考点梳理、常识与易错题组巩固、典型例题精讲及变式训练，帮助学生突破判定定理应用等难点，体现复习的系统性与针对性。 资料采用分层教学策略，如通过“线面垂直需平面内两相交直线”等易错点辨析培养数学思维，结合正方体模型动态演示提升空间观念。设置基础巩固与能力提升题组，配合定理推理与证明训练，确保高效突破考点，助力学生构建解题逻辑，为教师把控复习节奏提供实用指导。

第44讲　直线、平面垂直的判定与性质 【课标要求】　1.从立体几何的有关定义和基本事实出发,了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的性质定理与判定定理,并能够证明相关性质定理. 2.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题. 1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 一般地,直线l与平面α相交于一点A,且对平面α内　　　　一条过点A的直线m,都有　　　　,则称直线l与平面α垂直(或l是平面α的一条垂线,α是直线l的一个垂面,记作l⊥α,其中点A称为垂足).  (2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理 类别 文字语言 图形表示 符号语言 判定 定理 如果一条直线与一个平面内的　　　　　垂直,则这条直线与这个平面垂直  ⇒ l⊥α 性质 定理 如果两条直线垂直于　　　　　,那么这两条直线平行  ⇒ a∥b 2.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 一般地,如果两个平面α与β所成角的大小为90°,则称这两个平面互相垂直,记作α⊥β. (2)两个平面垂直的判定定理与性质定理 类别 文字语言 图形表示 符号表示 判定 定理 如果一个平面经过另外一个平面的一条　　　　　,则这两个平面互相垂直  ⇒ α⊥β (续表) 类别 文字语言 图形表示 符号表示 性质 定理 如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的　　　的直线　　　 于另一个平面  ⇒ l⊥α 常用结论 1.与线面垂直相关的常用结论: (1)两条平行直线中的一条直线与一个平面垂直,则另一条直线也与这个平面垂直; (2)一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则与另一个平面也垂直; (3)过空间一点有且仅有一条直线与已知平面垂直; (4)过空间一点有且仅有一个平面与已知直线垂直. 2.三种垂直关系的转化: 线线垂直线面垂直面面垂直 3.三垂线定理及逆定理 (1)定理:如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直,则它也和这条斜线垂直. (2)逆定理:如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直. 题组一　常识题 1.[教材改编] 如图,已知PD垂直于菱形ABCD所在的平面,连接PA,PB,PC,AC,BD,则一定互相垂直的平面有　　　对,与AC垂直的直线有　　　条.  2.[教材改编] 若平面α⊥平面β,且α∩β=l,则下列说法中正确的序号是　　　　.  ①平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线; ②平面α内的直线必垂直于平面β内的无数条直线; ③平面α内的任意一条直线必垂直于平面β; ④过平面α内任意一点作交线l的垂线,则此垂线必垂直于平面β. 3.[教材改编] 在三棱锥P-ABC中,点P在平面ABC上的射影为点O. (1)若PA=PB=PC,则点O是△ABC的　　　　心;  (2)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点O是△ABC的　　　　心.  题组二　常错题 4.[证明线面垂直时,易忽视平面内两条直线为相交直线这一条件] “直线a与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面α垂直”的　　　　　　　条件.(填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”)  5.[忽略线面垂直、面面垂直的条件致误] 已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,现有以下说法: ①若α∥β,n⊂α,m⊂β,则m∥n; ②若m⊥α,m⊥β,n⊥α,则n⊥β; ③若m⊥n,m⊥α,n⊥β,则α⊥β; ④若m∥α,n∥β,α⊥β,则m⊥n; ⑤若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥n. 其中正确说法的序号为　　　　.  6.[面面垂直的判定中找不到哪个面和哪条线垂直] 如图所示,已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形,PA=a,PB=PD=a,则它的5个面中,互相垂直的面有　　　　对.  7.[注意排除由平面到空间的思维定势的影响] 在△ABC中,∠BAC=90°,P为平面ABC外的一点,且PA=PB=PC,则平面PBC与平面ABC　　　　(填“一定”或“不一定”)垂直.   　垂直关系的基本问题 例1 (1)[2025·黑龙江黑河龙西北名校联盟调研] α,β是两个不同的平面,m⊂β,则“α⊥β”是“m⊥α”的 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)如图所示,AC为圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,B为圆周上不与点A,C重合的点,AS⊥PC于点S,AN⊥PB于点N,则下列说法不正确的是 (　 ) A.平面ANS⊥平面PBC B.平面ANS⊥平面PAB C.平面PAB⊥平面PBC D.平面ABC⊥平面PAC 总结反思 解决线、面位置关系判定的问题一般是利用正方体模型或画图分析解决,其实最好的办法是笔当线,纸、手掌当面动态演示. 变式题 (1)已知l,m是两条直线,α,β是两个平面,则能推出“l⊥α”的一个条件是 (　 ) A.l⊥β,α∥β B.l∥β,α⊥β C.l⊥m,m∥α D.l⊥m,m⊂α (2)[2025·北京西城区调研] 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=,AA1=AD=1.给出下列四个结论: ①AC1⊥BD;②A1C⊥B1D;③A1D⊥平面ABD1;④AB1⊥平面A1BD. 其中正确的结论是 (　 ) A.①③ B.②③ C.①④ D.②④ 　线面垂直的判定与性质 例2 如图,在四棱锥S-ABCD中,△SAD是等边三角形,四边形ABCD是矩形,且SA=2AB,E是BC的中点,F是SE的中点.证明:SE⊥平面ADF.     总结反思 解决直线与平面垂直问题的常用方法: (1)线面垂直的判定定理: l⊥a,l⊥b,a⊂α,b⊂α,a∩b=P⇒l⊥α. (2)面面垂直的性质定理: α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⇒a⊥β. (3)性质:①a∥b,b⊥α⇒a⊥α; ②α∥β,a⊥β⇒a⊥α. 变式题 如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,O为AC与BD的交点,AA1=2,∠C1CB=∠C1CD,∠C1CO=45°.证明:C1O⊥平面ABCD.     　面面垂直的判定与性质 例3 [2026·辽宁辽阳期末] 如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BB1的中点,AB=2,AA1=2. (1)证明:CD⊥A1E; (2)证明:平面A1CE⊥平面CDE.     总结反思 1.判定面面垂直的方法: (1)面面垂直的定义; (2)面面垂直的判定定理(a⊥β,a⊂α⇒α⊥β)(一般在一个平面内找交线的垂线,证此线与另一平面垂直). 2.在已知面面垂直时,一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线,转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直. 变式题 在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,如图①.将△ABD延BD所在直线折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD,如图②,则在三棱锥A-BCD中,下列结论不正确的是 (　 ) A.CD⊥AB B.CD⊥BD C.平面ADC⊥平面ABD D.平面ABC⊥平面BDC 　平行垂直关系的综合问题 例4 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AB∥CD,CD=2AB,PA=AD,E是棱PC的中点. (1)求证:BE∥平面PAD; (2)求证:平面PBC⊥平面PCD.     总结反思 垂直关系综合问题的解题方法: (1)对于三种垂直的综合问题,一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化. (2)对于垂直与平行相结合的问题,应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用. (3)对于存在性问题,可以利用所给垂直条件先求出点的位置,再进行位置关系证明或求角. 变式题 [2025·四川成都模拟] 在如图所示的多面体ABCDEF中,平面ADE⊥平面ABCD,CF⊥平面ABCD,△ADE是正三角形,四边形ABCD是菱形,AB=2,CF=. 求证:EF∥平面ABCD. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第44讲　直线、平面垂直的判定与性质 ● 课前基础巩固 【知识聚焦】 1.(1)任意　l⊥m　(2)两条相交直线 m⊂α　n⊂α　m∩n=P　l⊥m l⊥n　同一个平面 2.(2)垂线　a⊂α　a⊥β　交线　垂直 α⊥β　α∩β=a　l⊥a　l⊂β 【对点演练】 1.4　3　[解析] 由PD⊥平面ABCD,得平面PAD⊥平面ABCD,平面PDB⊥平面ABCD,平面PDC⊥平面ABCD.因为AC⊥BD,AC⊥PD,BD∩PD=D,所以AC⊥平面PDB,所以平面PAC⊥平面PDB,故互相垂直的平面有4对.与AC垂直的直线有PD,BD,PB,共3条. 2.②　[解析] 在①中,如图甲,a⊂α,b⊂β,且a,b与l都不垂直,则a,b不一定垂直,故①错误;在②中,如图乙,a⊂α,b⊂β,b⊥l,则b⊥α,所以β内所有与b平行的直线都与a垂直,故②正确;在③中,如图丙,a⊂α,但a与l不垂直,则a与β不垂直,故③错误;在④中,如图丁,若a不在α内,则a与β不垂直,故④错误.故填②. 3.(1)外　(2)垂　[解析] (1)如图①,连接OA,OB,OC,在Rt△POA,Rt△POB和Rt△POC中,PA=PB=PC,所以OA=OB=OC,即O为△ABC的外心. (2)如图②,延长AO,BO,CO,分别交BC,AC,AB于点H,D,G.因为PC⊥PA,PB⊥PC,PA∩PB=P,PA,PB⊂平面PAB,所以PC⊥平面PAB,又AB⊂平面PAB,所以PC⊥AB,因为AB⊥PO,PO∩PC=P,PO,PC⊂平面POC,所以AB⊥平面POC,又CG⊂平面POC,所以AB⊥CG,即CG为△ABC的边AB上的高.同理可得BD,AH分别为△ABC的边AC,BC上的高,所以O为△ABC的垂心. 4.必要不充分　[解析] 根据直线与平面垂直的定义知,“直线a与平面α内的无数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面α垂直”,反之则可以,所以应填必要不充分. 5.②③　[解析] 在①中,若α∥β,n⊂α,m⊂β,则m与n平行或异面,故①错误;在②中,若m⊥α,m⊥β,则α∥β,又n⊥α,所以n⊥β,故②正确;在③中,若m⊥n,m⊥α,则n∥α或n⊂α,又n⊥β,所以α⊥β,故③正确;在④中,若m∥α,n∥β,α⊥β,则m与n平行、相交或异面,故④错误;在⑤中,若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m,n平行、相交或异面,所以⑤错误.故填②③. 6.5　[解析] 由底面ABCD是边长为a的正方形,PA=a,PB=PD=a,得PA⊥AB,PA⊥AD,又AB∩AD=A,所以PA⊥底面ABCD,由PA⊂平面PAB,PA⊂平面PAD,可得平面PAB⊥平面ABCD,平面PAD⊥平面ABCD.又AB⊥AD,PA∩AD=A,所以AB⊥平面PAD,又AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.由BC⊥AB,BC⊥PA,AB∩PA=A,得BC⊥平面PAB,又BC⊂平面PBC,所以平面PAB⊥平面PBC.由CD∥AB,得CD⊥平面PAD,又CD⊂平面PDC,所以平面PAD⊥平面PDC.故共有5对互相垂直的面. 7.一定　[解析] 因为PA=PB=PC,所以点P在平面ABC内的射影O为△ABC的外心,因为∠BAC=90°,所以O为BC的中点,所以PO在平面PBC内,所以平面PBC⊥平面ABC. ● 课堂考点探究 例1　[思路点拨] (1)利用面面垂直的判定定理与性质定理,即可判断充分性及必要性;(2)利用线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理判断即可. (1)B　(2)B　[解析] (1)若α⊥β,设α∩β=b,当m与b不垂直时,不能得到m⊥α,故充分性不成立;若m⊥α,由m⊂β,可得α⊥β,故必要性成立.综上所述,“α⊥β”是“m⊥α”的必要不充分条件,故选B. (2)∵PA⊥平面ABC,PA⊂平面PAC,∴平面ABC⊥平面PAC,故D中说法正确.∵BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC,又AB⊥BC,PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB,又BC⊂平面PBC,∴平面PAB⊥平面PBC,故C中说法正确.∵AN⊂平面PAB,∴BC⊥AN,∵AN⊥PB,BC∩PB=B,∴AN⊥平面PBC,又AN⊂平面ANS,∴平面ANS⊥平面PBC,故A中说法正确.对于B,假设平面ANS⊥平面PAB,∵AN⊥平面PBC,NS⊂平面PBC,∴AN⊥NS,∵平面PAB⊥平面ANS,平面PAB∩平面ANS=AN,∴NS⊥平面PAB,∴NS⊥PB,∵AN⊥PB,AN∩NS=N,∴PB⊥平面ANS,又AS⊂平面ANS,∴PB⊥AS,∵AS⊥PC,PB∩PC=P,∴AS⊥平面PBC,与AN⊥平面PBC矛盾,故B中说法不正确.故选B. 变式题　(1)A　(2)B　[解析] (1)对于A选项,当l⊥β,α∥β时,l⊥α,故A选项正确;对于B选项,当l∥β,α⊥β时,直线l与平面α可能平行、相交或l⊂α,故B选项错误;对于C选项,当l⊥m,m∥α时,直线l与平面α可能平行、相交或l⊂α,故C选项错误;对于D选项,当l⊥m,m⊂α时,直线l与平面α可能平行、相交或l⊂α,故D选项错误.故选A. (2)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,因为AB=,AA1=AD=1,所以底面ABCD是长、宽不相等的长方形,所以AC与BD不垂直.因为AC⊂平面ACC1,所以由线面垂直的性质可知BD与平面ACC1不垂直,因为CC1⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以CC1⊥BD.因为CC1∩AC1=C1,所以AC1与BD不垂直,故①错误.因为B1C===A1B1,所以B1C=A1B1=CD=A1D,因为CD⊥平面A1D1DA,A1D⊂平面A1D1DA,所以CD⊥A1D,又A1B1∥CD,所以四边形A1B1CD是正方形,所以A1C⊥B1D,故②正确.因为AB∥CD,所以AB⊥A1D,因为四边形A1D1DA是正方形,所以AD1⊥A1D,因为AB∩AD1=A,且AB,AD1⊂平面ABD1,所以A1D⊥平面ABD1,故③正确.因为四边形A1B1BA是长、宽不相等的长方形,所以AB1与A1B不垂直,由线面垂直的定义可知,AB1与平面A1BD不垂直,故④错误.故选B. 例2　[思路点拨] 思路一:取AD的中点O,连接SO,则SO⊥AD,连接OE,OF,则OE⊥AD,从而AD⊥平面SOE,进而得到SE⊥AD,再证SE⊥OF即可.思路二:要证SE⊥DF,SE⊥AF,只需连接AE,DE,再证AE=SA,DE=SD即可. 证明:方法一:取AD的中点O,连接SO,OE,OF,如图. 因为四边形ABCD是矩形,O,E分别是AD,BC的中点, 所以EO􀰿AB,所以EO⊥AD.因为△SAD是等边三角形,所以SO⊥AD.因为SO∩OE=O,所以AD⊥平面SOE.因为SE⊂平面SOE,所以AD⊥SE.因为SA=2AB,所以OS=SAsin∠SAD=SA=×AB=AB=OE,所以△SOE是等腰三角形. 因为F是SE的中点,所以OF⊥SE. 因为OF∩AD=O,OF,AD⊂平面ADF,所以SE⊥平面ADF. 方法二:不妨设AB=,则SA=AD=SD=2.如图,连接AE,DE,因为E为BC的中点,所以AE=DE=2,所以SD=DE,SA=AE.又F为SE的中点,所以DF⊥SE,AF⊥SE. 因为DF∩AF=F,DF,AF⊂平面ADF,所以SE⊥平面ADF. 变式题　证明:∵底面ABCD是边长为2的正方形,∴CO=,CD=CB.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,C1C=A1A=2.在△C1OC中,∠C1CO=45°,C1C=2,CO=,由余弦定理得cos∠C1CO===, 可得C1O=,∴C1O2+CO2=C,∴C1O⊥CO.如图,连接C1D,C1B,在△C1CD与△C1CB中,∵CD=CB,∠C1CD=∠C1CB,C1C=C1C, ∴△C1CD≌△C1CB,∴C1B=C1D,即△BC1D为等腰三角形,又O为BD的中点,∴C1O⊥BD. ∵CO⊂平面ABCD,BD⊂平面ABCD,CO∩BD=O,∴C1O⊥平面ABCD. 例3　证明:(1)因为三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱,所以平面ABC⊥平面ABB1A1. 因为△ABC为正三角形,D为AB的中点,所以CD⊥AB, 又平面ABC∩平面ABB1A1=AB,CD⊂平面ABC, 所以CD⊥平面ABB1A1, 因为A1E⊂平面ABB1A1,所以CD⊥A1E. (2)因为AB=2,AA1=2,D,E分别为AB,BB1的中点, 所以tan∠DEB=,tan∠EA1B1=,所以∠DEB=∠EA1B1, 所以∠DEB+∠A1EB1=∠EA1B1+∠A1EB1=,所以A1E⊥DE, 又CD⊥A1E,CD,DE⊂平面CDE,CD∩DE=D,所以A1E⊥平面CDE, 又A1E⊂平面A1CE, 所以平面A1CE⊥平面CDE. 变式题　D　[解析] 对于B,在四边形ABCD中,因为AD=AB,∠BAD=90°,所以∠ABD=∠ADB=45°,因为∠BCD=45°,AD∥BC,所以∠ADC=135°,所以∠BDC=∠ADC-∠ADB=135°-45°=90°,在翻折过程中,∠BDC未发生变化,故在三棱锥A-BCD中,CD⊥BD,故B中结论正确;对于A,由B选项知CD⊥BD,又因为平面ABD⊥平面BCD,CD⊂平面BCD, 平面ABD∩平面BCD=BD,所以CD⊥平面ABD,因为AB⊂平面ABD,所以CD⊥AB,故A中结论正确;对于C,由选项A知,CD⊥平面ABD,因为CD⊂平面ADC,所以平面ADC⊥平面ABD,故C中结论正确;对于D,过点A作AE⊥BD,垂足为E,因为平面ABD⊥平面BCD,AE⊂平面ABD, 平面ABD∩平面BCD=BD,所以AE⊥平面BCD,显然AE⊄平面ABC,所以平面ABC与平面BDC不垂直,故D中结论不正确.故选D. 例4　证明:(1)如图,取PD的中点F,连接AF,EF, ∵E是PC的中点, ∴CD=2EF,EF∥CD. ∵AB∥CD,CD=2AB, ∴EF∥AB,且EF=AB, ∴四边形ABEF是平行四边形, ∴BE∥AF,又BE⊄平面PAD,AF⊂平面PAD,∴BE∥平面PAD. (2)∵PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴PA⊥AB, 又AB⊥AD,PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD,∴AB⊥平面PAD, 又AF⊂平面PAD,∴AB⊥AF, 又AB∥CD,∴CD⊥AF. ∵PA=AD,F是PD的中点,∴AF⊥PD,由(1)知BE∥AF,∴BE⊥PD,BE⊥CD,又PD∩CD=D,PD,CD⊂平面PCD,∴BE⊥平面PCD, 又BE⊂平面PBC, ∴平面PBC⊥平面PCD. 变式题　证明:取AD的中点N,连接NE,NC,因为△ADE是正三角形,所以EN⊥AD,且EN=,因为平面ADE⊥平面ABCD,EN⊂平面ADE,平面ADE∩平面ABCD=AD, 所以EN⊥平面ABCD,又因为CF⊥平面ABCD,所以EN∥CF,又因为EN=CF,所以四边形ENCF是平行四边形,所以EF∥NC,又因为NC⊂平面ABCD,EF⊄平面ABCD,所以EF∥平面ABCD. 学科网（北京）股份有限公司 $