第6单元 03 第37讲 等差数列及其前n项和（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

该高中数学高考复习讲义聚焦等差数列核心考点，涵盖定义、通项公式、前n项和公式、性质及与函数关系，按概念-公式-性质-应用逻辑架构知识，通过考点梳理、方法指导、真题训练及分层练习，帮助学生构建系统知识网络，突破易错点与综合应用难点。 讲义突出数学思维与应用意识培养，如用方程思想解决基本量运算，借性质推导项与和的关系，设置常识题、常错题及2024全国卷真题演练，分层提升学生运算能力与推理能力，高效提升应考技能，为教师把控复习节奏提供清晰教学路径。

第37讲　等差数列及其前n项和 【课标要求】　1.理解等差数列的概念和通项公式的意义. 2.探索并掌握等差数列的前n项和公式,理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系. 3.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题. 4.体会等差数列与一元一次函数的关系. 1.等差数列的定义 一般地,如果数列{an}从第　　　　项起,每一项与它的前一项之差都等于　　　　　　,即　　　　　　恒成立,则称{an}为等差数列,其中d称为等差数列的　　　　.  2.等差数列中的有关公式 已知等差数列{an}的首项为a1,公差是d,前n项和为Sn,则 等差数列定义式 　　　　　　　(d为常数)  等差中项 A=　　　 (A是a与b的等差中项) 通项公式 　　　　　　　  前n项和公式 Sn=　　　　　=　　　　　　  3.等差数列的性质 已知{an}是等差数列,其公差为d,Sn是{an}的前n项和. (1)通项公式的推广:an=am+　　　　(n,m∈N*).  (2)若p+q=s+t(p,q,s,t∈N*),则　　　　　　　　　.  (3)ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为　　　　的等差数列.  (4)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列. (5)S2n-1=(2n-1)an. (6)为等差数列. 4.等差数列与函数的关系 (1)等差数列{an}的单调性 当d>0时,{an}是　　　　数列;  当d<0时,{an}是　　　　数列;  当d=0时,{an}是　　　　数列.  (2)当d≠0时,等差数列{an}的前n项和Sn=n2+n是关于n的二次函数.在等差数列{an}中,若a1>0,d<0,则Sn存在最　　　　值,若a1<0,d>0,则Sn存在最　　　　值.  常用结论 1.已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列,且公差为p. 2.数列{an}是等差数列⇔Sn=An2+Bn(A,B为常数),这里公差d=2A. 3.若{an},{bn}均为等差数列且其前n项和为Sn,Tn,则=. 4.若等差数列{an}的项数为偶数2n,则 (1)S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1); (2)S偶-S奇=nd,=. 5.若等差数列{an}的项数为奇数2n+1,则 (1)S2n+1=(2n+1)an+1; (2)=. 题组一　常识题 1.[教材改编] 已知在等差数列{an}中,a4+a8=20,a7=12,则a4=　　　　.  2.[教材改编] 设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,若a2+a4=6,S9=45,则d=　　　　.  3.[教材改编] 一物体从1960 m的高空降落,如果第1秒降落4.9 m,以后每秒比前一秒多降落9.8 m,那么经过　　　　秒该物体降落到地面.  题组二　常错题 4.[忽视等差数列中项为0的情况] 在等差数列{an}中,|a3|=|a9|,公差d<0,则使数列{an}的前n项和Sn取最大值的正整数n的值是　　　　.  5.[考虑不全公差的取值范围] 若一个等差数列的首项为,从第10项起开始比1大,则这个等差数列的公差d的取值范围是　　　　.  6.[求和时忽略数列中为0的项] 设等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d,且满足a1>0,S11=S18,则当Sn取得最大值时,n=　　　　.  　等差数列基本量的运算 例1 (1)[2024·全国甲卷] 记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S5=S10,a5=1,则a1= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C.- D.- (2)记等差数列{an}的前n项和为Sn,若S10=100,a10=19,则S20= (　 ) A.320 B.400 C.480 D.560 总结反思 解决等差数列基本量运算问题的思想方法 (1)方程思想:等差数列的基本量为首项a1和公差d,通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)求解,等差数列中包含a1,d,n,an,Sn五个量,可“知三求二”. (2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用a1,d表示,寻求两者间的联系,整体代换即可求解. 变式题 (1)已知等差数列{an}的首项a1=2,公差d=12,在{an}中每相邻两项之间都插入3个数,组成一个新的等差数列{bn},则bn=(　 ) A.4n-2 B.3n-1 C.3n D.2n+1 (2)[2025·辽宁鞍山模拟] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a4-a1=12,S5-S2=3,则a5= (　 ) A.5 B.6 C.7 D.8 　等差数列的判定与证明 例2 [2025·广州模拟] 记Sn为数列{an}的前n项和,已知an>0,a2=3a1,且数列{}是等差数列,证明:{an}是等差数列.     总结反思 判定数列{an}是等差数列的常用方法 ①定义法:对任意n∈N*,an+1-an是同一常数. ②等差中项法:对任意n≥2,n∈N*,满足2an=an+1+an-1. ③通项公式法:对任意n∈N*,都满足an=pn+q(p,q为常数). ④前n项和公式法:对任意n∈N*,都满足Sn=An2+Bn(A,B为常数). 变式题 (1)[2023·新课标Ⅰ卷] 记Sn为数列{an}的前n项和,设甲:{an}为等差数列;乙:为等差数列,则 (　 ) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 (2)[2025·江苏南通模拟] 记Sn为数列{an}的前n项和,bn为数列{Sn}的前n项积,已知+=2. ①证明:数列{bn}是等差数列; ②求{an}的通项公式.     　等差数列性质的应用 角度1　等差数列项的性质 例3 (1)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1+a2+a39为定值,则 (　 ) A.S23为定值 B.S27为定值 C.S29为定值 D.S42为定值 (2)[2024·新课标Ⅱ卷] 记Sn为等差数列{an}的前n项和,若a3+a4=7,3a2+a5=5,则S10=　　　　.  总结反思 在等差数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq. 变式题 [2025·山东泰安模拟] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1+a5+3a6+2a9=49,则S11= (　 ) A.44 B.33 C.66 D.77 角度2　等差数列前n项和的性质 例4 (1)[2025·黑龙江鸡西期末] 已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若=,则= (　 ) A. B. C. D. (2)[2025·全国二卷] 记Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=6,S5=-5,则S6= (　 ) A.-20 B.-15 C.-10 D.-5 总结反思 1.前n项和的性质:在各项均不为0的等差数列{an}中,Sn为其前n项和,则 ①S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1); ②S2n-1=(2n-1)an; ③Sk,-Sk,-,…成等差数列. 2.熟练掌握等差数列前n项和的性质是解决此类试题的关键,解题时注意化归与转化思想的合理运用. 变式题 (1)[2025·江苏南京一调] 已知数列{an}为等差数列,前n项和为Sn.若S3=6,S6=3,则S9= (　 ) A.-18 B.-9 C.9 D.18 (2)已知各项均为正数的等差数列{an}满足=(n∈N*),则= (　 ) A.2 B.2024 C.1012 D.4048 角度3　等差数列和的最值 例5 (1)(多选题)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1>0,公差d≠0,且S5=S9,则下列说法正确的有 (　 ) A.S7是数列{Sn}中的最大项 B.a7是数列{an}中的最大项 C.S14=0 D.满足Sn>0的n的最大值为13 (2)[2025·福州质检] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a6=-600,当且仅当n=30时Sn取得最小值,则{an}的公差d的取值范围为　　　　.  总结反思 求等差数列前n项和Sn最值的两种方法: 变式题 (1)[2025·湖北随州模拟] 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且Sn有最小值,若<-1,则使Sn<0成立的n的最大值为 (　 ) A.17 B.16 C.15 D.14 (2)(多选题)[2025·河南郑州模拟] 在等差数列{an}中,a2=-7,a5=-1,若Sn=a1+a2+…+an,Tn=a1a2…an,则 (　 ) A.Sn有最小值,Tn无最小值 B.Sn有最小值,Tn无最大值 C.Sn无最小值,Tn有最小值 D.Sn无最大值,Tn有最大值 学科网（北京）股份有限公司 $ 第37讲　等差数列及其前n项和 ● 课前基础巩固 【知识聚焦】 1.2　同一个常数d　an+1-an=d　公差 2.an+1-an=d　 an=a1+(n-1)d 　na1+d 3.(1)(n-m)d　(2)ap+aq=as+at　(3)md 4.(1)递增　递减　常　(2)大　小 【对点演练】 1.6　[解析] 设等差数列{an}的公差为d,则解得∴a4=a1+3d=6. 2.1　[解析] a2+a4=2a3=6⇒a3=3,S9==9a5=45⇒a5=5,故d==1. 3.20　[解析] 设物体经过t秒降落到地面.物体在降落过程中,每一秒降落的距离依次构成首项为4.9,公差为9.8的等差数列,所以4.9t+t(t-1)×9.8=1960,即4.9t2=1960,可得t=20. 4.5或6　[解析] 由|a3|=|a9|,得|a1+2d|=|a1+8d|,解得a1=-5d或d=0(舍去),则a1+5d=a6=0,又d<0,∴a5>0,故使前n项和Sn取最大值的正整数n的值是5或6. 5.<d≤　[解析] 由题意可得即所以<d≤. 6.14或15　[解析] 由S11=S18,得11a1+d=18a1+d,即a1=-14d,∴Sn=-14dn+d=-d,由n∈N*,并结合Sn对应的二次函数图象知,当n=14或15时,Sn取得最大值. ● 课堂考点探究 例1　[思路点拨] (1)根据已知条件,先求出公差,再结合等差数列的性质,即可求解;(2)根据给定条件,列式求出首项及公差,再求出前20项的和. (1)B　(2)B　[解析] (1)因为S5=S10,所以S10-S5=a6+a7+a8+a9+a10=5a8=0,则a8=0,又因为a5=1,所以公差d==-,所以a1=a8-7d=,故选B. (2)由S10==100,a10=19,解得a1=1,则公差d==2,所以S20=20a1+d=400.故选B. 变式题　(1)B　(2)A　[解析] (1)设{bn}的公差为d',则b1=2,d'===3,所以bn=2+3(n-1)=3n-1.故选B. (2)设等差数列{an}的公差为d,由a4-a1=3d=12,得d=4,由a5+a4+a3=S5-S2=3,得3a4=3,解得a4=1,所以a5=a4+d=5.故选A. 例2　[思路点拨] 设等差数列{}的公差为d,可用,求出d,得到{Sn}的通项公式,利用an=Sn-Sn-1可求出{an}的通项公式,从而证明{an}是等差数列. 证明:设等差数列{}的公差为d,因为a2=3a1,所以===2, 则d=-=2-=,所以=+(n-1)=n,所以Sn=n2a1①, 当n≥2时,Sn-1=(n-1)2a1②, 由①-②得an=Sn-Sn-1=n2a1-(n-1)2a1=(2n-1)a1③,n≥2. 经检验,当n=1时也满足③, 所以an=(2n-1)a1,n∈N*. 当n≥2时,an-an-1=(2n-1)a1-(2n-3)a1=2a1, 所以数列{an}是等差数列. 变式题　(1)C　[解析] 若{an}为等差数列,则设数列{an}的公差为d,可得Sn=na1+d,则=a1+d,所以为首项为a1,公差为的等差数列,即甲是乙的充分条件.反之,若为等差数列,则可设的公差为D,故=S1+(n-1)D,即Sn=nS1+n(n-1)D=na1+n(n-1)D,利用公式an=可得an=a1+2(n-1)D,所以an+1-an=2D,即{an}为公差为2D的等差数列,所以甲是乙的必要条件.综上,甲是乙的充要条件.故选C. (2)解:①证明:当n=1时,b1=S1, 由+=2,解得b1=, 当n≥2时,=Sn,代入+=2,消去Sn可得+=2, 所以bn-bn-1=,所以{bn}是以为首项,为公差的等差数列. ②由题意得a1=S1=b1=,由①可得bn=+(n-1)×=, 由+=2,可得Sn=. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=-, 所以an= 例3　[思路点拨] (2)思路一:由a3+a4=7,a3+a4=a2+a5,3a2+a5=5可求出a2,再根据等差数列的通项公式及求和公式即可求解;思路二:由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解. (1)B　(2)95　[解析] (1)方法一:由=14,得a1+a2+a39=3a14,所以a14为定值,所以S27==27a14为定值. 方法二:设等差数列{an}的公差为d,则a1+a2+a39=a1+a1+d+a1+38d=3(a1+13d)=3a14.又a1+a2+a39为定值,所以a14为定值,所以S27==27a14为定值.故选B. (2)方法一:设等差数列{an}的公差为d,由a3+a4=7,3a2+a5=5,a3+a4=a2+a5,得3a2+a5=2a2+7=5,解得a2=-1,所以a5=8,所以d===3,所以a1=-4,则S10=10×(-4)+×3=95. 方法二:设等差数列{an}的公差为d,由a3+a4=2a1+5d=7,3a2+a5=4a1+7d=5,解得d=3,a1=-4,则S10=10×(-4)+×3=95. 变式题　D　[解析] 因为a1+a5+3a6+2a9=2a5+2a7+3a6=7a6=49,所以a6=7,所以S11=11a6=77.故选D. 例4　[思路点拨] (1)由已知,根据等差数列的性质,把转化为进行求解.(2)思路一:由等差数列的性质求出a2,a3,进而求出{an}的公差d及a1,再利用前n项和公式求解;思路二:由等差数列前n项和的性质知为等差数列,进而求出该数列的公差,利用等差数列的通项公式即可求解;思路三:由题意建立首项与公差的方程组,求出首项和公差,再由等差数列的前n项和公式即可求解. (1)B　(2)B　[解析] (1)因为=,所以==,又==,所以===.故选B. (2)方法一:因为S3=3a2=6,所以a2=2,因为S5=5a3=-5,所以a3=-1,所以数列{an}的公差d=a3-a2=-3,所以a1=5,所以S6=6a1+15d=6×5-15×3=-15. 方法二:因为Sn为等差数列{an}的前n项和,所以为等差数列.设等差数列的公差为d,则-=2d,解得d=-,故=+d=-1-,解得S6=-15. 方法三:设等差数列{an}的公差为d,因为S3=6,S5=-5, 所以解得所以S6=6a1+15d=6×5-15×3=-15.故选B. 变式题　(1)B　(2)C　[解析] (1)易知S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,所以(S9-S6)+S3=2(S6-S3),则S9=3S6-3S3=3×3-3×6=-9.故选B. (2)因为{an}为等差数列,所以a1+a3+…+a2n-1=nan,a3+a5+…+a2n+1=nan+2,则==,则=,所以==…=,所以==1012.故选C. 例5　(1)ACD　(2)(24,25) [解析] (1)∵S5=S9,∴5a1+d=9a1+d,∴a1=-d>0,∴d<0,∴an=a1+(n-1)d=-d+(n-1)d=d,Sn=na1+d=-dn+d=(n2-14n).对于A,Sn=(n2-14n)=[(n-7)2-49],∵d<0,∴当n=7时,Sn取得最大值,∴S7是数列{Sn}中的最大项,故选项A正确;对于B,∵a1>0,d<0,∴等差数列{an}是递减数列,∴数列{an}中的最大项为a1,故选项B错误;对于C,S14=(142-14×14)=0,故选项C正确;对于D,∵d<0,∴Sn=(n2-14n)=n(n-14)>0,解得0<n<14,∵n∈N*,∴满足Sn>0的n的最大值为13,故选项D正确.故选ACD. (2)由题意可得,a30<0,a31>0,即解得24<d<25,故d的取值范围为(24,25). 变式题　(1)C　(2)AD　[解析] (1)因为等差数列{an}的前n项和Sn有最小值,所以a1<0,d>0,所以a9>a8,又<-1,所以a8<0,a9>0,且a9+a8>0,所以S16==>0,S15==15a8<0,所以当1≤n≤15时Sn<0,所以使Sn<0成立的n的最大值为15.故选C. (2)在等差数列{an}中,由a2=-7,a5=-1,得d=2,可得a1=a2-d=-9,∴Sn=-9n+×2=n2-10n,∴Sn有最小值S5,无最大值.an=-9+(n-1)×2=2n-11,易知等差数列{an}的前五项小于0,自第六项起大于0,且a6=1,当n≥7时,an>1,∴T1=-9<0,T2=63>0,T3=-315<0,T4=945>0,T5<0,当n≥6时,Tn<0,∴Tn有最大值T4,无最小值.故选AD. 学科网（北京）股份有限公司 $